2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年浙江省溫州市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．已知橢圓，則橢圓的短軸長為（）A． B． C．2 D．43．直線與直線的距離為（）A．1 B． C． D．4．“”是“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．過直線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于直線對稱時，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，滿足，且，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，為等腰直角三角形，且，點(diǎn)在線段AD上，則三棱錐外接球的表面積的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓C．若，則點(diǎn)的軌跡是一條直線D．若，則點(diǎn)的軌跡是圓10．已知直三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A． B．平面C．異面直線AE與所成的角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面ACE的距離為11．已知圓，圓，直線，直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則以下選項(xiàng)正確的是（）A．若時，圓與圓有兩條公切線B．若時，兩圓公共弦所在直線的方程為C．弦長的最小值為D．若點(diǎn)，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為.13．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為，已知空間中一條直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.14．平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，若圓心在雙曲線的一條漸近線上且直線平行于另一條漸近線，則圓的方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓和圓外一點(diǎn)(1)求的取值范圍(2)若，過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程16．如圖，在四棱臺中，底面ABCD為平行四邊形，平面，(1)證明：平面平面(2)求直線與平面所成角的大小17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為4，點(diǎn)的軌跡為，曲線與軸正半軸交于點(diǎn).(1)求曲線的方程(2)若過點(diǎn)的直線與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)為BF的中點(diǎn)，若，求直線的方程18．如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面，點(diǎn)為線段BC上的動點(diǎn)，(1)若點(diǎn)為BC中點(diǎn)，證明：(2)在（1）的條件下，求平面PAC與平面ACF夾角的余弦值(3)求線段長的最小值19．閱讀材料：極點(diǎn)與極線，是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)Px0,y0和直線是圓錐曲線的一對極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點(diǎn)Px0,y0對應(yīng)的極線方程．特別地，對于橢圓，與點(diǎn)Px0,y0對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點(diǎn)Px其中，極點(diǎn)與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時，其極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時，其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.根據(jù)上述材料回答下面問題：已知雙曲線，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，已知點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的極線與雙曲線交于點(diǎn)，(1)若，，證明：極線恒過定點(diǎn).(2)在（1）的條件下，若該定點(diǎn)為極線的中點(diǎn)，求出此時的極線方程(3)若，，，極線交的右支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，直線，直線分別交軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意，直線的斜率,設(shè)直線的傾斜角為，且,,所以.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】由題意，橢圓,,所以,故短軸長為.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】由，顯然與平行，所以它們的距離為.故選：D4．【正確答案】A【詳解】聯(lián)立方程，整理可得，當(dāng)時，即，方程有一解，即只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，，解得；所以直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)時，或，所以“”是“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”的充分不必要條件，故選：A5．【正確答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑為,因?yàn)橹本€關(guān)于直線對稱，則直線與直線垂直，所以直線的方程為，即，由解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.6．【正確答案】B【詳解】,因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，注意到，從而.故選：B.7．【正確答案】B【詳解】由題意得，，由橢圓定義得，故，∵，，∴，∴與相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即橢圓的離心率為.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以過點(diǎn)平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，則，，，設(shè)，三棱錐外接球球心為，半徑為，則，解得，即，因?yàn)椋?，則當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值3，即，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.9．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以，對于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，故A正確；對于B：因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為線段，故B錯誤；對于C：設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是一條直線，故C正確；對于D：因?yàn)?，即，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選：ACD10．【正確答案】ABD【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.A：，所以，故A正確；B：，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；C：，則，所以，即異面直線與所成的角的余弦值為，故C錯誤；D：設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】BCD【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，當(dāng)時，，圓與圓相內(nèi)切，有一條公切線，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，圓與圓相交，兩圓方程相減得，即，B正確；對于C，直線恒過定點(diǎn)，，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時，取得最小值，C正確；對于D，令弦的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，當(dāng)與點(diǎn)都不重合時，，有，當(dāng)與點(diǎn)之一重合，上式成立，則，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，，而，因此的最大值為，D正確.故選：BCD12．【正確答案】12【詳解】

由橢圓的定義可得，BF1且，，所以的周長為.故13．【正確答案】【詳解】由題意，直線為，經(jīng)過點(diǎn)，且為一個方向向量，所以，故點(diǎn)到直線的距離為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】雙曲線的漸近線方程為，如圖所示，圓心在雙曲線的一條漸近線上，則,因?yàn)橹本€平行于另外一條漸近線，所以，又圓與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，則圓與雙曲線在處的切線重合，而雙曲線在處的切線方程為，即，則，即，則，解得，即，即圓的半徑,所以圓的方程為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）根據(jù)題意：，點(diǎn)在圓外，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知，且，所以.則圓的方程為：當(dāng)不存在時，直線，滿足題意，當(dāng)存在時，設(shè)切線方程為因?yàn)椋?，所以切線方程為，綜上，切線方程為：或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）不妨設(shè)，則，由余弦定理得，四邊形是平行四邊形，平面，又，平面，平面，又平面，平面平面，（2）法1：延長線段交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）知，平面平面，平面平面平面，平面平面平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在Rt中，，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則為直線與平面所成的角，，，即，所以與平面所成的角為.法2：由（1）可知兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為則令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成的角為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題意可知：動點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸的橢圓，所以即，所以軌跡方程為；（2）顯然直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為：，由，設(shè)，由韋達(dá)定理可得：①，分別是BF，AB的中點(diǎn)，，②，由①②可得，所以直線的方程為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）法1：因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)為BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?：因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)為BC中點(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)為BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，所以；?）由（1）知，則以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中EC，EA為軸，軸的正半軸，則，設(shè)平面PAC的法向量為，則，令，則法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面PAC與平面ACF夾角為，則，即平面PAC與平面ACF夾角的余弦值為；（3）法1：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中為軸，軸的正半軸，則，設(shè)，，令則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增當(dāng)時，，法2：設(shè)BC的中點(diǎn)為，取PA中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面PBC垂線，垂足為，且平面，點(diǎn)的軌跡為以PA為直徑，即的球與平面PBC的相交圓弧，由（1）可知，，相交圓半徑，點(diǎn)軌跡為在平面PBC中的以為圓心，為半徑的圓弧，，19．【正確