山東省頂級名校2025屆高三上學(xué)期第二次診斷考試數(shù)學(xué)試題含答案

2025屆高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)試題2024.11說明：本試卷滿分150分.試題答案請用2B鉛筆和0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時(shí)間120分鐘.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（）A.0 B. C.0或 D.0或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出,即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，所以的虛部是.故選：A3.已知等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合同號可得.【詳解】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，又，所以.故選：A4.設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分和兩種情況進(jìn)行求解即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得．綜上，的取值范圍是．故選：A．5.已知則等于A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式及同角關(guān)系式求得的值，然后利用對數(shù)的運(yùn)算法則即得.【詳解】，，，，，，.故選：C.6.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：D7.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出在區(qū)間上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正的值范圍.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在區(qū)間上有最小值，得在區(qū)間上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，令，則在區(qū)間上有變號零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D8.將一枚均勻的骰子獨(dú)立投擲兩次,所得的點(diǎn)數(shù)依次記為x,y,記A事件為“>”,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可以分析出，拋擲兩次總的基本事件有36個，隨后進(jìn)行列舉分析.【詳解】拋擲兩次總的基本事件有36個.當(dāng)x=1時(shí),沒有滿足條件的基本事件；當(dāng)x=2時(shí)，y=1滿足；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，2，6滿足；當(dāng)x=4時(shí)，y=1，2，3，5，6滿足；當(dāng)x=5時(shí)，y=1，2，6滿足；當(dāng)x=6時(shí)，y=1滿足.總共有13種滿足題意，所以P(A)=.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是偶函數(shù)D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由最值求，由周期求，結(jié)合特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；將代入計(jì)算，得到最小值就可判斷；利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷為奇函數(shù)即可判斷；直接進(jìn)行伸縮變化即可判斷．【詳解】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯誤；D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．10.如圖，在四邊形中，，，，，，則下列結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】對A，由已知條件利用向量數(shù)量積運(yùn)算得解；對B，在中，由余弦定理可得解；對C，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求得答案；對D，求出，利用三角形面積公式求解.【詳解】對于A，如圖，連接，由，解得，又，所以，故A正確；對于B，在中，由余弦定理得，，，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，，所以，，，，，在中，由正弦定理，，即解得，在中，由余弦定理可得，即，則，故C正確；對于D，在中，，，，，，故D正確.故選：ACD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）.給出下列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）A.圖形關(guān)于軸對稱B.曲線恰好經(jīng)過4個整點(diǎn)（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過D.曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3【答案】ACD【解析】【分析】將換成方程不變，得到圖形關(guān)于軸對稱，根據(jù)對稱性，分類討論，逐一判定，即可求解.【詳解】對于A，將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程變換為，由，解得，所以只能取整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，即曲線經(jīng)過，根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過，故曲線一共經(jīng)過6個整點(diǎn)，故B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，由可得，（當(dāng)時(shí)取等號），，，即曲線上軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，故C正確；對于D，如圖所示，在軸上圖形的面積大于矩形的面積：，軸下方的面積大于等腰三角形的面積：，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，以及曲線與方程的應(yīng)用，其中解答中合理利用圖形的對稱性，逐一判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.13.已知向量滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義確定點(diǎn)的軌跡，然后由數(shù)量積性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，整理得，所以，作，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，因，所以，記的夾角為，則，所以，當(dāng)向量與向量同向時(shí)，取得最大值.故答案為：14.定義：如果集合存在一組兩兩不交（任意兩個集合交集為空集時(shí)，稱為不交）的非空真子集，且，那么稱無序子集組構(gòu)成集合的一個劃分.若使函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn)的的取值集合為，則集合的所有劃分的個數(shù)為__________.【答案】14【解析】【分析】通過零點(diǎn)個數(shù)確定，再結(jié)合新定義即可求解.【詳解】函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn)，則，，集合有4個元素，集合的2劃分個數(shù)為，集合的3劃分個數(shù)為，集合的4劃分個數(shù)為1，故集合的所有劃分的個數(shù)為14.故答案為：14四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義由前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；（2）易知是公比為4的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由可得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可知，易知是公比為4的等比數(shù)列，所以可得.16.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一，由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可得證；法二，去分母利用射影定理可得結(jié)論；法三，去分母結(jié)合余弦定理可得結(jié)論；（2）法一，首先在和中，運(yùn)用兩次余弦定理，得，，結(jié)合平方關(guān)系、三角形面積公式即可得解.法二，，，可求得，下同法一.法三，利用，兩邊平方結(jié)合余弦定理可求得，下同法一.【小問1詳解】（法一）因?yàn)?，由正弦定理知，所?，所以3，即，因?yàn)椋?，所以，?（法二）因?yàn)?，所以，所以，由射影定理得，?（法三）因?yàn)椋?，所以，所以，?【小問2詳解】（法一）在中，，在中，，所以，所以，所以，因?yàn)锽∈0,π所以，所以.（法二），，所以，解之得.下同法一.（法三）因?yàn)?，所以①，②，將②代入①得，解之得，下同法?17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個極值點(diǎn)，求正數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分，與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根問題，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，則當(dāng)時(shí)，的兩根為.①若在上單調(diào)遞增；②若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；④時(shí)，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，由函數(shù)有三個極值點(diǎn)可知在上至少有三個實(shí)數(shù)根；顯然，則需方程，也即有兩個不等于3的不相等的實(shí)數(shù)根；由可得，令，則，顯然當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；所以，畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖像，由圖可得且時(shí)，在上有兩個不等于3的相異的實(shí)數(shù)根，經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)在左右符號不同，即均是的變號零點(diǎn)，滿足題意；因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及合理構(gòu)造函數(shù)求解.18.口袋中共有7個質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時(shí)停止.（1）記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；（2）現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是黑球；乙袋裝4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個小球，當(dāng)甲袋的2個黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.【答案】（1）（2）6，答案見解析【解析】【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉胶谇虻挠绊懻f明期望的大小關(guān)系．【小問1詳解】X可能取值為4，5，6，7，，；【小問2詳解】Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，，，，，.在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.19.設(shè)為正整數(shù)，為正實(shí)數(shù)列．我們稱滿足（其中）的三元數(shù)組為“比值組”.（1）若，且為等差數(shù)列，寫出所有的比值組；（2）給定正實(shí)數(shù)，證明：中位數(shù)為4（即中）的比值組至多有3個；（3）記比值組的個數(shù)為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由以及等差數(shù)列性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)比值組定義對和相應(yīng)的取值進(jìn)行分類討論即可得解.（2）依據(jù)題意得固定時(shí)，則至多有一個使得成立，接著由得的取值有三種即可得證.（3）由固定時(shí)，則至多有一個使得成立，結(jié)合值的取法數(shù)可得的三元數(shù)組的個數(shù)為，同理得固定時(shí)，進(jìn)而得，再對分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況計(jì)算即可得證.【小問1詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，若，則，，所以當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；當(dāng)且時(shí)，，即，不符合；當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；當(dāng)且時(shí)，，即，不符合；當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；當(dāng)且時(shí)，，不符合；當(dāng)且時(shí)，，不符合；綜上，若且為等差數(shù)列的所有的比值組為.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)固定時(shí)，則至多有一個使得成立，因?yàn)?，所以或或共三種取法，所以中位數(shù)為4（即中）的比值組至多有3個.【小問