北師大版高中數(shù)學《必修5》全部教案

北師大版高中數(shù)學必修5第一章《數(shù)列》全部教案

第一謖時1.L1數(shù)列的概念

一、教學目標

1、知識與技能：（1）理解數(shù)列及其有關(guān)概念；（2）了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)

列的任意一項；（3）對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式。

2、過程與方法：（1）采用探究法：按照思考、交流、實臉、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進行啟

發(fā)式教學；（2）發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；（3）理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積

極性。

3、情感態(tài)度與價值觀：（1）.通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯(lián)系實際，激

發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；（2）.通過本節(jié)

課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣.

二、教學重點：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用.

教學難點根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式.

三、教學方法：探究、交流、實驗、觀察、分析

四、教學過程

（一）、揭示課題:今天開始我們研究一個新課題.

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱

作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少

根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要但求如何去研究，

找出一般規(guī)律.實際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

10039,98,…,3,2工象這樣排好隊的數(shù)就是我們的研究對象—數(shù)列.

（二）、推進新課

［合作探究］

折紙問題

師請同學們想一想，一張紙可以重復(fù)對折多少次？請同學們隨便取一張紙試試（學生們興趣一定

很濃）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

師你知道這是為什么嗎？我們設(shè)紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，陵依次折的次

數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？

生隨著對折數(shù)厚度依次為：2,4,8,16,???,256,…；①

隨著對圻數(shù)面積依次為，…會?

生對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1口256式，再折下去太困難了.

師說得很好，隨數(shù)學水平的提高，我們的思維會更加理性化.請同學們觀察上面我們列出的這一

列一列的數(shù)，看它們有何共同特點？

生均是一列數(shù).

生還有一定次序.

師它們的共同特點：都是有一定次序的一列數(shù).

［教師精講］

1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次并排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，

那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列

中可以重復(fù)出現(xiàn).

2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第

2項，…，第〃項，….同學們能舉例說明嗎？

生例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“2”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“16”是這個數(shù)列

中的第4項.

為表述方便給出幾個名稱：項—數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

首項----其中數(shù)列的第一項也稱首項.通項-----數(shù)列的第n項叫數(shù)列的通項.

以上述兩個數(shù)列為例，讓學生練習指出某一個數(shù)列的首項是多少，第二項是多少，指出某一個數(shù)

列的一些項的項數(shù).由此可以看出，給定一個數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項是多少，第二項是多少，……，

每一項都是確定的，即指明項數(shù)，對應(yīng)的項就確定.所以數(shù)列中的每一項與其項數(shù)有著對應(yīng)關(guān)系，

這與我們學過的函數(shù)有密切關(guān)系.

3.數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6是有窮數(shù)列.

無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…是無窮數(shù)列.

2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列.遞減數(shù)列：

從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列.常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列.擺動數(shù)列：從第2

項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.

請同學們觀察：課本的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)歹H?

生這六組數(shù)列分別是⑴遞增數(shù)列，⑵遞增數(shù)列，⑶常數(shù)數(shù)列，(4)遞減數(shù)列，⑸擺動數(shù)列，(6)1.

遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列.

4、通項公式法:如數(shù)列°12,3,…的通項公式為％.界TSeN)；

…的通項公式為久.K"€"J4"'3；

111

h2-?4-%"―(?€獷)

的通項公式為彳

數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第胃項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表

示.通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，

代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項.

例如，數(shù)列的通項公式則aloo?2xlOO-l-199

值得注意的是，正如一個函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式，即

便有通項公式，通項公式也未必唯一.

［知識拓展］

師你能說出上述數(shù)列①中的256是這數(shù)列的第多少項？能否寫出它的第〃項？

生256是這數(shù)列的第8項，我能寫出它的第。項，應(yīng)為%=2".

［例題剖析］

例1.根據(jù)下面數(shù)列｛a｝的通項公式，寫出前5項：

n

(l)a產(chǎn)一；;(2)當二(/)”?〃.

師由通項公式定義可知，只要將通項公式中門依次取1,2,3,4,5,即可得到數(shù)列的前5項.

12345

生解：⑴/產(chǎn)1,2,3,4,5留二■—漁二彳曲二丁武二二漁二7.

23456

(2)，=1,2,3,4,5.團二-1；22=2;的二-3;為二4;。5二-5.

師好！就這樣解.

例2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：

246810

(1)3,5,7,9,11,…；(2)一,—,—,—,—,…；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

⑸2,-6,12,-20,30,-42,….

師這里只給出數(shù)列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數(shù)列的一個通項公式？（給學生一定的思

考時間）

生老師，我寫好了！

In小1+(T)"

解:⑴品=2。+1;(2)a=(3)%=---

(2〃一1X2"+1)

11/IV*

（4）將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…，.??瑪=/?十—y—；

⑸將數(shù)列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,/.1）.

師完全正確！這是由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的例子，解決的關(guān)鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出的規(guī)

律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數(shù)列的通項公式.

（三”學生課堂練習：課本本節(jié)練習1、2、3、4

補充題：已知數(shù)列｛篇｝的通項公式是&=2M-n,那么（）

430是數(shù)列｛斯｝的一項H44是數(shù)列｛狐｝的一項

C.66是數(shù)列｛為｝的一項P.90是數(shù)列｛為｝的一項

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫出這個數(shù)列的前幾項，如果這前幾項中出現(xiàn)了這

四個數(shù)中的某一個，則問題就可以解決了.若出現(xiàn)的數(shù)比較大，還可以用解方程求正整數(shù)解的方法

加以解決.答案：C

點評：看一個數(shù)/是不是數(shù)列｛4｝中的某一項，實質(zhì)上就是看能不能找出一個非零自然數(shù)〃，使

得a產(chǎn)A.

（四）、課堂小結(jié)：對于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，

并會根據(jù)數(shù)列的前A項求一些簡單數(shù)列的通項公式。

（五）、布置作業(yè)課本習題1-1A紐1、2、3、4。

五、教后反思：

第二課時1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性

一、教學目標

1、知識與技能：了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；理解數(shù)列是

一種特殊的函數(shù)；2、過程與方法：通過類比函數(shù)的思想了解數(shù)列的幾種簡單的表示方法（列表、

圖象、通項公式）；3、情態(tài)與價值：體會數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；借助函數(shù)的背景和研究方法來

研究有關(guān)數(shù)列的問題，可以進一步讓學生體會數(shù)學知識間的聯(lián)系，培耒用已知去研究未知的能力。

二、教學重點：理解數(shù)列的概念，探索并掌握數(shù)列的幾種間單的表示出（列表、圖象、通項公式）。

難點：了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律找出可能的通項公式。

三、教學方法：講授法為主

四、教學過程

（一）、導(dǎo)入新課

師同學們，昨天我們學習了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容，哪位同學能談一談什

么叫數(shù)列的通項公式？

生如果數(shù)列｛為｝的第A項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)

列的通項公式.

師你能舉例說明嗎？

生如數(shù)列0,1,2,3,…的通項公式為為二cigsN）；

1,1,1的通項公式為

1，!>7,…的通項公式為為二，

234n

教師進一步啟發(fā)上面數(shù)列為二獷1、%二」?與函數(shù)/（x）=x-i,/（x）=_L有什么關(guān)系？你能用圖象

nx

直觀表示這個數(shù)列嗎？由此展開本節(jié)新課。

（二）新知探究

1、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項數(shù)是其自變量，項是項數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值,

數(shù)列的定義域是正整數(shù)集N+,或是正整數(shù)集N*的有限子集｛123…

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點看待數(shù)列.

［合作探究］同學們看數(shù)列2,4,8,16,…，256,…①中項與項之間的對應(yīng)關(guān)系，

項2481632

序號12345你能從中得到什么啟示？

生數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集（1,2,3,…，的函數(shù)

當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)產(chǎn)/?,如果電（VI、2、3、4…）

有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列，傘），….

師說的很好.如果數(shù)列｛為｝的第〃項即與〃之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就

叫做這個數(shù)列的通項公式.

［合作探究］師函數(shù)與數(shù)列的比較（由學生完成此表）:

函數(shù)數(shù)列（特殊的函數(shù)）

定義域R或R的子集N或它的有限子集｛1,2,…，n］

解析式產(chǎn)佃斯=《/?）

圖象點的集合一些離散的點的集合

師對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對應(yīng)圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項公式來

畫出其對應(yīng)圖象，下面同學們練習畫數(shù)列：

4,5,6,7,8,9,10…;②1,—，…③的圖象.

生根據(jù)這數(shù)列的通項公式畫出數(shù)列②、③的圖象為

On.

10

9

8

7

6

51L

2

4r

1

341

2r-

8

O12345678912345678n

師數(shù)列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關(guān)?

生與我們學過的一次函數(shù)尸/3的圖象有關(guān).

師數(shù)列1，!，…③的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？

生與我們學過的反比例函數(shù)y=，的圖象有關(guān).

x

師這兩數(shù)列的圖象有什么特點？

生其特點為：它們都是一群孤立的點.

生它們都位于尸軸的右側(cè)，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于尸軸的右側(cè)的點.

2、數(shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法:

列表法，圖象法，解析式法.相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用0】表示第

一項，用表示第一項，……,用。"表示第片項，依次寫出成為

⑴歹悻法：。1.”。3一?巴，….簡記為QJ.

一個函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數(shù)列，把它稱作圖示法.

（2）圖示法:啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)片為橫坐標，相應(yīng)

的項°■為縱坐標，即以（％%）為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列

,111

'2'3'4'為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為

正整數(shù)，所以這些點都在尸軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看

到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.有些函數(shù)可以用解析式來表示，解析式反映了一

個函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些數(shù)列的項能用其項數(shù)的函數(shù)式表示出來,

即478>,這個函數(shù)式叫做數(shù)列的通項公式.

（3）通項公式法:如數(shù)列0J23,…的通項公式為勺?"1（叱”）；

LU…的通項公式為■］（€,1一”一$；

111

d.■—（〃W獷）

的通項公式為彳

數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第"項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表

示.通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，

代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項.

例如，數(shù)列⑷的通項公式￡?5-1（畿獷），則與00=2*1007.199

值得注意的是，正如一個函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式，即

便有通項公式，通項公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項（或幾項）有關(guān)系，這個關(guān)系用一個公式來表示，

叫做遞推公式.

（4）遞推公式法:如前面所舉的鋼管的例子，第4+1層鋼管數(shù)%“與第〃層鋼管數(shù)的關(guān)系

是-1,再給定ai"100,便可依次求出各項.再如數(shù)列中，

劣■La..】?w〃），這個數(shù)列就是124&16,32,64,…

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系用

一個公式來表示，這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含

兩個部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可.可由學生學例，以檢驗學生是否理解?.

（三”例題探析

例1、判斷下列無窮數(shù)列的增減性。⑴2,1,0,-1,???,3-n,…；（2）[23-f^i,-o

234n+\

學生探究交流，教師準對問題講評并引導(dǎo)學生歸納方法?！敬鸢福海?）遞減數(shù)列；（2）遞增數(shù)列】

例2、作出數(shù)列一!，!，一!，J,KK,（-《）〃，…的圖像，并分析數(shù)列的增減性。

248162

2

解析：如圖是這個數(shù)列的圖象，數(shù)列各項的值正負相間，表示數(shù)列的各點相對于橫軸上下擺動,

它既不是遞增的，也不是遞減的。

（四）、學生練習：課本本節(jié)練習1、2

（五）、課堂小結(jié)：1、探究結(jié)論；2、數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系？

（六”作業(yè)布置：習題1-1A組第5、6、7題

五、教后反思：

第三課時數(shù)列的概念

一、教學目標

1、知識與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式

寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與明的關(guān)系

2、過程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。

二、教學重點：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項

教學難點理解遞推公式與通項公式的關(guān)系

三、教學過程

I.課題導(dǎo)入

【復(fù)習引入］數(shù)列及有關(guān)定義

D.講授新課

數(shù)列的表示方法

1、通項公式法

如果數(shù)列｛4｝的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列

的通項公式。

如數(shù)列0J23,…的通項公式為%f+1（六M）；

□J…的通項公式為生.］（"，J"""，＞

,111l”?、

?二?…/?一z儲wN）

234的通項公式為n；

2、圖象法

啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫汰畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)彳為橫坐標，相應(yīng)的項。“為

縱坐標，即以3?勺）為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列‘2'?"為例，

做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都

在丁軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到

大變化而變化的趨勢.

3、遞推公式法

知識都來源于實踐，最后還要應(yīng)用于生活?用其來解決一些實際問題.

觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型.

模型一：自上而下：

第1層鋼管數(shù)為4;即：1C4F+3

第2層鋼管數(shù)為5；即：2―5=2+3

第3層鋼管數(shù)為6;即：3―6=3+3

第4層鋼管數(shù)為7;即：4。7=4+3

第5層鋼管數(shù)為8;即：5―8=5+3

第6層鋼管數(shù)為9;即：609=6+3

第7層鋼管數(shù)為10;即：7-10=7+3

若用凡表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且4=〃+3(1WnW7)

運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出

每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。

讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學生尋找規(guī)律)

模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多l(xiāng)o

即。］=4；?=5=4+1=4+1；/=6=5+1=%+1

依此類推：an-an_｝+1(2<n<7)

對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要。

定義：

遞推公式：如果已知數(shù)列｛凡｝的第1項(或前幾項)，且任一項明與它的前一項(或前n項)

間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式

遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89

遞推公式為：6=3,a?=5,%=%+an_2(3<n<8)

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列

表法，圖象法，解析式法.相對干列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用力表示第一

項，用表示第一項，……，用。"表示第胃項，依次寫出成為

4、列表法

…4,….簡記為

［范例講解］

%=1

例3設(shè)數(shù)列｛4｝滿足|〔I,八寫出這個數(shù)列的前五項。

%=1+—(n>l).

解：分析：題中已給出｛%｝的第1項即《=1,遞推公式：。”=1+

%

??2]58

解：據(jù)題意可知：6=1,々2=1+—=2,%=1+—=—,44=1+—=

a{a23%35

[補充例題]

例4已知q=2,an+i=2an寫出前5項，并猜想*.

223

法一：4=2a2=2x2=2a3=2x2=2,觀察可得"=2"

法二：由?n+i=2anan=2a“7即馬-=2

an-\

&=%.2"“=2"

DI.課堂練習：課本P36練習2

［補充練習］

1.根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式

(1)%=。，。向=/+(2n—l)(n€N);

⑵4=1,an+l=—^~(n€N)；

a?+2

(3)%=3,%+]=3a〃-2(nWN).

2

解：⑴a1=0,a2=1,43=4,。4=9，牝=16,an=(n-l)；

2122122

(2)a.=},a-,=—,a.=—=—,a==—=—,a=---；

1-3324445536"〃+1

(3)4[=3=1+2X3°,=7=14-2x3',=19=1+2x32,

4nl

%=55=1+2x3，,t75=163=l+2x3,an=\+2-3;

IV.課時小結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：1.遞推公式及其用法；2.通項公式反映的是項與項數(shù)之

間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或〃項)之間的關(guān)系.3.an的定義及與n之間的

關(guān)系

V.課后作業(yè)：習題2.1A組的第4、6題作業(yè)：P9第4題

四、教后反思：

第四課時§1.2.1等差數(shù)列（-）

一、教學目標

1.知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的

問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的

關(guān)系。

2.過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導(dǎo)學生通過觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)

列的概念；由學生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應(yīng)

用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研

究。

3.情態(tài)與價值:培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識。

二、教學重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；會用公式解決

一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。

教學難點：概括通項公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法。

三、學法：引導(dǎo)學生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、座位問題、鞋號問題、儲蓄問題）概括出

數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式；可以

用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導(dǎo)。

四、教學過程

（一）、創(chuàng)設(shè)情景

上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在H常生活中，人口增長、鞋號問題、教育貸款、存款利息等等這

些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識來解決。今天我們就先

學習一類特殊的數(shù)列。

（二）新知探究

（I）、引導(dǎo)觀察數(shù)列：0,5,10,15,20,……①;48,53,58,63②

18,15.5,13,10.5,8,5.5③；10072,10144,10216,10288,10360④

看這些數(shù)列有什么共同特點呢？（由學生討論、分析）

引導(dǎo)學生觀察相鄰兩項間的關(guān)系，得到：對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于

5；對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5;對于數(shù)列③，從第2項起，

每一項與前一項的差都等于25；對于數(shù)列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72;

由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：

每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。

等差數(shù)列的概念:對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列

的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：

等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么

這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公

差依次是5,5,-2.5,72o

（口）、得出等差數(shù)列的定義：注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)。

1.名稱：等差數(shù)列，首項（％）,公差（團；2.若"二°則該數(shù)列為常數(shù)列；

3.尋求等差數(shù)列的通項公式：

a2=ax+d

%=%+〃=（/+〃）+〃=6+2d

。4=4+d=（/+2d）+d=%+3d

由此歸納為4=4+（〃T）”當〃=1時4=%（成立）

注意：1等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)；2如果通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù),

則該數(shù)列成等差數(shù)列；

證明：若a〃=A〃+B=A（〃-l）+A+8=（A+8）+5-l）A它是以A+B為首項，A為公

差的APo

3公式中若則數(shù)列遞堵，d<0則數(shù)列遞減；

4圖象：一條直線上的一群孤立點得出通項公式：

〃ta1a,,=a+（力一1）1

以外為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為：〃}1'?;知等差數(shù)列

的首項4和公差d,那么這個等差數(shù)列的通項%就可以表示。

選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：

（迭加法）:是等差數(shù)列，所以勺-%=%

%一%.2=〃，

%.2一%-3="，

a2=d,

兩邊分別相加得/-6=（〃TM，所以%-l）d

（迭代法）：S,是等差數(shù)列，則有：

a

=n-i+d=an_2+d+d=an_2+2d=an_3+d+2d=an_3+3d....=4+（H-1）J

所以勺=%+（〃_l）d

（三”例題講解：注意在％=q+（"T"中〃，四數(shù)中已知三個可以求出另一個。

例1、（課本）判斷下而數(shù)列是否為等差數(shù)列.例2、已知數(shù)列首項與公羊,求通項公式.

例3、（此題可以看成應(yīng)用題）已知數(shù)列的其中幾項，求其余各項

例4、已知數(shù)列其中兩項,求通項公式.

A-〃+”

關(guān)于等差中項：如果0As成行則2

證明：設(shè)公差為則A=a+db=a+2d

a+h4+4+2d

=a+d=A

22

例5、在1與7之間順次插入三個數(shù)冬”1使這五個數(shù)成等差數(shù)足，求此數(shù)列。

解_l,a,b,c,7成AP「.人是-1與7的等差中項

.—1+7.—1+3]

b=------=3a=------=1

，2〃又是-1與3的等差中項2

3+7u

c=----=j

C又是1與7的等差中項2

解二：設(shè)"1二-1%=77=-l+（5-l）t/=>d=2

所求的數(shù)列為-1：1,3,5,7

例6、已知是等差數(shù)列圖像上的兩點.求這個數(shù)列的通項公式;

畫出這個數(shù)列的圖像洌斷這個數(shù)列的單調(diào)性.（解略）

例7、一個木制梯形架的上、下兩底邊分別為33,75,把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接

各對應(yīng)分點，構(gòu)成梯形架的各級，試計算梯形架中間各級的寬度。

分析：記梯形架自上而下各級寬度所構(gòu)成的數(shù)列為，則由梯形中位線的性質(zhì)，易知每相鄰三項均

成等差數(shù)列，從而成等差數(shù)列。解略

（五）、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項

（六）、練習:P13練習1、2、3

（七）、作業(yè)：習題1——2A組5、6、7

五、教后反思：

第五課時§122等差數(shù)列（二）

一、教學目標

1、知識與技能：（1）明確等差中項的概念；（2）進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)公式，

能通過通項公式與圖象認識等差數(shù)列的性質(zhì)；（3）能用圖象與通項公式的關(guān)系解決某些問題。

2、過程與方法：（1）通過等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等

差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想；（2）發(fā)揮學生的主體作用，講練相結(jié)合，作好探究性學

習；（3）理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性。

3、情感態(tài)度與價值觀（1）通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，

從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點；（2）通過體驗等差數(shù)列的性質(zhì)的奧秘，激發(fā)學生的學

習興趣。

二、教學重點等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。

教學難點等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。

三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合

四、教學過程

（一）、導(dǎo)入新課

師同學們，上一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式，哪位同學能回憶一下

什么樣的數(shù)列叫等差數(shù)列？

生我回答，一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即4M

這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（通常用字母

表不）.

師對，我再找同學說一說等差數(shù)列｛a｝的通項公式的內(nèi)容是什么？

生I等差數(shù)列｛即｝的通項公式應(yīng)是為=?+（ml）d

生2等差數(shù)列｛當｝還有兩種通項公式：a=am+［n-ni）d或%二p/升心、g是常數(shù)）.

師好！剛才兩位同學說得很好，由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的公式：

①盧%-%］；②二答；③4=忙出.你能理解與記憶它們嗎？

n—in—tn

生3公式②d二曾與③”二此區(qū)記憶規(guī)律是項的值的差比上項數(shù)之間的差（下標之

n-\n-m

差）?

［合作探究］探究內(nèi)容：如果我們在數(shù)〃與數(shù)b中間插入一個數(shù)4,使三個數(shù)名力，b成等差數(shù)

列，那么數(shù)H應(yīng)滿足什么樣的條件呢？

師本題在這里要求的是什么？

生當然是要用a,6來表示數(shù)4

師對，但你能根據(jù)什么知識求?如何求?誰能回答？

生由定義可得4-廣力力，即A=g女.

反之，若A=,則A-a=b-A,

由此可以得4=冬0&,46成等差數(shù)列.

2

（二”推進新課

我們來給出等差中項的概念：若得A,b成等差數(shù)列，那么4叫做/與6的等差中項.

根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）

都是它的前一項與后一項的等差中項.

如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項.

9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項.

［方法引導(dǎo)］等差中項及其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a,A,6成等差數(shù)列24二什氏以促成

將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標量間的等量關(guān)系或直接由孫46間的關(guān)系證得孫兒6成等差數(shù)列.

［合作探究］

師在等差數(shù)列｛%｝中，"為公差，若m,n,p,q￡N且m+n=p+q,那么這些項與項之間有何種等量

關(guān)系呢？

生我得到了一種關(guān)系冊,+a產(chǎn)即+%

師能把你的發(fā)現(xiàn)過程說一卜嗎？

生受等差中項的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)儂％二團+能,勾+劣二附+的.

從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則五+為=%+%

師你所得的這關(guān)系是歸納出來的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)，這很好，但歸納不能算是證明！我們是否

可以對這歸納的結(jié)論加以證明呢？

生我能給出證明，只要運用通項公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項為則

am+4產(chǎn)4+31）在用+（m1）占24+n-2）dy

%二辦由■勒+（牙1）仁24+3+62）4

因為我們有m+k/g,所以上面兩式的右邊相等，所以%+多』+%

師好極了！由此我們的一個重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列｛4｝的各項中，與首末兩項等距離

的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數(shù)列中，若二產(chǎn)夕，則上面兩式的右邊相等，所以

4小+a”一孫+

同樣地，我們還有：若小+”=2口則“+a=2%這也是等差中項的內(nèi)容.

師注意：由斯＞+為=沏+為推不出用+〃=/升9，同學們可舉例說明嗎？

生我舉常數(shù)列就可以說明了.

師舉得好!這說明在等差數(shù)列中，品,+4產(chǎn)即+%是向■〃=p+g成立的必要不充分條件.

［例題剖析］

【例1】在等差數(shù)列｛冊｝中，若句+為=9,包=7,求的，麴.

師在等差數(shù)列中通常如何求一個數(shù)列的某項？

生1在通常情況下是先求其通項公式，再根據(jù)通項公式來求這一項.

生2而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知

道任意兩項就知道公差，這在前面已研究過了）.

生3本題中，只已知一項和另一個雙項關(guān)系式，想到從這雙項關(guān)系式入手……

師好，我們下面來解，請一個同學來解一解，誰來解？

生4因為｛%｝是等差數(shù)列，所以；?1+*為+劣=9&尸9-藥=9-7二2,

所以可得占y的=7-2=5.

又因為a廣為+（9-4）#7+5X5=32,所以我們求出了藥=2,我=32.

【例2】（課本例2）某市出租車的計價標準為1.2元/%，起步價為10元，即最初的4千米（不

含4千米）計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14Am處的目的地，且一路暢通，等候時間

為0,需要支付多少元的車費？

師本題是一道實際應(yīng)用題，它所涉及到的是什么知識方面的數(shù)學問題？

生這個實際應(yīng)用題可化歸為等差數(shù)列問題來解決.

師為什么？

生根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4am時，每增加14m,乘客需要支付L2元.所以,

我們可以建立一個等差數(shù)列來進行計算車費.

師這個等差數(shù)列的首項和公差分別是多少？

生分別是11.2,1.2.

師好，大家計算一下本題的結(jié)果是多少？

生需要支付車費23.2元.

（教師按課本例題的解答示范格式）

評述：本例是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡單應(yīng)用，做此題的目的是讓大家學會從實際問

題中抽象出等差數(shù)列的模型，用等差數(shù)列知識解決實際問題.

（三”課堂練習

1.在等差數(shù)列｛備｝中，⑴若的=24o=b,求知

解：由等差數(shù)列｛叫知2辦0=忿+的即2/>=什如,所以句5=2人.

（2）若麴+冬=口,求卷+備。

解：等差數(shù)列｛端中，的+碼=曲+冬=m

（3）若的二6,為二15,求

解：由等差數(shù)列｛叫得桁的+（8-5）&即15=6+3同所以#3.從而曲尸為+。4-5）#6+9X3=33.

（4）已知硒+與+…+的=30,詼+祈+…+々（）=80,求向］+的2+…+團5的值?

解：等差數(shù)列｛端中，因為6+6=11+1,7+7=12+2,……

所以2卷=與+M［,2劭=卷+a⑵....從而（4［+2|2+…+為5）+（吊+42+…+愈）=2（他+距+…+210）,

-==

因此有（2“+團2^---lz?i5）2（^）+^7H-----------------H^5）2X80-30=130.

2.讓學生完成課本練習2、3、4o教師對學生的完成情況作出小結(jié)與評價。

［方法引導(dǎo)］此類問題的解題的關(guān)鍵在于靈活地運用等差數(shù)列的性質(zhì)，因此，首先要熟練掌握等

差數(shù)列的性質(zhì)，其次要注意各基本量之間的關(guān)系及其它們的取值范圍.

（四）、課堂小結(jié)

師通過今天的學習，你學到了什么知識?有何體會？

生通過今天的學習，明確等差中項的概念;進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì).

（讓學生自己來總結(jié)，將所學的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三

維目標的整合，培養(yǎng)學生的概括能力和語言表達能力）

（五”布置作業(yè)課本習題1-2A組9,B組1

預(yù)習內(nèi)容：課本下節(jié)內(nèi)容；預(yù)習提綱：①等差數(shù)列的前〃項和公式；②等差數(shù)列前〃項和的簡單

應(yīng)用。

五、教后反思：

第六課時§1.2.3等差數(shù)列的前n項和（一）

一、教學目標：1、知識與技能：掌握等差數(shù)列前〃項和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前〃

項和公式解決一些簡單的與前。項和有關(guān)的問題。2、過程與方法：通過公式的推導(dǎo)和公式的運用，

使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題、解決問題的一般思

路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維

水平。3、情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美，通過生動具體的現(xiàn)實

問題，令人著迷的數(shù)學史，激發(fā)學生探究的興趣，樹立學生求真的勇氣和由信心，增強學生學好

數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感。

二、教學重點等差數(shù)列的前A項和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學難點靈活應(yīng)用等差數(shù)列前〃項和公式解決一些簡單的有關(guān)問題。

三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合

四、教學過程

導(dǎo)入新課

印度泰姬陵（TajMahal）是世界七大建筑奇跡之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建

筑史上的經(jīng)典之作，這個古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑風格，是印度伊斯蘭教文

化的象征.陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕.傳說當時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相

同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（如下圖），奢華之程度，可見一斑.你知道這個圖案中一共

有多少顆寶石嗎？（這問題賦予了課堂人文歷史的氣息，縮短了數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離，引領(lǐng)學生

步入探討高斯算法的階段）

生只要計算出1+2+3+…+100的結(jié)果就是這些寶石的總數(shù).

師對，問題轉(zhuǎn)化為求這100個數(shù)的和.怎樣求這100個數(shù)的和呢？這里還有一段故事.

教師出示投影膠片2:

加1出+腓?

高斯是偉大的數(shù)學家、天文學家，高斯十歲時，有一次老師出了一道題目，老師說：“現(xiàn)在

給大家出道題目：1+2+…100=?”過了兩分鐘，正當大家在：1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不

亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050.”

教師問：“你是如何算出答案的？”

高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101;…；50+51=101,所以101X50=5050.

師這個故事告訴我們什么信息？高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？

生高斯用的是首尾配對相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98二…=50+51=101,有50個101,

所以1+2+3+--+100=50X101=5050.

師高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組,

第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于

101,50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果。作

為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些

規(guī)律性的東西.

師問：數(shù)列1,2,3,…，100是什么數(shù)列？而求這一百個數(shù)的和1+2+3+…+100相當于什么？

生這個數(shù)列是等差數(shù)列，1+2+3-…+100這個式子實質(zhì)上是求這數(shù)列的前100項的和.

師對，這節(jié)課我們就來研究等差數(shù)列的前A項的和的問題.

（二”推進新課［合作探究］

師我們再回到前面的印度泰姬陵的陵寢中的等邊三角形圖案中，在圖中我們?nèi)∠碌?層到第21

層，得到右圖，則圖中第1層到第21層一共有多少顆寶石呢？

生這是求“1+2+3+…+21”奇數(shù)個項的和的問題，高斯的方法不能用了.要是偶數(shù)項的數(shù)求和就

好首尾配成對了.

師高斯的這種“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和，適用于偶數(shù)個項，我們是否

有簡單的方法來解決這個問題呢？

生有!我用幾何的方法，將這個全等三角形倒置，與原圖補成平行四邊形.平行四邊形中的每行寶

石的個數(shù)均為22個，共21行.則三角形中的寶石個數(shù)就是a+

師妙得很!這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，真是太好了!我將他的幾何法寫成式子

就是：1+2+3+…+21,21+20+19+…+1,對齊相力口（其中下第二行的式子與第一行的式

子恰好是倒序）這實質(zhì)上就是我們數(shù)學中一種求和的重要方法一’倒序相加法”.

現(xiàn)在我將求和問題一般化：⑴求1到A的正整數(shù)之和，即求1+2+3+…注：這問題在前

面思路的引導(dǎo)下可由學生輕松解決）⑵如何求等差數(shù)列｛4｝的前。項的和S?

生1對于問題⑵，我這樣來求：因為5”=21+必+多"1--卜He,S”二%+念1"11-^14-^1,再將兩式相

加，因為有等差數(shù)列的通項的性質(zhì)：若■夕，則端UF即+為,而以S,二〃（4；"〃）.（I）

生2對于問題（2）,我是這樣來求的：因為5a=團+（向+。+3+2力+（4+3力+…+［團+（介1）X外,

所以S”=/?ai+［1+2+3H---Jd=-nn\-\―—-dt即SL―—-d（U）

［教師精講］兩位同學的推導(dǎo)過程都很精彩，一位同學是用“倒序相加法”，后一位同學用的

是基本量來轉(zhuǎn)化為用我們前面求得的結(jié)論，并且我們得到了等差數(shù)列前〃項求和的兩種不同的公

式.這兩種求和公式都很重要，都稱為等差數(shù)列的前〃項和公式.其中公式（I）是基本的，我們可以發(fā)

現(xiàn)，它可與梯形面積公式（上底+下底）X高+2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項勒，下底是

第A項四，高是項數(shù)區(qū)有利于我們的記憶.

［方法引導(dǎo)］師如果已知等差數(shù)列的首項?,項數(shù)為A,第A項為“則求這數(shù)列的前A項和用

公式（I）來進行，若已知首項入，項數(shù)為小公差%則求這數(shù)列的前〃項和用公式（II）來進行.

引導(dǎo)學生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？

生每個公式中都是5個量.

師如果我們用方程思想去看這兩個求和公式，你會有何種想法？

生已知其中的三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二》

師當公差"不0時，等差數(shù)列｛冊｝的前。項和工可表示為77的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，且這二次

函數(shù)的二次項系數(shù)的2倍就是公塞

［知識應(yīng)用］【例1】(直接代公式)計算：

⑴1+2+3+…(2)14-3+5+---+(2/7-1);(3)2+4+6+--?+2n；(4)1-2+3-4+5-6+???+(2n-1)-2n.

(讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式)請同學們先完成⑴?(3),并請一位同學回答.

,n(n+\)n(\+n-\),

生(1)1+2+3+…+A=