（T8聯(lián)考）2025屆高三部分重點中學12月第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案解析）

2025屆高三部分重點中學12月聯(lián)合測評（T8聯(lián)考）數(shù)學試題命題學校：武漢外國語學校命、審題人：鄧海波肖計雄夏賢聰考試時間:2024年12月12日15:00-17:00試卷滿分：150分考試用時：120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合A={x|ln(x--1)≤0},B={x|0≤2x--1≤2},則A∪B=A.{x|1＜x≤32}B.{xC.x|12≤x≤22.已知復數(shù)z滿足(1-i)z=4+i，則z的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知變量x和變量y的一組成對樣本數(shù)據(jù)為((x?,y?)(i=1,2,3,…,8),其中x=98,其回歸直線方程為y=2x-14,當增加兩個樣本數(shù)據(jù)(一1，5)和(2，A.-3B.-2C.-1D.14.若正整數(shù)a，b滿足等式20232?2?=2024a+b,,且b＜2024,則b=A.1B.2C.2022D.20235.已知a,b均為非零向量,其夾角為θ,則“cosθ=1”是“|a-b|=|a|--|b|”的A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.已知等比數(shù)列{an}滿足1a1+1a2+A.78B.74C.72數(shù)學試題第1頁共4頁7.已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若使得OP=OA+OB成立的點P的橫坐標為3A.25B.35C.45D.58.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=CA=CB=2,∠APB=∠ACB=π2,E,F,G分別為PA,PB,PC上靠近點P的三等分點，若此時恰好存在一個小球與三棱錐P-ABC的四個面均相切，且小球同時還與平面EFGA.6+2C.13+1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是A.若x＞0,則2xx2+1≤1B.若x＞y＞0,z＞C.若xy≠0且x＜y,則1x＞1yD.若x＞y＞0,則10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,0＜φ＜2π)的部分圖象如圖所示,則A.f(x)在區(qū)間-πB.f(x)圖象的一條對稱軸方程為x=C.f(x)圖象的一個對稱中心為點11πD.f(x)在區(qū)間0π4上的值域為[111.甲同學想用一支鉛筆從如下的直三棱柱的頂點C?出發(fā)沿三棱柱的棱逐步完成“一筆畫”，即每一步均沿著某一條棱從一個端點到達另一個端點，緊接著從上一步的終點出發(fā)隨機選擇下一條棱再次畫出，進而達到該棱的另一端點，按此規(guī)律一直進行，其中每經(jīng)過一條棱稱為一次移動，并隨機選擇某個頂點處停止得到一條“一筆畫”路徑，比如“一筆畫”路徑(C?→B?→A?→A→C..若某“一筆畫”路徑中沒有重復經(jīng)過任何一條棱，則稱該路徑為完美路徑，否則為不完美路徑.下列說法正確的有A.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則甲不可能6次移動后回到點C?B.經(jīng)過4次移動后仍在點C?的概率為19C.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則5次移動后回到點C?有5條不同筆跡D.經(jīng)過3次移動后，到達點A?的條件下經(jīng)過點C的概率為1數(shù)學試題第2頁共4頁三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a0,b＞0)13.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標X可以看作一個隨機變量，且X~N(98，σ2)，對于X≥100的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取500個，用Y表示這500個零件的規(guī)格指標X位于區(qū)間(96，100)的個數(shù)，則隨機變量Y的方差是.14.已知函數(shù)fx=a??1-log?x-1(其中a＞0四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為(a,b,c,且1(1)判斷△ABC的形狀;(2)設AB=2,且D是邊BC的中點,求當∠CAD最大時△ABC的面積.16.(本小題滿分15分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,AP=AD=2AB=4BC.(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;(2)AM⊥平面PCD于點M,求二面角M-AD-P的余弦值.17.(本小題滿分15分)設函數(shù)f(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調性;(2)判斷并證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間π2數(shù)學試題第3頁共4頁18.(本小題滿分17分)已知過A(-1，0)，B(1，0)兩點的動拋物線的準線始終與圓x2+y2=9相切，該拋物線焦點(1)求曲線E的標準方程；(2)已知點C(-3,0),D(2,0),過點D的動直線與曲線E交于M,N兩點,設△CMN的外心為Q，O為坐標原點，問：直線OQ與直線MN19.(本小題滿分17分)n為不小于3的正整數(shù)，對整數(shù)數(shù)列S0①將a?,a?,…,an中的a?減1,a?加1,其余項不變,稱此變換為對a1,a2,?,a②取i∈2?n-1,將a1,a2,?,an,中的③將a1,a2,?,an中的an減1,an-1加1,其余項不變將數(shù)列S。做一次變換得到S?，將數(shù)列S?做一次變換得到S例如:n=4時,對數(shù)列S?:0,—1,1,0依次做A?,A?變換,意義如下:先對S?做A?變換得到數(shù)列S?:0,0,-1,1,(1)n=5時,給定數(shù)列S?:0,-1,1,0,0,求證:可以對S?做若干次變換得到數(shù)列0,0,0,0,0;(2)n=5時，求證：對任意整數(shù)數(shù)列S?:a?,a?,a?,(3)若將變換①中的a?改為a?，將變換③中的(an??改為an??,在n=10時，求證：對任意整數(shù)數(shù)列S0:a1,a2,?,數(shù)學試題第4頁共4頁2025屆高三部分重點中學12月聯(lián)合測評數(shù)學試題參考答案及多維細目表題號123456答案cDBDCA題號7891011答案ABADABCBCD1.【答案】C【解析】∵A={x|ln(x-1)≤0}={x|1＜x≤2},B=x2.【答案】D【解析】由z=4+i1-i可得3.【答案】B【解析】∵∑i=18xi=98×8=9,∴增加兩個樣本點后x的平均數(shù)為9-1+210=1;∵y=2×98-14=2,4.【答案】D【解析】∵20232025=2024-12025=C202505.【答案】C【解析】∵cosθ=1,則a·b=|a|·|b|.∴a,b同向,但當|a|--|b|＜0時顯然不滿足|a-b|=|a|--|b|,因此充分性不成立.∵|a-b|=|a|-|b|,∴|a-b|2=|a|-|b|2,即||a|2+|b|2-2a?b知必要性成立.6.【答案】A【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，依題意,1a1+1a2+1a3=14,a2=14,F1a7.【答案】A【解析】由題知F(1,0),直線l的斜率不為0,設直線l的方程為x=my+1,A(x?,y?),B(x?,y?),聯(lián)立整理得y2-4my-4=∴∵OP=OA∵點P的橫坐標為33,∴3=∴|AB|=點O到直線AB的距離為11行四邊形OAPB的面積為58.【答案】B【解析】如圖,取AB中點M,連接PM,CM.由題可知AB⊥PM,AB⊥CM.∵PM∩CM=M,PM?平面PMC,CM?平面PMC,∴AB⊥平面PMC.作PH⊥MC,垂足為H.∵PH?平面PMC,∴AB⊥PH.又CM∩AB=M,CM?平面ABC,AB?平面ABC,∴PH⊥平面ABC.過點H作HN⊥BC,垂足為N,連接PN,易知BC⊥PN.設小球半徑為r,∴PH2r=∵S△PAB=S△ABC=2,S△PAC=S△PBC,∴6=4+2S△PAC,∴S△PAC=S△PBC=1.由12BC?PN=1,得PN=1,∴∴PC=9.【答案】AD【解析】對于選項A.當x＞0時.2xx2+1=2x+1對于選項B,∵x＞y＞0且z＞0,由糖水原理可知y+對于選項C，當x＜0＜y時，結論不成立，故錯誤；對于選項[,x+1y-y+110.【答案】ABC【解析】由圖可知A=2.0+p=∴對于選項A，當x∈-π3π6時，2x+π6∈對于選項,f2π3=2sin4對于選項C、f11π12=2sin11π6+π6=2si對于選項D.當x∈0π4時，2x+π6∈π62π3,當2x+π6=π6即x=0時,f(x)min=1.當11.【答案】BCD【解析】對于選項A，沿C?→B?→A?→A→B→C→C?等路線即可，故錯誤；對于選項B，若存在重復路線，兩次移動回到點C?可以第一次移動到達點A?，B?，C，第三次移動再從這些移動方式中選，共有9種走法，另外可以先移動兩次再原路返回，第一次移動可能到達點A?，B?，C，每個點在第二次移動時都有兩種移動方式，故有6種方式；若不存在重復路線，經(jīng)過點C由四條棱組成的閉合回路只有C?A?ACC?和C?B?BCC?兩種,每條路都有兩種經(jīng)過方式，共有4種方式，∴概率為13對于選項C，列舉法：C?→A?→A→B→B?→對于選項D，先考慮重復路線：前兩條路線重復，第一次移動到達點A?，B?，C共3條路徑；后兩條路徑重復(即第一次移動到點A?)同理有3條路徑，其中C?→A?→C?→再考慮不重復路徑：只有C?→C→A→A?,1條路徑，∴三次移動后到達點A有6條路徑.記事件A?：從點C?出發(fā)，三次移動后到達點A?；事件C：從點故PC12.【答案】8【解析】根據(jù)點F到其中一條漸近線的距離為2,可得b=2,且滿足α+β=π.又α=15β,∴β=π6,∴b13.【答案】45【解析】由正態(tài)分布的性質得質量指標在區(qū)間(96,100)的概率為1-2×0.05=0.9,即1件產(chǎn)品的質量指標位于區(qū)間(96，100)的概率為0.9,∴Y~B(500,0.9),故D(Y)=500×0.9×0.1=45.14.【答案】[c??,1)【解析】fx=記hx=a?lna-alnx-若h(x)單調遞增，則h'x=a?∴ta'≥1lna2.又函數(shù)(G(t)=若h(x)單調遞減，則h'x=a'lna2-∴ta1max≤1lna2,設G(t)=ta',當a＞1時,t＜0不成立;當0＜a＜1時,t=-1lna＞0,∴G(t)∴-1lna?a-1ln0≤1lna2,即a-15.解：(1)由二倍角公式得sinsinB2+∴整理得sin即sinA2-∵A,B∈0π,∴A2-B(其他方法酌情給分)(2)由(1)及題設,有AC=BC=2CD,∴===≥=32,∴∠CAD≤π6即∠CAD的最大值為π/6，此時由ADAC=32可得△ACD為直角三角形，又由(1)可得△ABC為正三角形,∴△ABC的面積S=3416.解:(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中,tan∠BAC=BCAB=12,tan∠又PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC,PA?平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD.∴平面PAC⊥平面PBD.………………7分(2)∵AB,AD,AP兩兩互相垂直,∴分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,≈軸建立空間直角坐標系.不妨設BC=1,則A(0,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴∵點M在平面PCD內,∴設PM則AM=AP+xPC+yPD=00.4+x(2,1,--4)+y(0,4,--………………9分∵AM⊥平面PCD.∴AM⊥PC,AM⊥PD.解得x∴AM=24………………12分∴點M到平面PAD的距離d1=2417,點M到棱AD設二面角M-AD-P大小為θ,則sinθ=∴即二面角M-AD-P的余弦值為21313.17.解:1f'x=cosx當0＜x＜π2時即此時函數(shù)f(x)在區(qū)間0π2上單調遞增；………當π2＜x從而f即此時函數(shù)f(x)在區(qū)間π2∴綜上所述，函數(shù)f(x)在區(qū)間0π2上單調遞增，在區(qū)間π22fπ2=1＞0,又f∴函數(shù)f(x)在區(qū)間π2π上存在唯一的零點.………………當x∈π3π2從而g且此時sin∴g'(x)＞0,g(x)=f'(x)在區(qū)間π3gπ=-1＜0,g3π2=π＞0,∴存在x。∈π3π2,使得g(x?)=0,…11分且x∈x03f(x)在區(qū)間x03π∴由fπ=-π2+1＜0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,x?)上無零點;而由f即函數(shù)f(x)在區(qū)間x0∴函數(shù)f(x)在區(qū)間π23π……15分18.解：(1)由題意知拋物線的焦點P到兩定點A，B的距離之和等于點A，B到拋物線的準線的距離之和，等于AB的中點O到準線的距離的2倍，即等于圓x2+y2=∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=2,∴點P在以A,B為焦點的橢圓E上,…3分設橢圓E的標準方程為x2a2+y2b2=1ab＞0),則2a=6,2c=2,∴a∴曲線E的標準方程為x29+(2)設直線MN:x=my+2(m≠0),由∴設M(x?,y?),N(x?,y?),則y?+yCM的中點坐標為x1-3CM的垂直平分線的斜率為-x1+3y1?10分∴CM的垂直平分線方程為由x129∴CM的垂直平分線方程為y=-my1+同理CN的垂直平分線方程為y=-my2+設點Q(x?,y?),則y?,y?是方程y即y2+16mx?+16y?y+80x?=0相除得-mx0-∴即直線OQ與MN的斜率之積為定值-5.………17分(其他方法酌情給分)19.解:(1)對數(shù)列S。依次做A?,A?,A?變換即可.(2)首先,若對數(shù)列S?:u?,u?,a?,a?,a?依次做A;+?,A;+?,…,A?(i∈{1,2,3,4})變換,得到的數(shù)列a?加1.a?+?減1,其余項不變;若對數(shù)列中S?:a?,a?,a?,a?,a?依次做A?,A,-?,…,A?(i∈{1,2,3,4})變換,得到的數(shù)列中a,減1,a,+1加1,其余項不變.………7分∴可以通過若干次變換使得相鄰兩數(shù)一個加1.另一個減1，∴可以通過若干次變換使得第一項變?yōu)?，第二項變?yōu)閍?+a?.同樣的可以通過若干次變換分別使得a?，a?，a?均變?yōu)?,此時即為0,0,0,0,0.……10分(3)記此時的變換①為B?,變換③為B??.首先，記T?=a?+a?+a?+a?+a?,T?=a?+a?+a?+a?+a??,每次變換使得T?的值加2或減2或不變，故可以經(jīng)過若干次變換使得T?=0.此時T?=0;其次,對任意數(shù)列S?:a?,a?,…,