新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練技巧02 填空題的答題技巧（8大核心考點(diǎn)）（講義）（解析版）

技巧02填空題的答題技巧【目錄】考點(diǎn)一：特殊法速解填空題考點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化法巧解填空題考點(diǎn)三：數(shù)形結(jié)合巧解填空題考點(diǎn)四：換元法巧解填空題考點(diǎn)五：整體代換法巧解填空題考點(diǎn)六：坐標(biāo)法巧解填空題考點(diǎn)七：賦值法巧解填空題考點(diǎn)八：正難則反法巧解填空題高考的填空題絕大部分屬于中檔題目，通常按照由易到難的順序排列，每道題目一般是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，其中不乏滲透各種數(shù)學(xué)的思想和方法，基本上能夠做到充分考查靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．（1）基本策略：填空題屬于“小靈通”題，其解題過(guò)程可以說(shuō)是“不講道理”，所以其解題的基本策略是充分利用題干所提供的信息作出判斷和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先間接后直接，尤其是對(duì)選擇題可以先進(jìn)行排除，縮小選項(xiàng)數(shù)量后再驗(yàn)證求解．（2）常用方法：填空題也屬“小”題，解題的原則是“小”題巧解，“小”題快解，“小”題解準(zhǔn)．求解的方法主要分為直接法和間接法兩大類(lèi)，具體有：直接法，特值法，圖解法，構(gòu)造法，估算法，對(duì)選擇題還有排除法（篩選法）等．1、面對(duì)一個(gè)抽象或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不妨先考慮其特例，這就是數(shù)學(xué)中常說(shuō)的特殊化思維策略“特殊化思維”是解高考數(shù)學(xué)填空題的一種常用解題策略，其實(shí)質(zhì)是把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確求解的目的．2、等價(jià)轉(zhuǎn)化可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把陌生問(wèn)題熟悉化，把原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為便于解決的問(wèn)題，從而得出正確結(jié)果．3、數(shù)形結(jié)合實(shí)際上就是把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)．一方面，借助圖形的性質(zhì)使許多抽象概念和關(guān)系直觀而形象，以利于探索解題途徑；另一方面，幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)數(shù)理推證、數(shù)量刻畫(huà)，獲得一般化結(jié)論．1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線(xiàn)；對(duì)于①，取，則的圖像如下，顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；當(dāng)時(shí)，，綜上：取得最大值，故②正確；對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，此時(shí)，，故③正確；對(duì)于④，取，則的圖像如下，因?yàn)椋Y(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿?，則，故直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿(mǎn)足取得最小值，即也滿(mǎn)足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)椋?，解?故答案為：2.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即，故；分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線(xiàn)交BC于D，則．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：?．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為；若，則的最大值為．【答案】【解析】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)椋瑒t，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.考點(diǎn)一：特殊法速解填空題【例1】已知數(shù)列滿(mǎn)足為常數(shù)，，，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若數(shù)列是周期數(shù)列，則周期必為2：②若，則數(shù)列必是常數(shù)列：③若，則數(shù)列是遞增數(shù)列：④若，則數(shù)列是有窮數(shù)列，其中，所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①②③④

【解析】①令周期，則由題可知，則，即因?yàn)檎淼?，得，矛盾，所以錯(cuò)誤；②若，顯然，可以是，不是常數(shù)列，所以錯(cuò)誤；③令，由可知當(dāng)時(shí)，顯然不是遞增數(shù)列，所以錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，有當(dāng)，則以后各項(xiàng)都可以為，是無(wú)窮數(shù)列，所以錯(cuò)誤．故答案為：①②③④．【變式1-1】關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①是周期為的函數(shù)；②在單調(diào)遞增；③在上有三個(gè)零點(diǎn)；其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是__________【答案】①③

【解析】①，則是周期為的函數(shù)，故①正確；②，，，則在單調(diào)遞增錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤；③由得，作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖象知兩個(gè)函數(shù)在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故在上有三個(gè)零點(diǎn)正確，故③正確，故正確的編號(hào)為①③．故答案為：①③．【變式1-2】給出下列8個(gè)命題：①②③④⑤，⑥⑦⑧，，其中正確的命題的序號(hào)是__________將你認(rèn)為的所有正確的命題的序號(hào)都填上【答案】①②③⑦

【解析】對(duì)于①，若，則，即，故①正確；對(duì)于②，若，，即，故②正確；對(duì)于③，若，則，，，，則，即，則，故③正確；對(duì)于④，若，取，則，，則不成立，故④不正確；對(duì)于⑤，若，，取，，，，則，，則不成立，故⑤不正確；對(duì)于⑥，若，取，，，則，則不成立，故⑥不正確；對(duì)于⑦，若，則，則，即，故⑦正確；對(duì)于⑧，若，，取，，，，則，，則不成立，故⑧不正確．故答案為①②③⑦．考點(diǎn)二：轉(zhuǎn)化法巧解填空題【例2】在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，則__________．【答案】

【解析】函數(shù)

定義域?yàn)?/p>

R

，且

，令

，即

，因?yàn)?/p>

，所以方程

有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

，不妨令

，則當(dāng)

或

時(shí)

，當(dāng)

時(shí)

，所以

在

，

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，所以

在

處取得極大值，在

處取得極小值，又

，

，所以

，又

，

是函數(shù)

的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，所以

且

，

，則

，又

，所以

．故答案為：

【變式2-1】若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則__________．【答案】

【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為、

，分別對(duì)和求導(dǎo)得和，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，消去得，即，解得，則，故答案為【變式2-2】已知函數(shù)，若存在四個(gè)不相等的實(shí)根，，，，且，則的最小值是__________．【答案】

【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，即，，，又，即，即，即，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)三：數(shù)形結(jié)合巧解填空題【例3】在中，，，，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得，若為常數(shù)，則CD的長(zhǎng)度是________．【答案】0或

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線(xiàn)為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，整理得：由，得，解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C與D重合，；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)PA的方程為，直線(xiàn)BC的方程為，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得即的長(zhǎng)度是0或故答案為：0或【變式3-1】已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】

【解析】可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與直線(xiàn)有且僅有5個(gè)交點(diǎn)．如圖，是滿(mǎn)足條件的兩個(gè)臨界狀態(tài)，由此得到，，計(jì)算可得臨界態(tài)的，依據(jù)題意可得故答案為【變式3-2】如圖，某正方體的頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，三條棱AB，AC，AD都在平面的同側(cè)．若頂點(diǎn)B，C，D到平面的距離分別為，，2，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】

【解析】法一：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，取空間的一個(gè)基底，設(shè)是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量．由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得由題意，，，在方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為，，于是，，即，即，即同理，，從而由，得，即，解得，所以正方體的外接球半徑為，外接球的表面積為法二：如圖，連結(jié)BC，CD，BD，過(guò)A向上作平面的垂線(xiàn)段AH，接下來(lái)以AH為一條體對(duì)角線(xiàn)，同時(shí)將頂點(diǎn)A處的三條棱放在正方體的棱AB，AC，AD上作一個(gè)長(zhǎng)方體，，，是長(zhǎng)方體的三條棱圖略，則則作于，于，于連結(jié)，，，令，，，由，可得，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)?，，，所以，解得，故該正方體外接球半徑為，外接球的表面積為考點(diǎn)四：換元法巧解填空題【例4】已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍．若該雙曲線(xiàn)的離心率為e，則__________．【答案】

【解析】由題意，設(shè)，，因?yàn)?，故，即，根?jù)雙曲線(xiàn)的定義有，故，所以的面積為，又，故，故內(nèi)切圓半徑r滿(mǎn)足，解得，又的外接圓半徑R滿(mǎn)足，故，由題意，即，所以，故，故，解得故答案為：【變式4-1】已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的范圍是__________．【答案】

【解析】令，則作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，要使關(guān)于x的函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)根，，且，或，，令，則時(shí)由根的分布可得，將，代入得：，此時(shí)的另一個(gè)根為，不滿(mǎn)足，，若，，則解得：，故答案為：【變式4-2】設(shè)若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的取值范圍是__________．【答案】

【解析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，設(shè)，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由，可得，，，所以，故答案為考點(diǎn)五：整體代換法巧解填空題【例5】已知，若，則__________；【答案】3

【解析】因?yàn)椋?，即，所以故答案為：【變?-1】設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，__________．【答案】12

【解析】，，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)取最小值時(shí)，即，時(shí)，則，，故答案為【變式5-2】已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】由，得，即，得，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，的最小值為故答案為【變式5-3】已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，且關(guān)于x，y的不等式恒成立，則k的最大值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】若恒成立，則，則，當(dāng)時(shí)，，，解得：當(dāng)時(shí)，顯然此時(shí)最大值不會(huì)超過(guò)，實(shí)數(shù)k的最大值為，故答案為：考點(diǎn)六：坐標(biāo)法巧解填空題【例6】已知平面向量，滿(mǎn)足，，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】20

【解析】因?yàn)?，，又，所以，又，所以的最大值即為的最大值，設(shè)，，則，故，，即到原點(diǎn)的距離即，，故的最大值為20，【變式6-1】近兩年，中國(guó)移動(dòng)推動(dòng)5G和4G技術(shù)共享、資源共享、覆蓋協(xié)同、業(yè)務(wù)協(xié)同，充分利用原4G線(xiàn)路傳輸資源，并高效建設(shè)5G基站．如圖，南北方向的公路l，城市A地看作一點(diǎn)在公路正東處，城市B地看作一點(diǎn)在A北偏東方向2km處，原有移動(dòng)4G線(xiàn)路PQ曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)滿(mǎn)足到公路l和到城市A地距離相等．現(xiàn)要在線(xiàn)路PQ上一處M建一座5G基站，則這座5G基站到城市A，B兩地的總距離最短時(shí)為_(kāi)_________【答案】

【解析】過(guò)A作l的垂線(xiàn)，垂足為，以此為x軸，以中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由B地看作一點(diǎn)在A北偏東方向2km處，可知

，易知線(xiàn)路PQ的軌跡是拋物線(xiàn)：，其中為準(zhǔn)線(xiàn)，為焦點(diǎn)，過(guò)B，M分別作l的垂線(xiàn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào)．故答案為【變式6-2】在等邊中，，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】

【解析】以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，即，點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的圓上，則，，故的取值范圍是故答案為：考點(diǎn)七：賦值法巧解填空題【例7】已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，若，則__________．【答案】

【解析】由的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則，設(shè)，則，則，，，故答案為：【變式7-1】已知定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，若，則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________．【答案】

【解析】由，令，則，即，又為奇函數(shù)，則，故是以4為周期的周期函數(shù)，則，對(duì)，求導(dǎo)得，故是以4為周期的周期函數(shù)，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率，故切線(xiàn)方程為，即故答案為：【變式7-2】設(shè)為的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】令可得，，，設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．則故對(duì)任意的，故，故，即，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，最小值即點(diǎn)到的距離的平方，與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，的最小值為故答案為考點(diǎn)八：正難則反法巧解填空題【例8】命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】

【解析】，為假命題，則，為真命題，

對(duì)恒成立，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，故答案為【變式8-1】鏡湖春游甲吳越，鶯花如海城南陌．四月正是春游