新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第26講轉(zhuǎn)化與化歸思想（學(xué)生版）

轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的一種基本卻很重要的思想。深究起來，轉(zhuǎn)化兩字中包含著截然不同的兩種思想，即轉(zhuǎn)化和化歸。這兩者其實(shí)表達(dá)了不同的思想方法，可以說是思維方式與操作方法的區(qū)別。轉(zhuǎn)化思想（1）轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵轉(zhuǎn)化思想是指解決問題時(shí)策略、方法、指導(dǎo)思想的跳躍性變化，能跳出現(xiàn)有領(lǐng)域的局限，聯(lián)系相關(guān)領(lǐng)域，并用相關(guān)領(lǐng)域的思維方式來解決現(xiàn)有領(lǐng)域內(nèi)的問題。要做到這一點(diǎn)，對(duì)思維能力的要求相對(duì)更高，必須對(duì)各個(gè)領(lǐng)域分別都有透徹的了解，更必須對(duì)各領(lǐng)域之間的聯(lián)系有較多的研究，在關(guān)鍵時(shí)刻才能隨心所欲地運(yùn)用。（2）轉(zhuǎn)化思想在同一學(xué)科中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想可以是在同一學(xué)科的不同知識(shí)模塊之間的變換，在解決問題時(shí)改變解題方向。象數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)與式的互相轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化、文字語言與符號(hào)語言的互相轉(zhuǎn)化。比如，函數(shù)、方程、不等式是代數(shù)中的三大重要問題，而它們之間完全可以用三個(gè)知識(shí)模塊的不同方法解決其他模塊的各類問題。不等式恒成立問題可以轉(zhuǎn)化到用函數(shù)圖象解決，或者是二次方程根的分布，也可以轉(zhuǎn)化到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題。再比如，數(shù)列問題用函數(shù)觀點(diǎn)來解釋，那更是我們數(shù)學(xué)課堂中一再強(qiáng)調(diào)的問題了。轉(zhuǎn)化思想對(duì)思維要求確實(shí)很高，但這一點(diǎn)還是能夠做到的。因?yàn)楦鲗W(xué)科都有對(duì)知識(shí)模塊的介紹，同時(shí)也有對(duì)各知識(shí)模塊之間橫向縱向的對(duì)比聯(lián)系的研究。典型的例子就是數(shù)與形之間的思維轉(zhuǎn)化，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)在初中老師的指導(dǎo)下對(duì)代數(shù)與幾何分別有了研究，高中時(shí)不但分別進(jìn)行了深化，更把兩門學(xué)科合而為一，更多地注重兩者之間的對(duì)比聯(lián)系的研究。高中的《平面解析幾何》的實(shí)質(zhì)就是用“解析法”即“代數(shù)的方法”解決幾何問題，已經(jīng)體現(xiàn)了幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化，比如介紹某些代數(shù)形式的幾何表示（絕對(duì)值、不等式、方程的幾何意義），引入幾何圖形中圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線）的方程，都是為培養(yǎng)思維在數(shù)與形之間的跳躍作了準(zhǔn)備。再比如物理學(xué)科中有“電場”與“磁場”的分別研究，也有對(duì)“電磁場”的綜合研究。所以學(xué)生在同學(xué)科內(nèi)部的思維轉(zhuǎn)化應(yīng)該能夠做到游刃有余。1.如圖,橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn),SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍是______.注向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的關(guān)鍵是找到向量關(guān)系的幾何意義,核心是向量共線中SKIPIF1<0的幾何意義旳利用.2.已知橢圓SKIPIF1<0為其左焦點(diǎn),過原點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn),點(diǎn)SKIPIF1<0在第二象限,且SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0的斜率為______.3.如圖,已知SKIPIF1<0以原點(diǎn)SKIPIF1<0為中心,四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0的斜率為1,則四邊形SKIPIF1<0周長的最大值為______.4.如圖,以點(diǎn)SKIPIF1<0為直角頂點(diǎn)的等腰RtSKIPIF1<0內(nèi)接于橢圓SKIPIF1<0,設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.（1）試用SKIPIF1<0表示弦長SKIPIF1<0;(2)若存在3個(gè)這樣的SKIPIF1<0,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.5.設(shè)橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0,過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn),點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直時(shí),求直線SKIPIF1<0的方程;(2)設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:SKIPIF1<0.注本題分別以數(shù)量之間的關(guān)系、圖形之間的關(guān)系兩個(gè)大的研究方向切人,探索出幾何問題解析化得五個(gè)途徑，使幾何問題（角相等）實(shí)現(xiàn)了解析化(坐標(biāo)化、代數(shù)化),事實(shí)上,從數(shù)量之間的關(guān)系、圖形之間的關(guān)系這兩個(gè)方向出發(fā),挖掘數(shù)量與圖形及其關(guān)系的內(nèi)涵特征,是我們進(jìn)行幾何問題“解析化”途徑探索的重要方法,在解析幾何高考題的解答中具有一般性意義.化歸思想（1）化歸思想的內(nèi)涵化歸思想相對(duì)轉(zhuǎn)化來說，是在解決問題時(shí)改變問題的形式，用一些技巧性的處理方法和手段把問題變得更顯化明了、更熟悉常見、更和諧統(tǒng)一，但并沒有改變問題所屬的領(lǐng)域?；瘹w思想包括三要素：化歸的對(duì)象、化歸的原則、化歸的方法。所以掌握化歸思想必須：抓住化歸的對(duì)象也就是當(dāng)前需要解決的問題；化歸時(shí)應(yīng)遵循簡單化、熟悉化、和諧化的基本原則；中學(xué)常用的化歸方法有①恒等變換法：包括分解法、配方法、代定系數(shù)法等；②映射反演法：包括換元法、對(duì)數(shù)法、坐標(biāo)法、仿射法等。（2）實(shí)施化歸的關(guān)鍵為了有效地實(shí)施化歸，我們首先必須實(shí)現(xiàn)問題的“規(guī)范化”，即掌握一些“常規(guī)性問題”。這里“常規(guī)性問題”就是指我們課堂上所說的具有確定的解題方法和解題程序的問題，或者可以說是模式型問題。然后再把其他問題“規(guī)范化”，一般我們采用的化歸方向是：化未知為已知、化難為易、化繁為簡、化一般為特殊、化抽象為具體、正難則化反、化新知識(shí)到舊知識(shí)、化不熟悉到熟悉等等。在《立體幾何》中，點(diǎn)、線、面之間的復(fù)雜關(guān)系是讓人很頭疼的，我們也采用了化歸的思想使得需要考慮的問題更少更簡單。下面是立體幾何中常用幾種的化歸方法。方法一：位置關(guān)系互化。正方體ABCD-A1B1C1D1是我們研究的典型空間圖形之一，它內(nèi)部各種面對(duì)角線、體對(duì)角線與各表面、對(duì)角面形成的線線距離、線面距離、面面距離我們都作了深入研究，所以涉及到正方體中的各種距離問題我們就盡量向上述距離問題化歸。方法二：化高維到低維。例：如右圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=900，點(diǎn)D1、F1分別是棱A1B1、A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求異面直線BD1與AF1所成的角。[分析]本題中的直線BD1與AF1是三維空間內(nèi)的異面直線，常用的化歸方法就是把直線經(jīng)過平移變?yōu)槎S空間內(nèi)兩條相交直線，即在平面內(nèi)求兩直線所成角。作法：如右圖，沿平面BCB1C1補(bǔ)出一個(gè)與ABC-A1B1C1完全全等的圖形，最終構(gòu)成一個(gè)正方體ABCE-A1B1C1E1，取B1E1的中點(diǎn)G1，連接BG1，則AF1∥BG1。所以，異面直線BD1與AF1所成的角即為平面BD1G1內(nèi)兩條相交直線BD1與BG1所成角∠D1BG1，然后在△D1BG1中求此角。這是把三維空間內(nèi)的問題降維化歸到二維平面內(nèi)的問題來解決，是立體幾何中常用的化歸思想。那就意味著轉(zhuǎn)化與化歸在本質(zhì)區(qū)別的同時(shí)也是緊密聯(lián)系的，既有宏觀上學(xué)科之間的轉(zhuǎn)化，也有微觀上學(xué)科內(nèi)部各模塊之間的轉(zhuǎn)化。化歸在各個(gè)學(xué)科內(nèi)部，在各模塊內(nèi)部都有體現(xiàn)和運(yùn)用，在模塊內(nèi)部應(yīng)用更是有多向性、層次性、重復(fù)性，是操作細(xì)節(jié)方面的問題，但卻為思維跳躍性的轉(zhuǎn)化提供了基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，因此不能割裂看待。【方法技巧與總結(jié)】化歸策略：處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)，可以把一個(gè)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡單的問題，通過解決這個(gè)簡單的問題，從而找到解題方法，進(jìn)一步解決原來的問題．一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型、排隊(duì)模型、裝盒模型等，可使問題迎刃而解．1．將SKIPIF1<0方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等．若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為（

）A．33 B．56 C．64 D．782．幾個(gè)孩子在一棵枯樹上玩耍，他們均不慎失足下落．已知（SKIPIF1<0）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（SKIPIF1<0）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．倒霉的李華在下落的過程中撞到了從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的所有樹枝，根據(jù)以上信息，在李華下落的過程中，和這SKIPIF1<0根樹枝不同的撞擊次序有（

）種．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．334．九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢(mèng)》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記SKIPIF1<0為解下SKIPIF1<0個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且SKIPIF1<0，則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)為（

）A．30 B．90 C．170 D．3415．三名籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙進(jìn)行傳球訓(xùn)練，由丙開始傳，經(jīng)過SKIPIF1<0次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．4種 B．10種C．12種 D．22種1：特殊與一般的轉(zhuǎn)化過拋物線y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M(m,0)(m>0)，作直線AB與拋物線相交于(1)證明：A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；(2)若點(diǎn)N是定直線l:x=?m上的任一點(diǎn)，設(shè)直線AN,MN,BN的斜率分別為k1,k選題意圖:選題意圖:本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，深化基礎(chǔ)知識(shí)，突出主干知識(shí)，體現(xiàn)其重要思想：特殊與一般的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生創(chuàng)新思維的靈活性和深刻性，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：(1)因?yàn)橹本€AB與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，所以直線AB的斜率不為0.可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程．考查合理選擇的能力．從特殊位置探索，當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，有k1+k充分利用(1)問的結(jié)論y1【規(guī)律方法】1.特殊與一般之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過程中將某些一般問題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問題進(jìn)行一般化處理的方法．常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．2.對(duì)于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時(shí)，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷地得到答案．3.對(duì)于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．2：函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ax?ln?(x+1)，若f(x0)<A.(ln36,ln2選題意圖：選題意圖：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，貫穿了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想，突出了學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)