應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》練習(xí)冊參考復(fù)習(xí)資料

應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》練習(xí)參考答案

(內(nèi)部使用，請勿外傳)

林善浪

第一部分消費

1、幫新公司打算投資5萬元做廣告推銷某新產(chǎn)品，市場調(diào)查表明最可能購買這一新產(chǎn)品的消費者是技

術(shù)員和經(jīng)理。丁?是營銷科長決定在《大眾技術(shù)》和《當(dāng)代管理》兩份雜志上刊登廣告。己知：

(1)在《當(dāng)代管理》上登一則廣告，耗費5000元，而在《大眾技術(shù)》上，耗費為2500元。

(2)《當(dāng)代管理》上的廣合約有1000個經(jīng)理讀者及300個技術(shù)員讀者。

(3)《大眾技術(shù)》上的廣合約有300個技術(shù)員讀者及250個經(jīng)理讀者。

(4)沒有人同時閱讀兩本余志。

請你替營銷科長畫一條預(yù)算曲線，表示在給定預(yù)算條件下兩種讀者數(shù)量的不同組合。

2、某學(xué)生對學(xué)習(xí)和體育運動的偏好呈同心圓。他最喜歡的H程安排是每周50小時學(xué)習(xí)，10小時運動。

現(xiàn)在他每周學(xué)習(xí)60小時，運動8小時。如果讓他學(xué)習(xí)45小時，運動14小時，他會不會感到更愉快一些

3、甜甜喜歡吃蛋糕和冰淇淋。但吃/10塊蛋糕之后，她便感到厭膩，更多的蛋糕會使她討厭。而冰

淇淋則是多多益善。

(1)甜甜的父母規(guī)定她必須把盤里的東西全部吃完“請畫出她對盛有?不同數(shù)量蛋穩(wěn)及冰淋淋的盤子的無

差異曲線。

(2)如果家長允許她留下大想吃的食物，她的無差異曲線又是怎樣

4、杰克只消費漢堡包和啤酒，漢堡包2美元一個，啤酒1美元一聽。他的收入為每周60美元，但他

得交付10美元的個人所得稅。請畫出杰克的關(guān)于漢堡包和啤酒的預(yù)算曲線。

(1)政府決定取消個人所得稅，代之以每聽1美元的啤酒銷隹稅。這樣，啤酒的價格升為2美元1聽。

如果杰克的收入及漢堡包的價格都沒變，畫出杰克的預(yù)算曲線。

(2)由于啤酒銷伶稅，杰克的啤酒消費減少為每周20聽。政府從杰克那兒收到多少稅

(3)政府決定對啤酒和漢堡包征收及其價格成同樣比例的銷鐺稅，并使稅收等于征收1美元啤酒稅時的

稅收［問題(2)的答案］。假定稅率全部轉(zhuǎn)嫁到價格之中，而杰克的收入仍為60美元。畫出他的預(yù)算曲線。

(4)對杰克來說，新的稅制是否比光收啤酒稅好些

5、''三只手”有兩只左手，一只右手。

(1)畫出“三只手”對左右手套的無差異曲線。

(2)我們稱兩只左手套、一只右手套為一“副”手套，并用擁有多少副手套來表示“三只手”的效用水

平。以R(L)表示右(左)手套數(shù)，寫出“三只手”的效用函數(shù)。

(3)如果L>2R,多一只左手套會增加多少效用

(4)如果L<2R,多一只左手套會增加多少效用

6、下列變換哪些是單調(diào)遞增變換

(l)V=-17Uo

(2)V=logUo

(3)V=-e-Uo

(4)V=-1/Uo

7、某乙的偏好可用U(x”xj=min{x1+2x2,2xi+x》來描述,畫出他的無差異曲線。

8、某甲的效用函數(shù)為uG,為=x(y+2),x、y是商品X、Y的消費量。如果X、Y的價格分別為八和P”

證明某甲的最優(yōu)選擇(x,y)滿足(y+2)/x=P、/P*

9、某甲消費商品X,Y,Z,他的效用函數(shù)為U(.%)，,Z)=給定三種商品的價格分別為

P,、P,、P”，他的收入為I,請寫出某甲對此三種商品的需求函數(shù),

10、張三和李四的效用函數(shù)分別為Uz(x“xj=x什4及UL(Xux2)=(x1+l)(x2+l).商品1的供應(yīng)是離散的，

即Xi=0,1,2,…。已知Pi=Pz=l,收入MQP1,分別寫出張三、李四對商品1的保守價格(保守價格是消

費者為某商品所愿支付的最高價格)。

11、老胡是個集郵迷。除了吃飯，他將所有的錢全花在集郵上。他的效用函數(shù)是U(s,t)=s+ln/\

其中，s代表郵票數(shù)量，I代表食物數(shù)量。

(1)導(dǎo)出老胡對飲食和郵票的需求函數(shù)，假設(shè)其價格分別為R,P”老胡的收入為I。

(2)當(dāng)1＞巴時，老胡對飲食的需求的價格彈性是多少

(3)老胡的老伴抱怨說，老胡將所增加的收入全部花在郵票上。如果DP“她的抱怨是否有根據(jù)

(4)當(dāng)1＜匕時，老胡對飲食及郵票的需求如何

12、老甲對X的需求函數(shù)為x(P“Py,1)=(21)/(5Px)o已知他的收入1=1000元，P,=20元。當(dāng)已從5

元降為4元時，老甲對x的需求量有什么變化

(1)在新的價格下，老甲耍購買跟以前相同數(shù)量的兩種商品，他的收入該是多少在新的收入水平下，他

對X的需求是多少

(2)需求變動中，哪一部分是替代效應(yīng)哪一部分是收入效應(yīng)

13、吳聊將所有的收入全花在“紅雙喜”和“紹興黃”上。我們知道，吳聊的偏好是凸的，而煙、酒

對他則是多多益善。在下列各情形中，請你說說這些商品是否是正常品、低劣品或吉芬品。(注意：你也許

沒有足夠的信息來作出判斷；以下各例也許相互不一致。)

(1)吳聊在街頭尋找半根煙的時候，拾到他原先丟失的一張10元鈔票，他立即去買了10元錢的"紹興

黃二

(2)吳聊后來又丟失了6元錢，他決定賣掉他所剩下的“紹興黃”，而把得到的錢全部花在“紅雙喜”

上。

(3)“紹興黃”漲價了，吳聊決定少買一些‘'紅雙喜"。

(4)“紅雙喜”降價50%。吳聊對“紅雙喜”的消跋下降了5%,而用省下的錢買了更多的“紹興黃”。

(5)在尋找其丟失的6元錢時，吳聊意外地發(fā)現(xiàn)了一瓶過去買的、幾乎沒喝過的“紹興黃”，他一飲而

盡，但并不改變原定的購買計劃。

張三有一塊白留地用于種植青椒和西紅柿v他總是用1:1的比例消費這兩種蔬菜“某一星期，他

收獲了25千克青椒，5千克西紅柿。當(dāng)時兩種茯菜的價格是每千克5元。

(1)張三收獲的貨幣價值是多少他的最優(yōu)消費計劃應(yīng)該賣掉什么，賣掉多少買進(jìn)什么，買進(jìn)多少

(2)如果西紅柿價格升為：5元，他收獲的貨幣價值是多少他的最優(yōu)消費如何

(3)如果張三的收入及其在問題(1)中的收入完全一樣，而西紅柿的價格為15元，他的最優(yōu)消費如何

(4)從(D到(2),張三對西紅柿的需求變化為多少請分解出替代效應(yīng)和通常意義的收入效應(yīng)。因為張三

擁有實物而不是?定的收入，所以價格變化的收入效應(yīng)及給定收入的情況不同。請分析擁有實物情況下的

收入效應(yīng)。

(5)圖示以上解答。

15、某商品需求函數(shù)的價格彈性恒為-L已知當(dāng)價格為10元時，需求量為6000,請寫出該需求函數(shù)。

16、需求函數(shù)q(p)=(p+a)b,其中，a〉0,b＜-l.寫出價格為P時需求的價格彈性。在什么價格下該

彈性為T

17、約翰消費面包和牛奶。在英國面包為0.4英鎊一條，牛必為0.4英鎊一罐。約翰每周有4英鎊的

收入，他消費6罐牛奶，4條面包。杰克在美國，他也消費面包和牛奶。在美國，面包為0.5美元一條，

牛奶為2美元一罐。杰克每周有15美元的收入。

(1)如果約翰和杰克具有相同的偏好，杰克的處境是否比約翰好為什么

(2)假定約翰和杰克的收入如前，兩地的價格也如前。又假定約翰的消費不變。給出適當(dāng)?shù)南M組合來

說明杰克的偏好及約翰不?樣。

18、在t期,價格為(PJ,PJ),而消費者的最優(yōu)選擇為(x「,x；)0在s期,價格和最優(yōu)選擇分別為(PJ,

P力和(x「,x；).真正的生活成本指數(shù)應(yīng)該是在t期為達(dá)到S期的效用水平所需要的錢，除以在S期的開支，

xX"

即M(p/，p；,xj,x2')/(p/.x+p2?X2),其中M(p;，p2',xj,xj)表示在價格為(pj,P2')時為達(dá)到(xj,x2")

所提供的效用至少需要的錢。如果我們用價格指數(shù)L=(pJ-x/+p；?xJ)/Sh「+pJ?X2”)作為一種近似，它

比真正的生活成本指數(shù)大還是小？

19、根據(jù)下面的描述,畫出消費者的無差異曲線。對于(2)和(3)題，寫出效用函數(shù)。

(1)王力喜歡喝汽水x,但是厭惡吃冰棍y。

(2)李楠既喜歡喝汽水x又喜歡吃冰棍y,但她認(rèn)為三杯汽水和兩根冰棍是無差異的。

(3)蕭峰自個習(xí)慣，他每喝?杯汽水x就要吃兩根冰棍y,當(dāng)然汽水和冰棍對他而言是多多益善。

(4)楊琳對于有無汽水x喝毫不在意，但她喜歡吃冰棍yo

(1)

<2)斜率為2/3

<3)虛線斜率為2

(4)Y

2

20、某小個消費者的效用函數(shù)為U(xi,x；.)=xtx2o令R,

Pz及m分別表示就品1的價格、商品2的價格及收入，

(1)如果m為24,Pi為1,已為1,現(xiàn)在R上升為2,

求此消費者關(guān)于蔽品1的斯拉茨基替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。

(2)請一根據(jù)計算，驗證恩格爾加總規(guī)則。

(1)——求該能費者的馬歇爾需求函數(shù)：

MaxU(xi,X2)=XI2XZ；

圖楊

37-4s.t.piXi+p”產(chǎn)m;

用拉格朗日方程求得(參見《微一現(xiàn)代觀點》P84)：

Slutsky替代效應(yīng):

(2)Engel加總規(guī)則即工t*2=1,其中s,為商品i消費總額占總支出的比例,M為商品

i的需求收入彈性,

題(1)中

7*?4=^=|，同樣求得S2=1

X1===8,則占消費總金額為8*2=16,

3*22433

82+111

而且可求得ni=n2=h故2力*7/=—*1-*=

/■I

21、某丁廠目前每年消耗燃料約為50萬元.該廠經(jīng)理考慮以下二個節(jié)能方案：方案甲的成本為50萬

元，一經(jīng)實施，可以使燃料消耗永遠(yuǎn)節(jié)省15%。方案乙的成本為90萬元，一經(jīng)實施，可以使燃料消耗永

遠(yuǎn)節(jié)省20%。方案丙采用太陽能，其成本為1090萬元。一經(jīng)實施，該廠從此將不必使用任何燃料。

(1)假定年利息率永遠(yuǎn)為一0%,燃料價格也永不改變，該廠將采用哪個方案

(2)假定年利息率永遠(yuǎn)為5%,其他情況如問題(1),該廠將采用哪個方案

(3)假定燃料價格每年上漲5%,而利息率總是10%,哪個方案將被采用

22、卜.列命題是否正確為什么并以圖示說明你的回答。

(1)如果現(xiàn)時消費和天來消費均為正常品，那么利息率的提高必然使凈儲蓄者節(jié)省更多的錢，

⑵如果現(xiàn)時消費和天來消費均為正常品，利息率的提高必然使凈儲蓄者增加第二期的消費(未來

消費)。

23、某甲是借款人。如果利息率降低，他是否會變成貸款人這一變化使他的處境好些還是壞些

24、樹木的市場價值及其年齡有關(guān)，并按公式WQ)=e°2-03/計算，其中t為年齡。已知銀行年

利息率為5%。

(1)最佳伐木年齡為多大

(2)在什么年齡一棵樹的市場價值最大

25、某消費者在任何條件下既不向人借錢又不貸錢給人，畫出他的一些無差異曲線，并表明該消費者

的天賦財產(chǎn)。

26、外空有個星球，只存在兩個時期，因而叫做兩代星。該星上有兩種生物，一種叫“老”，一種叫“少二

星球上的惟一食品為?種野果。每個“老”在第?期可以撿到h個野果，而在第二期則什么也撿不到「少”

則相反，他們在第一期一無所有，而在第二期每個“少”則可撿到k個野果。星球上，有“個“老”，N2

個“少二所有生物的效用函數(shù)都一樣，均為U(C?C2)=c.r?\其中，G、C?為第一、第二期所消費的野

果數(shù)，而OWaWl。

(1)我們以第一期的野果作為貨幣基準(zhǔn)，即是說，第一期的一個野果價格為1。假定利息率為r,

分別寫出“老”和“少”的預(yù)算方程式。

(2)如果利息率為r,“老”和“少”在兩個不同時期對野果的需求各為多少

(3)證明，如果NEd,那么使第一期總需求等于總供給的利息率也必然使第二期的供求相

等。這時利息率跟什么有關(guān)

(4)在-一般均衡條件二，每個時期的總需求等于總供應(yīng)。請算出兩代星上的均衡利息率

⑸如果a=l/2,均衡利息率跟什么有關(guān)如果a=l/2,N尸%,I產(chǎn)I2,均衡利息率為多少?

27、環(huán)城有100個居民。居民沿城而居，每人各有左、右鄰居?一個。居民們都喜歡吃大蒜，但討厭其

氣味。由于地勢原因，該城的風(fēng)總是從左到右環(huán)城流動。因此，每個居民只受到來自左鄰的大蒜味的影響。

假設(shè)每個居民的效用函數(shù)相同，都是U(c,r)=c-r2,其中，C是居民自己的大蒜消鉗量，r是左鄰的大蒜

消費量。

(D每人每天消費1頭大蒜，每人的效用水平如何

(2)假如每個居民的大蒜消費量相同，最優(yōu)的消費量是多少

(3)每人每天有1頭大蒜"相鄰居民間可以協(xié)商再分配或銷毀一些大蒜v相鄰兩居民是否能通過這種

協(xié)商改善各自的效用

(4)相鄰三人能否共同改善效用至少要多少人合作才能使所在參及者都獲利

28、聞雷和文靜都愛看電視，他們決定去買個舊電視機。聞雷的效用函數(shù)為UKS,M.)=(1+S)M,,文

靜的效用函數(shù)為U」(S,%)=(2+S)V；,其中M,和此分別代表聞雷和文靜用于其他消費的貨幣量，S=0表示

不買電視機，S=1表示買電視機。已知聞雷有百元，文靜有M元。

(1)聞雷和文靜對舊電視機的保留價格為多少

(2)如果舊電視機的價格為50元，在怎樣的(W,WJ條件下，買電視機對兩人來說都比不買為好月陰影

在跖一瓦平面上標(biāo)出這些包,W.,).

29、1.有兩種商品,xl和x2,價格分別為pl和p2,收入為m。當(dāng)一之七時，政府加數(shù)量稅t,畫出

預(yù)算集并寫出預(yù)算線。

當(dāng)項2陽時，加數(shù)量稅3畫出預(yù)算集并寫出預(yù)算線

偵算集：P內(nèi)+。2*2《機........(％|—-^1)

30、重新描述中國糧價改革

(1)假設(shè)沒有任何市場干預(yù)，中國的糧價為每斤0。4元，每人收入為100元。把糧食消費量計為x,

在其它商品上的開支為y,寫出預(yù)算線，并畫圖。

(2)假設(shè)每人得到30尸糧票，nJ"以憑票以0。2元的價格買糧食，再寫預(yù)算約束，畫圖。

(3)假設(shè)取消糧票，補貼每人6元錢，寫預(yù)算約束并畫圖。

(i)0.4x+y=100

0.2x+y=100...........if..x<30

(2)<

0.4x+y=106...........if..x>30

(3)0.4x4-y=106

31、對下列效用函數(shù)推導(dǎo)對商品1的需求函數(shù)，反需求函數(shù)，恩格爾曲線：在圖上大致畫出價格提供

曲線，收入提供曲線；說明商品一是否正常品、劣質(zhì)品、一般商品、吉芬商品，商品二及商品一是替代還

是互補關(guān)系。

⑵u=nin(X),2x2)

⑶〃=

(4)it=InX]+x2,

max{2x+x2}

(1)

s.tp丙+p2x2=m

m

ifPI<2〃2

Pi

商品一的需求函數(shù)為：*={[0——]ifP\=2P?

四

0ifPi>2P2

右圖中，紅色線為價格提供曲線.

,的收入提供曲線,當(dāng).v2P2時,是橫軸

當(dāng)〃I=2〃2時.是整個第一像陽

當(dāng)Pl>2P2時,是縱軸

mm

ifx,>.

%2P2

反需求函數(shù)是：Pl=?2p,ifxe(0]

{2p,

[2p2,+oo)ifxx=0

恩格爾曲線：如果"<2〃2那么恩格爾曲線是：X=—

Pi

如果〃]=2p,那么恩格爾曲線是一個柱面：％G（0,-^-],Vm

2P2

如果Piv2P2那么恩格爾曲線是：X]=0,V〃z

xl是正常品（normal,相對■于劣等品而言），是一股商品（ordinary,相對于Giffen品而言）

x2是替代品（其實是完全瞽代品）

max{min(x，2G)}

st.plxl+p2x2=m

2m

xl需求函數(shù)：=---------其中是自變量

2Pl+〃2

m2.m

xl的反需求函數(shù)是：二一一"ifX}<——

X2p2

Xl的恩格爾曲線：玉=—0二/〃一其中,m是自變量,

2〃1+外

〃1，〃2是參數(shù)?

?2/77

右上圖中紅色線（%<4竺）是價格提供曲

P1

線

右下圖中綠線是收入提供曲線.x=-x

221

XI是normalgood,ordinarygood,andsupplementary

goodforx2.

（求最大化的過程同第8題,這里從略）

xi的需求函數(shù)：%=———（其中〃為自變量i,反需求函數(shù)：Pi=———

（a+bm~I/（〃+/?）』

nn\

恩格爾曲線：玉=——：——（其中m為自變量）

（a+b）pi

bin

右圖中，紅線為pl價格提供曲線，（為=----------）

（a+b）p2

蘭線為收入提供曲線（注苣，這里收入提供曲線是直線）

xl是normalgood,ordinarygood,和x2沒有總替代或互補關(guān)系.

最大化求解過程同第?題,這里略去.

XI的需求函數(shù)：當(dāng)"2>p,時，xl的需求函數(shù)是：王二匹；當(dāng)相4％時，xl的需求函數(shù)是:

P\

rn

PI

X1的反需求函數(shù)：當(dāng)〃〃，X1的反需求函數(shù)是：/?!=—；當(dāng)mWP2時,xl的反需求函數(shù)是:

A

m

P\=—

X

P1

ifni>p2

Pi

恩格爾曲線:

m

ifm<p2

〔Pi

右圖中，紅線為m>l時的pl價格提供曲線（x2=m-l）;

綠線為m<l時的p：價格提供曲線（x2=0）（假設(shè)p2=l）

藍(lán)線為收入提供曲線

xl是normalgood,ordinarygood.

是x2的總替代品。.

32、一個人只消費糧食，第一期他得第二期得到150斤，第一期的糧食存到第二期將有

25%的損耗。他的效用函數(shù)為：W（CpC2）

件消洸J卜二2￡2=？

1）如果糧食不可以拿至I市場卜

2）如果糧食可以拿到才場上交易，悔期用，是P=l,利息率r=l跌，問最佳僵鉗

C；=?,C；=?

max11=c,c2

(1)maxG孫

s.t.c.+——=m.+——

1l+r11+r

maxu=qc2

⑵肛

1+r1+r

33、某消費者的效用函數(shù)為u(x,y)=xxy,x和y的價格都是1,他的收入為200。當(dāng)x的價格漲

至2元時，計算消費者剩余的變化、補償變換和等價變換。

:Cohb-Douglas效用函數(shù)下x,y的需求函數(shù)是：

x,夕價格是1,收入為200時：

消費者的效用M0=w(100,100)=10,000

＞的價格漲至2時：

消費者的效用w,=450,100)=5,000

X的價格從1漲至2時，消費者剩余的變化(Thelostconsumersurplus)是：

22

ACS=jx(p1,200)劭=J—^=KX)ln2?69.3

i?P

用。表示補償變化(Compensatingvariation)有：

用￡表示等價變化(Equivalentvariation)有:

34、證明當(dāng)效用函數(shù)為擬線形時，消費者剩余的變化、補償變換、等價變換都相等。

擬線性的效用可以表示成：〃(羽y)=v(x)+y

在預(yù)算約束PH+y=〃z(把y的價格標(biāo)準(zhǔn)化為1)下，假設(shè)內(nèi)點解，》的反需求函數(shù)是:

pr=v\x),由此可見，*的需求及收入無關(guān)，在y的價格不變時有：x(/7v,l,w)=x(pv),

產(chǎn)的需求等于：y=m-pxx(px)

這時消費者的效用水平：〃=U[X(PK)]+〃Lp、x(pj

設(shè)不的價格從Px變化到,則消費者剩余變化(Thelostconsumersurplus)是：

設(shè)補償變化為C有：

設(shè)等價變化為￡有：

對比可見對于擬線性的效用函數(shù)ACS=C=E

35、求條件要素需求和成本函數(shù)

(1)y=0111(^,2X2)

y=x+

⑵]2X2

⑶y=

(1)y=min(xp2x2)

解：成本最小化的問題是:

顯然，成本最小化要求％=2々=y，所以條件要素需求函數(shù)是:

%%，卬2,)')=)'

工2(?。?/p>

成本函數(shù)是:(7(%,叫，>)=(%+

(2)+2/

解：成本最小化的問題是:

條件要素需求函數(shù)是：

yif^!<y0if<y

0_yif"=一■(喝，卬，)二，0」

百(小，卬2，)')=<w2yif嵋=彳

2

o"嗎》等zif>—

22'2

成本函數(shù)是：。(叫，卬2，y)=y?min(“,￡)

⑶)'二個只

解：成本最小化的問題是：

MP}_ox：宕_ax2_卬1

最優(yōu)條件：，MP2bXyX^'bx、w2,

.<-4=J

_b__1_

王(.，叫，y)=[1)“"?ya+b

bw.

解得：a?

x.(vv,,^,y)=(—

aw2

—1471

成本函數(shù)是：。(嗎，卬”y)=(a+b)'(―?(―)?+^.

ab

36設(shè)一個消費者的直接效用函數(shù)為“=aIn%+如。求該消費者的間接效用函數(shù)。并

且運用羅爾恒等式去計算其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)。并驗證：這樣得到的需求函數(shù)與從直

接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的。

解：(1)消費者的效用最大化問題為：

maxaIn+q2

&t.pM+p2g2=m

構(gòu)造該問題的拉格朗日函數(shù)：

L=aIn%+%-AG-PM」叫力

拉格朗日函數(shù)對小,%和人分別求偏導(dǎo)得：

普=*-M=0①

--=1-g=0

即2

|^=y-Pi92-P2Q2=0

從①式和②式中消去人后得:

?api

=—

Pi

再把④式代入③式中得:

.，-吶

%="z-

P2

從而解得馬歇爾需求函數(shù)為:

?ap2.y-api

91=-<72=——

P\P2

將商品1和2的馬歇爾需求函數(shù)代入效用函數(shù)中得到間接效用函數(shù):

v(pi,p1,y)=u(gf,g：)=aIn砒+y-a

PiP2

(2)讓間接效用函數(shù)分別對p「必和y求偏導(dǎo)得：

生=-色包=色_4效=!_

MPi8P2p2p2dyp2

由羅爾恒等式，得到：

a工_色

.dv/dPiPiap_p：P2_y一叩2

(7.=———=--='2

dv/dy_1_P|

dv/dy_1_p2

PiP2

(3)比較可知，通過效用最大化的方法和羅爾恒等式的方法得出的需求函數(shù)相同。

37某個消費者的效用函數(shù)是與)=4必，商品1和2的價格分別是小和〃，此

消費者的收入為m,求馬歇爾效用函數(shù)和支出函數(shù)。

解：(1)消費者的效用最大化問題為：

maxx\x2

s.t.pxxx+p2x2=m

構(gòu)造該問題的拉格朗口函數(shù)：

L=X\X2-A(m-p,x,-p2x2)

拉格朗日函數(shù)對力，力和人分別求偏導(dǎo)得：

普=2/匕一加=0①

3A_

②

dx2

普

=m_pRj-p2x2=0③

從①式和②式中消去人后得：

_p/l

“2手④

把④式代入③式中得：

(，=券

WP\Pi,m)⑤

把⑤式代人④式中得：

工；3,Pi,m)=效⑥

⑤式和⑥式就是商品1和2的馬歇爾需求函數(shù)。

(2)消費者的支出最小化問題為:

nunp產(chǎn)］+p2x2

s.t.u(x),x2)=X?X2=u

構(gòu)造該問題的拉格朗日函數(shù)：

L=Pi巧+P?必-A(u-)

拉格朗日函數(shù)對陽，町和人分別求偏導(dǎo)得：

1~=Pi-2AX,X=0

2(D

片〃…；=0

普一不2=0

從①式和②式中消去人后得:

Pi/

④

把④式代入③式中得:

於（警）

把⑤式代入④式中得到：

制嘀'

⑤式和⑥式就是商品1和2的希克斯需求函數(shù)。

把⑤式和⑥式代入目標(biāo)函數(shù)式中就得到了支出函數(shù)：

“Pl，P”u）=PB：+P2%；=妻，2Plp2"

38考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三城市中選擇居住地。

假定他的選擇決策只依籟于其效用函數(shù)“二勺必，這里（勺，X2）O已知北京的物價為

（P；,P；）,上海的物價為（P：,P：）,并且P：P；=P：P：,但P；六。：”P；六P：又知廣州的物價

為（P；,P；）=g（P；+P：）,/（P；+P：））e若該退休老人是理智的，他會選擇哪個城市去

生活？

解：

老人的效用最大化問題為：

maxx,x2

s.Lp14t+pz3=m

構(gòu)造該問題的拉格朗日函數(shù)：

乙=4|盯-A（PRI+PJX25）

拉格朗日函數(shù)對。，句和人分別求偏導(dǎo)得：

普f+M=o（D

OXj

普=*i+M=o②

dL6

7T=Pl*l+P2*2-m③

從①式和②式中消去人后得:

盯=吧④

Pl

把④式代入③式中得到：

#i（p,m）=若⑤

卬1

把⑤式代人④式中得到：

“P，m）噬⑥

把⑤式和⑥式代入目標(biāo)式中就得到了老人的間接效用函數(shù);

2

P"…福

于是他在北京、上海、廣州三地的效用分別為：

mm

v=------

"。=4嬴”碗'4p；p；

因為P；P；=P：P；所以鞏=。。

又因為p；p；,包產(chǎn),G\,VPT*4f=p；p；=P：P：,所以外<心。

綜合上述分析可知：老人可能會選擇在北京或上海生活，但不會選擇去廣州生活。

39設(shè)某消費者的間接效用函數(shù)為八P-pitm）=m/p；p：-“這里0<a<l。什么是該

消費者對物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？

答：根據(jù)間接效用函數(shù)與支出函數(shù)是反函數(shù)的關(guān)系，由于消費者的間接效用函數(shù)為

“Pi,%,m）==%，從中反解出m關(guān)于〃，pz和”的表達(dá)式，并用u替換乙就得到了

PiPi

消費者的支出函數(shù)：

e（p,u）=up；pj°

根據(jù)謝波特引理,可知物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)為：

,z、ae（p,“）a（即;p；°）iPi\la

h,（p,u）=~1-=---;------=au-I

~明api\PJ

40令斯拉茨基公式中右端第一項（空）為打,與叫做。與X/的凈替代效應(yīng)。對于效用

函數(shù)“=*；與，證明：$l/l+力加2=0

證明：(】)本題的結(jié)論可以推廣到幾種商品的情況，即耳上勾=0,下面來證明:

預(yù)算約束等式Np￡("，m)=小兩邊關(guān)于0求導(dǎo)得到：

Gdx.(p.m)8Xj(p,m)

(D

根據(jù)斯勒茨基方程：

d*j(p,m)dh,(p,m)dx,(p,m)..,.

------=；Xi-----；-------t,；=1?2,-n

dpj--------dpj---------'dm

把上面的等式代人①式中,就有：

y(dMpjn)_dxXpjn)\+x+(如山/).㈣(R也)=o

if*；'Bp：，dm)'八dPj，dm)

整理得：

ka%(p,m)dx(p,m)

“F-一喑p，F(xiàn)i-f=。

由于=i(這是古諾加總規(guī)則的結(jié)論)，將此式代入②中，就有:

號dm

vaAj(p,m)

ZPi一■不一二0

片明

即：

=o

i■i

(2)下面對效用函數(shù)U=x\x2來證明5HpiW2P2=0：

由”二片盯和預(yù)算約束Pl*l+P2*2三人得到盯，町的需求函數(shù):

ryy

1

-(1+r)pi"L(I+r)p2

由此可以得到間接效用函數(shù)：

，I?，

“p,r)=77,%,，

(l+r)P1P2

從上式中可以反解出消疣者的支出函數(shù)：

e(P，〃)=(~)［等廣

由謝波特引理和力的定義，得到

=一號(5),J七網(wǎng)七

因此力出+外必=°。

41證明：在下列效用函數(shù)中，哪些顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為：

(l)“(w)=(w+a)”,aNO,0</J<1

(2)“(w)=w

(3)“(w)=)n(w+a),a>0

(4)口(w)-w3

答：所謂遞減的風(fēng)險規(guī)避行為是說隨著消費者財富的增加，他的風(fēng)險厭惡程度會逐漸減

弱，也就是說他的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)關(guān)于財富數(shù)量是遞減的。

(1)因為“'=6(卬+。尸“，uw=/3(/3-l)(w+a/-2

所以工(卬)=-%孚二=—-=一，1(卬)關(guān)于財富卬求導(dǎo)得：

6(w+a)w+aw-￥a

*?(卬)=〒嚀甯<0

(w+a)

所以該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為。

(2)因為療=1,/=0,所以匕(w)=O,這就意味著*.(跖)=三9書日0,因此該

(w+a)

效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為。

(3)因為“'=▲，/=_『!』.所以刈卬)=上匕(卬)關(guān)于財富卬求導(dǎo)得：

卬+a(w+a)w+a

R'<w>=-7-7-~77<0

(w+a)

因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為。

(4)因為口’=3卬=U*=6W,所以R.(W)=-2,凡(w)關(guān)于財富昭求導(dǎo)得：

W

2

A'.(w)=-?>0

w

因此，該效用函數(shù)呈現(xiàn)風(fēng)險愛好的行為。

43一個消費者具有VNM效用函數(shù)，他面臨四種結(jié)局：A、B、C、Do其偏好序為A>

B>C>DO試驗顯示，他認(rèn)為B=0.4A+0.6D,C=0.2B+0.8D(這里的等號表示“無建

異”)。清對A、B、C、D四種結(jié)局構(gòu)造出一組VNM效用值0

答：用Q,b,c,d分別表示A.B,C,D四種結(jié)局帶給消費者的效用，則B=0.4A+

0.6D就意味著：

6=0.4a+0.6d①

C=0.2B+0HD就意味著：

c=0.26+0.8d=0.08。+0.92d②

由于：

a>b>c>d③

把①、②兩式代入中③中就會發(fā)現(xiàn)：只要a>6,那么①、②兩式就和③相容，因此

對任意的而這四種結(jié)局可以構(gòu)造如下效用函數(shù)：

u(4)=au(B)=0.4a+0.6du(c)=0.08a+0.92du(D)=d

44一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形是“(w)=加w。他有機會參與擲硬幣，

頭面向上的概率均為打。如果他下賭注x元(XNO),若頭面向上，他會擁有w+x；反之，

若背面向上，則他只擁有w-八請解出其作為"的函數(shù)的最優(yōu)賭注x?。當(dāng)"=什么

是他的關(guān)于X的最佳選擇？

解：(1)對于消費者而言，最優(yōu)的賭注就意味者在此賭注下，他的期望效用達(dá)到最大。

所以消費者對最優(yōu)賭注的選擇可以歸結(jié)為如下優(yōu)化問題：

max7rln(w+x)+(1-n)\n(w-x)

對上式求導(dǎo)，就有：’

_=_2wir-w-x①

w+xw-x(u>+x)(w-X)U

解得x*=2nw-w.

下面分兩種情況討論①式：

①如果0三萬<),那