浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性測(cè)試12月月考試題含解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“”的否定是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全稱(chēng)命題的否定方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈姆穸椋赃xA.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，一般處理策略是：先改變量詞，然后否定結(jié)論.2.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法與二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用充分必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取，則由，得，解得，此時(shí)，此時(shí)不成立，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，取，由，得，解得，此時(shí)，滿足，但不成立，故必要性不成立；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.已知扇形的圓心角為2弧度，且圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為4，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為4，為圓心，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則，則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，則扇形的面積為.故選：A.4.已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式最可能是（）A.y＝xcosx B.y＝sinx－x2 C. D.y＝sinx＋x【答案】A【解析】【分析】由圖象判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)值的符號(hào)，運(yùn)用排除法可得結(jié)論.【詳解】由f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得f（x）為奇函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除C；對(duì)于選項(xiàng)D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的圖象可知它們只有一個(gè)交點(diǎn)，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，且f（x）＝0時(shí)，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，故選項(xiàng)A最可能正確.故選：A.5.，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出，，的大小關(guān)系．【詳解】，，，．故選：．6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)，可進(jìn)行求解.【詳解】由題知為奇函數(shù)，所以得：，即：，解之得：，故D項(xiàng)正確.故選：D7.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，得到時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合題意，得到時(shí)，方程有三個(gè)零點(diǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得出不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，所以時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，又由函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，方程有三個(gè)零點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，可得，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.若，，則的最小值為（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】【分析】首先變形，再兩次利用基本不等式，即可求最值.【詳解】，其中，其中，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)滿足，即，時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，所以的最小值為8.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圖象的變換及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)B；先去絕對(duì)值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，而函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，.由二次函數(shù)的單調(diào)性可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋赃x項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)（，，）在處取得最小值，與此最小值點(diǎn)相鄰的的一個(gè)零點(diǎn)為，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】由結(jié)合題意與余弦型函數(shù)的性質(zhì)可得的解析式，可得A、B；再借助解析式對(duì)C、D逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由最小值為，，可得，由在處取得最小值，且與此最小值點(diǎn)相鄰的一個(gè)零點(diǎn)為，故，即，又，則，有，解得，又，則，即，故A正確、B錯(cuò)誤；，由為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，即C正確；若，則，而不是的單調(diào)遞減區(qū)間，故不是的單調(diào)遞減區(qū)間，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)，為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過(guò)變形為，，即可判定選項(xiàng)A,B；利用基本不等式構(gòu)造的不等關(guān)系式即可判定選項(xiàng)C；利用消元求出的最值，從而得到，將代入，即可判定選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，且，因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以，，即，，故A正確，B錯(cuò)誤；因，所以同除可得，又a，b為正數(shù)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，則，故，所以，故C正確；因?yàn)椋?，又，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即，因?yàn)椋?，所以，即，故D正確.故選：ACD.12.記區(qū)間M＝[a，b]，集合N＝{y|y＝，x∈M}，若滿足M＝N成立的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）有且只有1個(gè)，則實(shí)數(shù)k可以取（）A.﹣2 B. C.1 D.3【答案】AD【解析】【分析】分類(lèi)討論，對(duì)a,b的取值情況分類(lèi)考慮，由集合與函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，即可求出滿足題意的k.【詳解】∵y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，y＝，可知函數(shù)為偶函數(shù)，若存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）使M＝N，若，，，，即，此時(shí),若，不合題意，若，則，此時(shí)區(qū)間內(nèi)含有0，由x＝0時(shí)，y＝0時(shí)知，此時(shí)必有，或，矛盾；所以綜上述只有當(dāng)x＝a時(shí)，y＝b，當(dāng)x＝b時(shí)，y＝a，即，兩式相乘得，∴k2＝（|a|＋1）（|b|＋1）或k2＝﹣（|a|＋1）（|b|＋1），∵k2＞0，∴k2＝（|a|＋1）（|b|＋1），又∵|a|＞0，∴|a|＋1＞1，同理|b|＋1＞1，∴（|a|＋1）（|b|＋1）＞1，即k2＞1，k＞1或k＜﹣1，故滿足條件為AD，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】求出即可得出的值.【詳解】由題意，在中，，∴，故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二、四象限，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一組的值________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)求出，再按分類(lèi)討論即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，的圖象必過(guò)第四象限，矛盾，因此，由函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二、四象限，得點(diǎn)只能在原點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，若，則有，的圖象必過(guò)第四象限，矛盾，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)的圖象在第三象限，若，則，此時(shí)的圖象在第一象限，所以且，滿足條件的一組的值可以為.故答案為：15.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】利用換元法與三角函數(shù)的基本關(guān)系式，結(jié)合誘導(dǎo)公式與倍角公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，，又，所以，則，所以，故，.故答案為：.16.理論上，一張紙經(jīng)過(guò)一定次數(shù)對(duì)折之后厚度能超過(guò)地月距離，但實(shí)際上，因?yàn)榧垙埍旧碛泻穸龋覀儾⒉荒軐⒓垙垷o(wú)限次對(duì)折，當(dāng)我們的厚度超過(guò)紙張的長(zhǎng)邊時(shí)，便不能繼續(xù)對(duì)折了.一張長(zhǎng)邊為，厚度為的矩形紙張沿兩個(gè)方向不斷對(duì)折，則經(jīng)過(guò)兩次對(duì)折，長(zhǎng)邊變?yōu)?，厚度變?yōu)?在理想情況下，對(duì)折次數(shù)有下列關(guān)系：，根據(jù)以上信息，一張長(zhǎng)為30，厚度為0.05的紙張最多能對(duì)折的次數(shù)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】解不等式來(lái)求得次數(shù).【詳解】依題意，，所以，即，所以正整數(shù)的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)集合，，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）解對(duì)數(shù)不等式與二次方程化簡(jiǎn)集合，從而得解；（2）分類(lèi)討論與，結(jié)合二次方程根的分布即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得，解得，則，當(dāng)時(shí)，可化為，解得或，則，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由，得，解得；當(dāng)時(shí)，令，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，則，即，解得；綜上，，即的取值范圍為.18.已知（）．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若的最小值為，求的對(duì)稱(chēng)中心．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)定義列式結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算得解；（2）將化簡(jiǎn)，由的最小值為，可求得，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，化簡(jiǎn)得，或，解得，，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由，由的最小值為，則，即，又，所以，所以，由可知，令，，即，所以的對(duì)稱(chēng)中心為，.19.設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對(duì)任意，恒成立．（1）求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合題設(shè)條件即可得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷的圖象性質(zhì)，從而利用矩形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由，得，則；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．不妨設(shè)，，由知，那么，；故，因?yàn)?，所以?0.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求得的值.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合換元法、函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求得的取值范圍.（3）先求得的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】，由于為偶函數(shù)，所以，即，所以，.【小問(wèn)2詳解】依題意關(guān)于的不等式恒成立，即，，令，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，，即，所以.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的零點(diǎn)為，即，函數(shù)在上遞增，，，所以，對(duì)任意，，其中，所以，即在上遞增，所以，即.21.在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．（1）請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫(xiě)出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；（2）根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開(kāi)始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計(jì)停靠碼頭和駛離碼頭所需時(shí)間）．【答案】（1）；（2）①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開(kāi)始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，求出函數(shù)模型中的各個(gè)參數(shù)作答.（2）①根據(jù)給定條件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函數(shù)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解作答.【小問(wèn)1詳解】觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為.【小問(wèn)2詳解】①依題意，，整理得，即有，即，解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.②由①結(jié)論知，該船明日0點(diǎn)即可進(jìn)港開(kāi)始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨小時(shí)后，該船符合安全條例的最小水深為，如圖，函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，即卸貨5小時(shí)后，在5點(diǎn)該船必須暫時(shí)駛離港口，此時(shí)該船的吃水深度為4.5米，令，即，，解得，顯然，該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時(shí)后完成卸貨，此時(shí)為16點(diǎn)，綜上所述，方案如下：該船在0點(diǎn)進(jìn)港開(kāi)始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.22.設(shè)函數(shù)，，其