四川省2024屆高三下學期第二次統(tǒng)一監(jiān)測（5月）數(shù)學（文）試卷

四川省2024屆高三下學期第二次統(tǒng)一監(jiān)測（5月）數(shù)學（文）試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A={x|?3<x<2}，B={x|x2≤4}A．{x|?2≤x≤2} B．{x|0<x<2}C．{x|?2<x<2} D．{x|?2≤x<2}2．已知復數(shù)z滿足z?2z=2?3i，則A．?2?i B．2?i C．?2+i D．2+i3．甲、乙兩名運動員在一次射擊訓練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下．設甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為Z甲，Z乙，方差分別為s甲A．Z甲=Z乙，s甲C．Z甲>Z乙，s甲4．設α，β均為銳角，則“α>β”是“sinα>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入N的值為5，則輸出S=（）A．20 B．30 C．62 D．1286．已知α∈(π2,π)，A．3?2610 B．1+6210 7．已知坐標原點在直線mx?2y=2m+8上的射影為點P(x0,y0A．(x0+1)C．(x0+1)8．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，表現(xiàn)出鮮明的藝術特色，蘊涵著極致的數(shù)學美．現(xiàn)有一幅右圖所示的正三角形剪紙設計圖（圖中的圓為三角形內(nèi)切圓，設計圖的三個角的陰影部分均為菱形）．若在該正三角形設計圖內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（）A．3π9?112 B．3π9．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若|AF1A．118 B．19 C．2910．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+2π①f(0)=32；②函數(shù)f(x)在③將y=cos2x的圖象向左平移π12其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．設球O的直徑為42，球面上三個點A，B，C確定的圓的圓心為O1，∠O1OC=A．2 B．4 C．6 D．812．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y23=1的左、右焦點，O為坐標原點，M，N為C上兩個動點，且∠MON=90°，A．157 B．127 C．1 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量a=(1,2)，b=(?2,3)，c14．若x，y滿足約束條件x+3y?7≤03x+2y?7≥02x?y?7≤0，則z=x+4y的最大值為15．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C滿足16sinCcos(A?B)+8sin2C=3π，則16．已知PC是三棱錐P?ABC外接球的直徑，且PA⊥BC，PA=6，三棱錐P?ABC體積的最大值為8，則其外接球的表面積為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．某公司為了解旗下的某產(chǎn)品的客戶反饋情況，隨機抽選了250名客戶體驗該產(chǎn)品并進行評價，評價結果為“喜歡”和“不喜歡”，整理得到如下列聯(lián)表：不喜歡喜歡合計男50100150女5050100合計100150250附：K2P(0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828（1）是否有99%的把握認為客戶對該產(chǎn)品評價結果與性別因素有關系?（2）公司為進一步了解客戶對產(chǎn)品的反饋，現(xiàn)從評價結果為“喜歡”的客戶中，按性別用分層抽樣的方法選取6人，收集對該產(chǎn)品改進建議．若在這6人中隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．18．已知數(shù)列{an}滿足a（1）證明數(shù)列{1an（2）若數(shù)列{bn}滿足，bn=(an19．如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，AC1與A1C相交于點D，BB1⊥平面ABC，AB=6（1）求線段AC的長；（2）求三棱錐C?A20．已知函數(shù)f(x)=e（1）若f(x)有3個極值點，求a的取值范圍；（2）若x≥0，a≤12，證明：21．已知與圓P：x2+(y?2)2=1內(nèi)切，且與直線l1：y=?3相切的動圓Q的圓心軌跡為曲線C，直線l與曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，延長AO，BO分別與直線l2（1）求曲線C的方程；（2）過點A作AA1⊥l2于A1，若A1四、（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］在直角坐標系xOy中，圖形C1的方程為3x?y=0．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圖形C2（1）求C2（2）已知點P的直角坐標為(1,3)，圖形C1與C2交于A，B兩點，直線AB上異于點P的點Q23．［選修4-5：不等式選講］已知f(x)=|2x?2|+|x|?2x．（1）設函數(shù)g(x)=?2x2+8x+m，若函數(shù)f(x)與g(x)（2）令f(x)的最小值為T．若a,b∈R，證明：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由x2≤4，即(x+2)(x?2)≤0，解得所以B={x|x2≤4}={x所以A∩B={x|?2≤x<2}.故答案為：D【分析】本題考查集合的交集運算.先解一元二次不等式可求出集合B，再利用交集的定義：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，?稱為集合A和B的交集，?根據(jù)定義進行計算可求出A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：設復數(shù)z=a+bi,a∈R,b∈R，則?a=23b=?3，解得a=?2b=?1，故故答案為：A.【分析】設復數(shù)z=a+bi,3．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)圖表知：甲?乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)均為7環(huán)，即Z甲甲運動員命中的環(huán)數(shù)比較分散，乙運動員命中的環(huán)數(shù)比較集中，則s甲故答案為：A.【分析】根據(jù)圖表，利用眾數(shù)的意義以及數(shù)據(jù)的分散程度判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：α，β均為銳角，正弦函數(shù)y=sinx在因此α>β?sinα>sinβ，所以“故答案為：C【分析】利用正弦函數(shù)的圖象和性質可得正弦函數(shù)y=sinx在(0,π5．【答案】B【解析】【解答】解：由S=0,k=1，得S=2,k=3,S=6+2×3=12,k=5,S=20+2×5=30,故答案為：B【分析】本題考查程序框圖.根據(jù)給定的程序框圖進行計算可得：k=5,S=20+2×5=30,6．【答案】C【解析】【解答】解：因為α∈(所以α+π又因為sin(α+所以α+π所以cos(α+所以由兩角差的正弦公式得sin=1所以sinα=故答案為：C.【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正弦公式.根據(jù)α∈(π2,π)，7．【答案】B【解析】【解答】解：直線l:mx?2y=2m+8，即m(由原點O在直線l上的射影點為P，得OP⊥l，則點P在以OA為直徑的圓上，該圓圓心為(1,?2所以x0，y0滿足的關系是故答案為：B【分析】本題考查軌跡方程的求法.先求出直線所過的定點A(2,?4)，由射影的定義可得OP⊥l，據(jù)此推出點P在以OA8．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，設該正三角形邊長為2，顯然內(nèi)切圓半徑為33易知△ABC是邊長為1的正三角形，則DF=33，菱形DEFH的邊長為則每個菱形的面積為33×1則S=π×(33)由幾何概型概率公式得P=π故答案為：A【分析】本題考查幾何概型概率公式.設該正三角形邊長為2，利用三角形重心的性質可求出內(nèi)切圓的半徑，利用等邊三角形的性質可求出DF，進而可求出菱形DEFH的邊長，據(jù)此可求出每個菱形的面積和陰影部分面積，利用幾何概型概率公式進行計算可求出概率.9．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，

由于|AF1|=2|F1B|，|AB|=|B設|BF1|=m，則|A所以3m?m=2a，即m=a，則|BF1|=a，|AF1在△BAF2中由余弦定理故答案為：B【分析】本題考查雙曲線的簡幾何性質.設|BF1|=m，利用雙曲線的定義可推出：m=a，據(jù)此可表示出|BF1|，|AF10．【答案】D【解析】【解答】解：①.因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π且ω>0，所以T=2πω=π所以f(x)=sin則f(0)=sin2π3=②.當0<x<π3時，2π3<2x+2π所以函數(shù)f(x)在(0,π3③.將y=cos2x的圖象向左平移π12個單位得到y(tǒng)=因為f(x)=sin(2x+2π3)=sin(2x+故答案為：D【分析】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質.根據(jù)函數(shù)的最小正周期，利用周期計算公式可求出ω，進而可求出函數(shù)解析式，通過計算可判斷①；根據(jù)x的取值范圍可得：2π3<2x+2π3<4π3，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可推出f(x)在(0,π3)上的單調(diào)性，判斷②11．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：△O1OC為直角三角形，∠O1所以AO在△ABC中，由正弦定理可得BCsin又BC=2OO1，所以sin∠CAB=1所以O1是BC的中點，由O1O2+所以BC=2AO1=4所以S△ABC=1即△ABC面積的最大值為4.故答案為：B【分析】本題考查球的內(nèi)接幾何題問題.先畫出圖形，根據(jù)直角三角形的性質可得：AO1=OO1，利用正弦定理可推出∠CAB=π2，利用球截面的性質可得：O12．【答案】D【解析】【解答】解：依題意當M在橢圓短軸的頂點時△MF1F所以12×2c×3=3，解得c=1當直線MN的斜率存在時，設其方程為y=kx+m，M(x1,由y=kx+mx24+y在Δ=48(4k2?m2又∠MON=90°，所以OM?ON=0即x1x2所以(k所以7m2=12當直線MN的斜率不存在時，則H為MN與x軸的交點，又∠MON=90°，根據(jù)對稱性可知∠MOH=45°，設H(t,0)，則M(t,所以t24+t2又F1(?1,0)，F(xiàn)2所以HF故答案為：D【分析】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關系.根據(jù)題意當M在橢圓短軸的頂點時△MF1F2面積取得最大值，利用三角形的面積公式可求出c，利用橢圓的關系式可求出a，據(jù)此可求橢圓方程，當直線MN的斜率存在時，設其方程為y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、應用韋達定理可得：x113．【答案】1或-4【解析】【解答】解：因為a=(1,2)，b所以a+c=(1因為(a+c)⊥(c解得t=1或t=?4.故答案為：1或?4.【分析】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示公式.先求出a+c、c?b的坐標，根據(jù)題意可得：(a14．【答案】9【解析】【解答】解：作出可行域，如圖所示：由3x+2y?7=0x+3y?7=0，解得x=1y=2，即A1,2；

由2x?y?7=03x+2y?7=0，解得由2x?y?7=0x+3y?7=0，解得x=4y=1，即故約束條件表示的是以三點A(1,目標函數(shù)可化為y=?14x+z4，平移直線y=?14x故答案為：9.【分析】作出可行域，數(shù)形結合求目標函數(shù)的最大值即可.15．【答案】3【解析】【解答】解：因為16sinCcos即16sinC[cos故△ABC的面積與△ABC外接圓的面積之比為12故答案為：316【分析】由題意，利用正弦定理化邊為角結合兩角和差余弦公式可得32sin16．【答案】52π【解析】【解答】解：因為PC是三棱錐P?ABC外接球的直徑，所以PA⊥AC，PB⊥BC，又因為PA⊥BC，AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，則BC⊥PA，又因為PB⊥BC,PA∩PB=P，所以BC⊥面而AB?平面PAB，所以BC⊥AB；則三棱錐P?ABC的體積為V=1因為AB?BC≤BC2+AB22=AC22，當且僅當AB=BC時等號成立，

所以體積的最大值為故三棱錐P?ABC的外接球的表面積為：S=4π(PC故答案為：52π.【分析】根據(jù)題意可得PA⊥平面ABC和BC⊥AB，利用三棱錐體積公式和重要不等式，可得三棱錐P?ABC的體積最大值AC22，根據(jù)已知條件求出AC17．【答案】（1）記事件H0為“客戶對該產(chǎn)品評價結果與性別因素沒有關系”，

由列聯(lián)表可得：K2=250×(50×100?50×50)2100×150×100×150=125（2）由題意：抽取的6人中，有男性6×100100+50=4（名），

有女性6×50100+50=2（名），

設“在這6人中隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性”為事件A，

記4名男性為A,B,C,D，2名女性為E,F，

則從6人中抽取2人的所有可能結果為：

(A,B),(A,C),【解析】【分析】本題考查獨立性檢驗，古典概型的計算公式.

（1）按照獨立性檢驗步驟：先求出K2，將K（2）利用分層抽樣計算公式分別求出抽取的6人中男性與女性人數(shù)，再寫出從6人中抽取2人的所有可能結果，所抽取的2人中至少有1名女性的可能結果，利用等可能事件的古典概型概率公式進行計算可求出答案.18．【答案】（1）由a1=32，即1an+1?1故數(shù)列{1an則1an?1??????（2）由bn=(a則S???????【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和.

（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式進行變形可得1an+1?1?1an（2）依題通過化簡可得：bn=119．【答案】（1）連接C1B，因為DE//平面BCC1B1，平面ABC1∩所以DE//BC由AE=2EB，有又A1C1//AC，即所以AC=2A??????（2）因為AB=6，BC=4，AC=213所以AC2=A又A1B1//AB，又AC=2A1C1，所以C1又BB1⊥平面ABC，平面A所以BB1⊥所以VC?【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的性質，三棱錐的體積計算公式.

（1）連接C1B，利用直線與平面平行的性質可推出DE//BC1，從而可得AD=2（2）先利用勾股定理證明AB⊥BC，再結合已知條件可證明A1B1⊥C1B1，根據(jù)題意可證明：20．【答案】（1）由f(x)=e可得到f'當x=0時不是f'則可得exx2構造函數(shù)g(x)=exx則g'(x)=ex(x?2)所以當x∈(?∞,0)，g'當x∈(0,2)，g'當x∈(2,+∞)，g'所以g(x)而當x→?∞時，g(x)→0，當x→0時，g(x)→+∞，當x→+∞時，g(x)→+∞，所以a>e則a的取值范圍為(e（2）構造函數(shù)h(x)=f(x)?a則h'(x)=e構造函數(shù)u(x)=h'(x)=再令v(x)=u'(x)=因為a≤12時，則v'(x)=e而v(x)≥v(0)=1?2a，所以u(x)在[0,所以u(x)≥u(0)=0，所以h(x)在[0,故h(x)≥h(0)=1?1=0，即f(x)≥ax【解析】【分析】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

（1）由f(x)=ex?a3x3?1有3個極值點，可推出導函數(shù)f'(x)=ex?ax2具有3個零點，原問題可轉化為exx（2）構造函數(shù)h(x)=f(x)?ax2?x=ex?a21．【答案】（1）依題意，動圓Q在圓P外，設動圓Q的半徑為r，且r>1，由圓Q與圓P內(nèi)切，得|QP|=r?1，由圓Q因此點Q到P(0,2)即曲線C是以P(0,所以曲線C的方程為x2??????（2）線段MN的長度存在最小值，理由如下：設A