數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

數(shù)理統(tǒng)計知識點歸納：第二章統(tǒng)計量和樣本矩及=:￡紋為樣本均值?S：= — =十免X”X2為樣本方差？s廠一一1，(X「X)2為修正樣本方差(簡稱樣本方差hsn=C圣-X?為樣本標(biāo)準(zhǔn)差：Ak= =1,2,-0為樣本k階原點矩；舔二:"(X一天尸，(A=12…)為樣本k階中心矩早由定義2.2可見,Ai=X,4=S3S；,=￡MS-￡X=ex,dX=：dx,es上Tdx,esr=dx'經(jīng)驗分布函數(shù)總體X的經(jīng)嗡分布函數(shù)可表示為0,.rVh⑴，F(xiàn)m(h)-5：,=*+， ]*)<工<文(*+口.6=1.2,■tn~1,3工》工⑺一性質(zhì)⑴0WF<])<h(ii)H,(EB)=0,F<+°0)=k(iii)居(工)非減且右連續(xù).(2)久(工)是隨機變量，且質(zhì)/了)=5(工)?與(fFQ)),進而理三⑴]二FG),D[F<z)]=eF(H)[-FG)].充分統(tǒng)計量完備統(tǒng)計量例2.3設(shè)總體X服從兩點分布B(1小)，即F1X=x[=;>x(l-p)ir,,l=QJ,其中0</<1,(Xi,XJ是來自總體X的一個樣本，試證又二!￡黑是參數(shù)戶的充分統(tǒng)計量.

…EC的條件概率…EC的條件概率H)為樣本值.其中工,或L當(dāng)已知與p無關(guān).所以火是。的充分統(tǒng)計it，因子分解定理<1)連續(xù)型情況：設(shè)總體X具有分布椅度人工*),(X】，X2,…是…樣本，T(Xi.XwJ-XQ是一個統(tǒng)計量，則丁為呂的充分統(tǒng)計垃聃充要條件是；樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)可以分解為L（@）=II/（=兒（*］72,…，工B）屋T（*l士T…，注K）；d），d-1(2-3)其中A是工［，必,…,孫的非負函數(shù)且與0元關(guān)，國僅通過T依賴于“M?二“M?二i(2)離散型情況:設(shè)總體X的分布律為p|x=N""二P(M2,…)，(&,匕,…,工)是一樣本，T(X］，￡,…，工)是一個統(tǒng)計量，則丁是8的充分統(tǒng)計量的充要條件是:樣本的聯(lián)合分布律可表示為（2⑷pIX]=X]?x2=….冗=I芻Hp|x=lJt—（2⑷=丸Ci,孫，…】工/晨r（H[,x：2,，1F）；o），其中h是工廠通,…，/的非負函數(shù)且與8無關(guān)力僅通過T依賴于孫.例題2.3解口X]一J：1,X2=工之，….X找不心若取若取1n設(shè)屋1n設(shè)屋X）使得T（M 工姓）=｝寧H；*ni*1g（T《±i ,….工,〉二戶）=（1-廣尸（[F力）則有尸|X1=X|,Xj=,工，…*Xe-H」=&（H],工±」*。7（工1,#史「一）；力），1K由因子分解定理知，丁《Xi，Xn，…，X3=—Xr=XUp的充分統(tǒng)計冷?=■連續(xù)型例23設(shè)X^Xz，…，尤是來自正態(tài)總體NQJ）的個樣本，試證樣本均值又是產(chǎn)的充分統(tǒng)計量-證明樣本（X】，&,…，XQ的聯(lián)合分布密度為皿,邛,…，%i產(chǎn)）=人1 '/Qg（丁（4,央,…，駕J；/）*由因子分解定理知，T（Xi,X工,….XQ=X是/的充分統(tǒng)計量，完備統(tǒng)計量解題步驟：⑴定分布，知密度函數(shù)（2）求E（3）令分布E=0（4）推g（x）=0（5）知g（x）為完備統(tǒng)計量

例2.8設(shè)X「X?,…，火舞是來自兩點分布后（1”）的樣本.由例2.3知又二。是P的充分統(tǒng)計量,下面驗證火也是完備統(tǒng)計量.由于忑-王區(qū)服從二項分布與（叫「]故火的分布律為=C*^*(L-步尸一人.k=0,1,2,…，嶗。(白<1.Eplg(X>]=圖2內(nèi)1-pr~k=0,對一切0<P<1>（17哈喈閾七）0,對一切0＜戶＜1=0,對一切0＜戶＜L上式是關(guān)于（二^）的多項式，對一切0＜立＜1（17哈喈閾七）0,對一切0＜戶＜1=0,對一切0＜戶＜L上式是關(guān)于（二^）的多項式，對一切0＜立＜1要使多項式值為零，只能是它的每項系數(shù)為零，即武十=03=0,1,2.…，打）.所以X是完備統(tǒng)計量,指數(shù)型分布族的完備統(tǒng)計量的求法定理2T設(shè)總體K的分布密度〃工：&）為指數(shù)型分布族,即樣本的聯(lián)合分布密度具有如下形式：Ift =c（e）?tp1￡＞4。）耳（小，皿，i-（ 產(chǎn)1F1⑵9）其中0=（內(nèi)，出「、3），日三核如果。中包含有一個楸維矩形，而且3=（&（6）,8式。），?+?，限（。））的值域包含有一個m維開集，則T=（Ti（X],X2r",Xfl）1Tj（X|fXz,…,尤）,…，兀*（X[,X^t….Xj）是參數(shù)”4,…，%）的充分完備統(tǒng)計量.例20設(shè)總體X服從泊松分布P（A）,右,修,…,％為其樣本,樣本的聯(lián)合分布律為IP+Xl= =為…"=工后=fl1廠n^j--eexpn看!與式（2.9）比較有C（A）人工之」一,1*）=-II丁（工1，工之，一.，工內(nèi)）=X；=受,ni=iA）=nInA,因此，樣本均值?。╔「Xa，….&）=又是參數(shù)入的充分完備統(tǒng)計量.抽樣分布（正態(tài)總體樣本均值和方差的分布）定理~6設(shè)X]，整，…，是來自正態(tài)虺體NJ,產(chǎn)）的一個樣本，則樣本的任一線性函數(shù)LJ=ti.Xi+a±X2+■,*+111rxm仍是正態(tài)變量，目U?N（產(chǎn)自行”—&。

「=】 i-i特別地，取4 1,2,…E）得到樣本均值X的概率分布為X?N（R,g）或?N[O,1）. ⑵⑼定理2.7設(shè)3，Xz「，，％是來自正態(tài)總體NJ,M）的樣本.則警=，"7?又=（融_x）2_/（M-D,（2.11）且X與受（或S?。┫嗷オ毩?定理2.8設(shè)Xt,X2<sXB是來自正態(tài)總體樣本.則T- ^?M安-1）. （2-15）定理N.9設(shè)。和匕，定理N.9設(shè)。和匕，匕，…「匕】分別來自正杰總體⑵16)其中定理2?1。設(shè)羽，&,…，X/和丫1,匕，…，L工是分別來自正態(tài)總體N"】,次）和NJ打謁）的樣本?且它們相互獨立，則尸=-F（網(wǎng)1一1,用工一1）. （2-17）非正態(tài)總體的樣本均值分布例2/1設(shè)總體X?玳N,力MX，…，4為來自總體的一個樣書則由于參數(shù)p相等的二項分布具有可加性，故有tlX=S工?ECtN.r）.■-1于是得到p\x=釗一出-方產(chǎn)—3h=。，1,2,…，蟲次序統(tǒng)計量（是充分統(tǒng)計量）

定理2/5設(shè)總體X的分布密度為人工）（或分布函數(shù)為F<r））tXlt刈，…,X為來自總體X的樣本，則第歷個次序統(tǒng)計量X㈤的分布密度為-（力-1）!（Ji」人）！-F（h）L*A*）.k=12…，*（2.23）=神口?/（二兄"一】/（H）,=打LF（H）]"T/（W）-定理2.16設(shè)總體X的分布宙度為/《工）（或分布函數(shù)為/O1）,Xi.X*,…aX*為來自總體x的樣本，則次序統(tǒng)計量（火⑴出⑺，…rXm）的聯(lián)合分布密度為J也！Ilf（加）, yt<yz< *丁《山，》工，…，N）=1 9]〔依 塊他.定理2J?設(shè)總體X的分加密度為人工）（或分布酹數(shù)為fG）），m，X2.…，*為來自總體X的樣本，則（x⑴，&肩）的聯(lián)合分布密度為加"3川）=｛臚THF⑴產(chǎn)W3，第三章參數(shù)估計無偏估計定義3.1設(shè)外火用的…因）是參數(shù)8的估計量，若E&=8,則稱6是6的無偏估計量.如果就W6,那么以-6稱為估計量8的偏差.若UmEO=仇則稱a是j的漸近無偏估計.”例3.4設(shè)總體X的?階和二階矩存在，分布是任意的，記EX=",UX=M.則樣本均值N是*的無偏估計，樣本方差S：是M的漸近無偏估計,修正樣本方差是招的無偏估計.證明由定理2.2的推論知EX=p. 日所以，火是〃的無偏估計量.由于limES：=lim邑 以=次\nfmnrefbfl所以.S：是d的漸近無偏估計.又由于ES：'二E（臺故￡；'是d的無偏估計.均方誤差準(zhǔn)則定義設(shè)方為一個未知參數(shù)為為e的一個估計量M的均方誤差定義為 ,MSE（a,8）=E（66）2. （3.3）MSE(a,J)=十(Et9-3)2.如果估計量&是無俱估計,則育IVIStCf夕")=￡?.相合估計京5B3.1設(shè)衣是8的一個估計量，若1日】1上也目 …-三鵬則公蛆日的相毋估計.定理3*3如果乩是。的相合估計,以工）在工=e連續(xù),則也是雙。）的相合估計.點估計量的求法（1）矩估計法（2）最大似然估計法矩估計法的理論依據(jù)樣本矩是相應(yīng)總體矩的相合估計，即樣本矩依概率收斂于相應(yīng)的總體矩Ex=JxdF（x）=Jxf（x）dxEx2=Jx2dF(x)=Jx2f(x)dx例3.8米總體X的均值"和方差”工的矩估計.解設(shè)X[,X?…，Xn是X的一個樣本，由于Jex-"，Iex2=口X十（EX>2=M+1,故令X=/、=六+1.解之得戶與，的矩估計量為石=X^z=^±<Xf-X）2=Si最大似然估計法1*他I燃函戮設(shè)總體X是連續(xù)型隨機變量，其分布密度為，（工/），其中。=（0廣久，…，心）是未知參數(shù).若（X],X之，…，乂）是總體X的一個樣本，則樣本｛小.X"…，Xn）的聯(lián)合分布密度為][/（看⑻，當(dāng)取定工1，叫，…后，它只是參數(shù)”3,???，*）的函數(shù)，記易L（。），即匚（抄）-這個函數(shù)匕稱為似然函數(shù)即似熬函尾就是樣本的聯(lián)合分布密度若總體X是離散型隨機變量，其分布律為F|X=丈￡=白（小。），工=m⑴，工⑵.…，其中5=（名，為「、&1）是未知參數(shù)，（X|,才上一?，心）是來自總體》的樣本,則祥本CX】，X*,…，工）的聯(lián)合分布律|JF|X=j；J稱為似然函數(shù)，記為L"）,即 1L（&）=JJ尸I￡=4-}=[[0（三/6）

?-*1 4=3i求最大似然估計量的一般步辣：K寫冊似然函數(shù)L（&）].求出EL及似然方程.解似然方程得到最大似然佶計,叼?）（f=12…，m），.最后得到最大假然估計量良（占，￡「、幻）（￡=1,2,…，m）.例3.13設(shè)總體X服從正態(tài)分布NJ?。，試求未知參數(shù)戶和7的最大似然估計量.解設(shè)（小,無，…，XJ為X的一個樣本，其值為（孫.M.…記。=（人『八則InL(B)一則似然方程為InL(B)一則似然方程為L(e)=n-7=解得估計為所求的最大似然估計量為 0=X,=51用次序統(tǒng)計量估計參數(shù)的方法樣本極差R來估計總體標(biāo)準(zhǔn)差中位數(shù)來估計均值最小方差無偏估計求法步驟：（1）由分布寫出聯(lián)合分布密度函數(shù)L（X；。）（2）因式分解，證明是充分完備統(tǒng)計量（3）如果不是，利用最大似然函數(shù)來求出再證明其完備統(tǒng)計性（4）進行無偏運算得出無偏性E（0）=。定理33設(shè)總體X的分布函數(shù)為尸（斗。）,86機（X]，心.…，XJ為其樣本，若t=T（X],X”[X；）是0的充分完備統(tǒng)it量5為6的一個無偏估計，則y=E（61T） （3.18）為e的惟一的最小方差無偏估計.

定理3.8設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（工評）,HG@是未知參數(shù)JX-乂之，…，XQ是來自總悻X的?個樣本,如果T=?。╔“Xw，…，XQ是6的充分統(tǒng)計-鼠/是8的任一無偏估計.記外=E（3|T）,即行(3,16)(3.17)用*="時一切8(3,16)(3.17)口9工V1通，對一切fG?,即1是3的最小方差無偏估計.043.21設(shè)[黑口又工，…，X.）是來自總體X服從區(qū)間（0,在）上均勻公布的一個樣本.求8的最小方差無偏估計一解樣本的聯(lián)合分布為L(e)-TT/(%)=0<H1，M士,…■工R<3其他.0.其他.0.其他.其中#門）、工⑺為最小、最大次序統(tǒng)計量的取值，?、刃模槭拘院瘮?shù)，即TsmS）=: 由因子分解定理2.3知，X（Q是"的充分就計量,其分布密度為易驗證該分布族是完備的，因而Xg是"的充分完備統(tǒng)計量,又因.芭（安3X3）=9.即紅二詠⑺是0的一個無偏估計，故由定理3.8,茸L：1""Xg）=紅亍1Xg是8的最小方差無偏估計.有效估計信息不等式1（。）=萬（迎嗎導(dǎo)回了稱為費希爾（FAher）信息量D[T（X）]>￡溜卜 （3.24）稱為信息不等式，或稱為羅-克拉美不等I⑻一E仔嗎昔⑻}d[t（x”》流"g（8）=8時例3.Z3設(shè)（X「X2,…，工）是來自總體X~ZH）的一個樣本，試求N和產(chǎn)的無偏估濘的方差下界解總體X的分布密度為=-y=-e-(J：2^，V2tt(7lny(h;月，#">=—ln/27T1Ina2—T73(才一"尸，j Z(7所以/(ju)=e(2￡^_￡￡)2=pE(X-產(chǎn)產(chǎn)==%于是出的無偏估計的方差下界是哥Q=5，而D（元）=《.這說明樣本均值X的方差達到了羅-克拉美下界，所以X是制的最小方差無偏估計.由于券=一方+（工￡.上，…,#）=彳-1.根據(jù)式（3.27）,〃2、口「/?〃￡. 4〕E（X一任產(chǎn)」 1“"）=一 口八X；*，/）［= -2a4-2a4,因此一的無偏估計量的方差下界是裝址=亨有效估計定義3.8若8（或g（8））的一個無偏估計量儀或7（X））的方差達到羅-克拉美下界，即）=奇（或D「『（X）］=%'［解）， （3.30）則稱外或T（X））為外或。（廿））的有效估計（量L定義3.9設(shè)。是日的任一無偏估計，稱后⑹=77玩（3.31）為3的效率.由羅-克拉美不等式知，對于任意一個無偏估計心貸效率滿足。（￡2）Ml.如果“外=1,則4是，的有效估計.定義3.10若0的無儲估計量0的效率滿足lime（^）=1, （3.32）則稱8是二的漸近有效估計（量5?例3.24設(shè)總體X服從二項分布夙N/）,（Xi,達,…，XQ是來自總體X的樣本，試證，二之彌是參數(shù)p的有效估計量.證明X的分布律為戶|'=了|=<上一 即/（1；#>=,*（1- H=0.1.…，N,lnf（s：力）=In（2^+工In2+（N—工）ln（1-p）,

定理冊11設(shè)（X>Xj…，4）為總體X?FQ；8）的一個樣本方二伙Xi,不,…，丸）是廿的一個無偏估計Bt，則S是f的有效估計的充分必要條件是；（1）。是&的充分估計量；⑵廂L您組）二c⑻⑷工1g.???,4）-即,其中LJ⑹是樣本（Xi，X2,…，XQ的聯(lián)合分布密度（或聯(lián)合分布律），是僅依賴于8的函數(shù)一區(qū)間估計一般步驟：⑴設(shè)法找到一個包含樣本（X1,&,…，兒）和待估參數(shù)。的函數(shù)以X],X?,…，X,;。），除6外&不含其他未知參數(shù),一的分布可求出且與G無關(guān)；<22對于給定的甘信度1-『■由等式尸"VulX—X.-X"、V4I適當(dāng)?shù)卮_定兩個裁數(shù)jH*O求解不等式cv卬Xz,—,x氣；ya從而有【一GEFl叫《Xi…;XCV日V/（X—X故《名評工）就是所求的置侑區(qū)間【一GE正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間陸計對象對總體（期樣本的^求）所用函數(shù)及其分布置信區(qū)間均值#正杰總體/已知①喊，哧）均值產(chǎn)正態(tài)總體￥未知T=款一?7卜r釣-喀■啥）方差/正態(tài)總體六葉^~濟”1）/(w-Dsf(h-1)S；2\(6(ld寵小時-1》

均值差—?兩個正態(tài)總體，方叁已知n均值差—?兩個正態(tài)總體，方叁已知n-—-一(川-內(nèi))7《0,1)均值今兩個正香慈體，方捶相等丁二 .—?-｛卬―內(nèi))_J腦1-1>5：；+6-1)就；/n］打？(砰］+施、—2)N 汽1十-E(*i+rtl12)方差比顯14兩個正態(tài)總體s力馬 、F=-2F(n2-］,好1_1)0口品第四章統(tǒng)計決策和貝葉斯估計1.彈本空間和分布嫉設(shè)息休X的分布函數(shù)為F(工8是未知套敷打旺日，5稱為參數(shù)空間，若fX-X；；.….X,)為取自總體X的一個樣本,則樣本所有可能值組成的集合稱為樣本空間，記為度，由丁Xi的分布函數(shù)為廣(".*￡),￡=1,2,…甘內(nèi)?則(X].…，XQ的聯(lián)合分布函數(shù)為/力1+萬A\?1?3(?!+?2-2)F(jc1,--,x?t=J］戶(*造。).0G若記F"={R產(chǎn)(工=")，日W曰|,則稱F”為樣本(X-…，K,)的概率分布族.簡體分布版：定義4.1定義在樣本空間史上，取值于決策空間W內(nèi)的函數(shù)dJ)*科為統(tǒng)計決策函數(shù)，簡稱為決策函數(shù).形象地說，決策函數(shù)H(h)就是一個“行動方案，當(dāng)有了樣本r后，按即定的方案采取行動(決策)小工).在不致誤解的情況下，也稱d(X)=d(Xi,…，X“}為決策函數(shù),此時表示當(dāng)樣本值為*三(hi，…”3時采取決睇次靠)=小”1-*,4)，因此,決策函數(shù)"(*)本質(zhì)上是一個統(tǒng)計量.定義4.2設(shè)樣本空間和分布族分別為身和產(chǎn)，，決策空間為題損失函數(shù)為MMd)w(x)為決策函數(shù).則由下式確定的0的函數(shù)氏(8,⑷稱為決策函數(shù)d(X)的風(fēng)險函數(shù)RWd)=E/L*,d(X))]=曰"(凡人上一…(4.7)R《y)表示當(dāng)真參數(shù)為8時，采用決策(行動)”所蒙受的平均損失，其中當(dāng)表示當(dāng)參數(shù)為0時，對樣本的函數(shù)L( 求數(shù)學(xué)期里，顯然風(fēng)險越小,即損失越小決策函數(shù)就越好.但是，對于給定的風(fēng)險函數(shù)4(X),風(fēng)險函數(shù)仍例4,4設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(產(chǎn)，1),/￡(-8,+8),*=(X|,Xz,…，X.)為取自X的樣本，欲估計未知參數(shù)產(chǎn)，選取損失函數(shù)為L(〃")=(d—p)2?則對fi的任一估計d(*),風(fēng)險函數(shù)為K(…H)=K，=EjSd—若進一步要求H(K)是無偏估計，即EjH(K)]="，則風(fēng)險函數(shù)看RS=瑪〈4一Ed}2= (d(X)),即風(fēng)險函數(shù)為估計量d(X)的方差.貝葉斯估計方法后驗分布設(shè)總體x的分布密度為的先驗分布為武g.由于8為隨機變量并假定已知8的先蛾分布，所以總體X的分布密度做工,8)應(yīng)看作給定e時x的條件分布密度，于是總體x的分布密度P(工，需改用p(工\d)來表示.設(shè)/=.…，X。)為取自總體x的一個樣本，當(dāng)給定樣本值x=(匕1,…0G時，樣本x=(&,…，<)的聯(lián)合密度為M.守Gin…，工"I&)=HP<JTI1§),

■-1J1或表示為 y(xI8]= 8)，由此，樣本X和8的聯(lián)合概率分布為=y(jrI8)汗(日).由乘法公式知八*,8)二大(8)書(K1=^(x)h(d1?〉.于是有h(6Ix)= 13\(日F9), (4.8)拂方(。丘)為給定樣本x=j時，d的后驗分布,它是給定樣本后e的條件分布其中耳(*)是(X,d)關(guān)于樣本x的邊緣分布一如果8是連諼型隨機變最，m"(Jt)=\qC”I(7)?r<如聚G星網(wǎng)舷型觸機孌錄,則癬C*)=0J \8》k(8).息.悻分布參政共他先看分布二嗯分布成功橫率 一伊分布B1七/泊松分布均值 1r分布「(叫4L指數(shù)分布均值的偶數(shù)「r分布iXq")正態(tài)分布《方雉已知)均值正態(tài)分布同—，/)_正蠡分布(均掣已知)___權(quán)倒t分布irujj 貝葉斯風(fēng)險 貝葉斯點估計貝葉斯估計量將參數(shù)0視為?上具有先驗分布Z。)的隨機變量后，風(fēng)險函數(shù)R5t1)可寫為R(9,d)=E/L(。，=J/(￡,d(x))q(工I6)dx,它是日的函數(shù).仍是隨機變量，關(guān)于6再求期望，得B〈H)F[區(qū)(8,d)]=fR&m\d8. (4.10)H(⑷稱為決策函數(shù)d在給定先艙分布Z4)下的貝葉斯風(fēng)險.簡稱d的貝葉斯風(fēng)險.當(dāng)總體X和9都是連續(xù)型隨機變量時，上式可尋為B(d)=fR((9.d)兀(￡)38=J8J乙(8.d(x))q(jcId)tt(8)d工dM=.d《X〉)￡(X)典(8Ix)djrd6?=/#0)［，L" (0I當(dāng)總體X和9都是離散型隨機變量時，有13(d)= x)|23L(9,〃〈工)內(nèi)(￡Ix))|.

由上式可見,貝葉斯風(fēng)險可看作是隨機損失函數(shù)L（依d（*））求兩次期里而得到的，即第一次先對0的后臉分布求期里，第二次關(guān)于樣本X的邊^(qū)分布求期望.此時，由于R（d）已不依賴于參數(shù)8而僅依賴于決策函數(shù)d（X）,因此,以貝葉斯風(fēng)險的大小作為衡量決策函數(shù)優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是合理的.定理4.2若給定6的先驗分布加（6〉和平方損失函數(shù)L（8,d）=（8—d）工則0的貝葉斯估計是"（X）=E（&，*=*）=]弗（8|x）dOr其中后（內(nèi)才）為參數(shù)e的后驗密度.定理4.3設(shè)h的先驗分布為六（。），取損失函數(shù)為加權(quán)平方損失函數(shù)L（g,d）=入㈠）（H-。/，則8的貝葉斯估計為/*/\_E[A（。）*8Ih]d- E[4（8）J]-定理4.6設(shè)0的先驗分布為加（d）,損失函數(shù)為絕對值損失=1d—BI,則0的貝葉斯估計為后驗分布人（日丘）的中位數(shù).例4.11役總體X服從貝努利分布從1，力3其中參數(shù)P未知而/在〔°，1]上服從均勻分布，乂],乂2「，，乂”是來自X的樣本,假定損失函數(shù)是二次損失函數(shù)L",d）=（p_d凡試求參數(shù)力的貝葉斯估計及貝葉斯風(fēng)險.-*■*,*?■.1-irftJ'Jimrt.It..7^.fcT^JJJLJI"，工<■/ 、— ―? f?-f, —— .解由定理4.2知,當(dāng)損失函數(shù)為二次損失函數(shù)時，欲求P的貝叫斯怙計需先求p的后驗分布%（3*）=q《*l由）冗（△）/&（上）.由于給定"X的條件概率是q（xIP）三〃乂1一戶）一才所以（X],X=…，XQ的條件概率是q（x1戶）=宜產(chǎn)《11 =抗W、（l-P）"N'i=1而p的先驗概率密度為k"）=L/>￡[O,l],所以（Xj右,…，<）與P的用合密度為衣”,身如f（工，方）=中四工*（1,（Xi*Xa,…，居）的邊縫分布是衣”,身如g（s）=1：聲之多（1—汽 31=^（S^i+11n+1--工二）i-I <-L=（￡國）!（劉-VJx,）!/（n+1）Li匚] 曾二]最后兩個等號成立是根據(jù)8（「，q）=J；/T0I1/-1叱和風(fēng)處q）=P（P）ru）/T6+q）,r3+i）=履而得.所以p的后驗分布為

[(S)!(w-￡右)！]/"+1)!i-i 1人〈…）=半界= Ap-ph{p\x)dp」0[(S)!(w-￡右)！]/"+1)!i-i 1人〈…）=半界= Ap-ph{p\x)dp」0（￡國）?。 /J!r-I i—l因此/的貝葉斯估計是無事，下文不另說明）這個估計的貝葉斯風(fēng)險為5⑸=J-[L（》,4）I口我(/-p)2dp[(S^+1)!][(?-S^)1]-~~(…2)]:H.(其中\(zhòng):4=而 +11=1—(n+2)/>-E[Y—九力+1-2/肚，其中￥=:蒼服f-1R -E[ZX.+1—（雙+2）。]=np{\—p}+（1-2p）2tB(p):2“]的B(p):2“]的例*12假設(shè)總體X服從正態(tài)分布其中參數(shù)必是未知的，假定戶服從正態(tài)分布N（O,1）,并假設(shè)X-X?.…，X.是來自該總彼的樣本.對于給定的損失函數(shù)L（n」）=（〃-4）'苴求M的貝葉斯估計量解給定一JX-Xn，…，招）的條件分布密度為

（X1,X2,…，鷲）與/的聯(lián)合密度是/（x?P）=（工;:嚴(yán)叫一y[Sr+（b+ —（Xi,Xe,…，XJ的邊緣分布密度為g（x）=[ /（某,四）J—TOf0° ]二Las鏟"—4"[y^x?+(n+1)/一2finxf0° ]二Las鏟"=— exp_a[("+1)/_23曲]>必(2k)2 1 2 /=人―卜4A3-番⑴2]|(告1)2于是M的后驗分布密度是K"?*>='^））=（*）&]-審（"-吊）卜所以"的貝葉斯怙計為”=Lm（〃1工）如=^^「jexp卜審（"D1皿E HK_曜1_wr+I一打+1士卬若X服從N5,3）,〃服從N（0,廬），L腦，d）=（刈-d）2,則產(chǎn)的貝葉斯估計為尋求最小最大決策函數(shù)的一般步驟為.對D*中每個決策函數(shù)dOi，…，右）,求出其風(fēng)險函數(shù)在8上的最大.在所有最大風(fēng)險值中選取相對最小值,此值對應(yīng)的狹策函數(shù)便是最小最大決策函數(shù).例4J8在例4.11中若取參數(shù)p的先驗分布為6分桶（0,守），則在平方損失函數(shù)F,戶的貝葉斯估計p="當(dāng)立>為p的Minimax估計.2（vn+1）解因力的先驗分布為月分布b（守,g）,其密度函數(shù)為其余.

其余. - --■■ --4(/n+1/由上式知p的風(fēng)險函數(shù)是與戶無關(guān)的常數(shù)p=2為戶的minimax估計.產(chǎn)2(/^+1)第五章假設(shè)檢驗一個以Hq為零假設(shè),H1為備選假設(shè)的假設(shè)檢驗問題常記為:H0：t/e包jHi：。wa例S.2某電器零件的平均電阻一直保持在2.64歐姆,改變加工工藝后，測得100個零件的平均電阻為2.62歐姆，如電阻值服從正態(tài)分布，改變工藝前后電阻的均方差保持在606歐姆，向新工藝對此零件的電阻宥無顯著影響？由題設(shè)知電阻X?N",品)，設(shè)(即，…*Xg)為其一組樣本，現(xiàn)在取假設(shè)檢驗為：—2.64**H(!/￡=2.64,由樣本均值X的性質(zhì)得知：EX-fi,D(X)=當(dāng)H口成立時,米一可卜,引，這里阿=264回=。』6迷=100,因而%/Vn

這里記號“y%'（0*1）”表示Ho成立之下，V服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.則對于給定的女（一般常取口=。.05,0.01或U.10）,占附表I可得滿足下式的人力.對本例制=1005（5=2-84,最=0.062上式即為P|國包x10>1.96I=0,05,這表明當(dāng)假設(shè)為成立時，事件?X10）是一概率為0.05的小概率U.U0 I事件，平均在20次抽樣中大約有一次發(fā)生,如果在一次抽樣中,小概率事件發(fā)生已使人感到不正常，究其原因，可認為原假設(shè)=有問題，因此，應(yīng)該拒絕Hn："二〃n,即不能認為新工藝對零件的電阻無顯著影響.為了更簡單地表述假設(shè)檢驗，借助于示性函數(shù),引入檢驗函數(shù)鼠工）：8(h)=10,工￡8(h)=10,工￡W,JT￡W,64)由（5.4）可知.若有樣本厘使新工）=1,則否定打解若使5（工）=0,則接受給定一個檢驗，記它的拒絕域為W,檢驗函數(shù)乳工）為;]1,工€憶儀工）工T,GW.當(dāng)我們用它來檢驗15.2）時，有可能犯兩類錯誤.第一類錯誤是:零假設(shè)成立時，山于樣本落在拒絕域中而錯誤地拒絕零假設(shè).第類錯誤又可稱為"棄真錯誤”其概率為E式置X｝）=P￡X￡W）, 0e，，第二類錯誤是:零假設(shè)不成立時，由于樣本落在接受域中而錯誤地接受零假設(shè).第二類錯誤又可稱為“存?zhèn)五e誤”?，其概率為定義5.2對于檢驗5（e）,可以定義一個函數(shù)做日）二E&ix）=f$（xeVV）,稱3（6）為這個檢驗的效函數(shù)（2口5function）,又稱為功率函數(shù)例5.4設(shè)總體X服從N（產(chǎn)，充）分布，/已知,Xi，%,…，（是來自X的樣本，試求檢驗問題= 出n的勢函數(shù)一對于檢臆水平叫該檢驗問題的拒絕域為則檢驗的勢函數(shù)為=Pfi=Pfi|入駐X。+'ni/2^/~fl?+正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗%Hi適用范圍檢驗方其蛇計量拒德域逑=菸0戶H產(chǎn)?正態(tài)觸體風(fēng)產(chǎn),斕，品巳知K檢聆u=、4由-J-/*n1j—>.一4nU4.氣 子產(chǎn)〃》小%「〈朗4 #0/-yV此0%ffQ件二產(chǎn)n正態(tài)總體N（pfa2）t〃，/未知2檢驗1一卅01 n5n 1〃《產(chǎn)0產(chǎn)》設(shè)土產(chǎn)心31）$R產(chǎn).產(chǎn)4〈-%（巾i），社4=〃產(chǎn)網(wǎng)兩個正態(tài)總體川5?*）和N（…布,端》不已知U檢驗I』&』斗一」21-遮得'網(wǎng)《m〃1>片2:工1二口、_產(chǎn)啟網(wǎng)尹1＜興之產(chǎn)二三工一?人,產(chǎn)】一產(chǎn)工產(chǎn)】聲嚴(yán)】網(wǎng)正態(tài)總體可（卬.，）和N（料工/O2）t*1,如儲.自未知播下4f檢蕤T=X-Y《(叫一US'；+3”口5￡；1r|合E,《f本國工―2）產(chǎn)】《產(chǎn)工尹1＞產(chǎn)2t>ta{n}+fl2-2)月1《月2&/對1"】(2!十門之2)>/ ?i+?2t<-r.(?i+，”-2)</-tfo/Ke點個if態(tài)總體N^tra2）.ft,「未知犬檢驗J=(?-1>S；2M 蝙X史信］?（曾一1）或XC—產(chǎn)T）C工瓦。至彳?8nT)"abj必］￡“3一1）%修適用弛圍檢躺方法跣計量拒絕域兩個正態(tài)題體FNF存（比一1,式2-1）簟K*■ ―，*■6一九N（丹，M）和2P^Fi -ltn2-1)sr土&同N"上，房）.F檢驗T*iF二—is三F)F0(如-1*ni-1)點肝V晶伊i，丹?搭起未知F￡F|,(rti-L,h2-1)產(chǎn)"N。"手內(nèi)i節(jié)正態(tài)總體大佳*'陪際1it以〃g**《孫?！沸檢驗（-一出）々s.M〈產(chǎn)0FF個IHJE*H〈一%蘆1二戶2產(chǎn)羊。0fI-X-Y1u13g〃1W〃)利1>H非正態(tài)總體大林率情增M檢兼回51tj1L.?金酎鼻?內(nèi)Fi<產(chǎn)2N?1K?U貳-H.

非參數(shù)假設(shè)檢驗方法由定理5」知，當(dāng)?充分大時.可以近似地認為也近似服從/(m-1)分布,對給定的檢驗水平0《注＜1,由X2分布表求出常數(shù)/(機T)，使尸|￡》/"~1)|0q一給定一■組樣本值(W.=21r…，.f)K對應(yīng)的(Nl,N*.…，)的值為(71],??…E),由式(5.23)計算出比的觀察值-2_小(一1-一聲通〕'如果-1).則拒絕假設(shè)乩.即認為總體的分布與假設(shè)H。中的分布有顯著差異;若尤V晨-1),則接受Hq,即認為總體的分布與假設(shè)H。中的分布無顯著差異.例5.10將一顆般子擲了120次.結(jié)果如下：點數(shù)點,2,3,4