2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習解題技巧方法第一章第5節(jié)極限思想教師版

極限思想學問與方法中學數(shù)學并沒有系統(tǒng)地學習極限的相關理論，但駕馭一些簡潔的分析極限的方法，可以奇妙地解決一些選擇題，其本質是特值法的思想.運用極限思想分析問題時，我們常用以下方法：（1）當時，我們把想象成一個很大的數(shù)，例如10000；（2）當時，我們把想象成一個很小的數(shù)，例如；（3）當時，我們把想象成一個比0大一點點的數(shù)，例如0.01；（4）當時，我們把想象成一個比0小一點點的數(shù)，例如.提示：①當選項中出現(xiàn)了“”或“”時，或者在推斷函數(shù)圖象時，可以考慮極限思想；②設，，對于函數(shù)，，，當時，，符號“”表示遠大于，若指、對、冪混合在一個函數(shù)中，我們在考慮問題時，可以只看主要成分，忽視次要成分，例如，當時，，，若是同類型的函數(shù)混合在一個函數(shù)中，則須要關注底數(shù)、次數(shù)等，例如當時，，.典型例題【例1】己知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【解析】解法1：由題意，當時，，，，從而即為，故，當時，，，，從而即為，所以，綜上所述，不等式的解集是解法2：易求得，當時，，不滿意，解除選項A和C，另一方面，由上一小節(jié)的端點臨界特征，不難發(fā)覺應為解的區(qū)間端點，故選D.【答案】D【例2】（2024·新課標II卷）函數(shù)的大致圖象為（）【解析】先分析當時，的極限，我們也不用把取得太大，就假設，則，不難發(fā)覺比10000大得多，所以是一個很大的數(shù)，假如將x取成更大的數(shù)，那么也會變得更大，從而當時，，解除選項C和D，當時，我們可以取，則，從而不難發(fā)覺時，，解除A，故選B.【答案】B【例3】（2024·天津）函數(shù)的圖象大致為（）【解析】設，則，解除B、D，，解除C，故選A.【答案】A【例4】函數(shù)有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是_______.【解析】，設，則,所以，，從而在上，在上，，，，據(jù)此可作出函數(shù)的大致圖象如圖，由圖可知當時，直線與該圖象有2個交點，即函數(shù)有2個零點，所以實數(shù)的取值范圍是.【答案】【反思】分析極限是較精確地作出函數(shù)圖象的必備技能，例如本題若不會分析當時，的極限，則無法精確作出在旁邊的圖象.強化訓練1.（★★）已知函數(shù)，則的大致圖象為（）【解析】解法l：的定義域為，解除D選項，當時，且，解除A、C選項，故選B.解法2：易證，所以，從而，故，解除A、C，明顯函數(shù)的定義域為，解除D選項，故選B.【答案】B2.（2013·新課標Ⅰ卷·★★★）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【解析】解法1：函數(shù)的圖象如圖1，可以看成的圖象始終在直線的上方，當時，y軸右側的圖象不行能始終在直線的上方，不合題意，當時，y軸右側明顯能滿意，再考慮y軸左側部分，易求得的y軸左側的圖象在處的切線斜率為，如圖2，所以當且僅當時直線始終位于的圖象下方，從而實數(shù)a的取值范圍為解法2：當時，函數(shù)的圖象和直線如圖3，由圖可知，不能恒成立，從而解除選項A、B；當時，直線與的圖象如圖4，由圖可知，在y軸右側，不行能恒成立，從而解除C，故選D.【答案】D3.（★★★）若函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【解析】，設，則，所以，，從而在上，在上，，，，所以的草圖如圖，由圖可知當且僅當時，直線與的圖象有2個交點，此時，函數(shù)有2個零點，滿意題意，所以實數(shù)a的取值范圍是.【答案】4.（★★★）當時，函數(shù)的大致圖象是（）【解析】當時，，解除A；當時，，解除C、D，故選B.【答案】B5.（2024·新課標Ⅱ卷·★★★）設函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【解析】解法1：先求定義