2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：橢圓（解析版）

專題47橢圓（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................8

【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用..................................................8

【考點2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................15

【考點3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)................................................21

【分層檢測】...............................................................26

【基礎(chǔ)篇】.................................................................26

【能力篇】.................................................................35

【培優(yōu)篇】.................................................................40

考試要求：

1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).

?知識梳理

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點Fi,仍的距離的和等于常數(shù)(大于尸1仍|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫

做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的鯉I，焦距的一半稱為半焦距.

其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P={MI"Bl+|MR2|=2a},=其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：

(1)若心，則集合P為橢圓；

⑵若小口則集合P為線段；

(3)若我,則集合尸為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1+[=1(?>0)5+胃=1(。泌>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

y1.

B2

圖形烈一

￡^A2X

一aWxWa—bWxWb

范圍

—bWyWb—aWyWa

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點

Ai(~a,0),人2(。，0),Ai(0,~a),A2(0,a),

頂點

性~b),B2(0,b)0),Bz(b,0)

質(zhì)軸長軸A\Ai的長為2^；短軸B1B2的長為2b

焦距|FIF2|=2C

離心率e=，(0,1)

a,b,c的關(guān)系c2=cfi—b2

|常用結(jié)論

1.若點尸在橢圓上，R為橢圓的一個焦點，則

(l)6W|0P|Wa；

(2)a—cW|PF|Wa+a

2.焦點三角形：橢圓上的點P(xo,泗)與兩焦點構(gòu)成的△PR1R2叫作焦點三角形，n=\PF\\,n

2

=\PF2\,ZFIPF2=0,△PR的的面積為S,則在橢圓,+g=1（。＞。＞0）中：

（1）當(dāng)r1=廠2時，即點P的位置為短軸端點時，。最大；

（2）S=〃tan?=c|yo|,當(dāng)|yo|=6時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為。c.

2h2

3.焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦中通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短，弦長/min=二-.

?2

4.A3為橢圓a+，=1（。＞。＞0）的弦，A（xi,yi）,3（x2,yi）,弦中點M（xo,yo）,則直線A3的斜

真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）已知曲線C：x2+y2=16（y＞0）,從C上任意一點P向x軸作垂線段PP「P為

垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（）

B.—+^=1(y>0)

(J>0)

168

22

(y>o)D.—+—=1(y>0)

168

r2

2.（2023?全國?高考真題）設(shè)居，&為橢圓C:^+：/=i的兩個焦點，點尸在C上,若尸耳J耳=0,則

附|?熙|=（）

A.1B.2C.4D.5

22

3.（2023?全國?高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點，月，耳為橢圓C:二+乙=1的兩個焦點，點尸在C上,

96

3

COSZF{PF2=~,貝！J|OP|二()

13R屈14J35

A.——D.-----C.—D.

5252

22

4.（2023?全國?高考真題）設(shè)橢圓￡：=+>2=1(“>1),G:土+y2=1的離心率分別為4,4.若4=氐,則

a4

a=（）

A.正B.72C.百D.76

3

22

5.（2022?全國?高考真題）已知橢圓C：彳r+斗v=1（〃〉力＞0）的離心率為彳1，。4分別為。的左、右頂點,

ab'3

8為C的上頂點.若3?%=-!,則C的方程為（）

3

22

6.(2022?全國?高考真題)橢圓C:之+與=l(a>6>0)的左頂點為A,點尸,。均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若

cTb"

直線AP,AQ的斜率之積為J,則C的離心率為()

4

A右B&r1D1

A.D.C.—L).—

2223

二、填空題

22

7.(2022?全國?高考真題)已知橢圓C：A+\=l(a>6>0),C的上頂點為A,兩個焦點為五一工，離心

ab

率為過K且垂直于A工的直線與C交于。，E兩點，1。￡|=6,則V">E的周長是____________.

2

參考答案：

題號123456

答案ABBABA

1.A

【分析】設(shè)點M(x,y),由題意，根據(jù)中點的坐標(biāo)表示可得尸(羽2丫)，代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點M(x，y),則尸?%),P'(x,0),

因為“為PP的中點，所以為=2y,即P(x,2y),

又尸在圓/+：/=16(>>0)上，

所以X?+4y2=16(>>0),R=l(y>0),

164

即點M的軌跡方程為一+二=Ky>0).

164

故選：A

2.B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出「月心的面積，即可解出；

方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因為尸耳?盟=0,所以/期乙=90,

從而5研=62121145=l=1x|Pf；|.|PK|,所以歸耳HPE|=2.

故選：B.

方法二：

2

因為期"6=0,所以/尸片月=90,由橢圓方程可知，C=5-1=4^C=2,

4

所以I咫「+歸用2=但閭2=42=16,又歸耳|+|尸q=2.=2有，平方得:

|尸球+|尸球+2|尸制尸周=16+2|尸耳歸閭=20,所以|「耳卜|尸閭=2.

故選：B.

3.B

【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出P月外的面積，即可得到點P的坐標(biāo)，從而得出|OP|的值;

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|P制尸段周2,再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即

可求出；

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出|尸國2+|尸周:即可根據(jù)中線定理求出.

【詳解】方法一：設(shè)/片2工=2&0＜，＜曰,所以S兩&=廿tan=吩tan。,

由?！耙哩D―喘治二之31

=一，解得：tan6>=-,

52

由橢圓方程可知,。2=94=6,02=〃2一。2=3,

2

所以，S=gx|￡G|x|yj=gx2gxbj=6xg,解得：yp=3,

即$=91斕*因止匕|。尸|=7^=網(wǎng)=等.

故選:B.

方法二：因為|尸￡困尸閶=2a=6①,歸片『+|「同『-2|尸川尸鳥區(qū)甲遲=閨耳『，

即+L=12②，聯(lián)立①②，

1599

解得：閥廳閶=5,閥|+\PF2\=21,

而PO=+桃），所以依=|叫=+PF2\,

即|叫=:摩+「■=4附1+2P吊尸居+,[=]21+2X泮=學(xué).

乙乙"乙Yj乙乙

故選：B.

方法三：因為|P4|+|P6|=2a=6①,歸周2+歸閱2一21朋陀閶?os/耳尸耳=|耳周2,

即?「+附%卜]2②，聯(lián)立①②，解得：附『+附「=21,

22

由中線定理可知，（2|OP|）+|f；f；|=2^PFf+\PF2^=42,易知閨司=26，解得：|OP|=§.

故選：B.

【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常

5

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

4.A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.

【詳解】由e2=gq,得e；=3e；,因此上l=3x",而所以。=友.

4/3

故選：A

5.B

【分析】根據(jù)離心率及外?%=-1，解得關(guān)于〃2,從的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】解：因為離心率=L解得與=!，。2=>,

A-4分別為c的左右頂點，則4(一40),4(a,0),

2為上頂點，所以8(0,6).

所以網(wǎng)=(一。，一力，B&=(a,—b),因為網(wǎng)?%=—1

O

所以-/+62=一1,將廿=\"代入，解得"=9方=8,

22

故橢圓的方程為土+匕=1.

98

故選：B.

6.A

【分析】設(shè)尸a，%),則。(F,%),根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得—尤=；，再根據(jù)］+/=i,將％用

4表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】［方法一］：設(shè)而不求

設(shè)尸(%,%),則Q

則由原p?怎。=J得：kAP'kAQ=T-----=一變

4石+a-石+a_%■

fe2(?2-v)

得短

6

/ST)及1

所以一滔—1,即勺」，

——一玉2~+4—=74a4

所以橢圓C的離心率=故選A.

a\a22

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點為B,連接PB,由橢圓的對稱性知：kPB=-kAQ

故k：Ap?鐮=kpA?(-kpB)=

h2

由橢圓第三定義得：kpA-kpB=—\,

a

故!」

a24

所以橢圓C的離心率e小廠故選A.

7.13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為?+3=1，即31+49-12,2=0,根據(jù)離心率得到直線的斜

率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線DE的斜率，寫出直線DE的方程：尤=6y-c,代入橢圓方程

1a1Q

3y+49-12，=0,整理化簡得到：13/-6V3cy-9c2=0,利用弦長公式求得c=上，得。=2c=」,根據(jù)對

■"84

稱性將7ADE的周長轉(zhuǎn)化為△鳥DE的周長，利用橢圓的定義得到周長為4。=13.

c1

【詳解】回橢圓的離心率為e=—=彳，0?=2c,0Z>2=a2-c2=3c2,回橢圓的方程為

a2

22

券+云=1,即3V+4y2-i2c2=0,不妨設(shè)左焦點為f；,右焦點為招，如圖所示，回Ag=a,OF2=c,a=2c,

-TT

0ZA/^O=j,回△AG鳥為正三角形，回過月且垂直于人居的直線與C交于D,E兩點，DE為線段AF2的垂

直平分線，回直線DE的斜率為乎，斜率倒數(shù)為岔，直線。E的方程：x=6y-c,代入橢圓方程

3f+4戶12c2=0,整理化簡得到：13y2—6百cy-9c2=0,

判另|J式A=(6&『+4xl3x9c2=62x16x02,

叫。閭=J+(⑹,IM-y2卜2x=2x6x4x-=6,

1313

13c13

團(tuán)c——,zna=2c=—

84

團(tuán)OE為線段人工的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD=DFVAE=EF2,團(tuán)VAO石的周長等于△修足的周長,

利用橢圓的定義得到△修組周長為

7

\DF2\+\EF2\+\DE\=^DF2\-i-\EF2\+\DF1\+\EFl\^DFi\+\DF2\+\EFi\+\EF^=2a+2a=4a=13.

故答案為：13.

考點突破

【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用

一、單選題

22

1.（23-24高二上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知大，尸2是橢圓工+匕=1的兩個焦點，尸是橢圓上一點，則

|「聞忖閭的最大值是（）

A.—B.9C.16D.25

4

22

2.（2024?陜西西安?三模）已知定點尸（2,0）與橢圓,于=1上的兩個動點M,N,若PMLPN,她PM?NM

的最小值為（）

823J3

A.-B.13C.一D.—

332

二、多選題

22

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知橢圓E：=+2=1（a>b>0）的左、右焦點為打，左,過F2的直線

ab

7

與E交于N兩點.若cosN隼*=§,.則（）

A\MF2\1

A.的周長為4〃B.=-

口均2

C.MN的斜率為±6D.橢圓E的離心率為必

3

4.（23-24高三下?黑龍江?階段練習(xí)）己知4（2,0）、3（4,1）,點"（x,y）為曲線C上動點，則下列結(jié)論正確

8

的是（）

A.若C為拋物線y?=8x,貝可|肱4|+|〃6|）.=2+&7

22

B.若C為橢圓言+4=1,貝|（|^4|+|腔|）而"=1。一回

2

C.若c為雙曲線尤2一1_=1,則+1nhi=歷一2

D.若C為圓Y+y』，貝|心胸+照）=等

、~乙）min乙

三、填空題

22

5.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）設(shè)橢圓工+乙=1的左右焦點為片，工，橢圓上點尸滿足

2512

「耳|:|尸名|=2:3,則PG外的面積為.

22

6.（23-24高二上?山東青島?期末）如圖所示，已知橢圓C:j+與=1（。>0,6>0）的左右焦點分別為片

ab

點A在。上，點5在y軸上，耳4,用氏忸閶二川4閶，則。的離心率為.

參考答案:

題號1234

答案DCABDBCD

1.D

【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.

【詳解】因為|W|+|P閭=10,所以|尸團(tuán).［尸封［幽土四］=25,

I2J

當(dāng)且僅當(dāng)|尸制=|尸閶=5時，|尸耳卜|尸閭?cè)〉阶畲笾?

故選：D.

2.C

【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的運算律及坐標(biāo)表示，列出函數(shù)關(guān)系并求出最小值.

22

【詳解】設(shè)橢圓土+工=1上的點M（6cos0,3sine）（6eR）,而PM口N,

369

9

因止匕PM?NM=PM(NP+PM)=PMNP+PM?=PM?

=(6cos。-2)2+(3sin6))2=36cos20-24cos^+9sin26

423234

=27cos2，-24cos6>+13=27(cos6--^2+—>—,當(dāng)且僅當(dāng)cos0=§時取等號，

23

所以尸的最小值為

故選：C

3.ABD

【分析】利用橢圓的定義可得△6MN的周長，可判斷A選項；沒/NMD=a,由cos2a得sina,而

sino=卡就可得局=],設(shè)|岫|=2相，得|NM|=|M|=3相，進(jìn)而由橢圓的定義可得|崢卜相，

\NF^=2m,從而可判斷B選項；在△與M入中用正弦定理可得,=半加，進(jìn)而求tanZFJKN可得直線MN

的斜率，可判斷C選項；計算離心率可判斷D選項.

【詳解】對于A：過尸2的直線與E交于"，N兩點且COSN耳=

連接片N,/不吟的平分線交6N于點。，如圖所示：

則△4MN的周長等于|阿|+|AW|+\NF]=\MF\+\MF2\+|Ng|+|叫|=4a

故A正確；

對于B：設(shè)ZNMD=a,

711

貝Ucos2a=l-2siij2a=—nsin2?=—=>sina=-,

993

而sina」3=^=幽二

3\NM\\NM\\NM\3

設(shè)卜2m(m>0),貝=|町|=3m,

于是|g|+|MW|+|Aff；|=8M=4a,即a=2?i.

+\MF^=2a=4m,得|蟠|=機(jī)，

10

又W司+\NFt\=2a=4m,得|遇|=2根,

所以黑

5,故B正確;

|N聞2m

對于C：在△邛"，由余弦定理可得：山閭2=照娟2+M閭2一2陷用MK|cos2a,

則222即

4c=9m+m-2x3m—=c=2Gm.

933

在△稗心中，=\NF2\=2m,又。是耳工中點,

所以NO，耳鳥，則|NO|=JN琢一M=當(dāng)小

于是tan/片gN=網(wǎng)''

所以MN的斜率為點N在x軸上方時一應(yīng)，在x軸下方時也，故C錯誤;

2y

M

對于D：e=—c=-~-^--=—A/3,故D正確.

a2m3

故選：ABD.

4.BCD

【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；利用橢圓的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；利

用雙曲線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用圓的方程以及數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，如下圖所示:

拋物線/=8x的焦點為A(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,

設(shè)點M在直線尤=-2上的射影點為E,由拋物線的定義可得|阿|=\MA\,

所以，|M4|+|MB|=|ME|+|A?|,

由圖可知，當(dāng)E、M、8三點共線時，卜W閩+W叫取最小值,

且其最小值為點8到直線x=—2的距離，即(1^41+131)訕=6,A錯；

11

對于B選項，如下圖所示:

22_________

對于橢圓3+5=1,。=5,b=A/21，則c=yja2—b2-V25-21=2，

22

則點A為橢圓合+卷=1的右焦點，取。(-2,0)為該橢圓的左焦點，

由橢圓的定義可得|他4|=2。-|加0|=10-|加0|,

所以，網(wǎng)+眼同=10+|班-|岫210-幽=10-44+2)2+1=10-收,

當(dāng)且僅當(dāng)M為射線與橢圓的交點時，|初4|+|血8|取最小值10-厲，B對;

2__________

對于C選項，對于雙曲線f一］_=1,a=l,8=6，則c=+/=J1+3=2,

2

所以，點4(2,0)為雙曲線尤2一(_=1的右焦點，

2

取0(-2,0)為雙曲線/-5=1的右焦點，如下圖所示：

當(dāng)點M在雙曲線的右支時，由雙曲線的定義可得|九洲=2。=2,則|M4|=|ME>|-2,

所以，|MA|+|MB|=|MD|+|MB|-2N|SD|-2=歷-2,

當(dāng)且僅當(dāng)“為線段3D與雙曲線右支的交點時，等號成立;

當(dāng)點M在雙曲線的左支時，由雙曲線定義可得|M4|TME?|=2a=2,

貝?。輡M4|=|MD|+2,所以，|M4|+|MB|=|MD|+|Affi|+2上忸0+2=厲+2,

當(dāng)且僅當(dāng)M為線段與雙曲線左支的交點時，等號成立.

綜上所述，(|他4|+|〃同)向「1方-2,C對；

對于D選項，記點對于點M(x,y),易知一-1<y<1,

12

22

|A/A|=—+J=yjx-4x+4+y=Jx?-4x+1+y?+3（尤，+?。?/p>

所以，^\MA\+\MB\=\MH\+\MB\>\HB\=^4-1j+12

當(dāng)且僅當(dāng)M為線段與圓的交點時，等號成立，

即］:=半，口對-

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：利用二次曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：

(1)求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；

(2)圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解；

(3)在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為

直線解決最值問題.

5.12

【分析】結(jié)合橢圓定理、勾股定理的逆定理與三角形面積公式計算即可得.

【詳解】由橢圓定義可得|正司+|尸閭=2a=10,

\ppIo

則有右耳=$則叫=4,附1=6,

又但鳥|=2c=2,25-12=2岳,

由42+62=52=（2而『，故/居P耳=90。,

故S乎&=gx4x6=12.

故答案為：12.

6.叵~/上回

55

13

【分析】

設(shè)出根，利用橢圓定義和圖形對稱性，借助于耳4,耳5求得。與機(jī)的數(shù)量關(guān)系，接著在RtZ\03U中

求得COSNO^B,從而得到cos/人工耳，最后在A巴耳中運用余弦定理即可求得.

【詳解】設(shè)|A&|=m,依題意，|AEI=2a—加，因點5在V軸上，貝力3耳|=|3笈|=4m，\AB\=5mf

又因624_1月氏則（2〃一加）2+（4冽）2=（5m）2,化簡得a=2根，在RtZXOB居中，cosZOF2B=-^—,故

4m

cosNAK月=--^―,

Q1

在4ABK中由余弦定理，（2〃-m）2=（2c）2+m2-2-2c-mcosZAFF-a2=4c2+-a2-2ac\——r）,

2X442a

解得：2a2=502,即e?==，則離心率為叵.

55

故答案為：亞.

5

【點睛】思路點睛：由橢圓的焦半徑想到橢圓定義式，由垂直想到求三邊利用勾股定理，由邊的數(shù)量關(guān)系

想到設(shè)元替換，遇到三角形的邊角關(guān)系，要考慮能否用正、余弦定理.

反思提升：

橢圓定義的應(yīng)用技巧

（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和

離心率等.

（2）通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.

【考點2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、單選題

22

1.（2024?遼寧，二模）已知方程4+4=1表示的曲線是橢圓，則實數(shù)上的取值范圍是（）

左一48—k

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2.（2024?廣西桂林?三模）已知橢圓C：三+t=1的右焦點為凡過尸的直線與C交于A、8兩點，其中

43

點A在尤軸上方且4尸=2尸3，則B點的橫坐標(biāo)為（）

1377

A.—B.-C.D.一

2244

二、多選題

22

3.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知〃?為3與5的等差中項，”為4與16的等比中項，則下列對曲線C:上+）-=1

mn

描述正確的是（）

A.曲線c可表示為焦點在y軸的橢圓

B.曲線C可表示為焦距是4的雙曲線

14

C.曲線c可表示為離心率是交的橢圓

2

D.曲線?？杀硎緸闈u近線方程是,=±岳的雙曲線

22

4.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知大，工分別為橢圓C:，+與=l（a>6>0）的左、右焦點，直線過

ab

c的一個焦點和一個頂點，且與C交于兩點，則（）

A.△邛WN的周長為8

B.△月MN的面積為%8

8

C.該橢圓的離心率為!

2

D.若點尸為C上一點，設(shè)尸到直線x=4的距離為d,則㈣=!

d2

三、填空題

22

5.（2023?廣東?二模）已知弓，F(xiàn)?分別是橢圓C：5+2=1（。>。>0）的左、右焦點，M是C上一點且班

ab

與X軸垂直，直線加K與C的另一個交點為N.若直線MN在y軸上的截距為3,且MN=4F1N,則橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

6.（2024?上海?三模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，如圖，。是滑槽AB的

中點，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處的錢鏈與QV連接，上的栓子?？裳鼗跘3滑動，當(dāng)

點。在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)移動時，帶動點N繞。轉(zhuǎn)動，點M也隨之而運動，記點N的運動軌跡為G，點M

的運動軌跡為G.若ON=OV=1,MN=3,且過G上的點p向G作切線，則切線長的最大值為

參考答案:

題號1234

答案DDACDACD

1.D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于0且不能相等即可求解.

22

【詳解】因為方程7三+占=1表示的曲線是橢圓，

女一48—左

15

左一4＞0

所以＜8-%〉0,解得4＜女＜8且4w6,

女一4w8—女

所以實數(shù)k的取值范圍是（4,6）U（6,8）.

故選：D.

2.D

【分析】由題意可知：網(wǎng)1,0）,設(shè)4（%,%）,川電,%），根據(jù)向量共線可得，，結(jié)合橢圓方程運

算求解即可.

【詳解】由題意可知：c=萬=1，可知產(chǎn)（10），

ULHUULL

設(shè)4（和yj,磯22），則A尸=（1一石,-乂）,尸2=（9-1,%）,

M-o,整理得%=-2%

因為AF=2FB，可得

再=3-2X2

22

(3-2X2)?(-2y2)

I解得々=：,

將A,8代入方程可得43

X；代_]

143

7

可知5點的橫坐標(biāo)為

故選：D.

3.ACD

【分析】由已知條件先求出〃?，”的值，從而可得曲線C的方程，然后根據(jù)曲線方程分析判斷即可

【詳解】由沉為3與5的等差中項，得2〃?=3+5=8,即m=4,

由w為4與16的等比中項，得〃2=4x16=64,即〃=±8,

則曲線C:工+反=1的方程為1+?=1或

mn4848

其中I+E=l表示焦點在y軸的橢圓，此時它的離心率e=￡=、歸n=、「耳="，故A正確，

48a\a2\a2\82

C正確；

22______

其中3一方~=1表示焦點在X軸的雙曲線，焦星巨為2c=2，片+匕2=2,4+8=4#），漸近線方程為、=

±-x=±^x=±y/2x,故8不正確，。正確.

a2

故選:ACD.

16

4.ACD

【分析】由題意直線過焦點與頂點，待定系數(shù)4c,得到橢圓方程.選項A,由橢圓定義△耳MN的周長為4a；

選項B,聯(lián)立直線與橢圓可得交點〃,N坐標(biāo)，可得的面積；選項c,e=-選項D,設(shè)橢圓上任

a:

一點尸（%,%）,則由橢圓方程可得y；=3x[i-乎],再由距離公式代入坐標(biāo)化簡求解四即可.

V47d

【詳解】由題意知，橢圓焦點在x軸上，直線/過橢圓的一個焦點和一個頂點，

故直線/：y=-1）與x軸的交點（1,0）為右焦點尸2,

與'軸的交點為（0,-石）為頂點，設(shè)為“，

所以b=V3,C=1,貝I」Q=十-2,

22

所以橢圓的方程為土+工=1

43

對于A由橢圓的定義|耳的|+|取4=|耳N|+優(yōu)兇=2?,

所以△片A/N的周長為4〃=8,故A正確.

對于B,由43消y得，5X2-8X=0,解得X=0,或1=]，

由則/='!，代入直線y=石（冗一1）,",

故N點坐標(biāo)為,

所以△KMN的面積

S=；比工卜|加7M=；x2cx1君+當(dāng)）W，故B錯誤.

r1

對于C,因為。=2,C=1,所以C的離心率e=—=二，故C正確.

a2

對于D,設(shè)尸（尤0,%）,則4=4-%.

因為手+?=1，所以此=3X[T，

則四=匹江^上。T)'31l〃一2%+4

d4—XQ4—XQ4—XQ

17

【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點M,N的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解作答.

【詳解】由對稱性不妨令點”在第一象限，令直線交y軸于點A,過N作NBLx軸于8,令

用(-<:,0),乙(c,0),

因為軸，則。4//加工，而。為片工的中點，又A為〃耳中點，而1。4|=3,

于是1Ml=2|OA|=6,由MN=44N知，臺行5=￡，顯型NBUMF”

|Mrx|J

112c5c

因此|A?|=§|MKI=2,|8￡|=§|EK|=w，于是N(-§,-2),又此(c,6),

'25c24,

--2--2=1

則*b，解得廿=54,/=3。2,而。2=從+。2,貝”=27,您=81，

c236,

I.Fa'+Fb~=1

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+乙=10

8154

V2V2

故答案為：土+匕=1

8154

6.V15

【分析】以滑槽A3所在的直線為無軸，。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出曲線C1和C?的方程,

利用三角換元設(shè)橢圓上任意一點的坐標(biāo)，先求出。尸的最大值，然后利用圓的切線長的求解方法，即可求得

18

答案.

【詳解】如圖，以滑槽A3所在的直線為尤軸，。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,

因為CW=1,所以點N的運動軌跡G是以。為圓心，1為半徑的圓,

則其方程為無?+y2=i,

設(shè)N(cosasinO),因為ON=DN=1,所以￡?(2cos6,0),

因為肱V=3,所以NM=3ND，

設(shè)貝(x-cose,y-sin6)=3(cosa-sin。)，得尤=4cos6,y=-2sin6,

22

所以“(48$仇-2$m0，則點M的軌跡a是橢圓，其方程為二+匕=1,

164

設(shè)。2上的點P(4cosa,—2sina),則

OP2=16cos2cif+4sin2cr=4+12cos2a<16,

所以切線長為yjop2-1<V16-1=715,

所以切線長的最大值為JF,

故答案為：V15

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查動點的軌跡方程的求法，考查與橢圓有關(guān)的