利用三角形的中位線、中線、角平分線、中垂線解決圓錐曲線問題練習(xí)題及解析答案

利用三角形的中位線、中線、角平分線、中垂線解決圓錐曲線問題一．選擇題（共10小題）1．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方．若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是A． B． C． D．22．如圖，從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則與的大小關(guān)系為A． B． C． D．以上三種可能都有3．從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則等于A． B． C． D．4．設(shè)，是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，已知是和的等差中項，且，則該雙曲線的離心率為A．1 B． C． D．5．已知點是橢圓上的動點，、為橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，若是的角平分線上的一點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．6．設(shè)，是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，則的長為A．定值 B．定值 C．定值 D．不確定，隨點位置變化而變化7．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．直線與橢圓相切于點，橢圓的焦點為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為A． B． C． D．8．根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點，若從點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點，反射后，反射光線為射線，則的角平分線所在的直線的斜率為A． B． C． D．9．設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．10．橢圓的右焦點為關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是A． B． C． D．二．多選題（共1小題）11．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標(biāo)為，為的平分線，則下列正確的是A．雙曲線的方程為 B． C． D．點到軸的距離為三．填空題（共7小題）12．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則；點的坐標(biāo)為．13．已知是拋物線的焦點，、是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為．14．拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足．過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為．15．設(shè)拋物線的焦點為，已知，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為．16．拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為．17．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點，點的坐標(biāo)為，為的平分線，則．18．如圖，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射到橢圓上的點，反射后光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，事實上，點，處的切線垂直于的角平分線．已知橢圓的兩個焦點是，，點是橢圓上除長軸端點外的任意一點，的角平分線交橢圓的長軸于點，則的取值范圍是．四．解答題（共8小題）19．已知橢圓的左右焦點分別為：，，為橢圓上除長軸端點外任意一點，△周長為12．（1）求橢圓的方程；（2）作的角平分線，與軸交于點，求實數(shù)的取值范圍．20．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于該橢圓的另一個焦點上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個焦點，即橢圓上任意一點處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．（1）求截口所在橢圓的方程；（2）點為橢圓上除長軸端點和短軸端點外的任意一點．①是否存在，使得到和到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由；②若的角平分線交軸于點，設(shè)直線的斜率為，直線、的斜率分別為，，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與直線，四點，，，，，中有三個點在橢圓上，剩余一個點在直線上．求橢圓的方程；（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于，兩點，使得，再過作直線．證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．22．已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為．為拋物線的焦點，且，（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過定點的直線與橢圓交于，兩點在，之間），設(shè)直線的斜率為，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．23．在①離心率，②橢圓過點，③△面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點，已知橢圓的短軸長為，_____．（1）求橢圓的方程；（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值．24．已知，，是橢圓上的三個點，是坐標(biāo)原點．（Ⅰ）當(dāng)點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積；（Ⅱ）當(dāng)點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由．25．已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于，和，兩點，且．（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線為，焦點為，點為直線上的動點，且點的橫坐標(biāo)為，試討論當(dāng)取不同的值時，圓心在拋物線上，與直線相切，且過點的圓的個數(shù)．26．設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．第4講利用三角形的中位線、中線、角平分線、中垂線解決圓錐曲線問題參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方．若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是A． B． C． D．2【解答】解：如圖所示，設(shè)線段的中點為，連接．設(shè)橢圓的右焦點為，連接．則．又，．設(shè)，在中，，．故選：．2．如圖，從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則與的大小關(guān)系為A． B． C． D．以上三種可能都有【解答】解：將點置于第一象限．設(shè)是雙曲線的右焦點，連接、分別為、的中點，．又由雙曲線定義得，，．故．故選：．3．從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標(biāo)原點，則等于A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，設(shè)是雙曲線的右焦點，連接．點，分別為線段，的中點，由三角形中位線定理得到：，，連接，因為是圓的切線，則，在中，，，．．故選：．4．設(shè)，是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，已知是和的等差中項，且，則該雙曲線的離心率為A．1 B． C． D．【解答】解：設(shè)，，由是和的等差中項，，則點在的右支上，，，即，，，由余弦定理可知：，，整理得，由，，由，解得：，曲線的離心率為，故選：．5．已知點是橢圓上的動點，、為橢圓的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，若是的角平分線上的一點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長，，交于點，是平分線，且，，為中點，連接，為中點，為中點在橢圓中，設(shè)點坐標(biāo)為，則，，點在橢圓上，，，又當(dāng)時，不成立，．故選：．6．設(shè)，是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，則的長為A．定值 B．定值 C．定值 D．不確定，隨點位置變化而變化【解答】解：過點作的垂線，垂足為，交的延長線于，由三角形為等腰三角形，可得為的中點，由雙曲線的定義可得，由三角形的中位線定理可得，故選：．7．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．直線與橢圓相切于點，橢圓的焦點為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為A． B． C． D．【解答】解：由光學(xué)性質(zhì)知直線，與的夾角相等，則的角平分線所在的直線為法線，即與直線垂直的直線，而直線，所以設(shè)所求的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，解得，代入直線的方程可得，可得，即，將代入所求的直線方程可得：，可得，所以的角平分線所在的直線的方程為，故選：．8．根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．請解決下面問題：已知，分別是雙曲線的左、右焦點，若從點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點，反射后，反射光線為射線，則的角平分線所在的直線的斜率為A． B． C． D．【解答】解：由已知可得，在第一象限，將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：，解得，所以，，又由雙曲線的方程可得，，所以，則，所以，且點，都在直線上，又，所以，所以，設(shè)的角平分線為，則，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，故選：．9．設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為，分別與聯(lián)立，解得，，，，中點坐標(biāo)為，，點滿足，，，，．故選：．10．橢圓的右焦點為關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，由題意可得，由①②可得：，，代入③可得：，解得，可得，．即，可得解得．故選：．二．多選題（共1小題）11．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，的一條漸近線的方程為，且到的距離為，點為在第一象限上的點，點的坐標(biāo)為，為的平分線，則下列正確的是A．雙曲線的方程為 B． C． D．點到軸的距離為【解答】解：漸近線的方程為，，到的距離為，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即選項正確；，，，由角分線定理知，，即選項正確；由雙曲線的定義知，，，，在等腰△中，，，，，即選項正確；，，即選項錯誤．故選：．三．填空題（共7小題）12．已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則2；點的坐標(biāo)為．【解答】解：橢圓的，，，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，線段的中點在以原點為圓心，2為半徑的圓，連接，可得，設(shè)的坐標(biāo)為，可得，可得，，由，，故答案為：2；，．13．已知是拋物線的焦點，、是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為．【解答】解：由于是拋物線的焦點，得，，準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，，，解得，線段的中點橫坐標(biāo)為．線段的中點到軸的距離為．故答案為：．14．拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足．過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為．【解答】解：設(shè)，，連接、，由拋物線定義，得，，在梯形中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值為．故答案為：．15．設(shè)拋物線的焦點為，已知，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為1．【解答】解：設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，．由余弦定理得，配方得，，又，得到．，即的最大值為1．故答案為：116．拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為．【解答】解：設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值為．故答案為：17．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點，點的坐標(biāo)為，為的平分線，則6．【解答】解：不妨設(shè)在雙曲線的右支上為的平分線又解得故答案為618．如圖，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射到橢圓上的點，反射后光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，事實上，點，處的切線垂直于的角平分線．已知橢圓的兩個焦點是，，點是橢圓上除長軸端點外的任意一點，的角平分線交橢圓的長軸于點，則的取值范圍是．【解答】解：由題意知，橢圓在點，處的切線方程為，且，切線的斜率為，而的角平分線的斜率為，又切線垂直于的角平分線，，即，．故答案為：，．四．解答題（共8小題）19．已知橢圓的左右焦點分別為：，，為橢圓上除長軸端點外任意一點，△周長為12．（1）求橢圓的方程；（2）作的角平分線，與軸交于點，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）橢圓的左右焦點分別為：，，，△周長為12，，，則，橢圓的方程為．（2）在△中，，即，為的角平分線，，由合比性質(zhì)得，即，，，．20．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于該橢圓的另一個焦點上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個焦點，即橢圓上任意一點處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．（1）求截口所在橢圓的方程；（2）點為橢圓上除長軸端點和短軸端點外的任意一點．①是否存在，使得到和到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由；②若的角平分線交軸于點，設(shè)直線的斜率為，直線、的斜率分別為，，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)所求橢圓方程為，則，由橢圓的性質(zhì)：，所以，，所以橢圓的方程為．（2）由橢圓的方程為，則，．①存在直線，使得到和到直線的距離之比為定值．設(shè)橢圓上的點，，則，到直線的距離，所以，所以，當(dāng)時，（定值）．即存在，使得到和到直線的距離之比為定值．②設(shè)橢圓上的點，，則，又橢圓在點，處的切線方程為，證明如下：對于橢圓，當(dāng)，，則，所以橢圓在，處的切線方程為，又由，可以整理切線方程為：，即切線方程為，即，也即．所以橢圓在點，處的切線方程為，同理可證：當(dāng)，橢圓在點，處的切線方程為，綜述：橢圓在點，處的切線方程為，所以在點，處的切線的斜率為，又由光學(xué)性質(zhì)可知：直線，所以，則．所以，，那么．21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與直線，四點，，，，，中有三個點在橢圓上，剩余一個點在直線上．求橢圓的方程；（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于，兩點，使得，再過作直線．證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【解答】解：由題意有3個點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，則點，一定在橢圓上，即①，（2分）若點，在橢圓上，則點，必為的左頂點，而，則點，一定不在橢圓上，故點，在橢圓上，點，在直線上，（4分）所以②，聯(lián)立①②可解得，，所以橢圓的方程為；（6分）（Ⅱ）證明：由可得直線的方程為，設(shè)，，，，當(dāng)時，設(shè)，、，，顯然，又，即為線段的中點，，代入橢圓方程相減可得直線的斜率為，（10分）又，所以直線的方程為，（13分）即，顯然恒過定點，，（15分）當(dāng)時，直線即，此時為軸亦過點，；綜上所述，恒過定點，．（16分）22．已知橢圓的左，右焦點分別為，，上頂點為．為拋物線的焦點，且，（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過定點的直線與橢圓交于，兩點在，之間），設(shè)直線的斜率為，在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，，所以．（1分）在△中，為線段的中點，故，所以．（2分）于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，，，取的中點為，．假設(shè)存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形為菱形，則．聯(lián)立△．，．因為，所以．．，所以．23．在①離心率，②橢圓過點，③△面積的最大值為，這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點，已知橢圓的短軸長為，_____．（1）求橢圓的方程；（2）若線段的中垂線與軸交于點，求證：為定值．【解答】解：（1）選擇①離心率，可得，，即，解得，，即有橢圓的方程為；選②橢圓過點，即有，又，即，解得，即有橢圓的方程為；選③△面積的最大值為，可得位于短軸的端點時，取得最大值，且為，即為，又，即，，，即有橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，設(shè)，，，，可得，，可得，設(shè)的中點為，可得，，由題意可得，解得，可得，可得，即為定值．24．已知，，是