遼寧省沈陽2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月開學(xué)考試試題

遼寧省沈陽2024--2025上學(xué)期9月份開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.集合＝（）A.B.C. D.【答案】C【分析】依據(jù)分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.【詳解】由，得，解得，則集合.故選：C.2.下述正確的是（）A.若第四象限角，則B.若，則C.若的終邊為第三象限平分線，則D.“”是“”的充要條件【答案】D【分析】對(duì)于A，利用三角函數(shù)定義即可推斷；對(duì)于B，求出的值即可推斷；對(duì)于C，算出的范圍即可推斷；對(duì)于D，利用充分，必要的定義進(jìn)行推斷即可【詳解】對(duì)于A，若為第四象限角，依據(jù)三角函數(shù)定義可得，故不正確；對(duì)于B，若，則，故不正確；對(duì)于C，若的終邊為第三象限平分線，則，此時(shí)，故不正確；對(duì)于D，由可得，即，滿意充分性；由可得，所以，滿意必要性，故正確故選：D3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.【詳解】由題意可得，得，所以，得，所以，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因?yàn)椋?，故選：C4.已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】把待求式中“1”用替換，然后用基本不等式求得最小值．【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．5.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）A.74m B.60m C.52m D.91m【答案】A【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.【詳解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故選：A6.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖1是番禺區(qū)某風(fēng)景美麗的公園地圖，其形態(tài)如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯(cuò)誤；由時(shí)，可知B錯(cuò)誤；依據(jù)、圖象中的特別點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；依據(jù)函數(shù)定義域可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），在上的最大值為2，與圖象不符，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；又過點(diǎn)；由得：，解得：，即函數(shù)定義域?yàn)?；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對(duì)于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)隨意有，，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，計(jì)算，，轉(zhuǎn)化得到，依據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.8.記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可推斷，再對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得，從而得解.【詳解】設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，故，即；由于，設(shè)，，則，，則在單調(diào)遞減，故，即，則；綜上得，，D正確.故選：D二、多選題9.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是的一個(gè)周期C.函數(shù)存在多數(shù)個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得【答案】AC【分析】求出即可推斷A項(xiàng)；求出即可推斷B項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有，即可說明C項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可求出.進(jìn)而依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可推斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，定義域?yàn)镽.又，所以是偶函數(shù)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，所以不是的一個(gè)周期，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)闀r(shí)，有，又，所以有多數(shù)多個(gè)解，所以函數(shù)存在多數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有，所以.所以有在上恒成立.又，是偶函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，有恒成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.B.若為斜三角形，則C.若，則是銳角三角形D.若，則肯定是等邊三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理推理推斷AD；利用和角的正切及誘導(dǎo)公式推理推斷B；利用平面對(duì)量的數(shù)量積定義確定角C推斷C作答.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，得，A正確；對(duì)于B，斜中，，則，即，B正確；對(duì)于C，由，得，則，因此C為鈍角，是鈍角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理及，得，即，而，則，為等腰直角三角形，D錯(cuò)誤．故選：AB11.如圖（1），筒車是我國古代獨(dú)創(chuàng)的一種水利澆灌工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到運(yùn)用.如圖（2），一個(gè)筒車依據(jù)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負(fù)數(shù)）、與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（）A.筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)30sB.筒車的軸心距離水面的高度為C.時(shí)，盛水筒處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達(dá)到最高點(diǎn)【答案】BD【分析】依據(jù)振幅和最小正周期可確定A錯(cuò)誤；利用可知B正確；依據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的推斷方法可知C錯(cuò)誤；令，由正弦型函數(shù)的值可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，知D正確.【詳解】對(duì)于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點(diǎn)，D正確.故選：BD.12.已知當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【分析】依據(jù)給定的不等式，賦值變形推斷A；賦值求和推斷CD；變形不等式右邊，借助二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)推理推斷D作答.【詳解】因?yàn)?，令，，則，令，，則，A正確；因?yàn)?，則，，…，，以上各式相加有，B錯(cuò)誤；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正確；由得，，因此，設(shè)，，則，所以，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由給定信息推斷命題的正確性問題，從給定的信息動(dòng)身結(jié)合命題，對(duì)變量適當(dāng)賦值，再綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)問及方法是解決問題的關(guān)鍵.第II卷（非選擇題）三．填空題13.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是________．【答案】【分析】依據(jù)弧長公式求出三角形邊長，再依據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈拈L度為，所以，，所以勒洛三角形的面積是.故答案為：.14.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則__________.【答案】0【分析】利用基本不等式取等條件可確定的取值，結(jié)合二倍角余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是_________.【答案】【分析】先求得，依據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由，可得，其中，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則滿意，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，且，若在上的圖象與直線恰有個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】依據(jù)題意，分多個(gè)區(qū)間探討與直線有幾個(gè)交點(diǎn)，利用在上與直線恰有個(gè)公共點(diǎn)，即可得出的范圍.【詳解】由題意得是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，是周期為的周期函數(shù).因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，所以在上的圖象與直線恰有301個(gè)公共點(diǎn).在上的圖象如圖所示，在上的圖象與直線有3個(gè)公共點(diǎn)，令，得，令，得或.所以這個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，.因?yàn)?，所以，?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查依據(jù)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查三角函數(shù)的二倍角公式、兩角差的正弦公式、協(xié)助角公式、函數(shù)的周期性，考查了計(jì)算實(shí)力和函數(shù)思想，屬于中檔題.四、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的面積為S，已知（1）求角A；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）已知等式由余弦定理和面積公式代入變形可得求角A；（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，進(jìn)而依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解取值范圍.【小問1詳解】已知，由余弦定理和三角形的面積公式，得，即，若，則，不符合題意，故，所以，由，得.【小問2詳解】，，，由正弦定理，，由，則，得，所以，即的取值范圍.18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，___________，求的面積.請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題.①的三個(gè)頂點(diǎn)都在以為圓心的圓上，且；②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.【答案】（1）（2）【分析】（1）依據(jù)已知等式結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換，即可得角的大小；（2）選擇條件①，利用三角形的外心為，依據(jù)正弦定理、余弦定理可得為等邊三角形，再利用面積公式可得的面積；選擇條件②，利用三角形的內(nèi)心為，利用等面積法求得，再依據(jù)余弦定理得，即可求得的面積.【小問1詳解】在中，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，化簡，得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】選條件①：設(shè)的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，由題意知：，由余弦定理知：，所以.在中，由正弦定理知：，所以，從而，所以為等邊三角形，的面積.選條件②：由條件知：，由，得，因?yàn)?，所以，即，由?）可得，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以的面積.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）方程在上的兩解分別為，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）化簡解析式，利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）依據(jù)三角恒等變換的學(xué)問，先求得，然后求得的值.【小問1詳解】，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】設(shè)，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，因?yàn)榉匠淘谏系膬山夥謩e為，則，必有，所以，，同理，，由于且，則，由，可得.【點(diǎn)睛】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求，肯定要留意推斷的范圍，依據(jù)的范圍來確定的符號(hào)，這一步簡單忽視.同樣，在用二倍角公式來求單倍角時(shí)，也要留意角的范圍.20.已知，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，推斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論，不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出，的值即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到在遞增，從而求出的最大值；（3）依據(jù)函數(shù)圖象的大致形態(tài)可得與有兩個(gè)交點(diǎn).試題解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．則,故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以，故在單調(diào)遞增，所以．（3）當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn).21.如圖，C，D是兩個(gè)小區(qū)所在地，C，D到一條馬路AB的垂直距離分別為CA＝1km，DB＝2km，AB兩端之間的距離為6km．（1）某移動(dòng)公司將在AB之間找一點(diǎn)P，在P處建立一個(gè)信號(hào)塔，使得P對(duì)A，C的張角與P對(duì)B，D的張角相等（即），試求的值；（2）環(huán)保部門將在AB之間找一點(diǎn)Q，在Q處建立一個(gè)垃圾處理廠，使得Q對(duì)C，D所張角最大，試求QB的長度．【答案】（1）（2）的長度為【分析】（1）設(shè)，，，利用三角函數(shù)的定義可求，，由題意可得，解得的值即可求解．（2）設(shè)，，，利用三角函數(shù)的定義得，，利用兩角和的正切公式可求，令，可得，可得，進(jìn)而依據(jù)題意利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】設(shè)，，，依題意有，，由，得，解得，從而，，故．【小問2詳解】設(shè)，，，依題意有，，所以，令，由，得，所以，所以，所以，且，當(dāng)，所張的角為鈍角，所以當(dāng)，即時(shí)取得最大角，故，從而的長度為．22.已知函數(shù)，．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）令，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性可證得，令，對(duì)求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，即可證得，即可證得；（2）由題意分析可得要使恒成馬上時(shí)，恒成立，通過放縮變形證明恒成立，即可求出a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以即證：，，先證左邊：，令，，在單調(diào)遞增，∴，即．再證右邊：，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴時(shí)，．【小問2