遼寧省沈陽2024-2025高三數(shù)學上學期9月開學考試試題

遼寧省沈陽2024--2025上學期9月份開學考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.集合＝（）A.B.C. D.【答案】C【分析】依據(jù)分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.【詳解】由，得，解得，則集合.故選：C.2.下述正確的是（）A.若第四象限角，則B.若，則C.若的終邊為第三象限平分線，則D.“”是“”的充要條件【答案】D【分析】對于A，利用三角函數(shù)定義即可推斷；對于B，求出的值即可推斷；對于C，算出的范圍即可推斷；對于D，利用充分，必要的定義進行推斷即可【詳解】對于A，若為第四象限角，依據(jù)三角函數(shù)定義可得，故不正確；對于B，若，則，故不正確；對于C，若的終邊為第三象限平分線，則，此時，故不正確；對于D，由可得，即，滿意充分性；由可得，所以，滿意必要性，故正確故選：D3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.【詳解】由題意可得，得，所以，得，所以，因為的圖象過點，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因為，所以，故選：C4.已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】把待求式中“1”用替換，然后用基本不等式求得最小值．【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立．故選：C．5.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）A.74m B.60m C.52m D.91m【答案】A【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.【詳解】在中，，，，在中，，由，，在中，.故選：A6.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖1是番禺區(qū)某風景美麗的公園地圖，其形態(tài)如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯誤；由時，可知B錯誤；依據(jù)、圖象中的特別點及函數(shù)的奇偶性、單調性可知C正確；依據(jù)函數(shù)定義域可知D錯誤.【詳解】對于A，（當且僅當，即時取等號），在上的最大值為2，與圖象不符，A錯誤；對于B，當時，，與圖象不符，B錯誤；對于C，，當時，；又過點；由得：，解得：，即函數(shù)定義域為；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱；當時，，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯誤.故選：C.7.已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若對隨意有，，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【分析】構造，確定函數(shù)在上單調遞增，計算，，轉化得到，依據(jù)單調性得到答案.【詳解】設，則恒成立，故函數(shù)在上單調遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.8.記，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由函數(shù)在R上單調遞增，可推斷，再對兩邊取對數(shù)，由函數(shù)在單調遞減，可得，從而得解.【詳解】設，則在R上單調遞增，故，即；由于，設，，則，，則在單調遞減，故，即，則；綜上得，，D正確.故選：D二、多選題9.設函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是的一個周期C.函數(shù)存在多數(shù)個零點D.存在，使得【答案】AC【分析】求出即可推斷A項；求出即可推斷B項；當時，有，即可說明C項；當時，可求出.進而依據(jù)偶函數(shù)的性質即可推斷D項.【詳解】對于A項，定義域為R.又，所以是偶函數(shù)，故A項正確；對于B項，，所以不是的一個周期，故B項錯誤；對于C項，因為時，有，又，所以有多數(shù)多個解，所以函數(shù)存在多數(shù)個零點，故C項正確；對于D項，當時，有，所以.所以有在上恒成立.又，是偶函數(shù)，所以，當時，有恒成立，故D項錯誤.故選：AC.10.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.B.若為斜三角形，則C.若，則是銳角三角形D.若，則肯定是等邊三角形【答案】AB【分析】利用正弦定理推理推斷AD；利用和角的正切及誘導公式推理推斷B；利用平面對量的數(shù)量積定義確定角C推斷C作答.【詳解】對于A，由正弦定理，得，A正確；對于B，斜中，，則，即，B正確；對于C，由，得，則，因此C為鈍角，是鈍角三角形，C錯誤；對于D，由正弦定理及，得，即，而，則，為等腰直角三角形，D錯誤．故選：AB11.如圖（1），筒車是我國古代獨創(chuàng)的一種水利澆灌工具，因其經濟又環(huán)保，至今在農業(yè)生產中仍得到運用.如圖（2），一個筒車依據(jù)逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關系是，則下列說法正確的是（）A.筒車的半徑為3m，旋轉一周用時30sB.筒車的軸心距離水面的高度為C.時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經過20s才可以達到最高點【答案】BD【分析】依據(jù)振幅和最小正周期可確定A錯誤；利用可知B正確；依據(jù)正弦型函數(shù)單調性的推斷方法可知C錯誤；令，由正弦型函數(shù)的值可構造方程求得，進而得到，知D正確.【詳解】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當時，，此時單調遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經過才可以達到最高點，D正確.故選：BD.12.已知當時，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【分析】依據(jù)給定的不等式，賦值變形推斷A；賦值求和推斷CD；變形不等式右邊，借助二項式定理及組合數(shù)的性質推理推斷D作答.【詳解】因為，令，，則，令，，則，A正確；因為，則，，…，，以上各式相加有，B錯誤；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正確；由得，，因此，設，，則，所以，D正確．故選：ACD【點睛】關鍵點睛：由給定信息推斷命題的正確性問題，從給定的信息動身結合命題，對變量適當賦值，再綜合利用相關數(shù)學學問及方法是解決問題的關鍵.第II卷（非選擇題）三．填空題13.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是________．【答案】【分析】依據(jù)弧長公式求出三角形邊長，再依據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式可得結果.【詳解】因為的長度為，所以，，所以勒洛三角形的面積是.故答案為：.14.已知函數(shù)，，當時，函數(shù)取得最小值，則__________.【答案】0【分析】利用基本不等式取等條件可確定的取值，結合二倍角余弦公式可求得結果.【詳解】當時，，（當且僅當，即時取等號），，.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有2個零點，則ω的取值范圍是_________.【答案】【分析】先求得，依據(jù)題意，結合余弦型函數(shù)的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】由，可得，其中，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則滿意，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知偶函數(shù)的定義域為，函數(shù)，且，若在上的圖象與直線恰有個公共點，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】依據(jù)題意，分多個區(qū)間探討與直線有幾個交點，利用在上與直線恰有個公共點，即可得出的范圍.【詳解】由題意得是定義域為的偶函數(shù)，當時，，當時，，，，當時，，，，當時，是周期為的周期函數(shù).因為是定義域為的偶函數(shù)，且，所以在上的圖象與直線恰有301個公共點.在上的圖象如圖所示，在上的圖象與直線有3個公共點，令，得，令，得或.所以這個公共點的橫坐標依次為，，.因為，所以，即.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查依據(jù)函數(shù)圖像交點個數(shù)求參數(shù)，考查三角函數(shù)的二倍角公式、兩角差的正弦公式、協(xié)助角公式、函數(shù)的周期性，考查了計算實力和函數(shù)思想，屬于中檔題.四、解答題17.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為S，已知（1）求角A；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）已知等式由余弦定理和面積公式代入變形可得求角A；（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可求，進而依據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求解取值范圍.【小問1詳解】已知，由余弦定理和三角形的面積公式，得，即，若，則，不符合題意，故，所以，由，得.【小問2詳解】，，，由正弦定理，，由，則，得，所以，即的取值范圍.18.已知的內角所對的邊分別為.（1）求；（2）為內一點，的延長線交于點，___________，求的面積.請在下列兩個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，并解決問題.①的三個頂點都在以為圓心的圓上，且；②的三條邊都與以為圓心的圓相切，且.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.【答案】（1）（2）【分析】（1）依據(jù)已知等式結合正弦定理、誘導公式、三角恒等變換，即可得角的大??；（2）選擇條件①，利用三角形的外心為，依據(jù)正弦定理、余弦定理可得為等邊三角形，再利用面積公式可得的面積；選擇條件②，利用三角形的內心為，利用等面積法求得，再依據(jù)余弦定理得，即可求得的面積.【小問1詳解】在中，因為，所以，由正弦定理，得，因為，所以，化簡，得，因為，所以.【小問2詳解】選條件①：設的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，由題意知：，由余弦定理知：，所以.在中，由正弦定理知：，所以，從而，所以為等邊三角形，的面積.選條件②：由條件知：，由，得，因為，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因為，所以，所以的面積.19.已知函數(shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）方程在上的兩解分別為，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）化簡解析式，利用整體代入法求得的單調遞增區(qū)間.（2）依據(jù)三角恒等變換的學問，先求得，然后求得的值.【小問1詳解】，由，得，所以的單調遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】設，則，由于正弦函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，由，得，因為方程在上的兩解分別為，則，必有，所以，，同理，，由于且，則，由，可得.【點睛】利用同角三角函數(shù)的基本關系式求，肯定要留意推斷的范圍，依據(jù)的范圍來確定的符號，這一步簡單忽視.同樣，在用二倍角公式來求單倍角時，也要留意角的范圍.20.已知，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）當時，推斷與交點的個數(shù).（只需寫出結論，不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】試題分析：（1）求出的導數(shù)，計算，，求出，的值即可；（2）求出的導數(shù)，得到導函數(shù)的單調性，得到在遞增，從而求出的最大值；（3）依據(jù)函數(shù)圖象的大致形態(tài)可得與有兩個交點.試題解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．則,故當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；所以，故在單調遞增，所以．（3）當時，與有兩個交點.21.如圖，C，D是兩個小區(qū)所在地，C，D到一條馬路AB的垂直距離分別為CA＝1km，DB＝2km，AB兩端之間的距離為6km．（1）某移動公司將在AB之間找一點P，在P處建立一個信號塔，使得P對A，C的張角與P對B，D的張角相等（即），試求的值；（2）環(huán)保部門將在AB之間找一點Q，在Q處建立一個垃圾處理廠，使得Q對C，D所張角最大，試求QB的長度．【答案】（1）（2）的長度為【分析】（1）設，，，利用三角函數(shù)的定義可求，，由題意可得，解得的值即可求解．（2）設，，，利用三角函數(shù)的定義得，，利用兩角和的正切公式可求，令，可得，可得，進而依據(jù)題意利用雙勾函數(shù)的性質即可求解．【小問1詳解】設，，，依題意有，，由，得，解得，從而，，故．【小問2詳解】設，，，依題意有，，所以，令，由，得，所以，所以，所以，且，當，所張的角為鈍角，所以當，即時取得最大角，故，從而的長度為．22.已知函數(shù)，．（1）若，證明：當時；（2）當時，，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）令，對求導，得到的單調性可證得，令，對求導，可得在上單調遞增，即可證得，即可證得；（2）由題意分析可得要使恒成馬上時，恒成立，通過放縮變形證明恒成立，即可求出a的取值范圍.【小問1詳解】當時，，所以即證：，，先證左邊：，令，，在單調遞增，∴，即．再證右邊：，令，，∴在上單調遞增，∴，即，∴時，．【小問2