揚大附中東部分校2024-2025學年度第一學期期中考試（數(shù)學答案）

揚大附中東部分校2024-2025學年度第一學期期中考試高二數(shù)學（總分150時間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】C2.經(jīng)過點的直線在軸上的截距是（

）A．-10 B．10 C． D．【答案】A3.若雙曲線的右支上一點到右焦點的距離為9，則到左焦點的距離為（

）A．15 B．12 C．3 D．3或15【答案】A4.若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C5.若是拋物線上一點，為拋物線的焦點，則=（

）A． B． C． D．【答案】B6.若直線與的交點位于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B7.已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C8.在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上存在點，使以點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．答案：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直互相垂直”的充要條件B．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是答案：BCD已知直線和圓，則下列結論成立的是（）.直線過定點.當直線與圓相交時，直線被圓所截的弦長最大值為.當直線與圓相切時，實數(shù).當實數(shù)的值為時，直線與圓相交，且所得弦長為答案：AD11.如圖，曲線可以看作“蝴蝶結”的一部分，已知曲線上除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點橫縱坐標之積的絕對值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關于直線對稱B．曲線經(jīng)過點，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）答案：ACD【詳解】對于A，先求曲線方程，設曲線上一點（），由已知，即.若點在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關于直線對稱，A選項正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項錯誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結合圖形知道，C選項正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點，當整點為時，，此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意;當整點為時，，此時整點均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.拋物線的焦點坐標為．答案：13.若雙曲線的離心率為3，則該雙曲線焦點到漸近線的距離為．答案：曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)k的取值范圍是．答案：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15.（13分）已知直線經(jīng)過點．（1）若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程；（2）若直線在軸上的截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.答案：（1）或，....................................................................5分（2）或..........................................................................................13分16.（15分）已知圓的圓心在直線上且與軸相切，圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的標準方程；（2）從圓外一點向圓引一條切線，切點為，為坐標原點，且，求的最小值.答案：(1)(2)詳解：（1）因為圓心在上且與軸相切，所以設圓心，半徑為，所以圓方程為，又圓心到直線距離，圓被直線截得弦長為4，所以有：，解得，所以圓方程為：；.......................................................5分（2）解法一：因為，又因為，所以，設Px,y，則，即，所以點軌跡方程為.因為，所以的最小值就是的最小值，即為點到直線的距離，所以的最小值為..........................................................................................15分解法二：因為，又因為，所以，設Px,y，則，即，，，當時，取得最小值：，所以的最小值為...........................................................................................15分17.（15分）已知離心率為的雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點，且三角形面積為為坐標原點）．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求實數(shù)的值．答案：【小問1詳解】因為，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為：．..................................................................5分【小問2詳解】不失一般性，可設A在x軸下方，B在x軸上方，因為拋物線的準線方程為：，由得，同理可得，所以，因為，解得．.....................................................15分18.（17分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設點，點為橢圓上異于的任意一點，過原點且與直線平行的直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：.答案：（1），（2）證明見解析詳解：（1）解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；.....................................................................3分（2）解：設直線的方程為：，則過原點的直線且與直線平行的直線為，因為是直線與的交點，所以，因為直線的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因為，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由題意可得，所以，，所以，即，所以...........................................17分19.（17分）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3）點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．答案：（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，............................................................................2分所以雙曲線的方程為．....................................................................................3分（2）雙曲線的左焦點為，當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，.......................................................................................4分當直線的斜率不為0時，設，由，消去得，......................................................5分顯然，，設，則，得，.............6分于是，，.......................................8分即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．...............................................10分（3）由直線，得，則，又，......