湖南省名校2025屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考前演練一試題含解析

2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練一數(shù)學(xué)滿分150分時(shí)量120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算，再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】，，，故選：B.2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，Q，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知得出，，依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得出答案.【詳解】復(fù)數(shù)，則，，則，，，，解得，故選：D.3.洞庭濕地愛護(hù)區(qū)于長江中游的湖南省，面積168000公頃，為了愛護(hù)該濕地愛護(hù)區(qū)內(nèi)的漁業(yè)資源和生物多樣性，從2003年起全面實(shí)施禁漁期制度.該濕地愛護(hù)區(qū)的漁業(yè)資源科學(xué)探討培殖了一批珍稀類銀魚魚苗，從中隨機(jī)抽取100尾測(cè)量魚苗的體長（單位：毫米），所得的數(shù)據(jù)如下表：分組（單位：毫米）頻數(shù)1010m3515n若依上述6組數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖中，分組對(duì)應(yīng)小矩形的高為0.01，則該樣本中的分位數(shù)的銀魚魚苗的體長為（保留一位小數(shù)）（）A.87毫米 B.88毫米 C.90.5毫米 D.93.3毫米【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)直方圖中分組對(duì)應(yīng)小矩形的高為0.01，計(jì)算頻率，從而可得,然后由百分位數(shù)概念干脆計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，內(nèi)的頻率為0.05，所以,，魚苗體長在內(nèi)的頻率為0.80，在內(nèi)的頻率為0.95，所以90％分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，大小為.故選：D4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以解除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)．故選：D.5.在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】證明,為直角三角形后可得的中點(diǎn)為外接球的球心，為半徑,分別計(jì)算外接球的表面積與三棱錐的體積即可.【詳解】取的中點(diǎn),連接，因?yàn)槊婷婷嫠?，所以，所以，，因?yàn)槊婷嫠悦妫忠驗(yàn)槊?，所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡已知等式可得，結(jié)合，利用二倍角公式可求出.【詳解】，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A7.希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)覺：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，若點(diǎn)P是滿意的阿氏圓上的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，從而可得出答案.【詳解】設(shè)，則，化簡整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得到，再探討函數(shù)的單調(diào)性，得到，將表示出來，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【詳解】，，，，，當(dāng)時(shí)，，，由得，由得，所以在上遞增，在上遞減，在處取得最小值，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分別變量，構(gòu)造新函數(shù)，干脆把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、依據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分別參數(shù)法，但壓軸試題中很少遇到分別參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能干脆求出最值點(diǎn)的狀況，進(jìn)行求解，若參變分別不易求解問題，就要考慮利用分類探討法和放縮法，留意恒成立與存在性問題的區(qū)分．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下說法正確的是（）A.命題的否定是：B.若，則實(shí)數(shù)C.已知，“”是的充要條件D.“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)命題的否定可推斷A，依據(jù)恒成立以及基本不等式可推斷B，依據(jù)不等式的性質(zhì)可推斷C，依據(jù)正切函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可推斷D.【詳解】對(duì)于A,命題的否定是：,故A正確，對(duì)于B,，則對(duì)恒成立，故，由于，故，因此B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，若，則，若，此時(shí)，若，則，因此對(duì)隨意的，都有，充分性成立，若，假如，則由，假如，則由，若，明顯滿意，此時(shí)，假如，不滿意，綜合可知：，所以必要性成立，故“”是的充要條件，故C正確，對(duì)于D，的對(duì)稱中心為,所以不肯定為0，，則,此時(shí)，故是的對(duì)稱中心，故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱”是“”的必要不充分條件，故D正確，故選：ACD10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由可得，進(jìn)而可借助導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析.【詳解】可得，時(shí)，為遞減函數(shù)，故，故A正確；取，則，故B錯(cuò)誤；令時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，有，故，故C正確；，，則，則，又則，故，故D正確；故選：ACD.11.如圖1，在中，，，，DE是的中位線，沿DE將進(jìn)行翻折，連接AB，AC得到四棱錐（如圖2），點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在翻折過程中下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為B.四棱錐的體積的最大值為C.若三角形ACE為正三角形，則點(diǎn)F到平面ACD的距離為D.若異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點(diǎn)間的距離為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)，分析點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體類型，即可得到幾何體的表面積；B項(xiàng)，通過表達(dá)出的體積，即可求出四棱錐的體積的最大值；C項(xiàng)，通過三角形的等面積法即可求出點(diǎn)F到平面ACD的距離；D項(xiàng)，通過C項(xiàng)的三角形ACE為正三角形時(shí)，由余弦定理得到異面直線AC與BD所成角的余弦值為，即可求出異面直線AC與BD所成角的余弦值為時(shí)，A、C兩點(diǎn)間的距離.【詳解】由題意，在中，，，，DE是的中位線，∴,,,∴,，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為以2為半徑高為1的半個(gè)圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：,故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，∴四棱錐的體積為：，在中，，∴，∴四棱錐的體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，D項(xiàng)，當(dāng)三角形ACE為正三角形時(shí)，，,過點(diǎn)作，連接，取的中點(diǎn),連接，，在中，,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，由幾何學(xué)問得，，在中，,∴，為的中點(diǎn)，在中，為的中點(diǎn)，,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴,,,在中，在四邊形中，由幾何學(xué)問得，,，∴四邊形是矩形，，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為，在中，，即，解得：,故C錯(cuò)誤，由幾何學(xué)問得，，,∴,此時(shí)即為異面直線AC與BD所成的角，由余弦定理，，代入數(shù)據(jù)，解得：，∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點(diǎn)間的距離為，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的表面積，體積，空間點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角，余弦定理等，具有極強(qiáng)的綜合性。12.己知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)I是的內(nèi)心，延長MI交線段于N，拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.橢圓的離心率是C.的最小值為 D.的值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用橢圓與拋物線的對(duì)稱性得到，從而將代入拋物線方程得到，進(jìn)而得以推斷；對(duì)于B，將代入橢圓的方程得到，由此得以推斷；對(duì)于C，利用橢圓的定義與基本不等式“1”的妙用即可推斷；對(duì)于D，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)與三角形角平分線的性質(zhì)，結(jié)合比例的性質(zhì)即可推斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，則，，，，因?yàn)閽佄锞€（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，所以由橢圓與拋物線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以的中點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，將代入拋物線方程得，，所以，則，所以，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，再代入橢圓方程得，化簡得，則，故，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，所以，則，所以，不妨設(shè)，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，連接和，如圖，因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以為的平分線，則有，同理：，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用橢圓與拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式推得，從而求得的值，由此得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，其次空3分，共20分.13.的綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為____________.【答案】【解析】【分析】先求綻開式中項(xiàng)，然后乘以可得.【詳解】綻開式的通項(xiàng)為，令或，得（舍去），，所以綻開式中含的項(xiàng)為.故答案為：14.已知的非零數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則的值為____________.【答案】65【解析】【分析】依據(jù)的關(guān)系可得，進(jìn)而依據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求解.【詳解】由得：，故兩式相減得，由于為非零數(shù)列，故，所以的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，且等差均為2，所以，故答案為：6515.已知雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段AF的中點(diǎn)B在雙曲線E的一條漸近線上，則雙曲線E的離心率的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】先表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入雙曲線的漸近線方程，可得的范圍，然后可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，則，不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線的一條漸近線上，所以，即；因?yàn)?，其中，因?yàn)?，所以，即離心率.故答案：16.若函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】令,依據(jù)題意在有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性分析得，的微小值，其中，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為能成立問題，借助基本不等式求解即可.【詳解】令，函數(shù)與的圖像有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，等價(jià)于在有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，則，令，，易得恒成立，故在單調(diào)遞增，易得，故存在，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，則上單調(diào)遞減，故為微小值，因?yàn)樵谟袃蓚€(gè)零點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，則，則，即，解得故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的的前n項(xiàng)和為，且滿意：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用公式法，基本量代換；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)的公比為，，∵，∴，∴，即，∴，又，∴.【小問2詳解】∵，∴，∴，相減得，，∴，所以.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）先化簡，然后利用真數(shù)大于0可得，即可求出定義域，繼而求出值域；（2）先利用（1）可得，結(jié)合銳角三角形可得，然后利用正弦定理進(jìn)行邊變角即可求出答案【小問1詳解】，所以要使有意義，只需，即，所以，解得所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由于，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?；【小?詳解】由于，所以，因?yàn)椋?，所以即，由銳角可得，所以，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以所以，所以的最大值?.19.2024年12月15至16日，中心經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京實(shí)行.關(guān)于房地產(chǎn)主要有三點(diǎn)新提法，其中“住房改善”位列擴(kuò)大消費(fèi)三大抓手的第一位.某房地產(chǎn)開發(fā)公司旗下位于生態(tài)公園的樓盤貫徹中心經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議精神，推出了為期10天的促進(jìn)住房改善的惠民實(shí)惠售房活動(dòng)，該樓盤售樓部統(tǒng)計(jì)了惠民實(shí)惠售房活動(dòng)期間到訪客戶的狀況，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：（注：活動(dòng)起先的第i天記為，第i天到訪的人次記為，）（單位：天）1234567（單位：人次）12224268132202392（1）依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，通過建模分析得到適合函數(shù)模型為（c，d均為大于零的常數(shù)）.請(qǐng)依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及下表中的數(shù)據(jù)，求活動(dòng)到訪人次y關(guān)于活動(dòng)開展的天次x的回來方程，并預(yù)料活動(dòng)推出第8天售樓部來訪的人次；參考數(shù)據(jù)：其中；參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：；（2）該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機(jī)通過電話進(jìn)行回訪，統(tǒng)計(jì)有效回訪發(fā)覺，客戶購房意向的確定因素主要有三類：A類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生態(tài)環(huán)境，B類是樓盤的品質(zhì)與房子的設(shè)計(jì)布局，C類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生活與教化配套設(shè)施.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：類別A類B類C類頻率0.40.20.4從被回訪的客戶中再隨機(jī)抽取3人聘為樓盤的代言人，視頻率為概率，記隨機(jī)變量X為被抽取的3人中A類和C類的人數(shù)之和，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；690（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）將轉(zhuǎn)換為，由最小二乘法求回來直線方程，再換回形式；（2），結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式及期望公式即可求.【小問1詳解】由得，由，，，∴，.則所求回來方程為：.當(dāng)時(shí)，，故預(yù)料活動(dòng)推出第8天售樓部來訪的人次為690；【小問2詳解】由題意得，A類和C類被抽取得概率為，X可取0，1，2，3，且，∴，，，.∴X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為.20.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，側(cè)面是等腰三角形，.（1）求證：；（2）若側(cè)面底面，側(cè)棱與底面所成角的正切值為，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，.【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直，即可證明；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，通過兩平面夾角的余弦值即可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】由題意，在四棱錐中，取的中點(diǎn)為，連接，，在等腰中，，∴，在直角梯形中，，，，，∴,,，四邊形是矩形，∴，，，，∴，,,∵面，面，面，，∴面，∵面,∴.【小問2詳解】由題意及（1）得，，，，，四棱錐中，側(cè)面底面，面底面，∴，∵側(cè)棱與底面所成角的正切值為，設(shè)，∴由幾何學(xué)問得，，四邊形是平行四邊形，∴,，在直角中，，，∴，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，，，，，，∵為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)由幾何學(xué)問得，，解得：，在面中，其一個(gè)法向量為，在面中，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得：當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面與平面的夾角為∵平面與平面的夾角的余弦值為∴解得：或（舍）∴存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若△為等邊三角形，且點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為，不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)（異于橢圓E的頂點(diǎn)），直線與y軸的交點(diǎn)分別為M、N，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）點(diǎn)或【解析】【分析】（1）由已知條件，橢圓的定義及的關(guān)系可知和，再設(shè)出橢圓的方程，最終將點(diǎn)代入橢圓的方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，由直線的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知，分直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種狀況分別求解，得出直線的方程，即可推斷出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】∵△為等邊三角形，且，∴，又∵，∴，設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由已知得，設(shè)，,則直線的斜率為，