幻方-教學設(shè)計

篇一：幻方教案二年級（上）《幻方》教學設(shè)計與點評設(shè)計：嘉定區(qū)南苑小學葛懿點評：嘉定區(qū)教師進修學院居麗華一、教學內(nèi)容：九年制義務教育課本二年級數(shù)學第一學期（試用本）二、教學目標：知識與技能：1、初步認識幻方，知道幻方中蘊涵的簡單的數(shù)學原理。2、初步探索幻方中蘊涵的一些數(shù)學規(guī)律。3、能運用幻方的特點正確的判斷是否是幻方。4、能運用幻方的規(guī)律正確地填寫或算出幻方中的缺數(shù)。過程與方法：通過學生與學生、學生與老師、并且兩者均與課本的“對話”，讓學生感知幻方的有趣及魅力。讓學生自主探究幻方的奧秘，培養(yǎng)學生自主探究的能力和團結(jié)協(xié)作的能力。情感、態(tài)度與價值觀：讓學生初步認識幻方，以及對幻方起源的了解，激發(fā)學生對中國傳統(tǒng)數(shù)學文化的熱愛，增強學生的民族自豪感，進一步學好有用、有趣、有價值的數(shù)學。三、教學重點：初步掌握幻方的基本數(shù)學原理，并能正確地判斷是否是幻方。探索幻方的規(guī)律，并能運用規(guī)律靈巧地找出幻方中的缺數(shù)。四、教學難點：學生自主探究出幻方中蘊涵的規(guī)律，并運用這些規(guī)律進行正確的解答關(guān)于幻方的習題。五、教具準備：教學課件等。六、教學過程：一.故事引入1、看大禹治水的故事的flash動畫。師：小朋友，你們喜歡聽故事嗎？下面我們就一起來聽一個關(guān)于大禹治水的傳說故事。（故事概述：傳說，大約在公元前2000年的時候，位于陜西的洛河常常泛濫成災，威脅著兩岸的人民的生活與生產(chǎn)。于是，當?shù)氐幕实巯挠砣找贡济?，三過家門而不入，帶領(lǐng)人們開溝挖渠，疏通河道，馴服了河水，感動了上天。后來，一只神龜從河中躍出，托出一張圖給大禹。圖中有9個數(shù)字。大禹因此得到了上天賜予的9種治理天下的方法。這張圖就是聞名于世的洛書。）2、探究洛書與幻方之間的關(guān)系。師：請看，這就是上天賜予大于的洛書，其實，洛書就是幻方最簡單的表現(xiàn)形式。仔細觀察這份洛書，你看到了什么？師：那么這些點子是怎樣在龜背上進行排列的呢？（板書在黑板上：畫出龜背的形象圖）[點評：以學生所喜愛的兒歌引入，讓學生“翻譯”龜背上的數(shù)字序列，起到了激發(fā)興趣、培養(yǎng)觀察能力的效果。同時教師用簡筆畫形象板書，生動直觀，讓學生影響深刻。]3、學習兒歌。兒歌內(nèi)容：載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。師：你們知道嗎，關(guān)于這個9宮格還有這樣一首既好聽，又好記的兒歌，請看，（讀兒歌）你們覺得這個兒歌有意思嗎？誰能說說這個兒歌表示的意思。（學生回答）4、介紹9宮格。師：它有幾個格子，（9個）對，因為他有9個格子里都要填入不同的數(shù)字，所以我們有把象這樣有9個格子的幻方叫做9宮格。好，一起把課題讀一遍。那么，想這樣的9宮格里填的數(shù)字又蘊涵著什么樣的秘密呢？下面，我們就一起來研究這個問題。二、認識幻方出示幻方：1、師：說說，你們準備怎樣來研究這個幻方呢？（生答）2、集體計算幻方的橫行、豎行、斜行的三個數(shù)字的和。誰來匯報一下你的答案。3、師：那么，他們又有什么秘密蘊涵在其中呢？請你們以小組為單位一起討論一下，你們還有什么發(fā)現(xiàn)。（同桌討論）學生反饋，教師教師歸納并小結(jié)：由1到9九個數(shù)排成的。橫行、豎行、斜行的三個數(shù)的和都相等。——將此句醒目板書。5在中心。5相對的兩個數(shù)的和是10。雙數(shù)在四個角上，單數(shù)在中間。（板書在龜背上，用簡明扼要的文字表達）[點評：讓學生討論九宮格上的“秘密”，起到了小組合作、探究知識的作用。又將學生的“發(fā)現(xiàn)”形象的“畫”在龜背上，符合二年級學生的認知規(guī)律。這樣的板書，直觀、具體。]過渡語：你們真聰明，把古人流傳下來幾千年的文化遺產(chǎn)很快的了解到了其中的秘密所在。那你們能不能用你們所了解的幻方的知識去判斷其他一些變換無窮的9宮格中的數(shù)學問題。三、練習：1、判斷。下列是幻方嗎？5。第二題：手勢準備，出，為什么你們說它是幻方呢？——現(xiàn)在中間是5了，為什么不是幻方了？小結(jié)：判斷一個九宮格是不是幻方，主要看橫行、豎行、斜行的三個數(shù)的和是否都相等。為此我們要學會快速觀察：與中間5相對的豎、橫、斜的兩個數(shù)的和是否相等（此處和為10），再快速觀察其同幾個特點。只有象這樣全部滿足幻方的特點的9宮格才能算是幻方。學生練習：做在書上后，反饋，并說說為什么不是幻方。2、填空，都是15。（書上第83頁上第6大題）匯報交流：校對有錯的。出示書上的練習形式：師：那么象這樣龜背上的意思你看得懂嗎？集體完成書上第83頁的練習。3、游戲：幫小動物渡過河。（通過flash進行演示）題目如下：[點評：練習呈現(xiàn)的形式多樣，讓學生“樂此不?！保痪毩暤拿芏容^高，讓學生在充分練習的基礎(chǔ)上鍛煉數(shù)學思維。]五：課后拓展：（過渡語）同學們，你們今天上課的表現(xiàn)真棒，不僅用你們的聰明才智找到了幻方中蘊涵著的數(shù)學問題，而且還運用了這些數(shù)學知識解決了很多的數(shù)學問題，不過，老師還想告訴你們一個小秘密，你們想知道嗎？其實并不是所有幻方橫行、豎行、斜行的三個數(shù)字的和都是15的，只要他們的和是相同的，這樣也可以組成一個幻方的。下面老師就要來考考你們了，請看題目：一起把課題讀一遍。1三個數(shù)字的和都是18。2、請用3、4、5、6、7、就是幾）[點評：教師設(shè)計拓展練習題，既拓展了學生的思維，又讓學生感受到幻方的意義——橫行、豎行、斜行的三個數(shù)的和都相等，這樣的設(shè)計，“盤活”了知識，讓學生體驗到“幻方”的無窮魅力。]四.課堂總結(jié)：通過今天的學習你有什么收獲？九年制義務教育課本二年級數(shù)學第一學期（試用本）《幻方》教學設(shè)計思想“對話”是一種平等關(guān)系。“對話式”的課堂教學模式就是教師與學生，文本與學生要處于一種平等的地位，以平等對話的形式達到師生情感心靈的默契溝通。筆者在對《幻方》這一課堂教學活動的設(shè)計時力圖達到這樣的一個教學氛圍的創(chuàng)設(shè)，因此做了如下的初步嘗試：一、營造平等和諧的“對話”氛圍。在本堂課中，教師、學生和教材之間的對話充分體現(xiàn)了平等的關(guān)系，讓我們的學生在平等的關(guān)系中達到師生之間心靈的溝通，從而為掌握幻方的規(guī)律打下扎實的基礎(chǔ)。課堂教學的設(shè)計中不管是開始還是結(jié)束，都始終在一種平等和諧的對話的氛圍中展開，如：在課的開始部分是通過故事的講解形式，引入本堂課的對話要點，接著再到讓學生自主探究幻方特點等教學環(huán)節(jié)的設(shè)計上，都為課堂創(chuàng)設(shè)了一個平等和諧的對話氛圍。二、體現(xiàn)自主探究的“對話”狀態(tài)?！皩υ捠健苯虒W要求教師在課堂中注重與學生的對話，通過對話來進行教學，在本堂課中筆者用新的二期課改的理念，新的教學方法，讓學生在課堂中進行自主探究活動，如：讓學生在觀察了幻方后，讓他們以小組為單位進行談論，篇二：“幻方”教案幻方一、教學目標：初步認識幻方，了解幻方的起源，激發(fā)熱愛祖國的思想感情。能正確計算每一個九宮格中8個三數(shù)之和。探索幻方的規(guī)律，并能運用規(guī)律靈巧地找出幻方中的缺數(shù)。培養(yǎng)自主探究的能力和團結(jié)協(xié)作的能力。二、教學學重點難點：能正確計算每一個九宮格中8個三數(shù)之和。探索幻方的規(guī)律，并能運用規(guī)律靈巧地找出幻方中的缺數(shù)。三教學過程：一、創(chuàng)設(shè)故事情境，激趣導入1、介紹“洛書”。師：公元前三千多年，有條洛河經(jīng)常發(fā)大水，皇帝夏禹帶領(lǐng)百姓去治理洛河，這時，從水中浮起一只大烏龜，背上有奇特的圖案。聰明的古人已經(jīng)破譯了龜背上神秘莫測的圖案，小朋友們請你仔細觀察，龜背上的圖案有什么奇特之處？顏色都怎樣呢？生：a、有圓點b、有黑點、有白點c、有9格圖案??（2）小結(jié)：觀察的真仔細，龜背上的圖案代表了幾個不同的數(shù)，人們稱它為“洛書”。2、介紹“幻方”。師：根據(jù)龜背上所分布的情況，人們繪制了一個表格，、數(shù)數(shù)這張表格共有幾格空格？（9）師：橫著的三格叫“行”，豎著的三格叫“列”，數(shù)一數(shù)它有幾行幾列？生：三行三列斜著的三個格子叫對角線。我們把龜背上的圖案所表示的數(shù)填入表格中。師：先看中間的圖案，可以用數(shù)字幾來表示？5（板書）剩下的黑點分別用數(shù)字幾來表示？逐一填寫4格角上的數(shù)：4、2、6、8剩下的白點??？逐一填寫：9、7、1、3小結(jié)：古人將這張表格稱為“幻方”，因為它由九個格子組成，所以又稱為“九宮圖”?；梅皆诠糯幕邪缪萘艘粋€重要的角色，因為當時人們把它看作宇宙中力量的象征。那么幻方究竟神奇在什么地方呢？二、探究學習，合作研討。1、出示：請小朋友仔細觀察上幻方里的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？同桌說說看驗證一下是否行、列、對角線上的三數(shù)之和是不是都是15。出示課題2、師：剛才這個幻方的和都是15，它還有許多秘密呢，請看仔細，第一行和第三行交換第一列和第三列交換相對的兩個數(shù)交換幻方經(jīng)過這些變化請你猜猜看，它們還會是幻方嗎？那怎么證明呢？做練習紙上第二題，任選其中兩道題目來做。師：他們還是幻方嗎？仔細觀察上面五個幻方你發(fā)現(xiàn)了什么？小結(jié)：幻方確實非常神奇，（1）都是由1到9九個數(shù)排成的。（2）橫行、豎行、斜行的三個數(shù)的和都是15。（3）5在中間。（4）5兩端的數(shù)的和是10。（5）雙數(shù)在四個角上，單數(shù)在中間。4、判斷下面是幻方嗎？媒體出示判斷題。（用舉手勢的方式來判斷并說說理由。）三、運用規(guī)律，找出幻方中的缺數(shù)。師：洛書龜對大家?guī)退拿?，感到很高興，但是它向大禹透露，它還有只龜姐姐，這只龜姐姐背上的有些圖案看不清了，你能幫它找出來嗎？你是怎么想的？生匯報師：看！又來了一只龜爺爺，背上的圖案缺得更多了，請你幫幫它好嗎？再填之前考慮一下，那幾個空格的數(shù)不能先填呢？比一比，如果幻方的和全是15，看誰填得又對又快：小結(jié)：幻方的中間是5，兩個端點數(shù)的和是10。四個角上是雙數(shù)，其余四個是單數(shù)，行、列和對角線上的三數(shù)之和都等于15。關(guān)于幻方的資料有很多，老師收集了一些。我國南宋時期數(shù)學家楊輝將它命名為“縱橫圖”，又名“九宮圖”“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：先把l～9九個數(shù)依次斜排，再把上l下9兩數(shù)對調(diào)，左7右3兩數(shù)對調(diào)，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，這樣幻方就填好了。有興趣的同學可以在課后進行收集。四、全課總結(jié)：通過研究，你掌握了幻方的那些規(guī)律？篇三：幻方教案主備人：審核人：聰明的羅伯月日姓名【知識要點】在3×3或4×4……的正方形，、及都相等的填有數(shù)的數(shù)陣圖叫做幻方。三階幻方是最基本的幻方，構(gòu)造這個幻方可以有很多種方法。我們在這里介紹其中最常用的一種：羅伯法。法國人羅伯總結(jié)出了，到目前為止，構(gòu)造3階連續(xù)自然數(shù)幻方的最簡單易行的方法。這種方法還可以用于構(gòu)造5階、7階……所有奇數(shù)階幻方。羅伯法的具體方法如下：（1）把1（或按以下規(guī)律剩下的數(shù)：（2）每個數(shù)放在前一個數(shù)的右上一格；（3）如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最頂行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列；比如2超出了最頂行，就把它放在最底行。（4）如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上行：比如3超出了最右列，就把它放在最左列。（5）如果這個數(shù)所要放的格已經(jīng)填好了其他的數(shù)，或者同時超出了最頂行和最右列，那么就把它放在前一個數(shù)的下面：比如4不能和1填在同一個格子晨，就填在3的下面?！镜湫屠}】例1把2到10這9個數(shù)字填入以下三階幻方中，使每一行，每一列，每條對角線上的數(shù)的和都相等。11132（6）依照這種方法把全部的數(shù)填完，一個三階幻方就誕生了，剩余的幾步如下圖：4624628163574281635749235357例2把從1開始的9個連續(xù)奇數(shù)，分別填入圖中的9個方格內(nèi)，使得每個橫行、豎行與對角線上排列的3個數(shù)的和都相等。例3把1到25這25個數(shù)字填入以下五階幻方中，使每一行、每一列、每條對角線上的數(shù)的和都相等。例4在下圖的空格中填入適當?shù)臄?shù)，使每行、每列及兩條對角線上的三個數(shù)的和都等于18。652【趣題】笑話一：不識數(shù)水果攤上貼著：大鴨梨4元1斤，10元3斤。小明對媽媽說：“快買！這個賣梨的不識數(shù)，3斤應該是12元才對。笑話二：查票老教授搭乘火車旅行，列車長前來查票時，他竟找不到票，老教授急得滿頭大汗，列車長說：找不到就算了，再補張票好了。老教授：這怎么可以，找不到那張票，我就不知道我要去哪里啊！笑話三：單數(shù)和復數(shù)數(shù)學老師問杰克：“你現(xiàn)在理解了什么是單數(shù)和復數(shù)嗎？”“理解了?！苯芸嘶卮?。“那么一條褲子是單數(shù)還是復數(shù)呢？”老師又問。“很簡單，”杰克回答，“上面是單數(shù)，下面是復數(shù)?！彪S堂小測姓名成績1．把3到11這9個數(shù)字填入下圖中，使每行、每列及每條對角線上三個數(shù)的和都相等。3．從1～100中找出49個連續(xù)數(shù)填入以下七階幻方中，使每一行、每一列及每條對角線上的數(shù)的和都相等。4．在下面空格中填入適當?shù)臄?shù)，使每行、每列及兩條對角線上的三個數(shù)的和都等于15。82．把12到36這25個數(shù)填入下圖中，使每行、每列及每條對角線上5個數(shù)的和都相等。725．如下圖，在方格表中的每個方格中填入一個字母，使得方格表中每行、每列及每條對角線上的四個方格中的字母都是a、b、c、d（排列順序不限），那么表中*處應填的字母是什么？acbcd*篇四：幻方問題教案幻方問題教案執(zhí)教：杜羲傳說公元前二千多年，在洛水里浮起一只大烏龜，它的背上有個奇特的圖案，（如圖1），后來人們把它稱之為洛書，實際上它是由九個數(shù)字排成一定的格式（如圖2），圖中有一個非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對角線上的每三個數(shù)字之和都是15。許多人產(chǎn)生了這樣的問題，圖中的九個數(shù)字，有沒有別的填法？如果把圖形變成4×4個方格，是否也可以進行這樣的填數(shù)游戲？1、奇偶性規(guī)律：偶數(shù)是能被2整除的整數(shù)，如0、2、6、8等，奇數(shù)是指被2除余1的整數(shù)。奇偶數(shù)的加法具有下列性質(zhì)：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)2、數(shù)的整除規(guī)律：a整除b，且a整除c，則a整除b+c，或a整除b-c。3、商和余數(shù)：整數(shù)a除以整數(shù)b時，商數(shù)是q，余數(shù)是r，必有等式a=b×q+r，0≤r<b，當r=0時，就說b整除a，記為b|a。如：30被7除余2，滿足關(guān)系式30=7×4+2，又因為2<4，也可以說4除30余2。4、自然數(shù)分類：如果兩個整數(shù)分別被a除，所得余數(shù)相同，那么我們說這兩個整數(shù)對于a是同余的。如偶數(shù)對于2是同余的（余數(shù)都為零），所有奇數(shù)對于2也是同余的，（余數(shù)都是1）。由同余，可以對整數(shù)進行分類，如整數(shù)可按3分成：被3除余0，被3除余1，被3除余2這三類，也可按4分類，分成被4除余0，被4除余1，被4除余2，被4除余3這四類。5、自然數(shù)分拆：將一個自然數(shù)寫成兩個自然數(shù)的和，叫做自然數(shù)的二分拆，其中一個和的形式稱為該自然數(shù)的一個分拆。如9寫成2+7，4+5，1+8等就是對9的分拆，而2+7（或4+5，1+8）就是它的一個分拆。一個分拆的被加數(shù)和加數(shù)調(diào)換位置后得到的分拆視為同一個分拆，如2+7和7+2視為9的同一分拆。例1：將1-9這九個數(shù)，填入圖3的方格內(nèi)，使每行、每列、及兩條對角線上三個數(shù)字的和都相等。分析與解：假設(shè)圖形中填入的數(shù)如圖4所示，并設(shè)各邊和對角線的三數(shù)之和為k，則解法的關(guān)鍵是找出中心數(shù)及各頂點的數(shù)。我們分三步來完成：（1）求每行、每列三個數(shù)的和，即k值。（2）確定中心數(shù)，即b2=？（3）試填各頂點數(shù)及其它方格內(nèi)數(shù)。∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45∴3k=45k=15∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=6045+3b2=603b2=15b2=5試填a1，若a1為奇，∵a1+c3=10，故c3為奇，a2和a3也應同奇或同偶，若a2、a3同奇，則c2為奇，b3為奇，這樣就出現(xiàn)了六個奇數(shù)，與1-9的自然數(shù)中只有5個奇數(shù)矛盾；若a2和a3同偶，則c2為偶，b3為偶，c1也為偶，這樣共出現(xiàn)了五個偶數(shù)，與1-9的自然數(shù)中只有4個偶數(shù)矛盾，故a1不能為奇數(shù)，則a1應填偶數(shù)，此時c1、a3、c3也只能取偶數(shù)，由于a1+c3=c1+a3=10，又∵2+8=4+6=10，故只需取a1=2，c3=8，a3=4，c1=6即可，其它各方格中的數(shù)須填a2=9，b2=3。c2=1，b1=7。如圖5所示，這樣就得到本題的一個解，若取a1=4，c3=6，a3=2，c1=8，須取a2=9，b3=7，b1=3，c2=1，根據(jù)對稱輪換，答案是唯一的。說明：此題是引例中的問題，將1-9九個數(shù)，填入列3×3個方格內(nèi)，使每行每列、每條對角線的和相等，這叫做三階幻方，一般地，在n×n個方格內(nèi)，填上n×n個連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對角線上n個自然數(shù)的和都相等，則稱它為n階幻方。解決幻方問題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點數(shù)。例2：把1到6這六個數(shù)分別填在圖7-a中三角形三條邊上的六個圓圈內(nèi)，使每條邊上三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和都相等。分析與解：設(shè)填入頂點圓圈內(nèi)的數(shù)分別為a、b、c，其余三個圓圈內(nèi)的數(shù)分別是d、e、f。每條邊上三個圓圈內(nèi)數(shù)的和為k，如圖7-a?！遖+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k∴(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又∵a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21∴(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3k由上式可知：a+b+c最小時，k值也最小，a+b+c最大時，k值也最大，且k是整數(shù)，當a+b+c=1+2+3=6時，k=9，a+b+c=4+5+6=15時，k=12，所以k可取9、10、11、12四種情況。當k=9時，a+b+c=6，6只有一個三拆分，6=1+2+3，因此a=1，b=2，c=3，其余三個圓圈內(nèi)分別填4、5、6、，即e=4，f=5，d=6。這樣就得到一個基本解（如圖8）將這個解左、右旋轉(zhuǎn)或適當調(diào)換后，可以得到其余的五個解。當k=10時，a+b+c=9，9有三種三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，當a、b、c為1，2，6時，以2、6為頂點的一邊只能填2，如圖9-a，2重復了，故此解排除；當a、b、c為1、3、5時，其余邊上的圓圈內(nèi)約數(shù)填上2、4、6即可（如圖9-b）；當a、b、c為2、3、4時，以3、4為頂點的一邊只能填上3，如圖9-c，3重復了，故此解也排除。當k=11，12時，可仿照上面方法求出基本解。說明：這個數(shù)陣問題中各條邊是相互連接的，叫做封閉型數(shù)陣圖。封閉型數(shù)陣圖的解題突破口，是確定各邊頂點所應填的數(shù)。為確定這些數(shù)，采用的方法是建立有關(guān)的等式，通過以最小值到最大值的討論，來確定每條邊上的幾個數(shù)之和，再將和數(shù)進行拆分以找到頂點應填入的數(shù)，其余的數(shù)再利用和與頂點的數(shù)就容易被填出。例3、把1-9這九個數(shù)，分別填入圓10-a中，使得從中輻射出的每條線上三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等。分析與解：由圖10-a可知，計算每條線段上的三個圓圈內(nèi)數(shù)的和時都要用到中心數(shù)，因此確定中心數(shù)是解此題的關(guān)鍵。該中心數(shù)為χ，其余各數(shù)如圖10-b所示，每條線段上的三數(shù)之和為k?！擀?a1+a2=χ+b1+b2=χ+c1+c2=χ+d1+d2=k∴(χ+a1+a2)+(χ+b1+b2)+(χ+c1+c2)+(χ+d1+d2)=4k(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ)+3χ=4k又∵a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+χ=1+2+…+9=45∴45+3χ=4k觀察上式，k是整數(shù)，即（45+3χ）被4整除，而（45+3χ）÷4=45÷4+3χ÷4，45除以4的余數(shù)為1，則3χ除以4的余數(shù)應為3，當χ=1、5、9時，3χ÷4的余數(shù)為3。當χ=1時，k=（45+3×1）÷4=12，12拆分成含有一個1的三個自然數(shù)的和有以下四種形式：12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6這樣就得到一個解（如圖11-a）。當χ=5、9時，仿照上面方法可得到相應的解，（如圖11-b，圖11-c所示）。說明：此題中的數(shù)陣圖，稱為輻射型數(shù)陣圖，解法的關(guān)鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關(guān)等式，通過整除性的討論，確定出中心數(shù)的取值，然后求出各邊上數(shù)的和，最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的若干個自然數(shù)之和，確定邊上其他的數(shù)。例4、，如圖12-a中，以○為頂點，有四個小的等腰三角形和三個大的等腰三解形，將1-9這九個數(shù)，填入○內(nèi)，使每個三角形的三個頂點的數(shù)字之和相等。分析與解：設(shè)應填入的數(shù)如圖12-b所示，觀察可知，在計算每個小三角形和大三角形各頂點數(shù)字和時，最中間的小三角形三個頂點分別用了三次，其中各頂點用了二次，設(shè)每個三角形的三個頂點數(shù)的和為k，即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+i=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+i=k∵(a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k即：（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+i=3k又∵a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+…+9=45∴3k=45k=15在1-9這九個數(shù)中，15的三拆分有下列幾種情況：15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6，在這些拆分中，2、4、5、6、8、出現(xiàn)過三次，其它數(shù)字出現(xiàn)過兩次，所以c=2，e=8，g=5或c=6，e=4，g=5，再將其它數(shù)填入，這樣就得到本題的兩個解（如圖13-a，圖13-b所示）說明：此題中的數(shù)陣圖為復合型數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點數(shù)為突破口。及時練習：1、用九個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)造一個三階幻方，使每一橫行及每一豎列的三個數(shù)之和都等于60。2、將1-9這九個自然數(shù)分別填入如圖14的九個○內(nèi)，使三角形每邊上的四數(shù)之和都等于19，且有一個頂點○的數(shù)字為1。3、將1-7這七個數(shù)字填寫到如圖15的小圓圈中，使每條直徑上的三個數(shù)字之和都為10。4、把1-10這十個數(shù)分別填在如圖16的五邊形邊上的十個圓圈內(nèi)，使每條邊上的三個圓圈內(nèi)的數(shù)的和盡可能最小。5、把1-9這九個數(shù)分別填入如圖17的大三角形中的九個小三角形內(nèi)（每個小三角形只填一個數(shù)），要求靠近大三角形三條邊的每五個數(shù)相加的和相等，問怎樣填才能使五個數(shù)的和盡可能地大一些，這五個數(shù)的