機(jī)械振動(dòng)總復(fù)習(xí)

機(jī)械振動(dòng)根底

目錄

第一章導(dǎo)論

§1.1引言

§1.2振動(dòng)的分類

§1.3離散系統(tǒng)各元件的特征

§1.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法

§1.5疊加原理

§1.6振動(dòng)的幅值度量

第二章單自由度系統(tǒng)

§2.1引言

§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)

§2.3阻尼自由振動(dòng)

§2.4單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)

§2.5簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用

§2.6周期強(qiáng)迫振動(dòng)

§2.7非周期強(qiáng)迫振動(dòng)

第三章二自由度系統(tǒng)

§3.1引言

§3.2運(yùn)動(dòng)微分方程

§3.3不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程

§3.4無(wú)阻尼自由振動(dòng)

第四章多自由度系統(tǒng)

§4.1運(yùn)動(dòng)微分方程

§4.2固有頻率與振型

§4.3動(dòng)力響應(yīng)分析

§4.4動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法

第五章隨機(jī)振動(dòng)

§5.1隨機(jī)過程

§5.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征

§5.3平穩(wěn)過程和各態(tài)歷經(jīng)過程

§5.4正態(tài)隨機(jī)過程

§5.5相關(guān)函數(shù)

§5.6功率譜密度函數(shù)

§5.7線性振動(dòng)系統(tǒng)在單——隨機(jī)鼓勵(lì)下的響應(yīng)

§5.8線性系統(tǒng)在兩個(gè)隨機(jī)鼓勵(lì)下的響應(yīng)

第一章導(dǎo)論

§1.1引言

振動(dòng)：指一個(gè)物理量在它的平均值附近不停地經(jīng)過極大值和

極小值而往復(fù)變化。

機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械或構(gòu)造在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運(yùn)

動(dòng)。

機(jī)械振動(dòng)研究對(duì)象：機(jī)械或構(gòu)造，在理論分析中要將實(shí)際的

機(jī)械或構(gòu)造抽象為力學(xué)模型，即形成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)。

鼓勵(lì)或輸入：外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的鼓勵(lì)或作用。

響應(yīng)或輸出：系統(tǒng)對(duì)外界影響的反響，如振動(dòng)系統(tǒng)某部位產(chǎn)

生的位移、速度、加速度及應(yīng)力等。

機(jī)械振動(dòng)研究?jī)?nèi)容：研究鼓勵(lì)、響應(yīng)和系統(tǒng)三者之間的關(guān)系。

鼓勵(lì)-----響應(yīng)

系統(tǒng)—

輸入輸出

鼓勵(lì)、系統(tǒng)和響應(yīng)三者知其二可求出第三者。

常見的振動(dòng)問題的三種根本課題：

1.振動(dòng)設(shè)計(jì)外界鼓勵(lì)的條件下設(shè)計(jì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性,

使其響應(yīng)滿足預(yù)期的要求。

2.系統(tǒng)識(shí)別根據(jù)的鼓勵(lì)與響應(yīng)的特性分析系統(tǒng)的性

質(zhì)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的全部參數(shù)。

3.環(huán)境預(yù)測(cè)系統(tǒng)振動(dòng)性質(zhì)和響應(yīng)，研究鼓勵(lì)的特性。

§1.2振動(dòng)的分類

1.2.1線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)

振動(dòng)可分成線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩種。

線性振動(dòng)：系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，振動(dòng)系統(tǒng)的慣性力、阻

尼力、彈性力分別與絕對(duì)加速度、相對(duì)速度、相對(duì)位移成線

按鼓勵(lì)情況分類：

自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始鼓勵(lì)下或原有的鼓勵(lì)消失后的振

動(dòng)。

強(qiáng)迫振動(dòng)：系統(tǒng)在持續(xù)的外界鼓勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。

按響應(yīng)情況分類：

大致可分為確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)。其中確定性振動(dòng)又

可分為：

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)。

周期振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的周期函數(shù)，可用諧波

分析的方法歸結(jié)為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。顯然，簡(jiǎn)諧振動(dòng)

也是周期振動(dòng)。

瞬態(tài)振動(dòng)：振動(dòng)的物理量為時(shí)間的非周期函數(shù)，在實(shí)際

的振動(dòng)中通常只在一段時(shí)間內(nèi)存在。

§1.3離散系統(tǒng)各元件的特征

離散振動(dòng)系統(tǒng)三個(gè)最根本的元件：慣性元件、彈性元件

和阻尼元件。

彈性元件：忽略其質(zhì)量和阻尼，在振動(dòng)過程中儲(chǔ)存和釋

放勢(shì)能。彈性力與其兩端的相對(duì)位移成比例，方向相反。

線性扭轉(zhuǎn)彈簧：

阻尼元件：在振動(dòng)過程中消耗振動(dòng)能量。在線性振動(dòng)系

統(tǒng)中，阻尼力的大小與阻尼元件兩端的相對(duì)速度成比例，方

向相反，這種阻尼又稱為粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的質(zhì)

量和彈性。

慣性元件：完全剛性且無(wú)阻尼，在振動(dòng)過程中儲(chǔ)存和釋

放動(dòng)能。集中質(zhì)量的慣性力與慣性坐標(biāo)系下的加速度(絕對(duì)加

速度)成正比，方向相反。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)：

假設(shè)干個(gè)元件串聯(lián)或并聯(lián)的情況，等效剛度、等效阻尼

和等效質(zhì)量。

§1.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法

1.4.1簡(jiǎn)諧■振動(dòng)

周期運(yùn)動(dòng)滿足

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)滿足：

=Asin(GZ+，)或雙，)=Bcos(cot-(p)

1.4.2兩種常用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示方法

1.向量表示法

2.復(fù)數(shù)表示法

§1.5疊加原理

疊加原理：一個(gè)線性振動(dòng)系統(tǒng)，鼓勵(lì)……￡3,

分別對(duì)應(yīng)于響應(yīng)為⑺、x/$、……,假設(shè)鼓勵(lì)為

FJ(t)=cjFl(t)+c2F2(t)-b……+cnFn(t),那么有對(duì)應(yīng)的響應(yīng)x(f=

C[X](t)+C2X2①+……+。題?⑷成立。

§1.6振動(dòng)的幅值度量

1.峰值X=1%⑺Imax

2.平均值'I：』")"，

3.均方值3go2(/)由

T->ooTJo

4.均方根值(rms)是3的平方根。X碇=席

第二章單自由度系統(tǒng)

根本內(nèi)容：

無(wú)阻尼自由振動(dòng)

阻尼自由振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)

簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用

周期強(qiáng)迫振動(dòng)

非周期強(qiáng)迫振動(dòng)

§2.1引言

單自由度系統(tǒng)：只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)?？捎靡粋€(gè)

常系數(shù)的二階線性常微分方程描述其振動(dòng)規(guī)律。

§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始鼓勵(lì)下或外加鼓勵(lì)消失后的一種

振動(dòng)形態(tài)。

2.2.1運(yùn)動(dòng)微分方程

列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程步驟：

1.取一個(gè)坐標(biāo)系，原點(diǎn)為靜平衡時(shí)質(zhì)量所在位置。

2.設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向有一移動(dòng)，考察質(zhì)量的受力情況，畫出

隔離體圖。

3.按牛頓第二定律寫出運(yùn)動(dòng)微分方程。

4.確定系統(tǒng)初始的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

或

系統(tǒng)的固有頻：①n"2

方程的通解為：

單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)C

周期：T嚕=2卓

頻率：TH。

系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能：耳=：欣2,U=；k￡

即

無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)械能

在運(yùn)動(dòng)中保持不變。

1

定義動(dòng)能系數(shù)：r=^-mA=12

—mx

2max

對(duì)于單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)，有以下結(jié)論:

1.單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的中點(diǎn)為

系統(tǒng)的靜平衡位置。

2,振動(dòng)頻率只與系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量有關(guān)。

3.①八力與亞成正比而與必^成反比。

4.振動(dòng)得以維持的原因是系統(tǒng)有儲(chǔ)存動(dòng)能的慣性元件和儲(chǔ)

存勢(shì)能的彈性元件。振動(dòng)時(shí)動(dòng)能、勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)換。

上面的結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，但選擇適宜的坐標(biāo)系

有助于簡(jiǎn)化問題的求解。

222求固有頻率的方法

方法1：列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，求出系統(tǒng)的固有頻率，

Mj=ylk/mo需系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量。

方法2:靜態(tài)位移法。根據(jù)虎克定律，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)靜止時(shí)

在重力的作用下彈簧被壓縮，有：k4=mg

故：a^=k/m=gl卜

方法3:能量法。用能量法求固有頻率有兩種方法：

①一種方法是求出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，再根據(jù)

+U)=。求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，從而得到固有頻率。

②另一種方程是求出系統(tǒng)的最大勢(shì)能和動(dòng)能系數(shù)

r=5加4?=5mW.nax,然后根據(jù)^=klm=(ax/-求出固

有頻率。

2.2.3有效質(zhì)量

離散系統(tǒng)模型約定，系統(tǒng)的質(zhì)量集中在慣性元件上，彈

性元件無(wú)質(zhì)量。當(dāng)彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)質(zhì)量的相當(dāng)局部

時(shí)，略去它會(huì)使計(jì)算得到的固有頻率住偏高。

可以采用能量等效的方法，加大慣性元件的數(shù)值，使慣

性元件的動(dòng)能等于系統(tǒng)的總動(dòng)能，再把彈性元件的質(zhì)量略

去。

對(duì)于質(zhì)量均布彈簧，在考慮彈簧質(zhì)量的條件下，系統(tǒng)的

固有頻率：

系統(tǒng)在動(dòng)能意義下的質(zhì)量為系統(tǒng)的等效質(zhì)量。它并不一

定等于系統(tǒng)慣性元件的質(zhì)量加上其他元件的質(zhì)量C

等效剛度的定義同理。

§2.3阻尼自由振動(dòng)

阻尼：度量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量的能力的物理量。

最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼

粘性阻尼力的大小與相對(duì)速度成正比，方向與速度方向

相反。

阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

定義系統(tǒng)的臨界阻尼：ce=2yl~mk=2mcon

定義？為系統(tǒng)的阻尼比〔相對(duì)阻尼系數(shù)〕：

尸CCC

（----------------------------

2m①〃2y[mkc0

利用4,可把阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為變換為：

根據(jù)，的大小，可得到三種不同形式的解：

1.<>1：強(qiáng)阻尼（過阻尼）。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：

強(qiáng)阻尼情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不是振動(dòng)。

2.二=1:臨界阻尼。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：

臨界阻尼情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也不是振動(dòng)。

3.7VI：弱阻尼。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為：

定義阻尼固有頻率：%=J1—

只有當(dāng)弱阻尼時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)才是振動(dòng)〔衰減振動(dòng)〕。隨著

時(shí)間增長(zhǎng)，即r趨于無(wú)窮時(shí)，振動(dòng)逐漸衰減為零，系統(tǒng)趨于

靜止。由于有衰減項(xiàng)"他\振動(dòng)既不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，也不是周

期振動(dòng)。在阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)的振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)按指數(shù)

規(guī)律衰減。

阻尼對(duì)自由振動(dòng)的頻率，周期都有影響。

由于存在阻尼，振動(dòng)頻率降低，振動(dòng)周期增大。

阻尼對(duì)阻尼自由振動(dòng)的振幅影響很大。由于阻尼的存在，可

有效地抑制振幅。

定義對(duì)數(shù)衰減率：#=4二H

有：，一布中

可以測(cè)出系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)時(shí)的響應(yīng)，求出對(duì)數(shù)衰減

率，進(jìn)而得到系統(tǒng)的阻尼比。

§2.4單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)

簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)：鼓勵(lì)是時(shí)間簡(jiǎn)諧函數(shù)。

2.4.1系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的響應(yīng)

單自由度簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

Z77LX+CX+kx=/(/)

簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)：/(，)=COScot=kAcoscot

定義片為：A=F。/k

簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

單自由度簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程是二階常系

數(shù)非齊次線性常微分方程。

它的解由兩局部組成：通解+特解

一局部是方程工+23/+①*=。對(duì)應(yīng)的齊次方程的通

解，由于系統(tǒng)存在阻尼，這局部解只在振動(dòng)開場(chǎng)后的一段時(shí)

間內(nèi)有意義，超過這段時(shí)間后，由于阻尼的影響，最終被衰

減到零〔瞬態(tài)響應(yīng)〕。

另一局部是無(wú)+2Q9,/+G*=G；ACOSM的一個(gè)特解，它

表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)，為穩(wěn)態(tài)解，其響應(yīng)稱為

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

特解可表示為：

穩(wěn)態(tài)解〔特解〕為

單自由度系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)的微分方程的解為：

從穩(wěn)態(tài)解〔特解〕可以得出：鼓勵(lì)幅值的大小只影響穩(wěn)

態(tài)響應(yīng)的幅值，二者之間成正比，并不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相角。

而鼓勵(lì)頻率既影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值，也影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相

角。

2.4.2復(fù)頻率響應(yīng)幅頻特性與相頻特性

定義復(fù)頻率響應(yīng)“⑻："（⑼=匚口"而石而

H（（o）的模為系統(tǒng)的放大因子：

\H（⑼|=/1;

血-3/例）2]2+（2S/0）2

A

X=/…,=陋（砌或|"3）|二X/A

加-3/以）2『+（2-/0）2~1

。（⑼為復(fù)頻率響應(yīng)"3的幅角：=-。=-arctg:弓2

\-（co/con）

系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)〔穩(wěn)態(tài)解〕可表示為：

引入復(fù)頻率響應(yīng)的意義：復(fù)頻率響應(yīng)”（0）可以用來(lái)描述鼓

勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。它的模I”（同表達(dá)了鼓勵(lì)頻率

對(duì)響應(yīng)幅值的影響，它的幅角6（。）表達(dá)了鼓勵(lì)頻率對(duì)響應(yīng)相

位的影響，靜位移4表達(dá)了鼓勵(lì)幅值對(duì)響應(yīng)幅值的影響。

系統(tǒng)的復(fù)頻率響應(yīng)只取決于兩個(gè)參數(shù)：鼓勵(lì)頻率和系統(tǒng)固有

頻率的比值（頻率比）0/q和系統(tǒng)的阻尼比二即

幅頻特性圖和相頻特性圖：橫坐標(biāo)一頻率比①/q,系統(tǒng)

的阻尼比4為參數(shù)，縱坐標(biāo)一放大因子I"（同或相角0。

圖幅頻特性圖和相頻特性圖

從幅頻特性圖和相頻特性圖可以看出：

當(dāng)4>1/后時(shí)[4>0.707],放大因子沒有峰值。這時(shí)在

整個(gè)頻率范圍內(nèi)，|"（。）|<lo通常把4<1/也稱為小阻尼情況。

只有在小阻尼情況下，放大因子I”（同才在。>0時(shí)有峰值，

而且峰值（⑼

關(guān)注刃=0、00、0這三個(gè)特殊點(diǎn)，|”（朗和9（⑼分別為

根據(jù)頻率比刃/助的大小，可以把系統(tǒng)響應(yīng)分成三個(gè)不同的

范圍，由向量圖可清楚看出這三個(gè)范圍的特點(diǎn)。

①當(dāng)。/qvvl時(shí)：鼓勵(lì)主要是與彈性力平衡。因?yàn)楣膭?lì)的

頻率很低，系統(tǒng)的速度、加速度都很小，相應(yīng)地阻尼力、慣

性力也很小，響應(yīng)的振幅接近于靜位移。

②當(dāng)〃鼓勵(lì)主要是與慣性力平衡。因?yàn)楣膭?lì)頻

率很高，使鼓勵(lì)力方向變化過快，系統(tǒng)由于慣性來(lái)不及跟隨。

③當(dāng)口〃即共振時(shí)：響應(yīng)的振幅比靜位移大，鼓勵(lì)力

與阻尼力平衡，彈性力與慣性力平衡。稱在以=1附近為系

統(tǒng)的共振區(qū)。

峰值點(diǎn)并不在頻率比。/。的位置，而在

①/①〃=11—2^處,即鼓勵(lì)頻率小于固有頻率的地方。

2.4.3能量關(guān)系與等效阻尼

1.能量關(guān)系

對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，由于無(wú)阻尼，振動(dòng)時(shí)無(wú)能量消耗。當(dāng)

鼓勵(lì)頻率。工與時(shí)，無(wú)能量輸入，外力對(duì)系統(tǒng)不做功。當(dāng)①二①〃

時(shí)，外力對(duì)系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量越來(lái)越大，以致振動(dòng)的振

幅越來(lái)越大。

無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)時(shí)，如果鼓勵(lì)頻率等于系統(tǒng)固有

頻率，由于系統(tǒng)無(wú)阻尼，因此外力對(duì)系統(tǒng)做的功全部轉(zhuǎn)成系

統(tǒng)的機(jī)械能即振動(dòng)的能量。外力持續(xù)給系統(tǒng)輸入能量，使系

統(tǒng)的振動(dòng)能量直線上升，振幅逐漸增大。由此可知，即使是

無(wú)阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，也需要一定的時(shí)間來(lái)積累振動(dòng)能量。在

實(shí)際中有些機(jī)械構(gòu)造在起動(dòng)或停機(jī)時(shí)無(wú)法防止通過共振區(qū)，

為防止在共振區(qū)給構(gòu)造造成損壞，可以采用迅速通過共振區(qū)

的方法來(lái)解決。

2.等效阻尼

假定系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，令原系統(tǒng)耗散的能量與粘性阻尼

耗散的能量一樣，從而求出等效阻尼系數(shù)。

§2.5簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用

2.5.1旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

圖失衡鼓勵(lì)下的幅頻特性圖、相頻特性圖

特點(diǎn)：

①當(dāng)。/0-0,即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)低于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，

-?-^0,也就是說失衡鼓勵(lì)引起的振動(dòng)很小。

me

②當(dāng)0/0700,即轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，

-?-^1,即響應(yīng)的振幅X-等，為一個(gè)確定的值。

meM

③即轉(zhuǎn)速接近但略高于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，

響應(yīng)的振幅最大〔共振〕，

2.5.2支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

圖支承鼓勵(lì)下系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖

特點(diǎn)：

①當(dāng)//你=拒時(shí)，無(wú)論阻尼比:為何值，響應(yīng)幅值總

是與鼓勵(lì)幅值相等，即K/Z=l。

②當(dāng)G/4V及時(shí)，阻尼抑制了響應(yīng)的幅值，阻尼比4越

大，響應(yīng)的幅值越小。但無(wú)論阻尼為何值，響應(yīng)的幅值總大

于支承運(yùn)動(dòng)的幅值，即工＞4。

③當(dāng)°/勺＞及時(shí)，響應(yīng)的幅值總小于支承運(yùn)動(dòng)的幅值,

即督4,但＜越大，響應(yīng)的幅值反而增大。

2.5.3隔振原理

振動(dòng)隔離指將機(jī)器或構(gòu)造與周圍環(huán)境用減振裝置隔離，

它是消除振動(dòng)危害的重要手段。

積極隔振：自身是振源，為減少其對(duì)周圍環(huán)境的影響，

將其與支承它的根底隔離開。

消極隔振：對(duì)允許振動(dòng)很小的精細(xì)儀器和設(shè)備，為減少

周圍環(huán)境振動(dòng)對(duì)其影響，需要把它與支承它的根底隔離。

兩種隔振的原理相似，根本作法都是把需要隔離的機(jī)器

設(shè)備安裝在適宜的具有彈性和阻尼的減振裝置或隔振裝置

上，使大局部振動(dòng)被減振裝置或隔振裝置吸收，以阻斷振動(dòng)

的傳遞。

隔振與頻率比和阻尼比的關(guān)系圖〔振源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)〕

隔振要求：

①無(wú)論阻尼大小，僅當(dāng)頻率比43>a才有隔振效果。

即在隔振設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的固有頻率要小于振源振動(dòng)頻率。隨

//%增大，隔振效果提高，在實(shí)際應(yīng)用中取初以=2.5?5已足

夠。

②在引4>五時(shí)，阻尼增大使隔振系數(shù)增大，降低了隔

振效果。但阻尼比不是越小越好，實(shí)際問題中鼓勵(lì)頻率是由

零逐步增加到某一定值，此過程中不可防止要與系統(tǒng)的固有

頻率重合，產(chǎn)生共振。阻尼過小將使系統(tǒng)過共振時(shí)振幅過大,

造成破壞，因而要兼顧。一般希望有點(diǎn)阻尼以限制過共振時(shí)

的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料

阻尼并不大，因此在。/%>2.5以后計(jì)算隔振系數(shù)時(shí)可不考慮

阻尼的影響。

2.5.4慣性式測(cè)振儀原理

圖慣性式測(cè)振儀系統(tǒng)的幅頻特性圖、相頻特性圖

①當(dāng)o/q?l,即鼓勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，

I”(⑼底1,ZkA(①/0)2

測(cè)振儀殼體〔被測(cè)構(gòu)造〕的加速度幅值：區(qū)=A療，即Z

與測(cè)振儀殼體的加速度幅值成比例〔加速度計(jì)〕。

加速度計(jì)是高固有頻率儀器。

②當(dāng)。/以〉〉1,即鼓勵(lì)頻率很高時(shí)，Z=A(&/你y回⑼核4

即鼓勵(lì)頻率很高時(shí)，測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎

保持不動(dòng)，與構(gòu)造相接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)。儀器的

相對(duì)振幅Z與鼓勵(lì)幅值4相等，此時(shí)儀器用于測(cè)量振動(dòng)位移

〔位移計(jì)〕。

位移計(jì)是低固有頻率儀器。

2.5.5轉(zhuǎn)軸的橫向振動(dòng)

特點(diǎn)：①如果轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速外遠(yuǎn)小于①〃時(shí)，圓盤的撓度

很小。②當(dāng)刃二例即共振時(shí)，圓盤的撓度為《，如果阻尼很

小，圓盤的撓度將很大。③當(dāng)co?co,1時(shí)，圓盤的撓度約等于

§2.6周期強(qiáng)迫振動(dòng)

周期強(qiáng)迫振動(dòng)的求解方法：①如果周期鼓勵(lì)中的某一諧

波的幅值比其他諧波的幅值大的多，可視為簡(jiǎn)諧鼓勵(lì)。②反

之，那么應(yīng)按周期鼓勵(lì)求解。求解周期鼓勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)問

題需要將鼓勵(lì)展為傅里葉級(jí)數(shù)，然后分別求出各個(gè)諧波所引

起響應(yīng)，再利用疊加原理得到系統(tǒng)的響應(yīng)。

在周期鼓勵(lì)時(shí)，只要系統(tǒng)固有頻率與鼓勵(lì)中某一諧波頻

率接近就會(huì)發(fā)生共振。

§2.7非周期強(qiáng)迫振動(dòng)

采用卷積積分處理：在系統(tǒng)受任意持續(xù)的鼓勵(lì)時(shí)，按照

高等數(shù)學(xué)中積分時(shí)對(duì)被積函數(shù)的處理，可把鼓勵(lì)看為一系列

脈沖力的疊加。

2.7.2傅里葉變換方法

傅里葉變換：在頻率域內(nèi)分析鼓勵(lì)頻譜，響應(yīng)頻譜以及系統(tǒng)

特性的頻域描述之間的關(guān)系。

2.7.3拉普拉斯變換方法

第三章二自由度系統(tǒng)

§3.1引言

多自由度系統(tǒng)：指需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立坐標(biāo)才

能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。

§3.2運(yùn)動(dòng)微分方程

求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的一種比擬簡(jiǎn)單的方法：先求出

系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)，然后利用：

=粵，同=粵，粵求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻

dxicxj

尼矩陣和剛度矩陣，最終求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

§3.3不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程

系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣（包括阻尼矩陣）的具體形式

與所選取的描述系統(tǒng)振動(dòng)的廣義坐標(biāo)有關(guān)，適宜的廣義坐標(biāo)

能夠解除方程的耦合。由于不同廣義坐標(biāo)之間存在著線性變

換關(guān)系，所以，方程解耦的問題就歸結(jié)為尋找一個(gè)適宜的線

性變換矩陣㈤，使變換后系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度

矩陣成為對(duì)角矩陣。

§3.4無(wú)阻尼自由振動(dòng)

1、根本概念

固有頻率

固有振型〔振型〕

振型圖：用圖形直觀顯示固有振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)之間的相

互位置關(guān)系〔橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)各點(diǎn)的靜平衡位置，縱坐標(biāo)表

示各點(diǎn)的振幅比〕

2、二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由振動(dòng)響應(yīng)

的求解方法

〔1〕利用特殊初始條件〔對(duì)稱或反對(duì)稱條件〕

〔2〕任意的二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率、振型和自由

振動(dòng)響應(yīng)的求解方法

步驟：①求系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；②列出系統(tǒng)的

特征方程或頻率方程△（蘇）=|［幻-CD2［M］=唇-療聞=。求出2

個(gè)固有頻率；③將2個(gè)固有頻率依次代入QK］一#［也）{〃}=0

求出各自對(duì)應(yīng)的振型；④求系統(tǒng)的響應(yīng)。

第四章多自由度系統(tǒng)

多自由度振動(dòng)系統(tǒng)：指需要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立坐

標(biāo)才能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。

描述其振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為常微分方程組。

本章主要內(nèi)容：

①多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的根本理論；

②多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型；

③多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析-振型迭加方法；

④多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析-變換法〔傅里葉變換和

拉普拉斯變換〕。

§4.1運(yùn)動(dòng)微分方程

A個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為

剛度矩陣因各元素號(hào)的意義〔定義法求剛度矩陣〕：如

果系統(tǒng)的第/個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其

余各個(gè)自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需

要在各個(gè)自由度施加外力，其中在第/個(gè)自由度上施加的外

力就7^kjjo

系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣定義類似。

能量法求解系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣。

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均為對(duì)稱矩陣。

JM]{R+[Q{R+[K]{%}="}

方程[{聯(lián)0)}={/},{戈(0)}={片}的求解方法：

尋找一個(gè)新的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)系，在這個(gè)新的

坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對(duì)角矩

陣。

§4.2固有頻率與振型

在無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

求固有頻率：

2

①由頻率方程勺一口//二°求得A個(gè)固有頻率說，瓏，…，

②將固有頻率式依次代入方程(一][M]+[K]){〃}二°可

以求出與口；相對(duì)應(yīng)的非零的振型{嗎。

由于([K]—/[M]){%}=。只給出了振型的方向，而振型

的大小需要人為指定〔振型的正規(guī)化〕。

振型的正規(guī)化：指定振型的大小。

常用的兩種振型正規(guī)化方案：

(1)令{4}滿足

T

此時(shí)有：=co^uf.}[M]{ur}=可2

⑵令{叫的某一分量為1。比方在振動(dòng)模態(tài)實(shí)驗(yàn)中常常取

{嗎的分量中絕對(duì)值最大的分量為1,這樣便于對(duì)振型和實(shí)際

構(gòu)造進(jìn)展分析。再令

此時(shí)有：="{%}[“]{%}=/也

振型的一個(gè)重要性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以

系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交〔振型的正交性〕。

即：如果當(dāng)rws時(shí)，①產(chǎn)①、，那么必然有

振型正交性的物理意義：系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能均分別為各

階動(dòng)能和勢(shì)能之和；各個(gè)振型之間的動(dòng)能、勢(shì)能不交換，各

振型在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立、互不影響。

振型的正交性和正規(guī)化可用統(tǒng)一的公式表達(dá)〔振型的正

規(guī)正交化條件〕。

T

如果取振型正規(guī)化為{ur}[M]{ur}=]y那么振型的正規(guī)正交

化條件可以寫為

T

如果取振型正規(guī)化為{ur}[M]{ut.}=Mry那么振型的正規(guī)正

交化條件可以寫為

振型矩陣同：列向量為相應(yīng)的振型，即

由全體振型構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)。振型矩陣畫就是線

性變換的矩陣。

在振型坐標(biāo)下A自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分

方程：

W=M{y}

①如果振型取{叫{%}=1、{?.},[長(zhǎng)]{〃,}=例2正規(guī)

化：

T

②如果振型取=Kr={ur}[K]{ur}=^Mr

正規(guī)化：

§4.3動(dòng)力響應(yīng)分析

動(dòng)力響應(yīng)分析：系統(tǒng)在外部鼓勵(lì)作用下的響應(yīng)分析。

常用的動(dòng)力響應(yīng)分析方法：振型疊加法〔本書討論的內(nèi)

容〕和逐步積分法，后者是數(shù)值積分方法。這兩種方法的特

點(diǎn)是適于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和鼓勵(lì)，求

系統(tǒng)響應(yīng)的情況，且便于用計(jì)算機(jī)編程求解。

振型疊加法步驟：

[M{R+[C]{R+[K]{止{7}

振型疊加方法求解式[{](0)}={用}，{、(0)}二{、()}的步

驟如下：

①首先由(-^2IA7]+[K]){〃}=。求出系統(tǒng)的固有頻

率、振型和矩陣。

②新、舊坐標(biāo)變換。

您(0)}=[%「[心["]{%0}={%}

T

初始條件