江蘇省部分校2025屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三12月質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：本卷考試時(shí)間為120分鐘，滿(mǎn)分為150分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則A． B． C． D．3．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則的最小值為A．1 B． C．3 D．44．在銳角三角形ABC中，，則的范圍是A． B． C． D．5．已知三棱錐滿(mǎn)足，，，且其表面積為24，若點(diǎn)（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，則三棱錐的體積為A．B．C． D．6．對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若函數(shù)的圖象存在三對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值可以是A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．9 B．10 C．11 D．128．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．判斷下列命題中正確的有A．對(duì)于回歸分析，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，說(shuō)明擬合效果越好B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變C．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，則D．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，若，則10．已知函數(shù)，的定義域均為，若存在函數(shù)，使得函數(shù)，在上有，，，恒成立，則稱(chēng)，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有A．，， B．，，C．，， D．，，11．已知曲線(xiàn)．點(diǎn)，，則以下說(shuō)法正確的是A．曲線(xiàn)C不存在點(diǎn)P，使得B．曲線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．直線(xiàn)與曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn)D．點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向作垂線(xiàn)，垂足分別為A，B，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線(xiàn)的左支上一點(diǎn)滿(mǎn)足，以為圓心的圓與的延長(zhǎng)線(xiàn)相切于點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為.13．已知函數(shù)（為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（e,1）處的切線(xiàn)與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.14．某校高三1班10名同學(xué)、高三2班20名同學(xué)、高三3班10名同學(xué)參加“強(qiáng)國(guó)有我”演講比賽，采用隨機(jī)抽簽的方式確定出場(chǎng)順序，每位同學(xué)依次出場(chǎng)．記“高三1班全部學(xué)生完成比賽后，高三2班和高三3班都有學(xué)生尚未完成比賽”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在面積為S的中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）若，求周長(zhǎng)的最大值；（2）若為銳角三角形，且AB邊上的高h(yuǎn)為2，求面積的取值范圍．16．（15分）已知橢圓離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B的兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、．已知面積的最大值為2，且過(guò)定點(diǎn)．（1）設(shè)和的面積分別為、，求的最大值；（2）求證：為定值，并求出該定值．17．（15分）在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形．如圖，設(shè)，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求的值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，記的兩個(gè)零點(diǎn)是．①求證：；②求證：．19．（17分）已知數(shù)列P為有窮正整數(shù)數(shù)列．若數(shù)列P滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列P為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫(xiě)出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)注：解答題如有不同解題過(guò)程，酌情給分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。題號(hào)12345678答案DACADBCD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。題號(hào)91011答案ABDBDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）（1）由和正弦定理，三角形面積公式得，，因，故得，，由余弦定理，，因，則；···················3分由余弦定理，，即，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，于是，，即當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為；··············6分（2）由可得，由正弦定理，，即得，，,·············8分則,················10分由為銳角三角形可得，，解得，·····················11分則，由正弦函數(shù)的圖象知，，故得，即面積的取值范圍為.·········································13分16．（15分）（1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.·············3分設(shè)點(diǎn)、.若直線(xiàn)的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不合題意.·······················4分設(shè)直線(xiàn)的方程為，由于直線(xiàn)不過(guò)橢圓的左、右頂點(diǎn)，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，··································6分所以，，················8分，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.····10分（2）由（1），，所以······················12分，即為定值，定值為.··························································15分17．（15分）（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，（0＜x＜4，z>0）因?yàn)椋?，所以，，，，，····?分設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，······5分因?yàn)?，所以，所以平面平面；······?分（2）設(shè)平面的法向量為，則，取，····8分設(shè)二面角的平面角為，所以，···········10分所以，即，解得或（舍），則，··············································12分所以，即，又，所以.·······15分18．（17分）（1）由題意知，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，令，則（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；··················2分故當(dāng)時(shí)，取最小值，·即，解得，故存在實(shí)數(shù)使得在上有唯一最小值；··························4分（2）①因?yàn)?，令，即得，由題意知的兩個(gè)零點(diǎn)是，即，則，則，··········································6分要證，即證，即，即證，即，由于，故，即證，即證，···············8分令，設(shè)，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，且，故，即成立，故；···································································10分②由于，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，·············································12分函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的兩個(gè)零點(diǎn)是，則，由于，故，函數(shù)在處的切線(xiàn)方程分別為，且在內(nèi)，在內(nèi)，先證：，即，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，···············15分再證：，即，令，則恒成立，即在單調(diào)遞減，則，令，則可設(shè)；令，則，則可得，即.······················17分19．（17分）（1）由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1.······································2分（2）因?yàn)閷?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有個(gè)，且存在的6減數(shù)列，所以，得.·····································4分①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.········································8分（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列存在大于1的項(xiàng)，若末項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后變大，所以此時(shí)不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換的順序后變?yōu)?，所以此時(shí)不是最大值，所以.·····································································10分若，所以，所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1，所以變大，所以此時(shí)不是最大值，所以.········································12分若數(shù)列P中存在相鄰的兩項(xiàng)，設(shè)此時(shí)P中有項(xiàng)為2，將改為2，并在數(shù)列末尾添加