山東省青島即墨區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題2024.11本試卷分選擇題和第非選擇題兩部分．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答第I卷前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上．2．選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．所有試題的答案，寫在答題卡上，不能答在本試卷上，否則無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，且，則m=A.?8 B.?6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.8 B.10 C.12 D.15【答案】B【解析】【分析】由下標(biāo)和性質(zhì)先求得的值，然后根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B4.已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)周期求出，代入，計(jì)算檢驗(yàn)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，因?yàn)?，所以AC錯(cuò)誤；，所以B錯(cuò)誤，D正確.故選：D5.將0，1，2，10四個(gè)數(shù)字排成一行，可以組成不同的5位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.6 B.12 C.15 D.18【答案】C【解析】【分析】首先求出數(shù)字0不在首位，再求出數(shù)字1和0相鄰且1在0之前的排法，即可得解.【詳解】將0，1，2，10四個(gè)數(shù)字排成一行，且數(shù)字0不在首位，則有種，數(shù)字1和0相鄰且1在0之前的排法有種，去掉重復(fù)的（類似10102這樣的數(shù)），滿足題意的不同的5位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選：C6.已知銳角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角的余弦公式得解.【詳解】由三角函數(shù)定義，，所以，解得或（由為銳角知，舍），故選：D7.已知向量為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理設(shè)(t∈R)，得，兩邊平方根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以可設(shè)(t∈R)，所以，所以，因?yàn)橄蛄?，為單位向量，且，所以，所以，所以的最小值?故選：A8.已知成等比數(shù)列，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等式的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由不等式，可得，則，所以．當(dāng)時(shí)，，矛盾，則，所以，綜上，．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知等式運(yùn)用不等式是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.在第一象限 B. C. D.的虛部為【答案】BC【解析】【分析】確定，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)概念及幾何意義、模的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，可得：在第二象限，，，的虛部為3.故選：BC10.已知，則（）A.為偶函數(shù) B.是的最小正周期C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)定義判斷A，取特值判斷B，根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性判斷C，根據(jù)偶函數(shù)及在時(shí)的值域判斷D.【詳解】由可知，，定義域?yàn)?，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；取，則，，即，所以不是函數(shù)的周期，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，令且為減函數(shù)，而在時(shí)單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，單調(diào)遞增，故C正確；由為偶函數(shù)，只需研究時(shí)的值域，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋磿r(shí)，是函數(shù)的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，令，則在上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上的值域?yàn)椋蔇正確.故選：ACD11.如圖，平面四邊形中，對(duì)角線的交點(diǎn)為，△的面積是△面積的兩倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.C.是等差數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)面積比可得線段長(zhǎng)之比判斷A，由向量的線性運(yùn)算判斷哪B，根據(jù)三點(diǎn)共線消元后得出可判斷C，由錯(cuò)位相減法求和可判斷D.【詳解】過(guò)A作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連接，交于點(diǎn)，如圖所示，由題意可得：，則，且，則，故，故A正確；，故B錯(cuò)誤；∵三點(diǎn)共線，則，可得，則，，整理得：，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，故C正確；則，即，所以,，兩式相減得：，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)三角形面積的關(guān)系，得出線段長(zhǎng)之比，再由向量線性運(yùn)算，及三點(diǎn)共線得出關(guān)于的遞推關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵所在.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為_________.【答案】【解析】【分析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式展開式：當(dāng)即時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.13.已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=___________.【答案】【解析】【分析】由題求得θ的范圍，結(jié)合已知求得cos（θ），再由誘導(dǎo)公式求得sin（）及cos（），進(jìn)一步由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得tan（θ）的值．【詳解】解：∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．則tan（θ）＝﹣tan（）．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14.在△中，若，則角A的范圍是________．【答案】【解析】【分析】將正切化為正弦和余弦，化簡(jiǎn)后結(jié)合余弦定理可得到，結(jié)合基本不等式和余弦函數(shù)的圖象即可求角A的范圍.【詳解】,在,,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，,故答案為:四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知．（1）若，求；（2）設(shè)，若，求的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）兩邊平方后，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）兩邊平方后，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可求的，然后結(jié)合公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，即，又因?yàn)?，所以，即；【小?wèn)2詳解】由題意得，即；又，所以，所以，即，所以，又所以16.在中，.（1）求B；（2）若的周長(zhǎng)為，求邊上中線的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)正弦定理由，因?yàn)?，所以，即，所以；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，而，所以，因此，由余弦定理可知：，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以有，設(shè)邊上中點(diǎn)為，所以，由余弦定理可知：，所以邊上中線的長(zhǎng).17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析，并求出在上的值域；（2）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得曲線關(guān)于軸對(duì)稱.求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代入兩點(diǎn)，建立方程，根據(jù)解出參數(shù)的值，即可得解解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域；（2）根據(jù)題意得到平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，得到，根據(jù)及取對(duì)應(yīng)的值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】由，得，又點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是上升的，則，由，點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得，聯(lián)立解得，，而，于是，，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】令將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所以，由題意的圖象曲線關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值.18.如果正項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，即，我們稱其為“1的對(duì)稱數(shù)列”，例如：數(shù)列2，3，，與數(shù)列3，2，1，，都是“1的對(duì)稱數(shù)列”．（1）設(shè)是項(xiàng)數(shù)為8的“1的對(duì)稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，請(qǐng)依次寫出的每一項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列是13項(xiàng)的“1的對(duì)稱數(shù)列”，其中是等比數(shù)列，，求數(shù)列的所有項(xiàng)和的最小值；（3）設(shè)數(shù)列是項(xiàng)的“1的對(duì)稱數(shù)列”，數(shù)列前項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（注：）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列寫出前四項(xiàng)，再由新定義寫出后四項(xiàng)即可；（2）由等比數(shù)列可求出數(shù)列前五項(xiàng)，再由新定義得出后五項(xiàng)及中間項(xiàng)，所以第六項(xiàng)及第八項(xiàng)可設(shè)為，求和后利用基本不等式得最值即可；（3）當(dāng)時(shí)直接由公式求和，當(dāng)時(shí)，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為前四項(xiàng)的公差，，，的各項(xiàng)為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)前五項(xiàng)公比為，顯然，，則，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍去），因?yàn)閿?shù)列是13項(xiàng)的“1的對(duì)稱數(shù)列”，所以，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以數(shù)列的所有項(xiàng)和的最小值為.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題關(guān)鍵在于理解定義，運(yùn)用定義解題，求和時(shí)利用所給公式及裂項(xiàng)相消法.19.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè)．（1）若等差數(shù)列1，3，5，7，9為增數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列為的8增數(shù)列，求的最小值；（3）若存在60的增數(shù)列，求的最大值．【答案】（1）35（2）8（3）450【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由m的k增數(shù)列的定義求得m和k的值.（2）根據(jù)題意，由m的8增數(shù)列的定義，有，并且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè)，根據(jù)這兩個(gè)條件分析m的取值范圍，求出最小值.（3）由題意得，若存在60的增數(shù)列，則根據(jù)定義分析當(dāng)k最大時(shí)數(shù)列各項(xiàng)的特征，包括各項(xiàng)是否相等，各項(xiàng)的值為多少，相鄰項(xiàng)的差值是多少，確定出數(shù)列的特征后再具體計(jì)算出k的值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，根據(jù)m的k增數(shù)列的定義，，因?yàn)椋詫?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有：共10對(duì)，所以，于是.【小問(wèn)2詳解】由題意得，數(shù)列為的8增數(shù)列，即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè).所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.若，則滿足要求的數(shù)列中有五項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以；若，則滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，此時(shí)數(shù)列為，滿足要求的整數(shù)對(duì)分別為，符合m的8增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，存在m的8增數(shù)列，故m的最小值為8.【小問(wèn)3詳解】由題意得，若數(shù)列中的每個(gè)項(xiàng)都相等，則，若，則數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，則將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，故.當(dāng)時(shí)，若，則交換和順序后k變?yōu)椋源藭r(shí)k不是最大值，所以.若，則，此時(shí)將變?yōu)?，并在?shù)列首位添加一項(xiàng)1，則k值變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)，設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2，將改為2，并在數(shù)列首位前添加個(gè)1