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福建省南僑中學(xué)2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.2.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.3.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.405.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.207.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作,每個(gè)縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.648.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1610.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.411.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.命題“”的否定是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則最小值為_(kāi)_________.14.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù),每天安排一人,每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加,且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí),他們參加社區(qū)服務(wù)的日期不相鄰,那么不同的安排種數(shù)為_(kāi)_____________.(用數(shù)字作答)15.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個(gè)不同平面、,有下列四個(gè)命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.16.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.18.(12分)如圖,四棱錐中,平面,,,.(I)證明:;(Ⅱ)若是中點(diǎn),與平面所成的角的正弦值為,求的長(zhǎng).19.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最???20.(12分)已知橢圓,過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線過(guò)軸上的定點(diǎn).21.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面積的最大值.22.(10分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.3、B【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、A【解析】
根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡(jiǎn)可得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
化簡(jiǎn)得到,再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、B【解析】
根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí),則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想,屬于中檔題.8、A【解析】
由題先畫(huà)出基本圖形,結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題9、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達(dá)式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當(dāng)時(shí),.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運(yùn)算求解能力與推理能力,屬于中等題.12、D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對(duì)命題進(jìn)行改寫(xiě)即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
首先整理所給的代數(shù)式,然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】,結(jié)合可知原式,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即最小值為.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件,就是“一正——各項(xiàng)均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號(hào)能否取得”,若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14、5040.【解析】分兩類,一類是甲乙都參加,另一類是甲乙中選一人,方法數(shù)為。填5040.【點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí),關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步,分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中,甲與乙是兩個(gè)特殊元素,對(duì)于特殊元素“優(yōu)先法”,所以有了分類。本題還涉及不相鄰問(wèn)題,采用“插空法”。15、③④【解析】
由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯(cuò);②若且,則或者,②錯(cuò);③若,設(shè)過(guò)的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).16、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(x-1)2+y2=4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0;(2)3.【解析】
(1)消參得到曲線的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程;(2)先得到直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù)),兩式平方相加,得曲線C的普通方程為(x-1)2+y2=4;由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos-ρsinθsin=ρcosθ-ρsinθ=2,即直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0.(2)由題意可得P(2,0),則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|PA|·|PB|=|t1|·|t2|,將(t為參數(shù))代入(x-1)2+y2=4,得t2+t-3=0,則Δ>0,由韋達(dá)定理可得t1·t2=-3,所以|PA|·|PB|=|-3|=3.18、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,由,,得三點(diǎn)共線,且,又,再利用線面垂直的判定定理證明.(Ⅱ)設(shè),則,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過(guò)作,則平面,即點(diǎn)到平面的距離,由是中點(diǎn),得到到平面的距離,然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,由,,得三點(diǎn)共線,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)設(shè),,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加得:,所以,,過(guò)作,則平面,即點(diǎn)到平面的距離,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以為到平面的距離,因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為,即,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,線面角的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,則,化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍),(2)設(shè)BP=t,則,,設(shè),,令f'(t)=0,因?yàn)?,得,?dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因?yàn)楹愠闪?,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因?yàn)閥=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),α+β取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用
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