(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級寒假講義11 矩形的性質(zhì)與判定+隨堂檢測（原卷版）

第頁11矩形的性質(zhì)與判定知識點一知識點一矩形的定義●●定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個條件：①它是一個平行四邊形；②它有一個角是直角，這兩個條件缺一不可.（3）矩形的定義既可以作為矩形的性質(zhì)運用，又可作為矩形的判定運用.知識點二矩形的性質(zhì)知識點二矩形的性質(zhì)●●性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.幾何語言：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.◆1、矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).◆2、矩形是軸對稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對稱軸，分別是對邊所在中點連線的直線.◆3、矩形的四個角都是直角，常把矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決，同時，矩形被兩條對角線分成兩對全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時，也常常用到等腰三角形的性質(zhì).◆4、矩形的面積=長×寬，矩形的面積=被對角線分成的四個面積相等的小三角形（等腰三角形）面積之和.知識點三直角三角形斜邊上的中線知識點三直角三角形斜邊上的中線◆1、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.幾何語言：∵在Rt△ABC中，點O是AB的中點，∴OB=AO=CO=AC.◆3、直角三角形的這條性質(zhì)與直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的中位線定理都是證明線段倍分關(guān)系的重要依據(jù)．“三角形的中位線定理”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)適用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性質(zhì)”僅適用于含30°角的特殊直角三角形.知識點四知識點四矩形的判定●矩形的判定方法：方法一：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四邊形ABCD是矩形.方法二：對角線相等的平行四邊形是矩形；幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形.方法三：有三個角是直角的四邊形是矩形；幾何語言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四邊形ABCD是矩形.◆思路總結(jié)：判定一個四邊形是矩形要分兩種情況：一是在平行四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，只要證出有一個角是直角或?qū)蔷€相等即可；二是在四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，可以直接證出三個角是直角或先證出四邊形是平行四邊形，再進一步證明有一個角是直角或?qū)蔷€相等.題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長【例題1】如圖，矩形ABCD的對角線AC＝4，∠BOA＝120°，則AB的長是（）A．3 B．2 C．23 D．4解題技巧提煉在利用矩形的性質(zhì)計算線段長度時，常常與特殊三角形的性質(zhì)和勾股定理結(jié)合起來應(yīng)用.【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．對角線AC，BD相交于點O．點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式1-2】如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長為（）A．22?2 B．22?1 C．3?【變式1-3】已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【變式1-4】在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分線BE交AD所在的直線于點E，若DE＝2，則AD的長為．【變式1-5】如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A．125 B．65 C．24題型二利用矩形的性質(zhì)求角度題型二利用矩形的性質(zhì)求角度【例題2】如圖，分別在長方形ABCD的邊DC，BC上取兩點E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝（）A．45° B．30° C．15° D．60°解題技巧提煉矩形內(nèi)求角度的問題主要是利用矩形的性質(zhì)和結(jié)合題中的條件求解，有時要利用等腰三角形的性質(zhì).【變式2-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，DF⊥AC于F點，若∠ADF＝3∠FDC，則∠DEC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．55°【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是長方形，F(xiàn)是DA延長線上一點，CF交AB于點E，G是CF上一點，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，則∠ACD的度數(shù)是．【變式2-3】如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使CE＝BD，連結(jié)AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度數(shù)．題型三利用矩形的性質(zhì)求面積題型三利用矩形的性質(zhì)求面積【例題3】如圖，在長方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E，連接ED，若ED＝5，EC＝3，則長方形的面積為（）A．22 B．24 C．26 D．28解題技巧提煉求矩形的面積問題，主要是利用矩形的性質(zhì)求出矩形的長和寬，再根據(jù)面積的計算公式求解即可，有時與勾股定理結(jié)合起來用.【變式3-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的面積是．【變式3-2】如圖，點O是矩形ABCD的對角線BD的中點，點E是BC的中點，連接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，則矩形ABCD的面積為．題型四利用矩形的性質(zhì)證明題型四利用矩形的性質(zhì)證明【例題4】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，連接OE，若∠AOB＝60°，求證：△OBE是等腰三角形．解題技巧提煉與矩形有關(guān)的問題，常與全等三角形和特殊三角形等知識融為一體進行探索，利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時，針對問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可.【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在AB的延長線上找一點E，連接EC，使得EC＝AC．（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；（2）若AB＝6，BC＝8，求點E到AC的距離．【變式4-2】如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若AE+BF＝16，求BC的長．題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題5】如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點E，CE⊥AB于點E，點M，N分別是BC，DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長．解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題.【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連結(jié)DE，點F為DE的中點，連結(jié)BF．若AB＝10，則BF的長為．【變式5-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于點N，BC＝6cm，求△BMN的周長．【變式5-3】如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點，且AD⊥AB，點E是BD的中點，連接AE．（1）求證：∠AEC＝∠C；（2）求證：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周長．題型六判斷四邊形是矩形題型六判斷四邊形是矩形【例題6】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．求證：四邊形ADCE為矩形；解題技巧提煉如果已知四邊形的兩個角是直角，此時可以選擇“有三個角是直角的四邊形是矩形”證明比較簡單.【變式6-1】檢查一個門框是否為矩形，下列方法中正確的是（）A．測量兩條對角線，是否相等 B．測量兩條對角線，是否互相平分 C．測量門框的三個角，是否都是直角 D．測量兩條對角線，是否互相垂直【變式6-2】四邊形ABCD的對角線AC、BD于點O，下列各組條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【變式6-3】如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點A、C，同旁內(nèi)角的平分線AB、CB相交于點B，AD、CD相交于點D．試證明四邊形ABCD是矩形．題型七判斷平行四邊形是矩形題型七判斷平行四邊形是矩形【例題7】如圖，AC、BD相交于點O，且O是AC、BD的中點，點E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．解題技巧提煉已知四邊形是平行四邊形時，判定矩形的方法只需再證有一個角為直角（定義法），或再證明對角線相等.當(dāng)已知對角線相等時，只需證這個四邊形是平行四邊形即可.【變式7-1】如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE．求證：四邊形BECD是矩形．【變式7-2】如圖所示，在?ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：四邊形EGCF是矩形．題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題題型八利用矩形的性質(zhì)解決折疊問題【例題8】如圖，長方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°解題技巧提煉求解關(guān)于矩形的折疊問題時往往通過找出折疊部分的線段或角與原圖形之間的關(guān)系，從而得到折疊部分與原圖形或其它圖形之間的關(guān)系，有時要用到三角形全等、勾股定理等知識.【變式8-1】如圖，在長方形ABCD中，點E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，將△AED沿折痕AE翻折，使點D落在邊BC上的D1處，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝度．【變式8-2】如圖，在長方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把長方形沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交CD于點F，則AF的長為多少？11矩形隨堂檢測1.如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，∠AOB＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°2.如圖，要使平行四邊形ABCD為矩形，則可添加下列哪個條件（）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO3.添加下列一個條件，能使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC4.問題背景：如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形．討論交流：小明說：“若AB＝AC，則四邊形ADCE是矩形．”小強說：“若∠BAC＝90°，則四邊形ADCE是菱形．”下列說法中正確的是（）A．小明不對，小強對 B．小明對，小強不對 C．小明和小強都對 D．小明和小強都不對5.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，則AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．26.一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板．理由是．7.如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，若∠COB＝120°，AB＝6，則對角線BD＝．8.如圖，矩形ABCD中，對角線AC與BD