一周十練（第一周）

第=page11頁，共=sectionpages11頁一、解答題：本題共10小題，共120分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。1.(本小題12分)已知fα(1)化簡fα；

(2)若fπ3?α2.(本小題12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a2

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長．3.(本小題12分)?ABC中，sin2(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周長的最大值．4.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=e(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．5.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x3?3x；

(1)求函數(shù)f(x)在[?2,1]上的最大值和最小值．

(2)過點P(2,?6)作曲線6.(本小題12分)

已知向量a=(4,3)，b=(1,2)．

(1)設a與b的夾角為θ，求cosθ的值；

(2)若a?λb與2a7.(本小題12分)

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，3acosB?bsinA=0．

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若b=7，a+c=58.(本小題12分)

在△ABC中，3acosB=bsinA．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)若b=2，c=2a，求△ABC9.(本小題12分)

已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

10.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)+(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為?2，求實數(shù)a的值．

1.【答案】解：(1)fα(2)由fπ又cos(π3?α)=∴cos

【解析】本題考查了誘導公式，同角三角關系式，屬中檔題．

(1)根據(jù)誘導公式對f(α)進行化簡即可．

(2)利用誘導公式和同角三角關系式求解．2.【答案】解

：(1)因為△ABC面積S=a23所以a23sin由正弦定理得sin2因為sinA≠0，所以sinB(2)由(1)得sinBsinC=因為A+B+C=π，所以cosA=又A∈(0,π)，所以A=π3，sinA=由余弦定理得a2=b由正弦定理得b=asinA所以bc=a2sin由①②得：b+c=所以a+b+c=3+33，即△ABC周長為

【解析】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導公式和正弦定理余弦定理，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．

(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案．

(2)根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=12，即可求出A=π3，再根據(jù)正弦定理可得3.【答案】解：(1)在?ABC中，設內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

因為sin2A?sin2B?sin2C=sinBsinC，

由正弦定理得，a2?b2?c2=bc，即b2+c2?a2=?bc，

由余弦定理得，cosA=b2+c2?a22bc=?12，

因為0<A<π，所以A=2π3．【解析】本題主要考查利用正余弦定理解三角形的問題，屬于中檔題．

(1)直接利用正余弦定理即可求解；

(2)利用余弦定理與基本不等式即可求解．4.【答案】解：由題意，f(x)的定義域為(?∞,+∞)，且f′(x)=ex?a．

(1)當a=1時，f′(x)=ex?1，令f′(x)=0，解得x=0，

∴當x∈(?∞,0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)①當a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，

f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意；

②當a>0時，令f′(x)=0，解得x=lna，

當x∈(?∞,lna)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)的極小值也是最小值為f(lna)=a?a(lna+2)=?a(1+lna)，

又當x→?∞時，f(x)→+∞，當x→+∞時，f(x)→+∞，

∴要使f(x)有兩個零點，只要f(lna)<0即可，

則1+lna>0，可得a>1e，【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求極值，考查利用函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．

(1)當a=1時，f′(x)=ex?1，利用導數(shù)即可求單調(diào)性；

(2)分a≤0和a>0兩種情況討論，當a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意；當5.【答案】解：(1)f(x)=?x3?3x，

f′(x)=?3x2?3?=?3(x?+?1)(x?1)，

令f′(x)>?0，解得：x>?1或x?<?1，

令f′(x)<0，解得：?1?<x?<1，

故f(x)在[?2,?1)遞增，在(?1,1]遞減，

而f(?2)=???2，f(?1)=?2，f(1)=???2，

∴f(x)的最小值是?2，f(x)的最大值是2;

(2)∵f′(x)=?3x2?3，

設切點坐標為(t,t3?3t)，

則切線方程為y?(t3?3t)=?3(t2【解析】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及導數(shù)的幾何意義．

(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可;

(2)先設切點坐標為(t,t6.【答案】解：(1)向量a=(4,3)，b=(1,2)，

則a?b=4×1+3×2=10，

且|a|=42+32=5，

|b|=12+22=5；

設a與b的夾角為θ，

則cosθ=【解析】本題考查了平面向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的模，屬于基礎題．

(1)根據(jù)平面向量的模與數(shù)量積運算，可求出a、b夾角的余弦值；

(2)根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求出λ的值．7.【答案】解：(1)∵△ABC中，3acosB?bsinA=0．

∴由正弦定理可得：3sinAcosB?sinBsinA=0，

∵sinA>0，

∴3cosB?sinB=0，可得tanB=3，

∵B∈(0,π)，

∴B=π3．

(2)設AC邊上的高為?，

∵B=π3，b=7，a+c=5，

∴b2=a2+【解析】本題主要考查了三角函數(shù)公式，正弦、余弦定理等基礎知識，考查了運算求解能力，邏輯推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于基礎題．

(1)由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式，結(jié)合sinA>0，可得tanB=3，結(jié)合范圍B∈(0,π)，可求B的值．

(2)設AC邊上的高為?，利用余弦定理可求8.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，

因為3acosB=bsinA，

所以3sinAcosB=sinBsinA，

因為sinA≠0，

所以3cosB=sinB，

所以tanB=3，

因為0<B<π，

所以B=π3，

(Ⅱ)因為b=2，c=2a，由余弦定理b2=a2+c【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，及三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．

(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理及和同角三角函數(shù)關系進行化簡即可求解tanB，進而可求B；

(Ⅱ)由余弦定理及已知條件可求a，c的值，然后結(jié)合三角形的面積公式可求．9.【答案】解：(1)由題設知公差d≠0．

由a1=1且a1，a3，a9成等比數(shù)列得：

1+2d1=1+8d1+2d，

解得d=1或d=0(舍)，

故{an【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，考查裂項求和法的合理運用．

(1)由題設知1+2d1=1+8d1+2d，由此能求出{an}的通項公式．

(2)由b10.【答案】解：(1)由題意得1+x>0,3?x>0,解得?1<x<3，

∴函數(shù)f(x)的定義域為(?1,3)．

(2)∵f(x)=loga[(1+x)(3?x