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文檔簡(jiǎn)介
<9.2用樣本估計(jì)總體》復(fù)習(xí)教案
9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)
1.理解并掌握統(tǒng)計(jì)圖表的畫法及應(yīng)1.通過對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生
用.(重點(diǎn)、易混點(diǎn))數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的取2.通過應(yīng)用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體的取值
值規(guī)律.(重點(diǎn)、難點(diǎn))規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
【自主預(yù)習(xí)】
—新知初探二
1.畫頻率分布直方圖的步驟
(1)求極差:極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差;
(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過100時(shí),常分成5?12組,為了方
便起見,一般取等長(zhǎng)組距,并且組距應(yīng)力求“取整”.
(3)將數(shù)據(jù)分組.
(4)列頻率分布表:一般分四列:分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻生.其中頻數(shù)
合計(jì)應(yīng)是樣本容量,頻率合計(jì)是L
頻率
(5)回頻率分布直方圖:橫軸表示分組,縱軸表不靛.小長(zhǎng)方形的面積=組
距又矗=頻率.各小長(zhǎng)方形的面積和等于L
2.其它統(tǒng)計(jì)圖表
統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用
扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例
條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率
折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)
思考1:為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組?
[提示]不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息,分組后,計(jì)算出頻率,
從而估計(jì)總體的分布特征.
思考2:頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同?
[提示]頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù),面頻
率分布直方圖則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來(lái)表示數(shù)
據(jù)分布的規(guī)律.
r~^初試身手m
1.把過期的藥品隨意丟棄,會(huì)造成對(duì)土壤和水體的污染,危害人們的健康,如
何處理過期藥品,有關(guān)機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)若干家庭進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如圖,其中對(duì)過
期藥品處理不正確的家庭達(dá)到()
A.79%B.80%C.18%D.82%
D[79%+1%+2%=82%.]
2.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖,則由圖中的數(shù)據(jù)可
知,樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為()
C.40D.50
B[樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為100X[l-5X(0.04+0.1)1=30.]
3.某班計(jì)劃開展一些課外活動(dòng),全班有40名學(xué)生報(bào)名參加,他們就乒乓球、
足球、跳繩、羽毛球4項(xiàng)活動(dòng)的參加人數(shù)做了統(tǒng)計(jì),繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖所
示),那么參加羽毛球活動(dòng)的人數(shù)的頻率是.
4
0.1[參加羽毛球活動(dòng)的人數(shù)是4,則頻率是布=0.1.]
【合作探究】
心型]頻率分布直方圖的畫法
【例1】一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布情況,在一塊試驗(yàn)田
里抽取了100株麥穗,量得長(zhǎng)度如下(單位:cm):
6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.6
5.85.56.06.55.16.55.35.95.55.8
6.25.45.05.06.86.05.05.76.05.5
6.86.06.35.55.06.35.26.07.06.4
6.45.85.95.76.86.66.06.45.77.4
6.05.46.56.06.85.86.36.06.35.6
5.36.45.76.76.25.66.06.76.76.0
5.66.26.15.36.26.86.64.75.75.7
5.85.37.06.06.05.95.46.05.26.0
6.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表,繪制出頻率分布直方圖,并估計(jì)在這塊試
驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75?6.35cm之間的麥穗所占的百分比.
[解](1)計(jì)算極差:7.4-4.0=3.4.
(2)決定組距與組數(shù):
34
若取組距為0.3,因?yàn)?;五?1.3,需分為12組,組數(shù)合適,所以取組距為
U.*5
0.3,組數(shù)為12.
(3)決定分點(diǎn):
使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1小組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn),那么所分
的12個(gè)小組可以是3.95?4.25,4.25?4.55,4.55?4.85,…,7.25-7.55.
(4)列頻率分布表:
分組頻數(shù)頻率
[3.95,4.25)10.01
[4.25,4.55)10.01
[4.55,4.85)20.02
[4.85,5.15)50.05
[5.15,5.45)110.11
[5.45,5.75)150.15
[5.75,6.05)280.28
[6.05,6.35)130.13
[6.35,6.65)110.11
[6.65,6.95)100.10
[6.95,7.25)20.02
[7.25,7.55]10.01
合計(jì)1001.00
(5)繪制頻率分布直方圖如圖.
從表中看到,樣本數(shù)據(jù)落在5.75-6.35之間的頻率是0.28+0.13=0.41,
于是可以估計(jì),在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75?6.35cm之間的麥穗約占41%
規(guī)律方法
繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題
⑴在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的
高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的,合理的定高
頻率
方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定),然后以各組的“薪”所占
的比例來(lái)定高.如我們預(yù)先設(shè)定以“一”為1個(gè)單位長(zhǎng)度,代表“0.1”,則若
頻率
一個(gè)組的端為0.2,則該小矩形的高就是“一”(占兩個(gè)單位長(zhǎng)度),如此
類推.
(2)數(shù)據(jù)要合理分組,組距要選取恰當(dāng),一般盡量取整,數(shù)據(jù)為30?100個(gè)
左右時(shí),應(yīng)分成5?12組,在頻率分布直方圖中,各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于各組
的頻率,小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和為
1.
領(lǐng)跟蹤訓(xùn)練
1.如表所示給出了在某校500名12歲男孩中,用隨機(jī)抽樣得出的120人的
身高(單位:cm).
區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)
人數(shù)58102233
區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]
人數(shù)201165
(1)列出樣本頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖;
(3)估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.
[解](1)樣本頻率分布表如下:
分組頻數(shù)頻率
[122,126)50.04
[126,130)80.07
[130,134)100.08
[134,138)220.18
[138,142)330.28
[142,146)200.17
[146,150)110.09
[150,154)60.05
[154,158]50.04
合計(jì)1201.00
(2)其頻率分布直方圖如下:
頻率/組距
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0^122126130134138142146150154158^(cm)
(3)由樣本頻率分布表可知,身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+
0.07+0.08=0.19,所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.
口善型2頻率分布直方圖的應(yīng)用
【例2】為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分
鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從
左到右各小矩形的面積之比為2:4:17:15:9:3,第一小組的頻數(shù)為12.
頻率/組距
0.040
0.036
0.032
0.028
0.024
0.016
0.012
0.008
0.004
090100110120130140150次數(shù)
(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?
(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)
率是多少?
[解](1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率
4
大小的,因此第二小組的頻率為08.
/十4十1/十15十9十J
第二小組的頻數(shù)
又因?yàn)榈诙〗M的頻率=
樣本容量
第二小組的頻數(shù)12
所以樣本容量=第二小組的頻率—0.08T
⑵由頻率分布直方圖可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為
17+15+9+3
XI00%=88%.
2+4+17+15+9+3
現(xiàn)件方法
頻率分布直方圖的性質(zhì)
頻率
(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e=組距乂元京=頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)
各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)
的頻率大小.
(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1.
(3)樣本容量=頻數(shù)/相應(yīng)的頻率.
跟蹤訓(xùn)練
2.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所
示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這
200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()
D[由頻率分布直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16
+0.08+0.04)X2.5=0.7,故每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7X200
=140.故選D.]
.券型3其它統(tǒng)計(jì)圖表與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用
[探究問題]
1.統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)于數(shù)據(jù)分析能夠起到什么作用?
[提示](1)從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息;
⑵直觀、準(zhǔn)確地理解相關(guān)的結(jié)果.
2.條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖這四種統(tǒng)計(jì)圖中,哪些可以
從圖中看出原始數(shù)據(jù)?
[提示]折線圖.
【例3】如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位:℃)的
情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖,試根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖反映的信息,繪制該市3月1日到
10日最低氣溫(單位:℃)的扇形統(tǒng)計(jì)圖.
溫度代)
012345678910日期(日)
[解]該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位:℃)情況如下表:
日期12345678910
最低氣溫(C)-3-20-1120-122
其中最低氣溫為一3℃的有1天,占10%,最低氣溫為-2°C的有1天,占
10%,最低氣溫為一的有2天,占20%,最低氣溫為0℃的有2天,占20%,
最低氣溫為的有1天,占10%,最低氣溫為2c的有3天,占30%,扇形統(tǒng)計(jì)
圖如圖所示.
[母題探究]
若本例中條件不變,繪制該市3月1日到3月10日最低氣溫(單位:℃)的
條形統(tǒng)計(jì)圖.
[解]該城市3月1日到3月10日的最低氣溫(單位:℃)情況如下表:
口期12345678910
最低氣溫(C)-3-20-1120-122
其中最低氣溫為一3°C的有1天,最低氣溫為一2C的有1天,最低氣溫為
—1℃的有2天,最低氣溫為0℃的有2天,最低氣溫為1°C的有1天,最低
氣溫為2℃的有3天.條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.
規(guī)律方法
折線統(tǒng)計(jì)圖的讀圖方法
(1)讀折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí),首先要看清楚直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)表示的意義;
其次要明確圖中的數(shù)量及其單位.
(2)在折線統(tǒng)計(jì)圖中,從折線的上升、下降可分析統(tǒng)計(jì)數(shù)量的增減變化情況,
從陡峭程度上,可分析數(shù)據(jù)間相對(duì)增長(zhǎng)、下降的嗝度.
I課堂小結(jié)」
1.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖,是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容
量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,它可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本
數(shù)據(jù)的頻率分布情況,并由此估計(jì)總體的分布情況.
2.條形統(tǒng)計(jì)圖及折線統(tǒng)計(jì)圖特別適用于數(shù)據(jù)量很大的情況,但卻損失了數(shù)
據(jù)的部分信息.扇形統(tǒng)計(jì)圖適合表示總體的各個(gè)部分所占比例的問題,但不適用
于總體分成部分較多的問題.
【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】
1.判斷正誤
(1)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率
與組距的比值.()
(2)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù).()
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是比例,條形統(tǒng)計(jì)圖不表示比例.()
[提示](1)正確.
(2)錯(cuò)誤.頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.
(3)錯(cuò)誤.條形圖也可以表示.
[答案]⑴J⑵X(3)X
2.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽取了一個(gè)容量為〃的
樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出(單位:元)在[50,60]內(nèi)的學(xué)生有
30人,則〃的值為()
A.100
C.90D.900
A[由題意可知,前三組的頻率之和為(0.01+0.024+0.036)X10=0.7,
30
???支出在[50,60]內(nèi)的頻率為1-0.7=0.3,=100.]
o
3.甲、乙兩個(gè)城行2018年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則這
9天里,氣溫比較穩(wěn)定的是城市.(填“甲”或“乙”)
[這9天里,乙城市的最高氣溫約為35C,最低氣溫約為20℃;甲城
市的最高氣溫約為25℃,最低氣溫約為210c.故甲城市氣溫較穩(wěn)定.]
《9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)》課后作業(yè)
[合格基礎(chǔ)練]
一、選擇題
1.容量為100的樣本數(shù)據(jù),按從小到大的順序分為8組,如下表:
組號(hào)12345678
頻數(shù)1013X141513129
第三組的頻數(shù)和頻率分別是()
A.14和0.14B.0.14和14
1「l1
C.77和0.14D-3WrU
14
A[x=100—(10+13+14+15+13+12+9:=100—86=14,第三組的頻率
14
為=0.14.]
100
2.如圖是甲、乙、丙、丁四組人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的部分結(jié)果,根據(jù)扇形統(tǒng)
計(jì)圖的情況可以知道丙、丁兩組人數(shù)和為()
7.5%
A.250B.150
C.400D.300
A[甲組人數(shù)是120,占30%,則總?cè)藬?shù)是1就20=400(人).則乙組人數(shù)是
400X7.5%=30(人),則丙、丁兩組人數(shù)和為400—120—30=250.]
3.如圖所示是某校高一年級(jí)學(xué)生到校方式的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖形可得出
騎自行車人數(shù)占高一年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)的()
C.50%D.60%
B[某校高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為60+90+150=300(人),騎自行車人數(shù)為90
90
人,騎自行車人數(shù)占高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)的百分比為浙X100%=30%.]
4.200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)
速在[50,60)內(nèi)的汽車有()
A.30輛
C.60輛
C[因?yàn)樾¢L(zhǎng)方形的面積即為對(duì)應(yīng)的頻率,時(shí)速在[50,60)內(nèi)的頻率為D.3,
所以有200X0.3=60(輛).]
5.某調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地100個(gè)新生嬰兒的體重,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了
樣本的頻率分布直方圖(如圖所示),則這100個(gè)新生嬰兒中,體重(單位:kg)
在[3.2,4.0)的人數(shù)是;)
A.30B.40
C.50D.55
B[在頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積為頻率.
在[3.2,3.6)內(nèi)的頻率為0.625X0.4=0.25,頻數(shù)為0.25X100=25,
在[3.6,4.0)內(nèi)的頻率為0.375X0.4=0.15,頻數(shù)為0.15X100=15.
則這100個(gè)新生嬰兒中,體重在⑶2,4.0)內(nèi)的有25+15=40(人).故選B.]
二、填空題
6.甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績(jī)情況如圖所示:
從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看,最有潛力的是.
[答案]乙
7.某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況,抽查并統(tǒng)計(jì)了100名同學(xué)的
某一周閱讀時(shí)間,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),那么這100名學(xué)生中閱讀
時(shí)間在[4,8)小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為.
54[根據(jù)頻率分布直方圖,可得閱讀時(shí)間在[4,8)小時(shí)內(nèi)的頻率為(0.12+
0.15)X2=0.54,所以這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在[4,8)小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為
100X0.54=54.]
8.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至
350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.則頻率分布直方圖中x的值為.
0.0044[V(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)X50
=1,:.x=0.0044.]
三、解答題
9.為加強(qiáng)中學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng),促進(jìn)教育教學(xué)改革,某
市教育局將舉辦全市中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競(jìng)賽.某校舉行選拔賽,共有200名學(xué)生參
加,為了解成績(jī)情況,從中抽取50名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分為100
分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請(qǐng)你根據(jù)尚未完成的頻率分布表解答下列問題:
分組頻數(shù)頻率
—[60.5,70.5)a0.26
1[70.5,80.5)15c
三[80.5,90.5)180.36
四[90.5,100.5]bd
合計(jì)50e
(1)求a,b,c,d,e的值;
(2)作出頻率分布直方圖.
[解](1)根據(jù)題意,得分在[60.5,70.5)內(nèi)的頻數(shù)是a=50X0.26=13,在
「90.5,100.51內(nèi)的頻數(shù)是^=50-13-15-18=4,在「70.5,80.5)內(nèi)的頻率是c
154
=而=。.3。,在[9。.5」。。.5]內(nèi)的頻率是"=而=0.08,頻率和
(2)根據(jù)頻率分布表作出頻率分布直方圖,如圖所示.
10.某省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時(shí)”寫入課程表,為了
響應(yīng)這一號(hào)召,某校圍繞著“你最喜歡的體育活動(dòng)項(xiàng)目是什么?(只寫一項(xiàng))”的
問題,對(duì)在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,從而得到一組數(shù)據(jù).圖1是根據(jù)這組數(shù)
據(jù)繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題;
人數(shù)/人
18..................................1-
10--------------T-'--r-
8?????????―
°羽毛球跳繩足球籃球其他展喜歡的體
育活動(dòng)項(xiàng)目
圖1
(1)該校對(duì)多少名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查?
(2)本次抽樣調(diào)查中,最喜歡籃球活動(dòng)的有多少人?占被調(diào)查人數(shù)的百分比
是多少?
圖2
(3)若該校九年級(jí)共有200名學(xué)生,圖2是根據(jù)各年級(jí)學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生
總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動(dòng)的人數(shù)
[解](1)由題圖1知4+8+10+18+10=50(名).即該校對(duì)50名學(xué)生進(jìn)
行了抽樣調(diào)查.
18
(2)本次調(diào)查中,最喜歡籃球活動(dòng)的有18人,—X100%=36%.
即最喜歡籃球活動(dòng)的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的36%.
8
(3)1-(30%+26%4-24%)=20%,2004-20%=!000(人),—X100%Xl000=
oU
160(人).
即估計(jì)全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動(dòng)的人數(shù)約為160人.
[等級(jí)過關(guān)練]
1.為了解某幼兒園兒童的身高情況,抽查該幼兒園120名兒童的身高繪制
成如圖所示的頻率分布直方圖,則抽查的120名兒童中身高大于或等于98cm
且小于104cm的有()
頻率/組距
0.150--------------------I——
0.125----------------------------------
0.100..........................
0.075............................................——
0.050...........——
LAA______________________________
°9698100102104106身的0m
A.90名B.75名C.65名D.40名
A[由題圖可知身高大于或等于98cm且小于104cm的兒童的頻率為(0.1
+0.15+0.125)X2=0.75,抽查的120名兒童中有120X0.75=90(名)兒童的
身高大于或等于98cm且小于104cm.]
2.將容量為/?的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組,繪制頻率分布直方圖.若第一組
至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2:3:4:6:4:1,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于
27,則〃的值為(:
A.20B.27C.6D.60
2—3+4
D1;2+3+4+6+4+1=27,?,?片60」
3.為了解某地居民的月收入情況,一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了20000人,并
根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示(最后一組包含兩端值,其他
組包含最小值,不包含最大值).現(xiàn)按月收入分層,用分層抽樣的方法在這2C000
人中抽出200人進(jìn)一步調(diào)查,則月收入在口500,2000)(單位:元)內(nèi)的應(yīng)抽取
人.
40[月收入在[1500,2000)的頻率為1-(0.0002+0.0005X2+0.0003
+0.0001)X500=0.2,故應(yīng)抽取200X0.2=40(人).]
4.如圖是根據(jù)某中學(xué)為地震災(zāi)區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計(jì)圖.己知該校在
校學(xué)生3000人,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算該校共捐款元.
人數(shù)統(tǒng)計(jì)
37770[根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,得
高一人數(shù)為3000X32%=960,
捐款960X15=14400(元);
高二人數(shù)為3000X33%=990,
捐款990X13=12870(元);
高三人數(shù)為3OOOX35%=1050,
捐款1050X10=10500(元).
所以該校學(xué)生共捐款14400+12870+10500=37770(元).]
5.在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中,某班進(jìn)行了小制作評(píng)比,作品上交時(shí)間
為5月1日至30日,評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪
制了頻率分布直方圖(如圖所示).已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為
2:3:4:6:4:1,第三組的頻數(shù)為12,請(qǐng)解答下列問題:
⑴本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比?
⑵哪組上交的作品數(shù)最多?有多少件?
⑶經(jīng)過評(píng)比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng),問這兩組哪組
獲獎(jiǎng)率較高?
[解]⑴依題意知第三組的頻率為-產(chǎn)m
/十J十4十。十4十10
乂???第三組頻數(shù)為12,
12
???本次活動(dòng)的參評(píng)作品數(shù)為丁=60件.
5
(2)由頻率分布直方圖,可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,
共有60*2+3+4+6+4+1=18件.
1o5
⑶第四組獲獎(jiǎng)率是不=1.
ioy
第六組上交的作品數(shù)為60X尸3件.
/十3十4十b十4-1
9
???第六組的獲獎(jiǎng)率為不顯然第六組的獲獎(jiǎng)率較高.
15
9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)
1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)百分位1.通過對(duì)百分位數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生
數(shù).(重點(diǎn))數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.(重2.通過計(jì)算樣本的百分位數(shù),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)
點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
【自主預(yù)習(xí)】
新知初探Q
1,第〃百分位數(shù)的定義
一般地,一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有
虎的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100一夕設(shè)的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
2.計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)的步驟
第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步,計(jì)算i=nX佻.
第3步,若/不是整數(shù),而大于,的比鄰整數(shù)為/則第夕百分位數(shù)為第』
項(xiàng)數(shù)據(jù);若,是整數(shù),則第D百分位數(shù)為第/項(xiàng)與第(/+D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
3.四分位數(shù)
25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,
因此稱為四分位數(shù).
思考:(1)班級(jí)人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院?!?,
這里的“90獷是百分位數(shù)嗎?
(2)“這次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思?
[提示](1)不是.是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比.
(2)有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)?cè)谛∮诨虻扔?5分.
r~^初試身手m
1.下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50分位數(shù)的說法正確的是()
A.第50分位數(shù)就是中位數(shù)
B.總體數(shù)據(jù)中的注意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%
C.它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)
D.它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)
A[由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B,C,D錯(cuò)誤.]
2.數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是.
8.4[因?yàn)?X30%=2.4,故30%分位數(shù)是第三項(xiàng)數(shù)據(jù)8.4.]
3.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50
百分位數(shù)為.
-7-[樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08+0.32=0.40,樣本數(shù)據(jù)低于14的
比例為0.40+0.36=0.76,所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在[10,14]內(nèi),估
計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10+忌X4=¥.]
0.369
【合作探究】
建型1百分位數(shù)的計(jì)算
【例1】從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的
質(zhì)量(單位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分別求出這姐數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù).
(2)請(qǐng)你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量.
(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等
品和特優(yōu)品,依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù),給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn).
[解](1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),所以12X25%=3,12X75%-9,12X95%-11.4,
OAloO
則第25百分位數(shù)是一^—=8.15,
O£210Q
第75百分位數(shù)是」..'=8.75,
第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9.
(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù),所以12X15%=1.8,則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)
據(jù)為7.9.
即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè),它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9.
(3)由⑴可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g,第50百分位數(shù)為8.5g,
第95百分位數(shù)是9.9,所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品,質(zhì)量大于8.15
g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品,質(zhì)量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠
為優(yōu)等品,質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品.
(規(guī)律方電
計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟
(1)排列:按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);
⑵計(jì)算/:計(jì)算戰(zhàn);
(3)定數(shù):若了不是整數(shù),大于/的最小整數(shù)為/則第p百分位數(shù)為第j
項(xiàng)數(shù)據(jù);若了是整數(shù),則第夕百分位數(shù)為第z.項(xiàng)與第(/+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
回跟蹤訓(xùn)練
以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī):
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,
則這15人成績(jī)的第80百分位是()
A.90B.90.5C.91D.91.5
B[把成績(jī)按從小到大的順序排列為:
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,
90+91
因?yàn)?5X80%=12,所以這15人成績(jī)的第80百分位是一;一=90.5.]
百分位數(shù)的綜合應(yīng)用
類—型2
[探究問題]
1.第夕百分位數(shù)有什么特點(diǎn)?
[提示]總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是P.
2.某組數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎?為什么?
[提示]不一定.因?yàn)榘凑沼?jì)算第2百分位數(shù)的步驟,第2步計(jì)算所得的了
=〃X/如果是整數(shù),則第夕百分位數(shù)為第,項(xiàng)與第(fl1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),若
第,項(xiàng)與第(/+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等,則第夕百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在.
【例2】某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,實(shí)行“階梯式”電價(jià),將該市每戶
居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦
時(shí)收費(fèi),超過200千瓦時(shí)但不超過400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi),超
過400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi).
(1)求某戶居民用電費(fèi)用火單位:元)關(guān)于月用電量x(單位:千瓦時(shí))的困數(shù)
解析式.
(2)為了了解居民的用電情況,通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶
的用電量,統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中,今
年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占80%,求a,6的值.
(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù).
[解](1)當(dāng)0W啟200時(shí),y=0.5x;
當(dāng)200<A<400時(shí),y=0.5X200+0.8X當(dāng)-200)=0.8丁一60;
當(dāng)x>400時(shí),y=0.5X200+0.8X200+1.OX(x-400)=*一140.
所以y與x之間的函數(shù)解析式為
ro.5^,(XW200,
尸,0.8L60,200<XW400,
1x—140,%>400.
(2)由⑴可知,當(dāng)尸260時(shí),x=400,即用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%,
結(jié)合頻率分布直方圖可知
/0.001X100+2X1006+0.003X100=0.8
1100^+0.0005X100=0.2
解得a=0.0015,6=0.0020.
(3)設(shè)75%分位數(shù)為/〃,
因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.001+0.002+0.003)X100=
60%,
用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%,
所以75%分位數(shù)為加在[300,400)內(nèi),所以0.6+(加一300)X0.002=0.75,
解得加=375千瓦時(shí),即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí).
[母題探究]
根據(jù)例2的⑵題中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的15%分位數(shù).
[解]設(shè)15%分位數(shù)為x,
因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為0.001X100=10%,
用電量不超過200千瓦時(shí)的占30%,
所以15%分位數(shù)為x在[100,200)內(nèi),所以0.1+100)X0.002=0.15,
解得*=125千瓦時(shí),即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時(shí).
加件方法
根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù),首先要理解頻率分布直方圖
中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算,其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組,再應(yīng)用方程的思想方法,
設(shè)出百分位數(shù),解方程可得.
課堂小結(jié)」
求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時(shí),掌握其步驟:①按照從小到大排列原始數(shù)據(jù);②
計(jì)算f=〃x成;③若].不是整數(shù),大于,的最小整數(shù)為/則第夕百分位數(shù)為第
J項(xiàng)數(shù)據(jù);若?是整數(shù),則第夕百分位數(shù)為1.項(xiàng)與第(/+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】
1.判斷正誤
(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等,則其第75%分位數(shù)大于第25%分位數(shù).()
(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大
于23.()
(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24%分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)
據(jù)大于或等于24.()
[提示](1)正確.
(2)錯(cuò)誤.若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有1。%的
數(shù)據(jù)小于或等于23.
(3)正確.
[答案]⑴V⑵X(3)V
2.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5
A[把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列,可得:
2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,
由f=10X25%=2.5,不是整數(shù),則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2,是第25百分位數(shù).]
3.己知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是()
A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3
B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)
C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的
平均數(shù)
D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后,9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的
平均數(shù)
C[因?yàn)?00X75%=75為整數(shù),所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
為第75百分位數(shù),是9.3,選C.]
《9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)》課后作業(yè)
[合格基礎(chǔ)練]
一、選擇題
1.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是()
A.14B.17C.19D.23
D[因?yàn)?X70%=5.6,故70%分位數(shù)是第6項(xiàng)數(shù)據(jù)23.]
2.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量,從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的
長(zhǎng)度(棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中,其
頻率分布直方圖如圖所示.估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是
()
A.32.5mmB.33mmC.33.5mmD.34mm
A[棉花纖維的長(zhǎng)度在30mm以下的比例為
(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)X5=0.85=85%,
在35mm以下的比例為85%+10%=95%,
「門八一八▼r,0.90—0.85
因此,9。%分位數(shù)一定位于[3。,35]內(nèi),由3。+5乂5;目面=32.5,
可以估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是32.5mm.]
3.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位:C)的情況繪制
的折線統(tǒng)計(jì)圖,由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是()
A.-2B.0C.1D.2
D[由折線圖可知,這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為:
—3,—2,—1,—1,0,0,1,2,2,2,
因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù),所以10X80%=8,是整數(shù),則這10天最低氣溫的第
80百分位數(shù)是2+學(xué)2=2.]
乙
4.某廠10名工人在一小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,第50百分位數(shù)為
b,則有()
A.H=13.7,%=:5.5B.日=14,6=15
C.3=12,A=15.5D.5=14.7,8=15
D[把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為
10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均數(shù)a=,jX(10+12+14+14+15+15
]5+15
+16+17+17+17)=14.7,第50百分位數(shù)為b=''=15.]
5.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù):
甲組:27,28,39,40,叫50;
乙組:24,〃,34,43,48,52;
若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第80百分位數(shù)分別相等,貝吟等于()
1210J-7
A.—B.-C.-D.-
?IO
A[因?yàn)?0%X6=L8,80%X6=4.8,所以第30百分位數(shù)為〃=28,第80
百分位數(shù)為m=48,所以&=若=夕]
nZo(
二、填空題
6.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試,成績(jī)的撅率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分
組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則60分為成績(jī)的第百
分位數(shù).
頻率/組距
0.020........................................
0.015-................................................
0.010..............................
0.005.........
020406080100成績(jī)/分
30[因?yàn)閇20,40),[40,60)的頻率為(0.005+0.01)X20=0.3,所以60
分為成績(jī)的第30百分位數(shù).]
7.某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將
測(cè)試結(jié)果分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如
圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為
1:3:7:6:3,那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為秒.
16.5[成績(jī)的70%分位數(shù)為x,因?yàn)?+3+7+6+3=°,55J1+3+7+6+3
=0.85,
6
所以[16,17),所以0.55+(x-16)^=0.70,解得x=
1"iJI7(7I7OTIJ
16.5秒.]
8.已知30個(gè)數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是8.2,這3。個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后第
18個(gè)數(shù)據(jù)是7.8,則第19個(gè)數(shù)
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