《92用樣本估計總體》復習教案與課后作業(yè)

<9.2用樣本估計總體》復習教案

9.2.1總體取值規(guī)律的估計

學習目標核心素養(yǎng)

1.理解并掌握統(tǒng)計圖表的畫法及應1.通過對統(tǒng)計圖表的學習，培養(yǎng)學生

用.(重點、易混點)數(shù)學抽象素養(yǎng).

2.結合實例，能用樣本估計總體的取2.通過應用統(tǒng)計圖表估計總體的取值

值規(guī)律.(重點、難點)規(guī)律，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

【自主預習】

—新知初探二

1.畫頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；

(2)決定組距與組數(shù)：當樣本容量不超過100時，常分成5?12組,為了方

便起見，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”.

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻生.其中頻數(shù)

合計應是樣本容量，頻率合計是L

頻率

(5)回頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表不靛.小長方形的面積=組

距又矗=頻率.各小長方形的面積和等于L

2.其它統(tǒng)計圖表

統(tǒng)計圖表主要應用

扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例

條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

折線圖描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢

思考1：為什么要對樣本數(shù)據(jù)進行分組？

［提示］不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計算出頻率,

從而估計總體的分布特征.

思考2：頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同？

［提示］頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù)，面頻

率分布直方圖則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)

據(jù)分布的規(guī)律.

r~^初試身手m

1.把過期的藥品隨意丟棄,會造成對土壤和水體的污染,危害人們的健康,如

何處理過期藥品，有關機構隨機對若干家庭進行調(diào)查，調(diào)查結果如圖，其中對過

期藥品處理不正確的家庭達到（）

A.79%B.80%C.18%D.82%

D［79%+1%+2%=82%.］

2.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可

知，樣本落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為（）

C.40D.50

B［樣本數(shù)據(jù)落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為100X［l-5X（0.04+0.1）1=30.］

3.某班計劃開展一些課外活動，全班有40名學生報名參加，他們就乒乓球、

足球、跳繩、羽毛球4項活動的參加人數(shù)做了統(tǒng)計，繪制了條形統(tǒng)計圖（如圖所

示），那么參加羽毛球活動的人數(shù)的頻率是.

4

0.1［參加羽毛球活動的人數(shù)是4,則頻率是布=0.1.］

【合作探究】

心型］頻率分布直方圖的畫法

【例1】一個農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況，在一塊試驗田

里抽取了100株麥穗，量得長度如下(單位：cm)：

6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.6

5.85.56.06.55.16.55.35.95.55.8

6.25.45.05.06.86.05.05.76.05.5

6.86.06.35.55.06.35.26.07.06.4

6.45.85.95.76.86.66.06.45.77.4

6.05.46.56.06.85.86.36.06.35.6

5.36.45.76.76.25.66.06.76.76.0

5.66.26.15.36.26.86.64.75.75.7

5.85.37.06.06.05.95.46.05.26.0

6.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計在這塊試

驗田里長度在5.75?6.35cm之間的麥穗所占的百分比.

［解］(1)計算極差：7.4-4.0=3.4.

(2)決定組距與組數(shù)：

34

若取組距為0.3,因為；五七11.3,需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為

U.*5

0.3,組數(shù)為12.

(3)決定分點：

使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點稍微減小一點，那么所分

的12個小組可以是3.95?4.25,4.25?4.55,4.55?4.85,…，7.25-7.55.

(4)列頻率分布表：

分組頻數(shù)頻率

[3.95,4.25)10.01

[4.25,4.55)10.01

[4.55,4.85)20.02

[4.85,5.15)50.05

[5.15,5.45)110.11

[5.45,5.75)150.15

[5.75,6.05)280.28

[6.05,6.35)130.13

[6.35,6.65)110.11

[6.65,6.95)100.10

[6.95,7.25)20.02

[7.25,7.55]10.01

合計1001.00

（5）繪制頻率分布直方圖如圖.

從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75-6.35之間的頻率是0.28+0.13=0.41,

于是可以估計，在這塊試驗田里長度在5.75?6.35cm之間的麥穗約占41%

規(guī)律方法

繪制頻率分布直方圖應注意的問題

⑴在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小矩形的

高.一般地，頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的，合理的定高

頻率

方法是“以一個恰當?shù)膯挝婚L度”（沒有統(tǒng)一規(guī)定），然后以各組的“薪”所占

的比例來定高.如我們預先設定以“一”為1個單位長度，代表“0.1”，則若

頻率

一個組的端為0.2,則該小矩形的高就是“一”（占兩個單位長度），如此

類推.

(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30?100個

左右時，應分成5?12組，在頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于各組

的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為

1.

領跟蹤訓練

1.如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機抽樣得出的120人的

身高(單位：cm).

區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)

人數(shù)58102233

區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]

人數(shù)201165

(1)列出樣本頻率分布表；

(2)畫出頻率分布直方圖；

(3)估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的百分比.

［解］(1)樣本頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158]50.04

合計1201.00

(2)其頻率分布直方圖如下:

頻率/組距

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0^122126130134138142146150154158^(cm)

(3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+

0.07+0.08=0.19,所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的19%.

口善型2頻率分布直方圖的應用

【例2】為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分

鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從

左到右各小矩形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第一小組的頻數(shù)為12.

頻率/組距

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.016

0.012

0.008

0.004

090100110120130140150次數(shù)

(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少?

(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，則該校全體高一年級學生的達標

率是多少?

［解］(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率

4

大小的，因此第二小組的頻率為08.

/十4十1/十15十9十J

第二小組的頻數(shù)

又因為第二小組的頻率=

樣本容量

第二小組的頻數(shù)12

所以樣本容量=第二小組的頻率—0.08T

⑵由頻率分布直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為

17+15+9+3

XI00%=88%.

2+4+17+15+9+3

現(xiàn)件方法

頻率分布直方圖的性質

頻率

(1)因為小矩形的面積=組距乂元京=頻率，所以各小矩形的面積表示相應

各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)

的頻率大小.

(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.

(3)樣本容量=頻數(shù)/相應的頻率.

跟蹤訓練

2.某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所

示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為

[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,這

200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是()

D[由頻率分布直方圖可知每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16

+0.08+0.04)X2.5=0.7,故每周自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為0.7X200

=140.故選D.]

.券型3其它統(tǒng)計圖表與頻率分布直方圖的綜合應用

[探究問題]

1.統(tǒng)計圖表對于數(shù)據(jù)分析能夠起到什么作用？

[提示](1)從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息；

⑵直觀、準確地理解相關的結果.

2.條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖這四種統(tǒng)計圖中，哪些可以

從圖中看出原始數(shù)據(jù)？

［提示］折線圖.

【例3】如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫（單位：℃）的

情況繪制的折線統(tǒng)計圖，試根據(jù)折線統(tǒng)計圖反映的信息，繪制該市3月1日到

10日最低氣溫（單位：℃）的扇形統(tǒng)計圖.

溫度代）

012345678910日期（日）

［解］該城市3月1日至10日的最低氣溫（單位：℃）情況如下表:

日期12345678910

最低氣溫（C）-3-20-1120-122

其中最低氣溫為一3℃的有1天，占10%,最低氣溫為-2°C的有1天,占

10%,最低氣溫為一的有2天，占20%,最低氣溫為0℃的有2天，占20%,

最低氣溫為的有1天，占10%,最低氣溫為2c的有3天，占30%,扇形統(tǒng)計

圖如圖所示.

［母題探究］

若本例中條件不變，繪制該市3月1日到3月10日最低氣溫（單位：℃）的

條形統(tǒng)計圖.

［解］該城市3月1日到3月10日的最低氣溫（單位：℃）情況如下表：

口期12345678910

最低氣溫（C）-3-20-1120-122

其中最低氣溫為一3°C的有1天，最低氣溫為一2C的有1天，最低氣溫為

—1℃的有2天，最低氣溫為0℃的有2天，最低氣溫為1°C的有1天，最低

氣溫為2℃的有3天.條形統(tǒng)計圖如圖所示.

規(guī)律方法

折線統(tǒng)計圖的讀圖方法

(1)讀折線統(tǒng)計圖時，首先要看清楚直角坐標系中橫、縱坐標表示的意義；

其次要明確圖中的數(shù)量及其單位.

(2)在折線統(tǒng)計圖中，從折線的上升、下降可分析統(tǒng)計數(shù)量的增減變化情況，

從陡峭程度上，可分析數(shù)據(jù)間相對增長、下降的嗝度.

I課堂小結」

1.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容

量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚地看到整個樣本

數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況.

2.條形統(tǒng)計圖及折線統(tǒng)計圖特別適用于數(shù)據(jù)量很大的情況，但卻損失了數(shù)

據(jù)的部分信息.扇形統(tǒng)計圖適合表示總體的各個部分所占比例的問題，但不適用

于總體分成部分較多的問題.

【課堂達標練習】

1.判斷正誤

(1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率

與組距的比值.()

(2)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個體數(shù).()

(3)扇形統(tǒng)計圖表示的是比例，條形統(tǒng)計圖不表示比例.()

［提示］(1)正確.

(2)錯誤.頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.

(3)錯誤.條形圖也可以表示.

［答案］⑴J⑵X(3)X

2.學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為〃的

樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出（單位：元）在［50,60］內(nèi)的學生有

30人，則〃的值為（）

A.100

C.90D.900

A［由題意可知，前三組的頻率之和為（0.01+0.024+0.036）X10=0.7,

30

???支出在［50,60］內(nèi)的頻率為1-0.7=0.3,=100.］

o

3.甲、乙兩個城行2018年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計圖如圖所示，則這

9天里，氣溫比較穩(wěn)定的是城市.（填“甲”或“乙”）

［這9天里，乙城市的最高氣溫約為35C,最低氣溫約為20℃；甲城

市的最高氣溫約為25℃,最低氣溫約為210c.故甲城市氣溫較穩(wěn)定.］

《9.2.1總體取值規(guī)律的估計》課后作業(yè)

［合格基礎練］

一、選擇題

1.容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表:

組號12345678

頻數(shù)1013X141513129

第三組的頻數(shù)和頻率分別是（)

A.14和0.14B.0.14和14

1「l1

C.77和0.14D-3WrU

14

A[x=100—(10+13+14+15+13+12+9：=100—86=14,第三組的頻率

14

為=0.14.]

100

2.如圖是甲、乙、丙、丁四組人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖的部分結果，根據(jù)扇形統(tǒng)

計圖的情況可以知道丙、丁兩組人數(shù)和為（）

7.5%

A.250B.150

C.400D.300

A[甲組人數(shù)是120,占30%,則總人數(shù)是1就20=400（人）.則乙組人數(shù)是

400X7.5%=30（人）,則丙、丁兩組人數(shù)和為400—120—30=250.]

3.如圖所示是某校高一年級學生到校方式的條形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖形可得出

騎自行車人數(shù)占高一年級學生總人數(shù)的（）

C.50%D.60%

B[某校高一年級學生總數(shù)為60+90+150=300（人），騎自行車人數(shù)為90

90

人，騎自行車人數(shù)占高一年級學生總數(shù)的百分比為浙X100%=30%.]

4.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時

速在［50,60）內(nèi)的汽車有（）

A.30輛

C.60輛

C［因為小長方形的面積即為對應的頻率，時速在［50,60）內(nèi)的頻率為D.3,

所以有200X0.3=60（輛）.］

5.某調(diào)查機構調(diào)查了某地100個新生嬰兒的體重，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了

樣本的頻率分布直方圖（如圖所示），則這100個新生嬰兒中，體重（單位：kg）

在［3.2,4.0）的人數(shù)是；）

A.30B.40

C.50D.55

B［在頻率分布直方圖中小長方形的面積為頻率.

在［3.2,3.6）內(nèi)的頻率為0.625X0.4=0.25,頻數(shù)為0.25X100=25,

在［3.6,4.0）內(nèi)的頻率為0.375X0.4=0.15,頻數(shù)為0.15X100=15.

則這100個新生嬰兒中，體重在⑶2,4.0）內(nèi)的有25+15=40（人）.故選B.］

二、填空題

6.甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示:

從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，最有潛力的是.

［答案］乙

7.某校為了解高一學生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計了100名同學的

某一周閱讀時間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學生中閱讀

時間在［4,8）小時內(nèi)的人數(shù)為.

54［根據(jù)頻率分布直方圖，可得閱讀時間在［4,8）小時內(nèi)的頻率為（0.12+

0.15）X2=0.54,所以這100名學生中閱讀時間在［4,8）小時內(nèi)的人數(shù)為

100X0.54=54.］

8.從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至

350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.則頻率分布直方圖中x的值為.

0.0044[V(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)X50

=1,：.x=0.0044.]

三、解答題

9.為加強中學生實踐創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進教育教學改革，某

市教育局將舉辦全市中學生創(chuàng)新知識競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學生參

加，為了解成績情況，從中抽取50名學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100

分)進行統(tǒng)計，請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表解答下列問題：

分組頻數(shù)頻率

—[60.5,70.5)a0.26

1[70.5,80.5)15c

三[80.5,90.5)180.36

四[90.5,100.5]bd

合計50e

(1)求a,b,c,d,e的值；

(2)作出頻率分布直方圖.

［解］(1)根據(jù)題意，得分在［60.5,70.5)內(nèi)的頻數(shù)是a=50X0.26=13,在

「90.5,100.51內(nèi)的頻數(shù)是^=50-13-15-18=4,在「70.5,80.5)內(nèi)的頻率是c

154

=而=。.3。，在［9。.5」。。.5］內(nèi)的頻率是"=而=0.08,頻率和

(2)根據(jù)頻率分布表作出頻率分布直方圖，如圖所示.

10.某省有關部門要求各中小學要把“每天鍛煉一小時”寫入課程表，為了

響應這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？(只寫一項)”的

問題，對在校學生進行了隨機抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù).圖1是根據(jù)這組數(shù)

據(jù)繪制的條形統(tǒng)計圖.請結合統(tǒng)計圖回答下列問題；

人數(shù)/人

18..................................1-

10--------------T-'--r-

8?????????―

°羽毛球跳繩足球籃球其他展喜歡的體

育活動項目

圖1

(1)該校對多少名學生進行了抽樣調(diào)查？

(2)本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比

是多少？

圖2

(3)若該校九年級共有200名學生，圖2是根據(jù)各年級學生人數(shù)占全校學生

總人數(shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計圖，請你估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)

［解］(1)由題圖1知4+8+10+18+10=50(名).即該校對50名學生進

行了抽樣調(diào)查.

18

(2)本次調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有18人，—X100%=36%.

即最喜歡籃球活動的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的36%.

8

(3)1-(30%+26%4-24%)=20%,2004-20%=!000(人)，—X100%Xl000=

oU

160(人).

即估計全校學生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為160人.

［等級過關練］

1.為了解某幼兒園兒童的身高情況，抽查該幼兒園120名兒童的身高繪制

成如圖所示的頻率分布直方圖，則抽查的120名兒童中身高大于或等于98cm

且小于104cm的有（）

頻率/組距

0.150--------------------I——

0.125----------------------------------

0.100..........................

0.075............................................——

0.050...........——

LAA______________________________

°9698100102104106身的0m

A.90名B.75名C.65名D.40名

A[由題圖可知身高大于或等于98cm且小于104cm的兒童的頻率為（0.1

+0.15+0.125）X2=0.75,抽查的120名兒童中有120X0.75=90（名）兒童的

身高大于或等于98cm且小于104cm.]

2.將容量為/?的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組

至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1,且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于

27,則〃的值為（：

A.20B.27C.6D.60

2—3+4

D1;2+3+4+6+4+1=27,?,?片60」

3.為了解某地居民的月收入情況，一個社會調(diào)查機構調(diào)查了20000人，并

根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示（最后一組包含兩端值，其他

組包含最小值，不包含最大值）.現(xiàn)按月收入分層，用分層抽樣的方法在這2C000

人中抽出200人進一步調(diào)查，則月收入在口500,2000）（單位：元）內(nèi)的應抽取

人.

40［月收入在［1500,2000)的頻率為1-(0.0002+0.0005X2+0.0003

+0.0001）X500=0.2,故應抽取200X0.2=40（人）.]

4.如圖是根據(jù)某中學為地震災區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計圖.己知該校在

校學生3000人，根據(jù)統(tǒng)計圖計算該校共捐款元.

人數(shù)統(tǒng)計

37770[根據(jù)統(tǒng)計圖，得

高一人數(shù)為3000X32%=960,

捐款960X15=14400（元）；

高二人數(shù)為3000X33%=990,

捐款990X13=12870（元）；

高三人數(shù)為3OOOX35%=1050,

捐款1050X10=10500（元）.

所以該校學生共捐款14400+12870+10500=37770（元）.]

5.在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間

為5月1日至30日，評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪

制了頻率分布直方圖（如圖所示）.已知從左到右各長方形的高的比為

2：3：4：6：4：1,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題：

⑴本次活動共有多少件作品參加評比？

⑵哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？

⑶經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組

獲獎率較高?

［解］⑴依題意知第三組的頻率為-產(chǎn)m

/十J十4十。十4十10

乂???第三組頻數(shù)為12,

12

???本次活動的參評作品數(shù)為丁=60件.

5

（2）由頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,

共有60*2+3+4+6+4+1=18件.

1o5

⑶第四組獲獎率是不=1.

ioy

第六組上交的作品數(shù)為60X尸3件.

/十3十4十b十4-1

9

???第六組的獲獎率為不顯然第六組的獲獎率較高.

15

9.2.2總體百分位數(shù)的估計

學習目標核心素養(yǎng)

1.結合實例，能用樣本估計百分位1.通過對百分位數(shù)概念的學習，培養(yǎng)學生

數(shù).（重點）數(shù)學抽象素養(yǎng).

2.理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.（重2.通過計算樣本的百分位數(shù)，培養(yǎng)學生數(shù)

點、難點）學運算素養(yǎng).

【自主預習】

新知初探Q

1,第〃百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有

虎的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100一夕設的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2.計算一組〃個數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nX佻.

第3步，若/不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為/則第夕百分位數(shù)為第』

項數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第D百分位數(shù)為第/項與第(/+D項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.四分位數(shù)

25%,50%,75%這三個分位數(shù)把一組數(shù)據(jù)由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,

因此稱為四分位數(shù).

思考：(1)班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學能夠考取本科院校”，

這里的“90獷是百分位數(shù)嗎？

(2)“這次數(shù)學測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？

［提示］(1)不是.是指能夠考取本科院校的同學占同學總數(shù)的百分比.

(2)有70%的同學數(shù)學測試成績在小于或等于85分.

r~^初試身手m

1.下列關于一組數(shù)據(jù)的第50分位數(shù)的說法正確的是()

A.第50分位數(shù)就是中位數(shù)

B.總體數(shù)據(jù)中的注意一個數(shù)小于它的可能性一定是50%

C.它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)據(jù)

D.它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)

A［由百分位數(shù)的意義可知選項B,C,D錯誤.］

2.數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是.

8.4［因為8X30%=2.4,故30%分位數(shù)是第三項數(shù)據(jù)8.4.］

3.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的第50

百分位數(shù)為.

-7-［樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08+0.32=0.40,樣本數(shù)據(jù)低于14的

比例為0.40+0.36=0.76,所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在［10,14］內(nèi)，估

計此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10+忌X4=￥.］

0.369

【合作探究】

建型1百分位數(shù)的計算

【例1】從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的

質量(單位：g)如下:

7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.

(1)分別求出這姐數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù).

(2)請你找出珍珠質量較小的前15%的珍珠質量.

(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等

品和特優(yōu)品，依照這個樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標準.

［解］(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得

7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,

因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12X25%=3,12X75%-9,12X95%-11.4,

OAloO

則第25百分位數(shù)是一^—=8.15,

O￡210Q

第75百分位數(shù)是」..'=8.75,

第95百分位數(shù)是第12個數(shù)據(jù)為9.9.

(2)因為共有12個數(shù)據(jù)，所以12X15%=1.8,則第15百分位數(shù)是第2個數(shù)

據(jù)為7.9.

即產(chǎn)品質量較小的前15%的產(chǎn)品有2個，它們的質量分別為7.8,7.9.

(3)由⑴可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g,第50百分位數(shù)為8.5g,

第95百分位數(shù)是9.9,所以質量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質量大于8.15

g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠

為優(yōu)等品，質量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品.

(規(guī)律方電

計算一組〃個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟

(1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

⑵計算/：計算戰(zhàn)；

(3)定數(shù)：若了不是整數(shù)，大于/的最小整數(shù)為/則第p百分位數(shù)為第j

項數(shù)據(jù)；若了是整數(shù)，則第夕百分位數(shù)為第z.項與第(/+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

回跟蹤訓練

以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學競賽決賽的15人的成績：

78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,

則這15人成績的第80百分位是（）

A.90B.90.5C.91D.91.5

B［把成績按從小到大的順序排列為：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,

90+91

因為15X80%=12,所以這15人成績的第80百分位是一;一=90.5.］

百分位數(shù)的綜合應用

類—型2

［探究問題］

1.第夕百分位數(shù)有什么特點？

［提示］總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是P.

2.某組數(shù)據(jù)的第夕百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎？為什么？

［提示］不一定.因為按照計算第2百分位數(shù)的步驟，第2步計算所得的了

=〃X/如果是整數(shù)，則第夕百分位數(shù)為第，項與第（fl1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，若

第，項與第（/+1）項數(shù)據(jù)不相等，則第夕百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在.

【例2】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶

居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦

時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費，超

過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費.

（1）求某戶居民用電費用火單位：元）關于月用電量x（單位：千瓦時）的困數(shù)

解析式.

（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶

的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中，今

年1月份用電費用不超過260元的占80%,求a,6的值.

（3）根據(jù)（2）中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的75%分位數(shù).

［解］(1)當0W啟200時,y=0.5x；

當200<A<400時,y=0.5X200+0.8X當-200)=0.8丁一60；

當x>400時，y=0.5X200+0.8X200+1.OX(x-400)=*一140.

所以y與x之間的函數(shù)解析式為

ro.5^,(XW200,

尸，0.8L60,200<XW400,

1x—140,%>400.

(2)由⑴可知，當尸260時,x=400,即用電量不超過400千瓦時的占80%,

結合頻率分布直方圖可知

/0.001X100+2X1006+0.003X100=0.8

1100^+0.0005X100=0.2

解得a=0.0015,6=0.0020.

(3)設75%分位數(shù)為/〃，

因為用電量低于300千瓦時的所占比例為(0.001+0.002+0.003)X100=

60%,

用電量不超過400千瓦時的占80%,

所以75%分位數(shù)為加在［300,400)內(nèi)，所以0.6+(加一300)X0.002=0.75,

解得加=375千瓦時，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時.

［母題探究］

根據(jù)例2的⑵題中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的15%分位數(shù).

［解］設15%分位數(shù)為x,

因為用電量低于100千瓦時的所占比例為0.001X100=10%,

用電量不超過200千瓦時的占30%,

所以15%分位數(shù)為x在［100,200)內(nèi),所以0.1+100)X0.002=0.15,

解得*=125千瓦時，即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時.

加件方法

根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖

中各組數(shù)據(jù)頻率的計算，其次估計百分位數(shù)在哪一組，再應用方程的思想方法,

設出百分位數(shù)，解方程可得.

課堂小結」

求一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)時，掌握其步驟：①按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)；②

計算f=〃x成；③若］.不是整數(shù)，大于，的最小整數(shù)為/則第夕百分位數(shù)為第

J項數(shù)據(jù)；若？是整數(shù)，則第夕百分位數(shù)為1.項與第(/+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【課堂達標練習】

1.判斷正誤

(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其第75%分位數(shù)大于第25%分位數(shù).()

(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大

于23.()

(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的第24%分位數(shù)是24,則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)

據(jù)大于或等于24.()

［提示］(1)正確.

(2)錯誤.若一組樣本數(shù)據(jù)的第10%分位數(shù)是23,則在這組數(shù)據(jù)中有1。%的

數(shù)據(jù)小于或等于23.

(3)正確.

［答案］⑴V⑵X(3)V

2.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()

2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5

A［把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：

2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,

由f=10X25%=2.5,不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2,是第25百分位數(shù).］

3.己知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3,則下列說法正確的是()

A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3

B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)

C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)

D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)

C［因為100X75%=75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)

為第75百分位數(shù)，是9.3,選C.］

《9.2.2總體百分位數(shù)的估計》課后作業(yè)

［合格基礎練］

一、選擇題

1.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是()

A.14B.17C.19D.23

D［因為8X70%=5.6,故70%分位數(shù)是第6項數(shù)據(jù)23.］

2.某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的

長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標)，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間［5,40］中，其

頻率分布直方圖如圖所示.估計棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是

()

A.32.5mmB.33mmC.33.5mmD.34mm

A［棉花纖維的長度在30mm以下的比例為

(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)X5=0.85=85%,

在35mm以下的比例為85%+10%=95%,

「門八一八▼r,0.90—0.85

因此,9。%分位數(shù)一定位于［3。,35］內(nèi),由3。+5乂5；目面=32.5,

可以估計棉花纖維的長度的樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是32.5mm.］

3.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫（單位：C）的情況繪制

的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是（）

A.-2B.0C.1D.2

D［由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為:

—3,—2,—1,—1,0,0,1,2,2,2,

因為共有10個數(shù)據(jù)，所以10X80%=8,是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第

80百分位數(shù)是2+學2=2.］

乙

4.某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,第50百分位數(shù)為

b,則有()

A.H=13.7,%=：5.5B.日=14,6=15

C.3=12,A=15.5D.5=14.7,8=15

D[把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為

10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均數(shù)a=，jX(10+12+14+14+15+15

]5+15

+16+17+17+17)=14.7,第50百分位數(shù)為b=''=15.]

5.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)：

甲組:27,28,39,40,叫50；

乙組：24,〃，34,43,48,52；

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第80百分位數(shù)分別相等，貝吟等于()

1210J-7

A.—B.-C.-D.-

?IO

A［因為30%X6=L8,80%X6=4.8,所以第30百分位數(shù)為〃=28,第80

百分位數(shù)為m=48,所以&=若=夕]

nZo(

二、填空題

6.某學校組織學生參加數(shù)學測試，成績的撅率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分

組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則60分為成績的第百

分位數(shù).

頻率/組距

0.020........................................

0.015-................................................

0.010..............................

0.005.........

020406080100成績/分

30[因為[20,40),[40,60)的頻率為(0.005+0.01)X20=0.3,所以60

分為成績的第30百分位數(shù).]

7.某年級120名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將

測試結果分成5組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如

圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為

1：3：7：6：3,那么成績的70%分位數(shù)約為秒.

16.5［成績的70%分位數(shù)為x,因為1+3+7+6+3=°,55J1+3+7+6+3

=0.85,

6

所以［16,17),所以0.55+(x-16)^=0.70,解得x=

1"iJI7(7I7OTIJ

16.5秒.]

8.已知30個數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是8.2,這3。個數(shù)據(jù)從小到大排列后第

18個數(shù)據(jù)是7.8,則第19個數(shù)