三年高考真題(2022-2024)分類(lèi)匯編數(shù)學(xué)專(zhuān)題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)ⅰ(八大考點(diǎn))

專(zhuān)題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：已知奇偶性求參數(shù)2023年全國(guó)Ⅱ卷2023年全國(guó)乙卷（理）2024年上海卷2022年全國(guó)乙卷（文）2023年全國(guó)甲卷（理）從近三年高考命題來(lái)看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查．考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別2022年天津卷2023年天津卷2024年全國(guó)甲卷（理）2024年全國(guó)Ⅰ卷2022年全國(guó)乙卷（文）2022年全國(guó)甲卷（理）考點(diǎn)3：函數(shù)模型及應(yīng)用2022年北京卷2024年北京卷2023年全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性2023年全國(guó)乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全國(guó)Ⅰ卷2024年天津卷2023年全國(guó)Ⅰ卷考點(diǎn)5：分段函數(shù)問(wèn)題2022年浙江卷2024年上海夏季考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題2022年北京卷2022年北京卷考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性、周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)用2023年全國(guó)Ⅰ卷2022年全國(guó)I卷2024年全國(guó)Ⅰ卷2022年全國(guó)II卷考點(diǎn)8：指對(duì)冪運(yùn)算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全國(guó)甲卷（理）2023年北京卷

考點(diǎn)1：已知奇偶性求參數(shù)1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故即，故，故答案為：.4．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿(mǎn)足，符合題意．故答案為：；．5．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別6．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.7．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其為偶函數(shù)，且，由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D8．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.9．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C10．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.11．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.故選：A.考點(diǎn)3：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用12．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，因,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D13．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類(lèi)數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類(lèi)數(shù)沒(méi)有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，則，即，所以.故選：D.14．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性15．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．17．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.18．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿(mǎn)足，解得，即a的范圍是.故選：B.19．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，但，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)C，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.20．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D考點(diǎn)5：分段函數(shù)問(wèn)題21．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．【答案】/【解析】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.22．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知?jiǎng)t．【答案】【解析】因?yàn)楣剩蚀鸢笧椋?考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題23．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?；故答案為?4．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性、周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)用25．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【解析】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.26．（多選題）（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】[方法一]：對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．27．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.28．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；29．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?/p>