《數(shù)值計(jì)算方法》課件2非線性方程的數(shù)值求解

2.1

二分法

二分法又稱區(qū)間對(duì)分法，是最直觀、最簡(jiǎn)單的一種方法。2.1.1二分法原理若f(x)在[a,b]內(nèi)單調(diào)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有惟一的實(shí)根。實(shí)現(xiàn)：區(qū)間對(duì)分，去同存異2.1.2二分法計(jì)算步驟2.1.3二分法的收斂性2.1.4二分法的優(yōu)缺點(diǎn)

算法簡(jiǎn)單直觀，易編程計(jì)算；只需連續(xù)即可；區(qū)間收縮速率相同，收斂速度慢；無(wú)法求復(fù)根和偶重根。

例2-1p15二分法的本質(zhì)是：縮小含根區(qū)間，使之達(dá)到精度要求2.2

不動(dòng)點(diǎn)迭代法

2.2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代同解變換對(duì)收斂性很重要例哪個(gè)公式好？2.2

不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2.1不動(dòng)點(diǎn)迭代

不動(dòng)點(diǎn)迭代示意圖（P16）

不動(dòng)點(diǎn)迭代法步驟（P17）

不動(dòng)點(diǎn)迭代算法流程圖（P17）例2-2P172.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2.2

不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義及收斂性

迭代法的幾何意義是求迭代函數(shù)和y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=y=y=y=x0p0x1p1

x0p0x1p1

x0p0x1p1

x0p0x1p1

可以看出：若的變化幅度小于的變化幅度時(shí)，迭代公式收斂，否則，迭代公式不收斂。2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義及收斂性關(guān)于全局收斂性的判定說(shuō)明：式（2-1）的Lipschitz條件太強(qiáng)，不好驗(yàn)證。通常采用更強(qiáng)的條件全局收斂性定理2-12.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義及收斂性例2-3P20

局部收斂性判定

局部收斂性定理2-2

收斂的階

p階收斂的定理2-3例2-4P22證明

迭代法的特點(diǎn)算法邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于機(jī)器實(shí)現(xiàn)；在計(jì)算時(shí),中間結(jié)果若有擾動(dòng),仍不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果；不同的迭代公式在收斂性、收斂速度上有差別。2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法2.2.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義及收斂性例例例2.3牛頓法與割線法

2.3.1牛頓法原理與幾何意義

牛頓法原理

牛頓法幾何意義2.3牛頓法與割線法2.3.1牛頓法原理與幾何意義

牛頓法步驟及流程圖P242.3牛頓法與割線法2.3.1牛頓法原理與幾何意義例2-5例

用牛頓迭代法推導(dǎo)求的迭代公式，并求收斂的階。2.3牛頓法與割線法2.3.2牛頓迭代法的收斂性例2-6P25證明yx0aby=f(x)x0(a)x0取靠近b一側(cè)yx0aby=f(x)x0(b)x0取靠近a一側(cè)yx0aby=f(x)x0(c)x0取靠近a一側(cè)yx0aby=f(x)x0(d)x0取靠近b一側(cè)牛頓法局部收斂的4種情形2.3牛頓法與割線法

牛頓法的特點(diǎn)與改進(jìn)預(yù)測(cè)—校正型牛頓公式構(gòu)造高階迭代公式證明2.3牛頓法與割線法2.3.3割線法

割線法的幾何意義

割線法的計(jì)算步驟

割線法的收斂性例2-7P27

割線法的特點(diǎn)收斂速度比較快，但比牛頓法慢；超線性收斂，收斂階為1.618；無(wú)需計(jì)算導(dǎo)數(shù)，每步只需計(jì)算一次函數(shù)值；屬于多點(diǎn)迭代，而牛頓法和一般迭代法屬于單點(diǎn)迭代。2.3牛頓法與割線法2.3.3割線法2.3牛頓法與割線法2.3.4牛頓法求解代數(shù)方程2.4迭代法的改善與加速

一般的加速算法2.5.2埃特