專(zhuān)題4.3 相似三角形的判定【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專(zhuān)題4.3相似三角形的判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷兩個(gè)三角形是否相似】 1【題型2補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】 4【題型3裁剪使兩個(gè)三角形相似】 7【題型4尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】 11【題型5格點(diǎn)中判斷兩三角形相似】 14【題型6確定與已知三角形相似的三角形】 17【題型7確定哪兩個(gè)三角形相似】 19【題型8確定相似三角形的對(duì)數(shù)】 23【題型9坐標(biāo)系中確定使兩三角形相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 26【題型10相似三角形的證明】 30知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱(chēng)為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱(chēng)為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)稱(chēng)為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1判斷兩個(gè)三角形是否相似】【例1】（23-24九年級(jí)·四川遂寧·期中）下列條件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（

）A．∠C＝98°，∠E＝98°，ACBCB．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，F(xiàn)D＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】A、若△ABC~△DEF，則ACBCB、若△ABC~△DEE，則ABDE=ACDF=C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，則∠D＝90°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、BCEF所以D選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定定理，解答此類(lèi)題目時(shí)要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（3）有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似【變式1-1】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期中）下列判斷中，不正確的有（

）A．三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似B．兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似C．有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似【答案】B【分析】由相似三角形的判定依次判斷可求解．【詳解】解：A、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，故A選項(xiàng)不合題意；B、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，故B選項(xiàng)符合題意；C、有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似，故C選項(xiàng)不合題意；D、有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，則它們的底角都是40°，所以有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似，故D選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．若OA：OC-=OB：OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A．①與②相似 B．①與③相似C．①與④相似 D．②與④相似【答案】C【詳解】試題分析：由兩邊成比例和夾角相等（對(duì)頂角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出結(jié)果．解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正確；故選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·上海浦東新·期末）下列命題中，說(shuō)法正確的是（

）A．如果一個(gè)直角三角形中有兩邊之比為1:2，那么所有這樣的直角三角形一定相似B．如果一個(gè)等腰三角形中有兩邊之比為1:2，那么所有這樣的等腰三角形一定相似C．如果一個(gè)直角三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，那么所有這樣的直角三角形一定相似D．如果一個(gè)等腰三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，那么所有這樣的等腰三角形一定相似【答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形中有兩邊之比為1:2，可能是兩直角邊的比，也可能是直角邊與斜邊的比，可判定A；根據(jù)等腰三角形中有兩邊之比為1:2，只能是底與腰的比為1:2，所有這樣的等腰三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，一定相似，可判定B；若一個(gè)直角三角形是直角是銳角的2倍，則這個(gè)三角形是等腰直角三角形，另一個(gè)直角三角形是一銳角是另一銳角的2倍，則兩銳角為30°和60°，所以所有這樣的直角三角形不一定相似，可判定C；設(shè)等腰三角形兩角為x和2x，則三個(gè)內(nèi)角分別為x，2x，2x或x，x，2x；所以所有這樣的等腰三角形不一定相似，可判定D．【詳解】解：A、如果一個(gè)直角三角形中有兩邊之比為1:2，那么所有這樣的直角三角形不一定相似，如：一個(gè)直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c，且a:b=1:2，另一個(gè)直角三角形兩直角邊為d，e，斜邊為f，且d:f=1:2，則這兩個(gè)直角三角形不相似；故此選項(xiàng)不符合題意；B、如果一個(gè)等腰三角形中有兩邊之比為1:2，那么等腰三角形只能是底與腰的比是1:2，所以所有這樣的等腰三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，所以一定相似，故此選項(xiàng)符合題意；C、如果一個(gè)直角三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，若一個(gè)三角形是直角是銳角的2倍，則這個(gè)三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一銳角是另一銳角的2倍，則兩銳角為30°和60°，所以所有這樣的直角三角形不一定相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D、如果一個(gè)等腰三角形中有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2，設(shè)這兩角為x和2x，則三個(gè)內(nèi)角分別為x，2x，2x或x，x，2x；所以所有這樣的等腰三角形不一定相似；故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【題型2補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】【例2】（23-24九年級(jí)·山東泰安·開(kāi)學(xué)考試）已知P是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，連接BP，則下列不能判定△ABP∽△ACB的是（

）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．ABAP=AC【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似定理的應(yīng)用．根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合相似三角形的判定定理（①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩三角形相似）逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，不符合題意；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，不符合題意；C、∵∠A=∠A，ABAP∴△ABP∽△ACB，不符合題意；D、根據(jù)∠A=∠A和ABBP=AC故選：D．【變式2-1】（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．當(dāng)AD=時(shí)，△ABC∽△ACD．【答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，當(dāng)ABAC=AC即：AC∵AB=4，AC=6，∴62∴AD=9；故答案為：9．【變式2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．ADAB=DCAC C．AC【答案】C【分析】本題考查添加條件使三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA，∵∠ADC=∠BAC，∴△ACB∽△DCA，故A選項(xiàng)不符合題意；∵ADAB=DC∴△ACB∽△DCA，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)無(wú)法判定△ADC和△BAC相似，不符合題意；∵∠ADC=∠BAC，∠DAC=∠ABC，∴△ACB∽△DCA，故D選項(xiàng)不符合題意；故選C．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·河南鶴壁·階段練習(xí)）直線DE與△ABC的邊AB相交于點(diǎn)D，與AC邊相交于點(diǎn)E，下列各條件：①∠AED=∠B，②DE∥BC，③ADAB=DEBC，④AEAB【答案】②⑤【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定方法，分別進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：①∵∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；②DE∥BC，可以根據(jù)相似三角形的判定方法中的平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，判斷出③ADAB=DE④AEAB=AD∴△ADE∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤AD?AC=AE?AB可以變形為：ADAB又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，故此選項(xiàng)正確；故正確的有2個(gè)．故答案為：②⑤．【題型3裁剪使兩個(gè)三角形相似】【例3】（23-24九年級(jí)·海南·期末）點(diǎn)P是ΔABC斜邊BC上的一個(gè)點(diǎn)(不與B,C重合),過(guò)點(diǎn)P作直線PD截ΔABC,使截得的三角形與ΔABC相似,滿足這樣的條件的截線共有條【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角就可以．【詳解】由于△ABC是直角三角形，過(guò)P點(diǎn)作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，所以只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，過(guò)點(diǎn)P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似判定定理及其運(yùn)用．解題時(shí)運(yùn)用了兩角法（有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）來(lái)判定兩個(gè)三角形相似．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·山西·期中）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開(kāi)，下列四種剪開(kāi)的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（

）A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故兩三角形相似；③兩三角形雖然滿足23④兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例4?16故正確的有①②④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的三角形與△ABC不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】A、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)符合題意，B、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意，C、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意，D、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2024九年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC紙片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，將該紙片沿虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由CD⊥AB于點(diǎn)D，得∠ADC=90°，則∠ADC=∠ACB，而∠A=∠A，即可證明△ACD∽△ABC，可判斷A不符合題意；由EF⊥AC，得∠AFE=∠C，則EF∥BC，可證明△AEF∽△ABC，可判斷B不符合題意；由BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，得HCBC=GCAC=12，而∠GCH=∠ACB，可證明△GHC【詳解】解：如圖1，∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ACD∽故A不符合題意；如圖2，∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∵∠C=90°，∴∠AFE=∠C，∴EF∥∴△AEF∽故B不符合題意；如圖3，∵BC=5,∴HCBC=2.5∴HCBC∵∠GCH=∠ACB，∴△GHC∽故C不符合題意；如圖4，∵BC=5,∴LCBC=2∴LCBC假設(shè)△KLC∽∵∠KCL=∠ACB，∴LCBC∴△KLC與△ABC不相似，故D符合題意，故選：D．【題型4尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】【例4】（23-24九年級(jí)·陜西寶雞·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)D，使得△BDC∽△ABC．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查相似三角形的判定，作角平分線．掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．作∠ABC平分線，交AC于D即可．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)D即為所作求．由作圖可知：BD是∠ABC平分線，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=2∠A，∴∠CBD=∠A，∵∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·河南·期末）如圖，已知鈍角△ABC中∠ABC=2∠ACB．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在AC上定一點(diǎn)P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕跡，不寫(xiě)作法）(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)述作圖的合理性．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．(1)作線段BC的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)P，連接PB，點(diǎn)P即為所求作．(2)利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，說(shuō)明即可．【詳解】（1）如圖，作線段BC的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)P，連接PB，則點(diǎn)P即為所求作．（2）根據(jù)作圖，得PB=PC，∴∠PBC=∠ACB，∵∠ABC=2∠ACB，∴∠ABP+∠PBC=2∠ACB，∴∠ABP=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB．故作法是合理的．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，D為邊AB上任意一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得△DEA∽△BCA.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查相似三角形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交AB于M，交BC于N，以點(diǎn)D為圓心，以相同的半徑畫(huà)弧，再以MN為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接DF并延長(zhǎng)，交AC于E，則∠ADE=∠ABC，結(jié)合∠A=∠A可得△DEA∽△BCA．【詳解】解：如圖，△ADE即為所作，．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·陜西榆林·期末）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=108°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)D，使得△ACD∽△BCA．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】圖見(jiàn)解析．【分析】以點(diǎn)B為圓心、BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D即可．【詳解】以點(diǎn)B為圓心、BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則點(diǎn)D即為所作，如圖所示：理由如下：∵等腰△ABC的頂角∠BAC=108°，∴∠B=∠C=1由作圖可知，BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=1∴∠ADC=180°?∠BDA=108°=∠BAC，在△ACD和△BCA中，∠ADC=∠BAC∠C=∠C∴△ACD～△BCA．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【題型5格點(diǎn)中判斷兩三角形相似】【例5】（23-24九年級(jí)·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，下圖中與△ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題分別求出每個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，然后根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似得出答案.【詳解】解：AB=2,BC=對(duì)于圖①，三角形三邊為2,32,25對(duì)于圖②，三角形三邊為25,210對(duì)于圖③，三角形三邊為5,10,5，因?yàn)閷?duì)于圖④，三角形三邊為10,25,5故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似．解決本題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別計(jì)算出圖中所有三角形的邊長(zhǎng)．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·上海寶山·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D、M、N都是格點(diǎn)，從A、B、C、D四個(gè)格點(diǎn)中選取三個(gè)構(gòu)成一個(gè)與△AMN相似的三角形，某同學(xué)得到兩個(gè)三角形：①△ABC；②△ABD．關(guān)于這兩個(gè)三角形，下列判斷正確的是（A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是【答案】B【分析】此題考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根據(jù)網(wǎng)格判定∠BAC=90°，∠ADB=90°，然后用相似三角形的判定即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定【詳解】如圖，連接AB，AC，BC，AD，BD，在Rt△AMC中，∠BAC=90°，AM=1，AN=1由網(wǎng)格可知：AB=22，AC=32，BC=26，BD=4∴AB2+A∴∠BAC=90°，∠ADB=90°，∴AMAN=AB∴△ABD與△AMN相似，△ABC與△AMN相似，故選：B．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中有5個(gè)格點(diǎn)三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中與⑤相似的三角形是（

）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【答案】A【分析】?jī)扇切稳龡l邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似，據(jù)此即可解答．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則①△ABC的各邊長(zhǎng)分別為1、2、5．②△ACD的各邊長(zhǎng)分別為1、5、22；③△ADE的各邊長(zhǎng)分別為2、22、25；④△AEF的各邊長(zhǎng)分別為22、25、6；⑤△AGH的各邊長(zhǎng)分別為2、2、10；∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似的運(yùn)用．正確掌握網(wǎng)格中求線段長(zhǎng)度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都是小正方形的頂點(diǎn)，則圖中所形成的三角形中，與△ABC相似的三角形是．【答案】△DEB【分析】本題考查相似三角形的判定，利用兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．【詳解】解：觀察圖象可知，∠BAC=∠BDE=135°∴AB=1，AC=∴∴△ABC∽△DEB．故答案為：△DEB．【題型6確定與已知三角形相似的三角形】【例6】（2024·黑龍江大慶·中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．

【答案】△MCB【分析】由矩形的性質(zhì)得∠A=∠D=∠C=90°，從而得到∠DNM+∠DMN=90°，由折疊的性質(zhì)可得：∠BMN=∠A=90°，從而得到∠DNM=∠BMC，由此推斷出△NDM∽△MCB．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠DNM+∠DMN=90°，由折疊的性質(zhì)可得：∠BMN=∠A=90°，∵∠NMD+∠BMN+∠BMC=180°，∴∠NMD+∠BMC=90°，∴∠DNM=∠BMC，∴△NDM∽△MCB，故答案為：△MCB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·廣西賀州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列三角形中，與△AOD一定相似的是（）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC【答案】A【分析】根據(jù)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，數(shù)量掌握幾種判定定理是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·福建福州·期末）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O，寫(xiě)出一個(gè)與△ACD相似的三角形，這個(gè)三角形可以是．【答案】△AOE（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件得∠ADC=∠AEO=90°，∠CAD=∠OAE，推出△ACD～△AOE，其他同理.【詳解】解：△ACD～△AOE；證明：∵△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O，∴∠ADC=∠AEO=90°，∵∠CAD=∠OAE，∴△ACD～△AOE；故答案為：△AOE（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，三角形的高的定義，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相似.【變式6-3】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），DE，AB交于點(diǎn)F，則下列一定與△BCD相似的是（）A．△BDF B．△BEF C．△ABC D．△BAD【答案】B【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠E=∠C=60°，∠EBD=∠ABC=60°，然后根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠EBF=∠DBC，即可證明出△BCD∽△BEF．【詳解】∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠ABC=60°∴∠EBD?∠ABD=∠ABC?∠ABD，即∠EBF=∠DBC∴△BCD∽△BEF．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似的判定，等邊三角形的性質(zhì)，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型7確定哪兩個(gè)三角形相似】【例7】（23-24九年級(jí)·上?！て谀┤鐖D，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在邊AC上，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E，邊DE交BC于點(diǎn)F，連接CE，下列兩個(gè)三角形不一定相似的是（

）A．△BAD與△BCE B．△BDF與△ECFC．△BAC與△BDE D．△DBF與【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，再根據(jù)相似三角形的判定定理判斷求解即可．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，△ABC≌∴AB=DB，∴∠ABD=∠CBE，ABBC∴△BAD∽∵∠ABD=∠CBE，∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，∴∠BDF=∠ECF，又∵∠BFD=∠EFC，∴△BDF∽又∠ABC=∠DBE，ABBD∴△BAC∽根據(jù)題意，無(wú)法求解△DBF與△CEB相似，故D符合題意；故選：D．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，以下結(jié)論成立的是（

）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合相似三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：∵∠AOD=90°，設(shè)OA=OB=BC=CD=x∴AB=2x，AC=5x，AD=10x，OC=2x，OD=3x，BD=2x,∴ABBD=∴AB∴△BAC∽△BDA．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．【變式7-2】（2024·遼寧鞍山·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判斷中，錯(cuò)誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正確，D不正確；即可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、C，錯(cuò)誤的判斷是D；故選D．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·上海靜安·期中）將兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形△ABC與△AFG擺成如圖的樣子，兩個(gè)三角形的重疊部分為△ADE，那么圖中一定相似的三角形是（

）△ABC與△ADEB．△ABD與△AEC C．△ABE與△ACD D．△AEC與△ADC【答案】C【分析】根據(jù)△ABC是直角三角形，而△ADE不是直角三角形，即可判斷A選項(xiàng)，只有∠C=∠B，不能判斷B選項(xiàng)中兩三角形相似，根據(jù)題意可得∠C=∠B=45°，進(jìn)而證明∠DAC=∠AEB，即可判斷△ABE∽△DCA，即可判斷C選項(xiàng)，D選項(xiàng)中只有一個(gè)公共角∠C，根據(jù)已知條件找不到另外一對(duì)角相等，故不能判斷D選項(xiàng)中兩三角形相似．【詳解】A.△ABC是直角三角形，△ADE不是直角三角形，故不能判斷△ABC與△ADE相似；B.只有∠C=∠B，不能判斷B選項(xiàng)中△ABD與△AEC相似；D.只有∠C=∠C，不能判斷D選項(xiàng)中△AEC與△ADC相似；C.∵△ABC,△AFG是等腰直角三角形，則∠ABE=∠ACB=∠DAE=45°,∠BAC=90°設(shè)∠BAD=α，則∠ADC=∠BAD+∠B=45°+α，∠DAC=∠BAC?∠BAD=90°?α，∴∠EAC=90°?∠DAE?∠BAD=45°?α，∴∠AEB=∠C+∠EAC=45°+45°?α=90°?α，∴∠DAC=∠AEB∵∠C=∠B=45°∴△ABE∽△DCA故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型8確定相似三角形的對(duì)數(shù)】【例8】（23-24九年級(jí)·廣西貴港·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，AF⊥CD于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，連接DF，則圖中與△ACEA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理可得出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD，又∵∠AEC=∠ACB=90°，∴△ACE∽△BAC，∵CE⊥AF，∴∠ACE=∠AFC，∠AEC=∠ACF，∴△ACE∽△AFC，∵∠ECF+∠ACE=∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ECF=∠CAE，又∵∠AEC=∠CEF，∴△ACE∽△CFE，∴圖中與△ACE相似的三角形共有3個(gè)：△BAC，△AFC，△CFE．故選：B【變式8-1】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE與CD相交于點(diǎn)F．則圖中相似三角形共有（

）

A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AD∥BC，從而即可得到△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，△ABE∽△FDA，由此得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，∴△ABE∽△FDA，共3對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等腰Rt△ADE，斜邊AE交BC于F，則圖中相似三角形共有（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°，再根據(jù)“有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”，即可找到相似三角形．【詳解】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形∴∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°則△ABC∽△DAE又∵∠AFB=∠DFE，∠B=∠E=45°∴△ABF∽△DEF∵∠ADF=∠ADB，∠B=∠DAE=45°∴△ABD∽△FAD同理，得△FCA∽△FAD∴△ABD∽△FCA綜上所述，圖中相似三角形共有5對(duì)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AD于G

，AF⊥BE于F

，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）

A．5 B．7 C．8 D．10【答案】D【詳解】試題解析：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=9∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=9∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10對(duì)故選D．【題型9坐標(biāo)系中確定使兩三角形相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例9】（23-24九年級(jí)·江蘇·期中）平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+2

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的相似條件，畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，

①分別過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)A作AB、OB的平行線交于點(diǎn)P1，則△OAP1與△AOB相似（全等），②作AP2⊥OP1，垂足為P2則△AOP2與△AOB相似．③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，則△AOP3與△AOB相似．④作AP4⊥OP3垂足為P4，則△AOP4與△AOB相似．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．【變式9-1】（2024·江西九江·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A,C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P

【答案】3,0或0,2或0,3【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC～△CAB時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′【詳解】解：如圖，

∵A(1,∴OA=OC=1,∴AC=2當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC～△CAB時(shí)，∴ACAB∴21∴PA=2，∴OP=3，∴P(3,當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△∵AC=CA，∴AB=CP∴OP∴P′當(dāng)△P″AC～△BCA∴C∴O∴P綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,0或0,2或0,3．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)與分類(lèi)討論的射線思考問(wèn)題．【變式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（

）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【答案】B【詳解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，則AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，則AB：BC≠CD：DE，△CDE與△ABC不相似，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，5）時(shí)，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，則AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，則AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意．故選B．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面內(nèi)點(diǎn)P使得△ABP與△ABO相似，則不與點(diǎn)O重合的點(diǎn)P有個(gè)．【答案】7【分析】本題考查相似三角形的判定．根據(jù)題意，可分情況討論，具體見(jiàn)詳解．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)∠ABP=∠AOB時(shí)，△ABP