(自動控制原理)第四章根軌跡(06改)

第四章根軌跡法

本章主要內容:

根軌跡的基本概念根軌跡的繪制準則特殊根軌跡利用根軌跡分析閉環(huán)系統(tǒng)用MATLAB繪制根軌跡

我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布，其它性能取決于其零極點分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點分布來間接地研究控制系統(tǒng)的性能。伊文思(W.R.Evans)提出了一種在復平面上

由開環(huán)零極點確定閉環(huán)零極點的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個參數（比如開環(huán)放大系數）的全部值與閉環(huán)特征根的關系表示在一張圖上。

概述根軌跡法——一種由開環(huán)傳遞函數求閉環(huán)特征根的簡便方法。根軌跡法的實質——繪制根軌跡，實質上是在系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的某一參數變化時，尋求閉環(huán)特征根在復平面上變化的軌跡。

利用根軌跡法，可以解決以下問題：

分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結構和參數系統(tǒng)校正裝置的綜合§1.1根軌跡的基本概念例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：特征根為：閉環(huán)傳遞函數：①

當K=0時，s1=0,s2=-2,

是根軌跡的起點（S1、S2也是開環(huán)

傳遞函數的極點②當K=0.32時，s1=-0.4,s2=-1.6

根在負實軸上。③

當K=0.5時,s1=-1,s2=-1(負實重根）④

當K=1時，s1=-1+j,s2=-1-j（共軛根）⑤

當K=5時s1=-1+3j,s2=-1-3j（共軛根）⑥

當K=∞時，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j討論：閉環(huán)特征根結論：根軌跡直觀地表示了參數K變化時，閉環(huán)特征根的變化，同時還給出了參數K對閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。對一般的反饋控制系統(tǒng)，其結構圖為：-將寫成以下標準型，得：

分別為開環(huán)零極點，為根軌跡增益。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為：小結：

1)根軌跡一但畫出，那么，對應某一值（或其他參數的變化），就可以獲得一組特征根（閉環(huán)極點），于是可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；再考慮到已知閉環(huán)零點,就可以確定系統(tǒng)的品質，由此，可以解決系統(tǒng)的分析問題。

2)反之，也可根據規(guī)定的品質指標，利用根軌跡法，合理安排開環(huán)零極點的位置，并適當調整值。(P98)即根軌跡方程4.1根軌跡法的基本概念由一、繪制根軌跡的條件即滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件為：顯然，滿足上述條件的值，就是特征方程式的根，即閉環(huán)積點。通常，我們先以根軌跡增益（當然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。[一些約定]：

1)在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點，“”表示開環(huán)有限值零點。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數增加的方向。“”表示根軌跡上的點。

2）在繪制根軌跡時，令S平面橫軸和縱軸比例尺相同。

3）繪制根軌跡的依據是幅角條件。

4）利用幅值條件計算的值。

5)在測量幅角時，規(guī)定以逆時針方向為正。例題4-1已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為：可將系統(tǒng)的三個極點和一個有限零點畫在復平面上如圖：解：改寫傳遞函數為——根軌跡放大系數——開環(huán)放大系數由此得開環(huán)放大系數：假設是閉環(huán)極點，在圖上量得全部幅角之和須滿足：4.2根軌跡的繪制法則4.2.1繪制根軌跡的一般法則

1、起點

2、終點3、根軌跡數和它的對稱性4、實軸上的根軌跡

確定依據：在實軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側，開環(huán)零極點數目的總和為奇數。5、根軌跡的分離點和會合點

確定依據：閉環(huán)極點也是開環(huán)極點。閉環(huán)極點也是開環(huán)有限零點。6、根軌跡的漸近線

7、根軌跡的出射角和入射角當開環(huán)零、極點處于復平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復零點的終止角成為入射角。漸近線包括兩個內容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。計算出射角的公式：計算入射角的公式：8、根軌跡和虛軸的交點根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。1、根軌跡的起點：若則閉環(huán)系統(tǒng)的特征根由下式決定上式即為開環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。結論：當時，閉環(huán)極點也就是開環(huán)極點，繪制根軌跡時，從時的閉環(huán)極點畫起，即從開環(huán)極點出發(fā)。2、根軌跡的終點：

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠呢？

我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠零點。有限值零點加無窮遠零點的個數等于極點數。當時，①。

是開環(huán)傳遞函數有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。

②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠處。由根軌跡方程知：當時

3、根軌跡的支數和它的對稱性：

n階特征方程有n個根。當從0到無窮大變化時，n個根在復平面內連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數等于系統(tǒng)階數。

特征方程的系數為實數，所以如果存在復數特征根應是共軛根。因此，根軌跡都對稱于實軸。4、實軸上的根軌跡：在實軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側，開環(huán)零極點數目的總和為奇數。即由此，滿足幅值條件：[例]：已知系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布如圖示，判斷和之間的實軸是否存在根軌跡？●

結論：和之間的實軸存在根軌跡。5、根軌跡的會合點和分離點：定義：兩條或兩條以上根軌跡在S平面上相遇又分離的點為分離點（或會合點）。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實軸上a點相遇再分離進入復平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實軸上b點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當時，一支根軌跡終止于另一支走向。a、b點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。[分離點和會合點的求法]：介紹重根法、作圖法和極值法。1）重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：因閉環(huán)特征方程為：即設時，特征方程有重根，則必同時滿足即有：0)()()(

=￠+￠=sDsNKdssdFd2）作圖法：參考教材Page102~1033）極值法：因是極大值，故可利用下式計算重根。[例]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。

顯然，分離點為-0.4725，而-3.5275不是分離點。[解]：注意：分離點和會合點也可能出現在復平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復平面上的分離點和會合點必對稱于實軸。（舍去）例4-2已知開環(huán)傳遞函數式中：求分離點和會合點。參考教材Page103。6、根軌跡的漸近線

漸近線包括兩個內容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。（1）

傾角：設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的矢量相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的幅角條件得：當，最小，當增大時，傾角將重復出現，故獨立的漸近線只有條。（2）漸近線與實軸的交點假設根軌跡在無限遠處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J為：對無限遠閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。例4-3設開環(huán)傳遞函數為，計算漸近線傾角。（教材Page104)幅值條件可改寫：由二項式定理知：用例題4-3的條件,可求出:在無限靠近

的根軌跡上取一點,則

點應滿足幅角條件：例4-4已知開環(huán)傳遞函數，計算起點(-1+j1)的斜率。7、根軌跡的出射角和入射角當開環(huán)零、極點處于復平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復零點的終止角成為入射角。計算出射角的公式：計算入射角的公式：8、根軌跡和虛軸的交點交點和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出

和

。

由勞斯穩(wěn)定判據求解。

由幅角條件圖解試探求解。結論：根軌跡離開開環(huán)復極點處的切線方向與實軸正方向的夾角，稱為出射角。根軌跡進入開環(huán)復零點處的切線方向與實軸正方向的夾角，稱為入射角。[例4-5]開環(huán)傳遞函數為：

，試求根軌跡與虛軸的交點

和。(教材106-107）

9.閉環(huán)極點的和與積列寫特征方程式：假設時根軌跡與虛軸相交，令則得：可得臨界開環(huán)放大系數為：9.閉環(huán)極點的和與積設反饋系統(tǒng)的特征方程為：其特征根為：則由根據代數方程根與系數的關系，可得結論：在已知反饋系統(tǒng)的部分閉環(huán)極點情況下，基于上述公式可確定出其余閉環(huán)極點在S平面上的分布位置，還可計算出與系統(tǒng)閉環(huán)極點對應的參變量值。[例]開環(huán)傳遞函數為：

，已知根軌跡與虛軸相交的兩個閉環(huán)極點。試確定第三個閉環(huán)極點根軌跡作圖步驟一、標注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點；

結合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數、起始點和終點等性質畫出根軌跡。4.2.2自動控制系統(tǒng)的根軌跡一、二階系統(tǒng)：比較：得:按“法則”求條件，然后繪制根軌跡。求分離點：求漸近線傾角和交點：二階系統(tǒng)的根軌跡如下：若：由幅值條件，可得

時的放大系數和：

二、開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)（109頁）已知：證明方法一:各零極點幅角滿足幅角條件：××和角公式：整理后得圓的方程為：令a=1得到根軌跡如下：分離點和會合點為證明方法二:將代入特征方程：令實部為零：虛部為零：整理后得圓方程式：三、三階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為根據法則繪制根軌跡如下：根據法則繪制根軌跡如下：結論：在二階系統(tǒng)中附加一個極點，則使系統(tǒng)根軌跡隨著增大，向右半平面方向移動，并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，但系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度得到改善。四、開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)根據法則繪制根軌跡如下：開環(huán)傳遞函數為：（1）繪制根軌跡；（2）求時的閉環(huán)特征根；

①

列寫閉環(huán)特征方程式

②先求二階特征根

③再求第三個特征根

（3）計算特征根對應的值；

（4）結論：與二階系統(tǒng)相同，前項通道增加零點，

根軌跡隨增大將向左移，系統(tǒng)的動態(tài)品質

得到改善。根據法則繪制根軌跡如下：線漸近線五、具有復數極點的四階系統(tǒng)根據法則繪制根軌跡如下：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數根據法則繪制根軌跡如下：出射角的計算：

（參考教材105頁）六、具有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：閉環(huán)特征方程式為：若有特征根滿足根軌跡的方程，則：當時，幅值條件與幅角條件和一般系統(tǒng)相同；在滿足幅值條件下，對于一定的值，只有個特征根。當時，特征根的實部會影響幅值條件，而虛部會影響幅角條件。所以，時滯系統(tǒng)的幅角條件不再是常數，而是的函數。故對于一定的值，有無限多個特征根，相應地有無限多條根軌跡。時滯系統(tǒng)根軌跡的繪制法則：（參考教材Page115~117）例題4-6設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，繪制其根軌跡。由法則得時的根軌跡如下：由法則得時的根軌跡如下：4.2.4廣義根軌跡（參數根軌跡）1、定義

當系統(tǒng)參數是以非開環(huán)增益為可變參數時繪制的根軌跡稱為廣義根軌跡（也稱參數根軌跡）。與此對應

以開環(huán)增益為可變參數繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。2、解決思路

繪制根軌跡前，對原傳遞函數作等效變換，使可變參數在變換后的等效傳遞函數中相當于開環(huán)增益K的位置，再根據已有法則繪制根軌跡。3、求的具體方法

對系統(tǒng)的特征方程作除法，即以特征方程中不含有

可變參數的各項去除方程，可得到的形

式，由此，將可變參數變換到了開環(huán)增益K的位置，其中就是原傳遞函數的等效傳遞函數。4、舉例分析例4–7某控制系統(tǒng)結構圖下，試繪制以為變量的根軌跡。由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式經整理得：等效傳遞函數：

2.按法則繪制根軌跡如下：

1.先求等效傳遞函數解2.按法則繪制根軌跡如下：1）兩個開環(huán)極點；

一個有限零點在原點，

一個零點在無窮遠；2）求會合點；3）根軌跡在復平面上是一

段圓心在原點，半徑為

的圓弧。4）求使系統(tǒng)工作在欠阻尼

狀態(tài)下，的取值范圍。4.2.3零度根軌跡1、定義所謂零度根軌跡是指根軌跡的幅角條件為。換句話說滿足方程

的軌跡是零度根軌跡。

2、零度根軌跡的來源

其一：控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，滿足方程。（非最小相位系統(tǒng)指在右半平面有開環(huán)零極點的系統(tǒng)。）

其二：控制系統(tǒng)中包含正反饋內回路。

3、零度根軌跡的幅值和相角條件

由：即：3、繪制法則

繪制零度根軌跡只需將常規(guī)根軌跡法則中與相角條件有關的法則加以修改即可。繪制零度根軌跡的基本法則：對稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點、終點和根軌跡支數同常規(guī)根軌跡；漸進線：與實軸的交點同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個角度；實軸上的根軌跡：其右方實軸上的開環(huán)零極點之和為

偶數（包括0）的區(qū)域。分離點、會合點：同常規(guī)根軌跡；出射角和入射角：例如圖4-23的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數閉環(huán)特征方程式根據法則繪制根軌跡如下：根據法則繪制根軌跡如下：分離點和會合點：復平面上的根軌跡是一個圓。圓心為有限零點，半徑為。4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正由給定參數確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據性能要求確定系統(tǒng)的參數；對系統(tǒng)進行校正。一、在根軌跡上如何確定特征根采用試探法：先在根軌跡上取一試點，然后連線開環(huán)零、極點，得到和代入幅值條件，求出。如果與已知值相等，則即為所求的特征根。

否則，再找試點，重復上述步驟，直到。條件：已知2.在實軸上選擇不同試點，得到輔助線由輔助線可先確定出對應的實數根，再由根與系數的關系可求共軛復根。

例4–8已知系統(tǒng)結構圖如下，試確定特征根。

已知：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式1.首先繪出根軌跡（參考教材頁圖4-14）。2.根據根軌跡在實軸上的情況，求實根。在間取不同試點，代入特征方程

，求得不同的，

從而得到的曲線，由此確定

的一個實數特征根。3.根據代數方程中根與系數的關系求共軛根。（特征根之和等于方程中項的系數。）先求另一對復根的實部，

再求虛部。以作垂線，其與根軌跡的交點就是所求復根的虛部值。二、用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性閉環(huán)系統(tǒng)有兩個負實數極點和。單位階躍響應是指數型。一般當

時，可忽略極點的影響。2.閉環(huán)極點為一對復極點單位階躍響應為衰減振蕩型（）。1）當，出現實數重根，

系統(tǒng)工作在臨界阻尼狀態(tài)，沒有超調。2）當復極點在虛軸上，出現共軛純虛根

，系統(tǒng)呈等

幅振蕩。

假設不變：超調量與阻尼比、阻尼角的關系曲線如下：阻尼角越小，超調量越?。蛔枘岜仍叫?，超調量越大。等阻尼比線示意圖如下。在同一條阻尼比線上的復極點，有相同的超調量。（因為超調量只取決于阻尼比的大小。）設不變，則隨著增大，復極點的實部和虛部都增大，系統(tǒng)響應速度加快，且能以較快速度到達穩(wěn)定工作狀態(tài)。表征系統(tǒng)指數衰減的系數，決定調節(jié)時間。（P123)一對復極點和一個零點一對復極點和一個實極點4.閉環(huán)系統(tǒng)除一對復極點外還有一個實極點，超調量將減小，調節(jié)時間增長。當，可以不考慮此極點的影響。3.閉環(huán)系統(tǒng)除一對復極點外還有一個零點，將使系統(tǒng)的峰值時間提前，相當于減小閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼，從而使超調量增大。當時，可以不考慮此零點的影響。小結：根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質的最大優(yōu)點是可以看出開環(huán)系統(tǒng)放大系數變化時，系統(tǒng)暫態(tài)特性的變化情況。③③再減小，有一個極點靠近原點，暫態(tài)響應越來越慢；

④

，一對復數極點為

另一極點為

，它比的實部大得多，其影響可忽略。此時暫態(tài)指標可按二階系統(tǒng)

計算。如圖所示：時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對極點位于虛軸，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；

，兩個極點重合；①②三