北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級上冊期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x|-3<x<3},集合B={x|x+12},則/UB=()

A.{x|-l<x<3}B.{x|-3<x<-l}

C.{x|x>-l}D.{x\x>-3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=3-i,則復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(-1,-3)D.(-3,-1)

3.下列函數(shù)中，在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=vmB.f(x)=2-x

C./(x)=-InxD./(x)=x+—

x

4

4.已知角a終邊經(jīng)過點尸(—3/),且tana=§,則cosa=()

3344

A.—B.±—C.—D.±—

5555

5.設(shè)z,B為非零向量，則“w是平+相￡號的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

.71T

6.在VABC中，^4=—,C=,b=V2，貝！J。=()

A.V3-1B.41C.2D.V3+1

7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.現(xiàn)有一個沙漏(如圖)上方裝有acm?的細沙,

細沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過Zmin時剩余的細沙量為yen?,且〉=。二-"1為常

數(shù))，經(jīng)過8min時，上方還剩下一半細沙，要使上方細沙是開始時的!，需經(jīng)過的時間為()

O

試卷第1頁，共4頁

?■

A.8minB.16minC.24minD.26min

8.設(shè)函數(shù)/（x）=sin"x-5）（0>。），已知了（Xo）=-1,/^o+|^=1,則0的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

9.設(shè)集合/=｛（x,y）x-yNl,x+y>3,x-yV2｝,貝l］（）

A.對任意實數(shù)a,（2,1）"B.對任意實數(shù)a,（2,1）e/

C.當(dāng)且僅當(dāng)。>1時，（2,1）D.當(dāng)且僅當(dāng)“<O時，（2,l）eN

10.已知G是V/3C的重心，過點G作一條直線與邊NB,/C分別交于點E,F（點E,

尸與所在邊的端點均不重合），設(shè)方=x近，AC=yAF,則工+工的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

二、填空題

11.函數(shù)/(x)=lnx+的定義域是

12.已知向量點3在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,則

13.已知等差數(shù)列數(shù),｝的首項為4,設(shè)其前〃項和為S〃，且$2=10,則過點尸（〃當(dāng)）和

0（〃+2,聯(lián)），且滿足〃￡N*,?>1的直線的斜率是.

試卷第2頁，共4頁

2X-a,x<1,

14.設(shè)函數(shù)/(x)=

4(x-a)(x-2a),x>1.

①若Q=l,則函數(shù)/(X)的零點個數(shù)有個.

②若函數(shù)/(X)有最小值，則實數(shù)Q的取值范圍是.

i

15.已知無窮數(shù)列｛%｝滿足q=：,an+i=an-an,給出下列四個結(jié)論:

?VneN*,>0；

②數(shù)列｛?！埃秊閱握{(diào)遞減數(shù)列；

?3neN*,使得%=0;

@V?eN*,均有個43

2r〃+2

其中正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=2sin(兀-x)cosx,g(x)=cos(2x+^].

(1)求〃x)的最小正周期及的值；

⑵直線x=04])與函數(shù)〃x),g(x)的圖象分別交于M,N兩點，求的最大值.

17.記V48V的內(nèi)角48,C的對邊分別為。也c，已知在+/-c?=-皿,sin0=273sin5.

⑴求C及c；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使V/2C存在且唯一，

求VABC的面積.

條件①：6=4；

條件②：bsinC=;

條件③：cosB=.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作

答，按第一個解答計分.

18.已知S〃為數(shù)列｛%｝的前幾項和，滿足—1,〃￡N*.數(shù)歹!J｛4｝是等差數(shù)列，且4=q,

試卷第3頁，共4頁

b2+b4=6.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛bn｝的通項公式；

、/小心

:"工展將'求數(shù)列匕｝的前2n項和.

)為偶數(shù)，

19.設(shè)函數(shù)/(無)=/-3依+6,若函數(shù)/(x)在x=2處取得極小值8.

⑴求6的值；

⑵求函數(shù)/(無)在［0,3］上的最大值和最小值，以及相應(yīng)x的值；

(3)證明：曲線V=/(無)是中心對稱圖形.

20.已知函數(shù)/(x)=(2x-a)lnx(aeR).

⑴當(dāng)。=0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)。=-1,曲線y=/(x)的切線不經(jīng)過點(0,0)；

(3)當(dāng)。＞0時，若曲線了=/(無)與直線V=-x在區(qū)間(1,+劃上有兩個不同的交點，求實數(shù)。

的取值范圍.

21.已知數(shù)列也J的通項公式為%=［"收］(田表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù))，數(shù)列次J的

通項公式為，=2"T(”eN*).

⑴寫出數(shù)列｛%｝的前6項；

(2)試判斷"與％是否為數(shù)列也,｝中的項，并說明理由；

(3)證明：數(shù)列｛。“｝與數(shù)列｛b,,｝的公共項有無數(shù)多個.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCAACDCBCB

1.D

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為5={X|X+120}={X|X2-1},又/={x|-3<x<3},

所以/UB={x|x>-3},

故選：D.

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)對應(yīng)點的特征求解即可.

【詳解】因為z=3-i,所以三=2zi=liJ=2=5i-i,

iii2-1

故復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是(-1,-3),故C正確.

1

故選：C

3.A

【分析】選項A和D,對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可判斷選項A和

D的正誤，選項B和C,根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

1

【詳解】對于選項A,由/（X）=Vx+1,得/'（X）=>o恒成立,則/(x)=4TT在(0,-+W)

2Jx+1

上單調(diào)遞增，所以選項A正確，

對于選項B,因為/(x)=2-、=(；)'在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以選項B錯誤，

對于選項C,因為〃x)=-lnx在(0,討)上單調(diào)遞減，所以選項C錯誤，

對于選項D,由/(x)=x+2，得到八尤)=1一二=上1=。-吁+1),當(dāng)o<x<l時,

/'(x)<o,當(dāng)x>l時，/'(%)>0,

所以〃X)=X+L在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故選項D錯誤,

X

故選：A.

4.A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及tana,求得》,再求cosa即可.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：tana=3=:，故可得y=-4,

-33

答案第1頁，共13頁

33

則cosa二

故選：A.

5.C

【分析】a,1為非零向量,平+*FT”平方后展開,進而判斷出結(jié)論.

【詳解】a,5為非零向量,平+汩二可”展開為:

a+2a-b+b=a-2a-b+b<^>a-b=0<^aLb

“及工§”是“忖+q=q_中'的充要條件.

故選：c.

【點睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【分析】利用三角形的性質(zhì)得到B=J,由正弦的和角公式得sinF=^+后,再利用正弦

6124

定理，即可求解.

【詳解】因為―，c=＞得到吟吟卡哈

-y-j.7兀./兀兀、也1拒6yj6+y/2

乂sm——=sin（一■F—）=------X--1--------X-------=-----------------b=5/2，

124322224

V6+V2

7?「V2x（

bbsmC_'

由正弦定理得,所以c——二V3+b

sinBsinCsin5

2

故選：D.

7.C

1&力/日7In2*由此能得出結(jié)果.

【分析】依題意有ae.=不a，角牛倚6=一^-

2oy=ae

_j_zyan「一勖——

【詳解】依題意有ae.

22

兩邊取對數(shù)得-86=111,=-1112,所以6=野，得到ln2

8

28y=ae

1_嗎i_也_1

當(dāng)容器中只有開始時的《時，則有ae8所以e屋——，

888

ln2,1ci3

兩邊取對數(shù)得-----1=In—=-31n2,所以"24,

88

故選：C.

答案第2頁，共13頁

8.B

7T

【分析】根據(jù)條件，利用V=sinx的性質(zhì)，得到。/=-7+2及兀AeZ和

6

以/H—)=F2左2兀色wZ,從而得至!Jg=2+4左，左wZ,即可求解.

26

【詳解】因為/(%)=sin(s:-3(口〉0),且/(%)=-1,

7CJT7L

所以CDXQ-......F2后]兀,k、GZ,到(0XQ-.........F2kl7i,k]GZ①

326

「zZ兀\yft。兀兀兀CT,r/口k.t/兀、5兀TrZ-N

又//+彳=1,則公^0+—————+2A：2兀月wZ,侍到以/+—)=--■卜2k2兀魚￡Z②，

k2723226

由①②得到，￡=1+2(左2-左),左2，《￡Z,即G=2+4左，左EZ,又?！?,所以Q的最小值為

2,

故選：B.

9.C

【分析】利用。的取值，反例判斷是否成立即可.

【詳解】對A,若。=-2,貝!]/={(x,y)x-y21,x+y>3,x-y42},

將Q,l)代入不全部滿足，此時可知(2,l)wN,故A錯誤；

對B,當(dāng)q=2時，貝!]/={(x,y)x_yWl,2x+y>3,x_2y〈2},

將(2,1)代入全部滿足，此時可知(2,l)e/,故B錯誤；

2—Q?2

對C,若(2,1)￡工，24+1>3,解之可得〃>1,所以C正確；

2-1>1

對D,當(dāng)a=g,則/=]。,了)|工->21,：+了>3/-142，，將(2,1)代入不全滿足，

所以(2,l)g/,故D錯誤.

故選：C

10.B

【分析】由平面向量的基本定理得到xj的等式，再用基本不等式求得最小值.

【詳解】如圖：

答案第3頁，共13頁

A

取BC中點Z),則ZG=—AD,AD=—AB-\—AC,

322

AG=-AD=-[^AB+^AC}=^AE+^4F,

33(22J33

???瓦GI三點共線，???：+1=l,即x+y=3,

11=(X+J；11

-+—3O+—

xyx

3

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5時，取等號;

故選：B

ii.(o,i)u(i,+?)

【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解即可.

【詳解】因為〃x)=lnx+工，

X-L

fx>0

所以<1C，貝l」X>0且XW1,

故"X)=向+的定義域是(O,l)U(1,+8).

X—1

故答案為：(OJ)U(l,+8).

12.4

【分析】根據(jù)條件，得到同=2后,忖=2,且無B=,，再利用數(shù)積的定義及運算律，即可

求解.

【詳解】由圖知，同=2后,慟=2,且二日，

所以小伍+3)=片+=8+2\/2x2xcos—=4,

答案第4頁，共13頁

13.2

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.

【詳解】設(shè)公差為d,因為S2=10,所以2x4+d=10,解得d=2,

所以?！?4+2（〃-1）=2〃+2,an+2=2〃+6,

故直線斜率為2"+6二（2"+2）=1=2.

n+2-n2

故答案為：2

14.3a>l

【分析】①，由1（"=0來求得零點的個數(shù).

②，對。進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得。的取值范圍.

【詳解】①，當(dāng)"1時，?。?卜（一）（…,a，

[x<1

由解得x=0；

[2—1=U

[x>\

*[4（x-l）（x-2）=0,解得》=1或尤=2.

綜上所述，/（x）的零點個數(shù)有3個.

②，當(dāng)x<l時，/（%）=2，一。在區(qū)間（-雙1）上單調(diào)遞增，

值域為無最值.

當(dāng)時，/(X)=4(X—Q)(X—2Q),

開口向上，對稱軸為片與=>

4—ci-a—ci-2a=—a1,

ao

2

當(dāng)尤=時，/(x)min=/(l)=4(l-a)(l-2a)=8?-12?+4,

答案第5頁，共13頁

則8/-12。+44-a,8a2-llo+4<0?,

ii7

〃（Q）=8Q2—11Q+4的開口向上，對稱軸為〃=一>-,

163

哈］=8義4-Hx1+4=?->0,貝U①不成立.

當(dāng)x=|a>l,a>g時，/"L=,

貝!］—/<—a,/—Q=a（Q—］）20,解得a21.

綜上所述，a>\.

故答案為：3；a>l

15.①②④

【分析】根據(jù)%+產(chǎn)％（1-4）以及％=（即可得進而得4包=1-d<i,即可判斷

a

2n

1111

PR-----T=-----T+---T之2,利用累加法求和即可判斷④.

1]33

[詳解]由％=5，%=%%（1_"[）==&e（0,1）,

進而可得%=出（1-嬉）e（O,l）,結(jié)合％=%（1-說），以此類推可得0<%<1,

故4^=1-d<l,故0<。用<?！?lt;1,故①②正確，③錯誤,

an

1_1

由〃〃+1=?！ㄒ欢丝傻脧S=//[，故

/、

J____1_=X]J21_《：2一-1+]]

■丁?。?-團「（1-肅一（1-肅一（一；/匚至

由于0<a；<g,故1>1一d2g,進而可得〃=1一片,1>“之；,1<?W2故

11（11\

+-+2

FnFnl\Fn2/\4-

、

>2（H-1）,故4一~y>2（?-1）^>^->2w+2,

%a\an

7

1故片wJ三，故④正確,

當(dāng)〃=1時,

2n+22n+2

答案第6頁，共13頁

故答案為：①②④

【點睛】關(guān)鍵點點睛：P一一滔=7,一不+匚利用累加法求和.

16.(1)最小正周期為兀，/^=1

⑵G

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.

(2)利用題意把線段長度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.

【詳解】(1)/(x)=2sin(7t-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,

所以=sin5=1,/(x)的最小正周期為］=九

(2)由題意可知,兩點的坐標為?,/(。),?,g(。),

Ijjlj\MN\=|/(/)-g(0|,即\MN\=sin2%-cos12/+^j,

=sin2/一cos2,-gsin22)

故|MN|=sin2,一cos2/+一

I6

=—sin2/----cos2/=，3sm2t

22||I6j

._...八兀r-Lr、tc兀兀5兀

因為fe0,-,所以

2666

7T

所以|MN|在/e0,-時的最大值為G.

271I—

17.(1)C=,c=2A/3

⑵百

【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長即可.

(2)首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時利用余弦定理結(jié)合給定條件求解

面積即可.

【詳解】(1)由力+4-‘2=一岫和余弦定理可得cosC=礦+"一｝=-

2ab2

2兀

因為C為V/3C的內(nèi)角，所以Ce(0,7T),故。=胃，

答案第7頁，共13頁

由bsinC=2Gsin3變形得上=交，由正弦定理得c=2g.

sinBsinC

(2)選擇條件①：b=4,

4_273

由正弦定理得sin^—V3，解得sinB=l,

~T

TT

因為8為V4BC的內(nèi)角，所以3e(0,?t),故2=萬，

與c=三771相互矛盾，故不存在這樣的三角形，

所以我們不選擇條件①，

選擇條件②：6sinC=百，

因為6sinC=V3,C=——,所以6x=^3>

32

14+/72-17

解得6=2,由余弦定理得-人=4+"",

22x^x2

化簡得。2+2。一8=0,解得〃=2或。=-4(舍)，

所以$△皿：=；劭sinC=g.

選擇條件③：COSB=2,

2

八1

因為cos8=—,所以sin5=u.

22

因為6sinC=2gsin8,所以6=2,

由余弦定理得"="+12。,化簡得/一6a+8=0.

22ax2g

解得。=2或Q=4,當(dāng)。=4時，V/BC是直角三角形，與題干不符，故排除，

所以&.=；a6sinC=V^

1

18.(1)??=2",bn=n

小、21

(2)—4"+n+n~-

【分析】(1)先由數(shù)列｛4｝的前"項和S"和通項?！钡年P(guān)系式求出相鄰項之間的關(guān)系,

判斷出數(shù)列｛an｝的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式即可求解；

(2)利用分組求和法及公式法進行求和即可.

【詳解】(1)解：因為S,=2%-1,“eN*,①

答案第8頁，共13頁

所以有。1=1，S”+1=2%+1-1.②

②-①得%+i=2%("eN)

所以數(shù)列｛%｝成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)歹U.

所以%=2—

又數(shù)列也｝是等差數(shù)列，且…,仇+"=6.

所以4=1,d=\.

所以6“=n.

%,"為奇數(shù),

(2)因為%=

〃為偶數(shù),

設(shè)數(shù)列仁｝的前2〃項和為凡，

所以%,=%+3+%+d+…+?2?-1+b2rl

=(fll+/+…+&2"-1)+。2+d+??,+&)

=2°+22+---+22"-2+2+4+---+2n

4"21

=----hn~+n——.

33

19.⑴a=4,6=24.

(2)x=2,最小值為8,x=0,最大值為24.

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)極值點及極值可求6的值；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論其符號后可得單調(diào)性，從而可求何時取何最值；

(3)可證曲線上任意點關(guān)于(0,24)的對稱的點仍在曲線上，從而可得曲線的對稱性.

【詳解】(1)/(x)=3/-3a,

由題意函數(shù)/(x)在x=2處取得極小值8得，

ff'(2)=12-3a=0,

[f(2)=8-6a+b=8,

解得a=4,6=24.

此時/'(X)=3X2T2=3(X-2)(X+2),

答案第9頁，共13頁

當(dāng)x<-2或x>2時，/'(久)>0，當(dāng)一2<x<2時，f'(x)<0,

故x=2為/(x)的極小值點，故。=4,6=24滿足條件.

(2)由(1)分析列表得：

X0(0,2)2(2,3)3

f，3-0+

f(x)24單調(diào)遞減8單調(diào)遞增15

所以當(dāng)x=2時/(%)取得最小值為8,x=0時取得最大值為24.

(3)曲線.=/(x)的對稱中心為(0,24),證明如下：

設(shè)點口加,”)為曲線了=/(x)上任意一點，則點尸(根,〃)關(guān)于(0,24)的對稱點為(-九48-"),

因為在>=/(x)圖象上，

所以R=〃/-12加+24.

又(一機了-12(-/?)+24=48-M,

所以點(-"7,48-")也在7=/&)圖象上.

所以曲線y=〃x)是中心對稱圖形.

20.(l)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為g,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為(o,￡|;

(2)證明見解析；

⑶a>4-Ve.

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；

(2)將。=-1,利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；

(3)將問題轉(zhuǎn)化為=r在區(qū)間(1,+哈上有兩個不同的解，即。=2x+4在區(qū)間(1,+功

Inx

上有兩個不同的解，設(shè)〃。)=2芯+4，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

Inx

【詳解】⑴當(dāng)〃=0時,/(x)=2xlnx,/(x)的定義域為(0,”).

f\x)=21nx+2，

令/'(x)=2lnx+2=0,解得x=L

e

當(dāng)x>!時，r(x)>o,〃x)單調(diào)遞增，

e

答案第10頁，共13頁

當(dāng)0<x/時，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減.

e

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為g,+e],單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)當(dāng)。=一1時，/(x)=(2x+l)lnx,/V)=21n%+2+-.

X

設(shè)曲線了=/(x)的切點為億/⑺)(/>0),

貝U切線方程為y-(21+l)hU=(21nf+；+2}x-f),

假設(shè)切線過原點，則有-⑵+1)Inf=2Inf+：+2)(V),

整理得：lnZ-2/-l=0.

令g?)=ln"2，—1,貝叱.)=；_2.

所以當(dāng)時，g'?)<0；當(dāng)fe(0,￡|時，g'(f)>0；

所以g?)在(；，+紇[上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以對任意00,g(f)<gQ^|=-ln2-2<0,

所以方程lnf-2f-l=0無解.

綜上可知，曲線>=/(x)在點的(?,/(/))切線不