多邊形的面積幾何模型篇之等高模型-2024-2025學(xué)年蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題（解析版）

2024-2025學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列

第二單元多邊形的面積?幾何模型篇?等高模型【六大考點(diǎn)】

函【第一篇】專題解讀篇

目專題名稱第二單元多邊形的面積幾何模型篇?等高模型

邕專題內(nèi)容本專題以等高模型為主，其中包括六種常見(jiàn)問(wèn)題。

回總體評(píng)價(jià)★★★★★

京講解建議幾何模型篇是用來(lái)專門總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)幾何模型的特別篇章，

其中大多數(shù)涉及奧數(shù)思維拓展內(nèi)容，綜合性極強(qiáng)，難度極大，

因此，建議根據(jù)學(xué)生實(shí)際掌握情況和總體水平，選擇性講解

部分考點(diǎn)考題。

品考點(diǎn)數(shù)量六個(gè)考點(diǎn)。

匿匿【【第第二二篇篇】】目目錄錄導(dǎo)導(dǎo)航航篇篇

30【考點(diǎn)一】等高模型問(wèn)題一：基礎(chǔ)應(yīng)用........................................3

【考點(diǎn)二】等高模型問(wèn)題二：進(jìn)階應(yīng)用........................................4

30【考點(diǎn)三】等高模型問(wèn)題三：利用中點(diǎn)構(gòu)建多個(gè)等高模型（中點(diǎn)）...............6

30【考點(diǎn)四】等高模型問(wèn)題四：利用三等分點(diǎn)構(gòu)建多個(gè)等高模型（三等分點(diǎn)）.......8

30【考點(diǎn)五】等高模型問(wèn)題五：多個(gè)等高模型的應(yīng)用（多次等分）.................9

30【考點(diǎn)六】等高模型問(wèn)題六：等高模型在分割圖形中的應(yīng)用....................14

Qj【第三篇】典型例題篇

30【考點(diǎn)一】等高模型問(wèn)題一：基礎(chǔ)應(yīng)用。

■【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(等積模型)。

(2)若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

(3)若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2BD,則三角形ADC的面積等于三角形ABD的2倍。

如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線長(zhǎng)，三角形ABC

底邊BC邊上的高AE長(zhǎng)9厘米。

(1)求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？

(2)求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？

A

解析：

BD的長(zhǎng)度是CD的3倍，而對(duì)于4ABD與4ADC高相等，所以AABD的面積

>AADC的3倍。同理BC的長(zhǎng)度是CD的4倍，所以4ABC的面積是AADC

的4倍。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

如圖，求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的幾倍？三角形ABC的面積是

三角形ADC面積的幾倍？

解析：

BD是CD的3倍。所以SZ\ABD=3SZ\ADC；

BC是CD的4倍。所以S4ABC=4SZiADC

【考點(diǎn)二】等高模型問(wèn)題二：進(jìn)階應(yīng)用。

■【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(等積模型)。

（2）若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍,

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

（3）若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍,

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2BD,則三角形ADC的面積等于三角形ABD的2倍。

A

【典型例題】

2

如圖，在aABC中，CD=2BD,SAABD=20cm,求SZ!\ABC。

2

解析：SAABC=20X(1+2)=6(cm)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

如圖，在aABC中，AD=2cm,CD=3cm,已知SAABD=12CDI2,求SZkABC。

2

解析:SAABC=12-2X(2+3)=30(cm)

【考點(diǎn)三】等高模型問(wèn)題三：利用中點(diǎn)構(gòu)建多個(gè)等高模型（中

o

A【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等（等積模型）。

（2）若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

（3）若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2BD,則三角形ADC的面積等于三角形ABD的2倍。

如圖，在AABC中，BD=CD,AE=CE,已知S^BC=12cm2,求SADEC

解析：SMDE=12+2+2=3(cm2)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，在AABC中，BD=CD,AE=CE,已知SmBC=8cm2,求S―DE

A

解析：SAADE=8+2+2=2(cm2)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

如圖,在aABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn),已知S.DE=8cm2,

求SAABC-

角星析：S△ACD~8X2X2—32(cm?)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

2

如圖，在AABC中，BD=CD,DEIAB,BE=DE,AB=9cm,SAABC=36cm,

求SAADE-

S/kABD=36+2=18(cm2)

BE=DE=18x2+9=4(cm)

SAADE=(9-4)x4+2=10(cm2)

【考點(diǎn)四】等高模型問(wèn)題四：利用三等分點(diǎn)構(gòu)建多個(gè)等高模型（=

等分點(diǎn)）。

A【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等（等積模型）。

（2）若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

（3）若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2BD,則三角形ADC的面積等于三角形ABD的2倍。

如圖，在AABC中，AD=CD,AE=3BE,已知S^ABC=144cm2,求S^BDE.

2

解析:SABDE=144-2-(1+3)=18(cm)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，在AABC中，AD=CD,BE=3AE,已知S.DE=24cm2,SAABC

角星析：SAABC=24-^3X(1+3)x2=64(cm2)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

如圖，在AABC中，AD:CD=3:1,AE:BE=3:1,已知S4ABC=48cm2,求S^BDE.

2

解析:SABDE=48-(1+3)x3+(1+3)=9(cm)

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3]

如圖，在AABC中，CD=2BD,CE=3AE,已知S^ADE=6cm2,求S―BC

解析：SAABC=6X(1+3)+2x(1+2)=36(cm2)

【考點(diǎn)五】等高模型問(wèn)題五：多個(gè)等高模型的應(yīng)用(多次等分)。

，【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等（等積模型）。

（2）若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

（3）若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2BD,則三角形ADC的面積等于三角形ABD的2倍。

已知三角形ABC的面積為60平方厘米，D為BC中點(diǎn)，AE=2ED,F為EC

的四等分點(diǎn)中靠近C的一點(diǎn)，那么陰影三角形AEF的面積是多少平方厘米？

【答案】15平方厘米

【分析】三角形ABC和三角形ACD的高是相等的，且D是BC的中點(diǎn)，因此

CD=|BC,所以三角形ACD的面積等于三角形ABC面積的;；又因?yàn)槿?/p>

2

形ACD和三角形ACE的高相等，且AE=2ED,所以AE=§AD,因此三角形

2

ACE的面積等于三角形ACD面積的］；三角形ACE和三角形AEF的高相

等，且F為EC的四等分點(diǎn)中靠近C的一點(diǎn)，因此EF=；CE,所以陰影三角形

AEF的面積等于三角形ACE面積的I，據(jù)此解答。

【詳解】由分析得：

三角形ACD的面積：1x60=30（平方厘米）

三角形ACE的面積：$30=20（平方厘米）

三角形AEF的面積：-x20=15（平方厘米）

答：陰影三角形AEF的面積是15平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用，兩個(gè)三角形的高相同時(shí)，一個(gè)三角

形的底是另一個(gè)三角形底的幾分之幾，這個(gè)三角形的面積就是另一個(gè)三角形面

積的幾分之幾。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

將任意一個(gè)三角形的面積四等分，你有幾種方法？

［答案］

BDEFC

BC

DEF

【詳解】試題分析：將任意一條邊四等分，利用等底等高的三角形面積相等可

以解決；還可以利用線段的中點(diǎn)去做.

解：如圖

A

BDEF

A

方法1：在已知AABC的任意一邊（假設(shè)BC邊）上取三個(gè)四等分點(diǎn)D,E,

F,順次連接AD,AE,AF,這樣就將AABC分成了面積相等的四個(gè)小三角

形，如上面第一幅圖.

方法2：在已知AABC的任意一邊（假設(shè)BC邊）上取三個(gè)四等分點(diǎn)D,E,

F,用實(shí)線連接AD,AE（或AD,AF或AE,AF）,用虛線連接AF（或AE

或AD）,然后在AF（或AE或AD）上取中點(diǎn)G,用實(shí)線連GE,GC（或

GD,GF或GB,GE）,這樣AABC中的實(shí)線將其分成了四個(gè)面積相等的圖

形，如上面第二幅圖.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查：①等底等高的三角形的面積相等；②等量加等量和相

等.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

將任意一個(gè)三角形的面積五等分，你能找到兩種方法嗎？請(qǐng)你在下面圖（1）、

（2）中試試。還有第三種、第四種方法嗎！如果有，可以在圖（2）旁邊畫畫

【分析】利用等底等高的三角形面積相等，可以將三角形的一條邊或三角形上

的其他連線五等分，再與相對(duì)的頂點(diǎn)相連即可。

【詳解】由分析可知，如圖所示：

【點(diǎn)睛】此題主要考查等底等高的三角形面積相等。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3]

如圖，在三角形ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，可知AD=BD,則三角形BCD

與三角形ACD的面積相等。

D

(1)如圖①，在三角形ABC中，D、E分別是AB和AC兩邊的中點(diǎn)。已知三角

2

形ADE的面積是2cm2,則三角形ABC的面積是()cmo

(2)如圖②，在三角形ABC中，把AB邊三等分'AC邊四等分。已知三角形

2

ADE的面積是2cm2,則三角形ABC的面積是()cmo

(3)如圖③，在平行四邊形ABCD中，把AB邊五等分、AD邊六等分。已知平

2

行四邊形ABCD的面積是15cm2,則三角形AEF的面積是()cmo

【答案】(1)8

(2)24

(3)0.25

【分析】(1)根據(jù)題意，推理出因?yàn)镋是AC邊的中點(diǎn)，所以三角形ADE的

面積等于三角形CDE的面積。又因?yàn)镈是AB邊的中點(diǎn)，所以三角形BCD與

三角形ACD的面積相等。那么用三角形ADE的面積乘2,先求出三角形ACD

的面積。再將三角形ACD的面積乘2,即可求出三角形ABC的面積；

(2)同理(1)可推出，把AC邊四等分，那么三角形ADE的面積是三角形

ACD面積的四分之一。把AB邊三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三

分之一。據(jù)此，將三角形ADE的面積先乘4,求出三角形ACD的面積。再將

三角形ACD的面積乘3,求出三角形ABC的面積；

(3)將平行四邊形的面積除以2,先求出三角形ABD的面積。再將三角形

ABD面積除以5,求出三角形ADE的面積。最后再將三角形ADE的面積除以

6,即可求出三角形AEF的面積。

【詳解】(1)2x2x2

=4x2

=8(cm2)

所以，此時(shí)三角形ABC的面積是8cm2。

(2)2x4x3

=8x3

=24(cm2)

所以，此時(shí)三角形ABC的面積是24cm2。

(3)15+2+5-6

=7.5+5+6

=1.5+6

=0.25(cm2)

所以，此時(shí)三角形AEF的面積是0.25cm2o

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是理解題干中的理論，應(yīng)

用新方法去求三角形的面積。

30【考點(diǎn)六】等高模型問(wèn)題六：等高模型在分割圖形中的應(yīng)用。

■【方法點(diǎn)撥】

1.等高模型。

兩個(gè)三角形共用一個(gè)頂點(diǎn)，底邊在同一條直線上，這兩條底邊對(duì)應(yīng)的高相等，

因此，這個(gè)模型被稱為“等高模型”。

2.解題方法與原理。

三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底義高+2,從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三

角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。

(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(等積模型)。

(2)若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

(3)若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，

那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

例：如圖，如果DC=2B