高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圓錐曲線離心率（解析版）

專題20圓錐曲線離心率

圓錐曲線離心率是高考數(shù)學(xué)命題中“永不消失的電波”，每年高考數(shù)學(xué)題中總是離不開圓錐

曲線的離心率問題.為什么會如此呢?其一，離心率是圓錐曲線的重要幾何特征;其二，圓錐曲線

的離心率與其他基本量聯(lián)系密切,容易產(chǎn)生知識交匯;其三，離心率與非解析幾何知識相融合

可以檢測學(xué)生的綜合分析能力.圓錐曲線離心率就是橢圓、雙曲線的離心率,但由于橢圓、雙

曲線可以與平面幾何中的三角形、四邊形、圓等結(jié)合，許多幾何性質(zhì)疊加在一起，使應(yīng)試者一

時找不到突破口，形成思維卡殼點(diǎn)，必須尋找排除痛點(diǎn)的有效途徑.

一、充分挖掘幾何圖形中幾何性質(zhì)

問題1：如圖1,已知橢圓9+5=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,1豆尸21=W6P是y

軸正半軸上一點(diǎn),P&交橢圓于點(diǎn)力，若伍1P&,且A4PF2的內(nèi)切圓半徑為冬則橢圓的離心

率為()

A.-B與C.等

4D.雷

【解析】卡殼點(diǎn):對圖形中幾何性質(zhì)的挖掘成為障礙.

應(yīng)對策略:把直角三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)與橢圓幾何量之間建立聯(lián)系.

問題解答:設(shè)46=r1,AF2=r2.

先挖掘信息”△APF2的內(nèi)切圓半徑為日..

因為=PA+q,又PF?=PA+上一企,所以萬一G=四①.

再挖掘信息1P0"得博+號=10②.

由①②可得r2rl=4.

故（上+q）2=（r2—q）2+4r2rl=18,r2+=3V2=2a,2c=JIU,所以e=口故選B.

【反思】（1）通過挖掘問題中的平面幾何圖形來構(gòu)造或列舉a,6,c的關(guān)系式，這是離心率問題中

最常見的類型之一.掌握平面幾何圖形的特征與相關(guān)性質(zhì)是高考的基本要求.

（2）本題關(guān)鍵是挖掘出平面幾何知識“直角三角形的內(nèi)切圓的半徑長等于兩直角邊之和減去

斜邊長的一半”，再加上“直角三角形中的勾股定理”，從而突破障礙.

二、等價轉(zhuǎn)化探求離心率不等式

問題2:如圖2,己知雙曲線—箕=l（a>0,b>0）,4,4是雙曲線的頂點(diǎn)尸是右焦點(diǎn)，點(diǎn)

8（0,b）,若在線段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)P&=1,2）,使得△PA4構(gòu)成以線段44

為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（）

A.（VX等）B.（.,+8）C.（l,學(xué)）D.（V2,+°o）

圖2

【解析】卡殼點(diǎn):不理解題設(shè)條件中隱藏的幾何性質(zhì).

應(yīng)對策略:多角度理解題意，將目標(biāo)層層轉(zhuǎn)化.

問題解答:條件“若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)P&=1,2）,使得△^414構(gòu)成以

線段44為斜邊的直角三角形”可轉(zhuǎn)化為“以&&為直徑的圓與線段8尸有兩個交點(diǎn)”，即轉(zhuǎn)

%2+V2=Q?

Lyl「‘有兩解”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“圓心（o,o）到線段匯+^=c）的距離小

—I--=1C0

{cb

于半徑a”,最后轉(zhuǎn)化為<*+*且b>a（否則只會有一個交點(diǎn)）”，即“e4一3e2+1<0且

e>V2W,SPe>&且e2<竽.故選擇A.

【反思】（1）本題題設(shè)的幾何條件代數(shù)化的轉(zhuǎn)化過程是漫長的，先“由形到數(shù)”，再“由數(shù)到形”,

多次轉(zhuǎn)化才破解問題.

（2）必須了解直線與圓有兩個交點(diǎn)的代數(shù)意義，且了解方程組有兩解所呈現(xiàn)的幾何意義.

（3）離心率問題就是要找到圓錐曲線基本量a,b,c之間的代數(shù)關(guān)系式（等式或不等式）.

三、定義況性質(zhì)建立離心率方程

離心率是橢圓與雙曲線的重要的幾何性質(zhì)之一，它離不開橢圓與雙曲線的定義（基本定義與

第二定義等），只有把問題中涉及定義的內(nèi)容做精做細(xì)，才能找到基本量a,6,c之間的數(shù)量關(guān)系.

22

問題3:如圖3,已知雙曲線C曝一色=1的左、右焦點(diǎn)分別是&尸2,過點(diǎn)尸2且傾斜角為60。的直

線與雙曲線的右支交于點(diǎn)4,8,若△TlBFi為等腰三角形，則雙曲線C的離心率是()

A-1+V13D1+V13c-14-^/13-1x1+713c1+V3

D.取----

A.---2----2--C.---2--2D.---2----

【解析】卡殼點(diǎn):對題設(shè)中的等腰三角形不會分類思考.

應(yīng)對策略:對等腰三角形的兩腰分類分析.

問題解答:解法1丁2-G=2afr3-r4=2a,由對稱性知&AWF】B.

若F/=A凡即73=q+Q,則G=2a,r2=4a.

由余弦定理知母=r+(2c)2—2xx2ccosl20°,BP3a2—c2—ac=0,所以e=言相.

若FM=AB,即廠2=q+Q,則丁3=4a,Q=2a.

由余弦定理知母=療+(2c)2—2xqx2ccos60。,即3。2—c2+ac=0,所以e=li尹.

又2<遮，所以選擇A.

a

解法2目標(biāo)優(yōu)先思維，由對稱性知豐&B,所以只有另兩種情形，但必須滿足￡<百,所以選

擇A.

【反思】對于特殊三角形，要抓其本質(zhì)特征進(jìn)行分類討論，解法2能秒殺關(guān)鍵在于從“形”上

分析.

四、幾何代數(shù)法共尋離心率

22

問題4:如圖4,已知點(diǎn)F為橢圓￡橐+a=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)“為圓。:/+外=匕2上

一動點(diǎn)(y軸右側(cè))，過點(diǎn)M作圓。的切線，交橢圓于4B兩點(diǎn)，若△力8F的周長為3b,則橢圓E的離

*C?率為.

y

圖4

【解析】卡殼點(diǎn):小題大做，跳入思維火坑不能出來.

應(yīng)對策略油繁雜運(yùn)算至簡單運(yùn)算的過程中，守找不同的思維切入點(diǎn).抓住焦半徑思考是一個

智慧點(diǎn).

問題解答:解法1(考慮切點(diǎn)、切線的特殊性，結(jié)果跳入火坑)

當(dāng)點(diǎn)M為(仇0)時=子,AF=BF=J㈢2+口_4，

則2J管)+(c—b)2+拳=3b,即4[(bc)2+(c—b)2a2]=(2bc—3ab產(chǎn)

整理得-12b2c+5b2a+8abc—4ac2=0,

兩邊同除以。3,得-12g)2e+5(￡)2+8C)e-4e2=0,

即12e3-12e-9e2+5+8eVl-e2=0.

將e=手代人驗算知滿足題意.

【反思】此處雖然考慮一種特殊位置關(guān)系,但運(yùn)算太復(fù)雜，且最后的方程無法求解.

解法2(小題大做,結(jié)果發(fā)現(xiàn)一條性質(zhì))

設(shè)直線=kx+由其與圓。相切可得6=萼，所以M=b2+b2k2.

Vl+k2

不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，則k<0,m>0,故m=hVl+fc2.

將y=fcx+zn代人橢圓方程得(Mi_|_62)%2_|_2a2kmx+a2(m2—Z)2)=0.

整理得(a2k2+力2)%2+2a2kby/l+k2x+a2b2k2=0.

設(shè)人(久1，月),8(%2，丫2)，則+%2=_2。：卷::::△=4a2b2c2k2

7

故％—冷|=—-翳懵，|力用=-2a鬻^

11z1a2k2+b211a2k2+b2

由焦半徑公式可得|/F|+\BF\=a-ex+a-ex=2a-\-之。；零：：

r2F.

從而|4F|+\BF\+|AB|=2a,由題設(shè)知2a=3b，故e=當(dāng)

解法3(幾何代數(shù)一起挖掘,結(jié)果尋找到一個簡捷途徑)

設(shè)/(%"1),8(%2，丫2)，%1＞。,％2＞。，

222

順ZM|=y/\OA\—b—'好+y/一岳=J好+「(i_意_b2—exr,

\AM\+\AF\=exr+a—exr—a.

同理可得+\BF\=ex2+a—ex2=CL.

從而|/尸|+\BF\+\AB\=2a.

由題設(shè)知2a=3b,故e=與

解法4(參數(shù)化表達(dá)，三角運(yùn)算化解)

設(shè)F(c,0),4(acos3lfbsin%),B(acos32,bsing),

2222222

則|AM|=y/\OA\—b=A/acos01+bsin^1—b=ccos01,

222

\AF\=y/(acos61—c)+bsin^1

222222

=A/acos01—2CZCCOS01+c+(a—c)sin31

222

=^/a—2accos61+ccos01=a—ccos6lf

\AM\+|”|=a.

同理可得|BM|+\BF\=a.

從而|4尸|+\BF\+\AB\=2a.

由題設(shè)知2a=3b,故e=當(dāng)

【反思】(1)面對小題時，特殊化思維雖然是一條解題途徑，但并非是一條能夠迅速達(dá)到目標(biāo)的

最佳路徑，因此，遇到障礙時，要及時修正，開辟新的思路.

⑵積累圓錐曲線的一些性質(zhì)和一些相關(guān)的智慧點(diǎn)是數(shù)學(xué)高考應(yīng)試的技巧之一.

(3)清圓錐曲線的本質(zhì)特征，善于從幾何與代數(shù)兩個角度思考，從圓錐曲線的定義去思考并鏈

接，可以找到快速求解的途徑，解法3是最好的說明.

五、先建切線方程減少運(yùn)算量

問題5:簡化的奧運(yùn)會主體育場的“鳥巢”鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖5所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離

心率相同的橢圓，外層橢圓方程為7^7+7^7=1(。>b>0,m>1),頂點(diǎn)

(may(mby、'

A(jna,0),B(0,附,向內(nèi)層橢圓9+2=1引切線AC,BD,若切線4C與的斜率之積為—看,

則橢圓的離心率是.

【解析】卡殼點(diǎn):代數(shù)式運(yùn)算力不足.

應(yīng)對策略:利用橢圓上點(diǎn)的切線方程,減少運(yùn)算量.

問題解答:設(shè)。01多),。3,光),則C4,+簧=1①,

：

BDWa2+胃b2=1

把a(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)代人①式,B點(diǎn)坐標(biāo)代人②式得久i=[,%=*

將式】,光的值分別代人橢圓方程可得當(dāng)=小T'X2=a}T.

卷=T7m:=即％=

由題思知k/ckpDmcl

故02=1-看=看解得e=%

【反思】(1)此題的另一種解法，運(yùn)算量就大得多.設(shè)內(nèi)層橢圓方程為捻+5=1,外層橢圓方程

22

為(/)2+焉羽=1(。>b>0,m>1),則/(zn0O),8(O,znb).

設(shè)切線/C的方程為y=k](x-zna),切線8。的方程為y-mb=k2x.

由"J"'[。，’消去y得(川+M般)％2_2ma3klx+7712a4蜉_(如/=0.

△=(—2?71a3苗)2_4(fo2+a2kl)[m2a4kl—(ah)2]=0,得般=匕?瓶二.

2222222

同理由，(“：)+("')〃一’消去y得(爐+a/c：2)x+2mbak2x+mab—(ah)=0.

ly=凡2%十

A=(2mba2k2)2—4(b2+a2k^im2a2b2—(ah')2]-0,得廄=(m2—1).

所以―2=_g,即g=2,故e2=i-2=2_，解得e=-.

16a2a21616164

(2)本題是用數(shù)學(xué)眼光觀察世界理念的產(chǎn)物，從北京奧運(yùn)會的著名建筑“鳥巢”的設(shè)計信息中

提煉抽象出這樣一個數(shù)學(xué)問題.

六、把垂直關(guān)系用活求離心率

用代數(shù)方法解決幾何圖形中的問題，這是解析幾何的基本研究方法，所以離心率問題也離不開

代數(shù)變形、方程求解、不等式求解,挖掘幾何性質(zhì)或利用定義只是為了減少運(yùn)算而不是完全

去掉運(yùn)算，所以在繁雜的數(shù)量關(guān)系中，一定水平的運(yùn)算能力是解決問題的基本功.

22

問題6:已知直線〃y=x+1與曲線琶=l(a>0,6>0)交于不同的兩點(diǎn)4,8,。為坐標(biāo)

原點(diǎn).

(I)若|OA|=|OB|,求證:曲線C是一個圓；

(II)若OA1OB,當(dāng)a>b且a6惇，手]時,求曲線C的離心率e的取值范圍.

【解析】卡殼點(diǎn):題設(shè)中幾何條件的轉(zhuǎn)化成為一個障礙.

應(yīng)對策略:充分利用兩點(diǎn)坐標(biāo)A(Xi，y)B(X2，y2),當(dāng)OA1OB時，得到x或?+y1y2=0.

問題解答:。)證明:設(shè)直線1與曲線C的交點(diǎn)為A(Xi，y)B(X2，y2).

因為|OA|=|OB|,所以Jx亥+資=Vx2+y^BPxi+Yi=x2+月

所以蜉-x名一箝.

因為點(diǎn)A,B在曲線C上,所以胃+吟=1,當(dāng)+,=1.

azbzazbz

兩式相減得好一x芻=告例一Y1).

所以[=1,即a2=b2.

故曲線C是一個圓.

(II)設(shè)直線1與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,yj,B(X2,y2).

因為a>b>0,所以曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.

因為OA1OB,所以沮■—=一1,即yiy2=-XiX2.

X1X2

將丫=x+1代人b?x2+a2y2—a2b2=0,整理得(b?+a2)x2+2a2x+a2-a2b2=0.

匕匚2a2a2(l—b?)

所以X1+X2=-薪,X】X2=小1.

因為點(diǎn)A,B在直線1上，所以%丫2=(Xi+l)(x2+1)=XiX2+Xi+x2+1.

又因為y1y2=一X1X2,所以2X1X2+xt+x2+1=0.

所以2?駕券—畀+1=0,所以a?+b2—2a2b2=0,

az+b2az+b2

即a?+a2—c2—2a2(a2—c2)=0,

整理得2a4-2a2+c2-2a2c2=0,所以c?=2az(廣。

2az-l

故e24=W9=-1

2a2-l*

因為a6惇,所以2a2-1e[2,4],所以1—2aLC圖，故臼碧.

【反思】為了尋找離心率的范圍,題中給出某一個幾何量的變化范圍，本身就是一個提示，建立

離心率與此幾何量的關(guān)系是目標(biāo),也是智慧點(diǎn).

強(qiáng)化練習(xí)

1.若離心率為e1的橢圓與離心率為e2的雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓長軸的端點(diǎn)、短軸的端點(diǎn)、

焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離依次構(gòu)成等比數(shù)列，則署等于（）

11

A.一生B.-CoC.---D.---

e2

【解析】由題意知q=八=要竺=也&=淄4=外,43=修竺=b2.

Ja2+b2%J送+必&J磅+狀

22

從而（等）=等,歷,即a六而—虛）=。遙2（或-a力兩邊同除以於得第|=一故選A.

【反思】三個點(diǎn)到一直線的距離間有等量關(guān)系，因此為尋找兩曲線離心率間的關(guān)系指出了方

向.

2.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,若1與雙曲線捺-卷=l（a>0,b>0）的兩條漸近線

分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|0F|（0為原點(diǎn)）,則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【解析】拋物線外=4x的焦點(diǎn)為F（l,0）,準(zhǔn)線為-=-1,\AB\=4|0F|=4.

因為4（一1,?,所以5=2,

e2=1+g）2=5,選擇D.

【反思】對條件“|AB|=4|0F|”的挖掘是關(guān)鍵.

2

3.如圖,F],F2是橢圓Civ：?+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)AB分別是Ci，C2在第二、四象限的

公共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（）

A.V2B.V3C,-D.—

22

第3題圖

【解析】解法1思維進(jìn)人一般方法時:由題意。82=3,

a23Q-a2

一

則有＜丁=1解得《

%2+y2=3

所以2—17-3,整理得d-6Q2+8=0,解得彥=2或小=4(舍去)，選擇D.

a"3-uz

解法2思維進(jìn)人定義時:由題意c=3,AF2+AF1=4,4尸2-4&=2a,解得力F2=2+a,AF1=

2-a.又4呼+2昭=6昭，得a=2,e=奈選擇D.

【反思】把題設(shè)條件中圖形的幾何性質(zhì)挖掘出來.

4.(1)如圖1,已知雙曲線=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,虛軸的上端點(diǎn)為

B,線段AB與漸近線交于點(diǎn)M,若FM平分/BFA,則該雙曲線的離心率e等于()

A.1+V3B.l+V2C.V3D.V2

(2)如圖2,A,F分別是雙曲線C:||—，=l(a,b>0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線I與雙曲

線C的一條漸近線垂直，與另一條漸近線和y軸分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q.若AP1AQ,則C的離心率是

()

A.&B.V3C.1D.1

第4題圖2

【解析】⑴AB：X=l,OM:y=',;ab

2‘2.

故M為4B的中點(diǎn)，從而判斷△力BF為等腰三角形,BF=FA,^c2+b2=a+c,

所以e?-2e-2=0,解得e=2+^=1+百,選擇A.

(2)“c,0),c2=bxFQ,FQ=9,OQ=jg-c2=表PQ4+案=1,

~abc-0

聯(lián)立方程北工U解得MW言），于是。2標(biāo)U=—1,整理得2M+ac—

a2c

2c2=0,解得e=1，選擇D.

【反思】抽象字母的代數(shù)式運(yùn)算是基本功，在圓雉曲線運(yùn)算中涉及方程組求解、繁分式運(yùn)算

都是常事，首先內(nèi)心要接受，其次努力去化簡，運(yùn)算智慧是關(guān)鍵.

5.如圖，已知雙曲線謂一\=l（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點(diǎn),Q

為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q均位于第一象限，且2茄=第，肅.逋品，則雙曲線C的離

心率為（）

A.V3-1B.V3+1C.V13-2D.V13+2

第5題圖

【解析】設(shè)F2(c,0),QD),

2

22

由“"謳-QF2=0”得償)=(C-X)(x+c)=c-x,

解得x=a,所以Q(a,b),從而得P(等,g).

又點(diǎn)P在雙曲線上，所以(罷丫一管了=1,化簡得(e+2)2=13,選擇C.

【反思】(1)一是挖掘幾何條件，即將幾何條件代數(shù)化;二是運(yùn)算中不能出錯，細(xì)心細(xì)心再細(xì)心，

代入時要細(xì)心，計算時要細(xì)心，一步一步做，不要跳步，要在草稿紙上留下痕跡，以便核對.

(2)解析幾何問題以運(yùn)算繁雜為主要特征,因為運(yùn)算要涉及運(yùn)算方向、運(yùn)算規(guī)則、運(yùn)算次序，稍

有一點(diǎn)出錯，就可能導(dǎo)致解題失敗.

6.已知橢圓C:1+《=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點(diǎn)，且NF1PF2=

a2bz

事若點(diǎn)Fi關(guān)于/F1PF2平分線的對稱點(diǎn)在橢圓C上,則橢圓C的離心率為.

【解析】本題容易設(shè)點(diǎn)運(yùn)算進(jìn)人復(fù)雜思路，難以自拔.

事實上,為正三角形,由于點(diǎn)P的任意性，考慮特殊化情形，即PQ為通徑時，如答圖.

第6題答圖

可得食=tan-=遺，所以廿=逋,

2c63ac3

即2—e=2,整理得e2+型!e—1=0,解得e=

e333

【反思】(1)對圓雉曲線小題題設(shè)的每一個信息都要把握，缺一不可，否則思維就要受阻，一定要

從幾何圖形上去挖掘，從特殊化上去挖掘，從定義上去挖掘,一旦進(jìn)入實際計算，就會有新會有

繁雜的運(yùn)算等著你.

(2)將一般問題特殊化處理是解決小題的常用思維方式，小題不能大做.

7.設(shè)F是橢圓《+卷=l(a>b>0)的左焦點(diǎn),A是該橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓

x2+y2=b2的切線，切點(diǎn)為P,則|AF|—|AP|=.

【解析】設(shè)F(-c,0),4(acos8,bsine)淇中8e(嗚)

\AF\=y](acos+c)2+/72sin20

=yja2cos23+2accos9+c2+(a2—c2)sin23

=+2accos3+c2cos23=a+ccos6,

\AP\=y/\OA\2—b2=Va2cos26+h2sin20—b2=ccos0,

\AF\-\AP\=a.

【反思】橢圓上點(diǎn)的三角表示是運(yùn)算簡化的基礎(chǔ).

8.已知橢圓C的焦點(diǎn)為Fl(-l,0),F2(L0),過點(diǎn)F2的直