高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：分類(lèi)打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型（6大考點(diǎn)）（講義）（解析版）

專題05分類(lèi)打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型

【目錄】

......................................................................................................................................................2

......................................................................................................................................................3

考點(diǎn)一：二次函數(shù)與幕模型.....................................................................9

考點(diǎn)二：分段函數(shù)模型........................................................................11

考點(diǎn)三：對(duì)勾函數(shù)模型........................................................................14

考點(diǎn)四：指數(shù)函數(shù)模型........................................................................17

考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型........................................................................18

考點(diǎn)六：函數(shù)模型的選擇......................................................................19

本節(jié)內(nèi)容，常以其他學(xué)科或與社會(huì)生活息息相關(guān)的背景來(lái)命題，如現(xiàn)實(shí)中的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)、企業(yè)盈利與虧損

等熱點(diǎn)問(wèn)題中的增長(zhǎng)、減少問(wèn)題，在這些背景中發(fā)現(xiàn)、選擇、建立數(shù)學(xué)模型，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

函數(shù)模型，對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行處理以解決問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性.

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2021年北京卷第8題，4分【命題預(yù)測(cè)】

二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

2020年上海卷第19題，14分預(yù)測(cè)2024年高考，可能結(jié)合

2023年/卷第10題，5分函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考察，

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

2021年甲卷（文）第6題，5分對(duì)學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用

2020年山東卷第6題，5分能力綜合考察.

1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,Z?為常數(shù)且Q。0)

反比例函數(shù)模型k

/(%)二—(女為常數(shù))

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且

指數(shù)函數(shù)模型x

/(x)=ba+c(a,b,。為常數(shù)，bwO,a>Qf

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,a>0,awl)

累函數(shù)模型/(x)=axn+b(a,b為常數(shù)，

2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用己有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)

模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

3、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題

首先，要認(rèn)真閱讀理解材料.應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言多為“文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言”并用，往

往篇幅較長(zhǎng)，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問(wèn)題的意義，領(lǐng)悟

其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思

路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問(wèn)題，可以借助畫(huà)圖和列表來(lái)理清它.

其次，建立函數(shù)關(guān)系.根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問(wèn)題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來(lái)，建立函

數(shù)關(guān)系.

其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵.在閱讀這一過(guò)程中應(yīng)像解答語(yǔ)文和外語(yǔ)中的閱讀問(wèn)題

一樣，有“泛讀”與“精讀”之分.這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問(wèn)題，一方面為了描述的問(wèn)題與客觀實(shí)際盡可能地

相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量

關(guān)系的語(yǔ)言來(lái)敘述，而我們解決問(wèn)題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即

可.反過(guò)來(lái)，對(duì)那些刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍

不行再來(lái)一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率.

1.（2021?甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足乙=5+/gV.已知某同學(xué)視力的五

分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（啊。1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在乙=5+/gV中，乙=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得V=1001=-=---x0.8，

1O01曬1.259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

2.（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深

度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24/z降雨量的等級(jí)劃分如下：

等級(jí)24/z降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0?99.9

..........

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200〃儂，高為300〃M的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程

中，該雨量器收集的247z的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24〃降雨量的等級(jí)是（）

C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圓錐的體積為V==

33

因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半,

所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為-xlx200=50mm,

22

將r=50,/z=150代入公式可得V=125000萬(wàn)（〃力力，

圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，

平底上積水的體積為V=S/z,且對(duì)于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積,

所以S="?（gx200）2=100007r（mm2）,

則平地上積水的厚度/7="迎”=12.5（〃?〃?），

10000萬(wàn)

因?yàn)?0<12.5<25,

由題意可知，這一天的雨水屬于中雨.

故選：B.

3.(2020?山東)基本再生數(shù)舄與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳

染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/?)=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與T近似滿足

&=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出&=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病

例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為()(/"2q0.69)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】把扁=3.28,T=6代入扁=1+〃，可得r=0.38,.,./?)=薩",

當(dāng)t=0時(shí)，/(0)=1,則e°.=2,

兩邊取對(duì)數(shù)得0.38/=歷2,解得/=——“1.8.

0.38

故選：B.

4.(2019?新課標(biāo)II)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天

事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為

解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4點(diǎn)是平衡

點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為知2,地月距離為尺，4點(diǎn)到月球的距離為

，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，廠滿足方程：/？+牛=(R+r)4.

2

(R+r)2rR3

+3a4+

設(shè)。=二.由于。的值很小，因此在近似計(jì)算中3a3,則廠的近似值為()

R(l+a)2

D

A.B.c?瞪R-低式

【答案】D

【解析】:.r=aR，

R

出口+工口MMo…、M

廠7兩足方程：------H—z-=+r)——.

2(R

(R+r)/'R3

1R2r

------------------M1+--M2=(1+一)M1,

,cr/122R1

1+2--+—r

RR-

r11

把二二一代入，得：-----y,Af,H——,—(1+,

R(l+a)21cr221

2

(l+a)3_a(a+3a+3)

(l+a)2.「-57^?-1

A/^23a3+3a4+cc^

~M[~(1+0)2

故選：D.

5.（多選題）（2023?新高考I）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)

L=20xlgP-,其中常數(shù)吊（4>0）是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

A）

聲源與聲源的聲壓級(jí)

距離/加/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽1050?60

車(chē)

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10機(jī)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為0,以，P3,貝1（）

A.pv.p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.pp,100p2

【答案】ACD

9

【解析】由題意得，6族切/g旦90,IO。。，。蛋歸lO^Po，

Po

5

5啖切這匹60,I。］/張歸I。。。，。，

Po

20/g隹=40,p3=100p0,

Po

可得〃.1力2，A正確；

2，,1。2=1000〃0，5錯(cuò)誤；

〃3=10000,。正確；

95

Pi轟！lO?Po=100x102/J。100必，pp,100p2,￡)正確.

故選：ACD.

6.（2018?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢(qián)五；雞母一，值錢(qián)

三；雞雛三，值錢(qián)一.凡百錢(qián)，買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為X,

x+y+z=100

y,z,則<1，當(dāng)z=81時(shí)，、=,y=

5x+3y+-z=100------

【答案】8；11

x+y+z=100

x+y=19

【解析】<當(dāng)z=81時(shí)，化為:

5x+3y+gz=1005x+3y=73

解得％=8,7=11.

故答案為：8；11.

7.(2020?上海)在研究某市交通情況時(shí)，道路密度是指該路段上一定時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以時(shí)間，車(chē)輛

密度是該路段一定

時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)除以該路段的長(zhǎng)度，現(xiàn)定義交通流量為v=9,X為道路密度，4為車(chē)輛密度，交通流

X

'80

0,、100-135-(-r,0<x<40

里n=J(z尤)=j3?

「左。-40)+85,4噫/80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范圍；

(2)已知道路密度x=8O時(shí)，測(cè)得交通流量v=5O,求車(chē)輛密度q的最大值.

【解析】(1)按實(shí)際情況而言，交通流量v隨著道路密度x的增大而減小，

故^=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以左>0,

當(dāng)4(凝/80時(shí)，v最大為85,

180on

于是只需令100-135?(?*>95,解得x〈學(xué)

故道路密度》的取值范圍為(0,—).

3

(2)把兄=80,口=50代入v=/Cx)=一依％—40)+85中,

7

得50=—左?40+85,解得左二一.

8

[80

100x-135.(j)T-x,0<x<40

:.q=vx=<

7

一一(%-40)1+85%,4(啜!k80

、8

i§2

①當(dāng)0vxv40時(shí)，v=100-135-(-)"<100,

q=vx<100x40=4000.

7

②當(dāng)4Ok80時(shí)，q是關(guān)于x的二次函數(shù)，q=--x1+n0x,

對(duì)稱軸為此時(shí)q有最大值，為二x（出）2+12。＞＜型=型＞4。。。.

78777

綜上所述，車(chē)輛密度4的最大值為啰箸.

8.（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”S=區(qū),其中工為建筑物暴露在

匕

空氣中的面積（單位：平方米），匕為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為X,暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑

體的“體形系數(shù)”S；（結(jié)果用含尺、”的代數(shù)式表示）

T2

（2）定義建筑物的“形狀因子”為了=上，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長(zhǎng)，又定義T為

A

總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設(shè)力為某宿舍樓的層數(shù)，層高

為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為S=、＞當(dāng)/=18,7=10000時(shí)，試求當(dāng)該宿舍

VT3〃

樓的層數(shù)〃為多少時(shí)，“體形系數(shù)”s最小.

【解析】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：

22

Fo=2兀RH+TTR-V0=7TRH,

FTTR(2H+R)2H+R

所以S=o

%-—兀NH-HR

旦+_L=巫+_L,

（2）由題意可得S=nsN*,

100003n1003n

3

令s，=o,解得吟3”992

?6.27,

81

所以S在口，6.27］單調(diào)遞減，在［6.27,+8）單調(diào)遞增,

所以S的最小值在〃=6或7取得,

當(dāng)"=6時(shí)‘

當(dāng)〃=7時(shí)，S=豆亙+，”0.16,

1003x7

所以在〃=6時(shí)，該建筑體S最小.

9.（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營(yíng)業(yè)額為1.1億元，往后每個(gè)季度增加0.05億元，第一季度的利潤(rùn)

為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長(zhǎng)4%.

(1)求今年起的前20個(gè)季度的總營(yíng)業(yè)額；

(2)請(qǐng)問(wèn)哪一季度的利潤(rùn)首次超過(guò)該季度營(yíng)業(yè)額的18%?

【解析】(1)由題意可知，可將每個(gè)季度的營(yíng)業(yè)額看作等差數(shù)列，

則首項(xiàng)%=11，公差d=0.05,

20(21)

S20=20^+^~6/^20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即營(yíng)業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第w(〃eN*)季度的利潤(rùn)首次超過(guò)該季度營(yíng)業(yè)額的18%,

貝0.16x(l+4%)”>(1.1+0.05”)?18%,

令/(")=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05”)?18%,("eN"),

即要解/(n)>0,

則當(dāng)九.2時(shí)，/(“)-/(〃-1)=0.0064-(1+4%)i-0.009,

4/(?)-/(?-1)>0,解得：九.10，

即當(dāng)掇女9時(shí),f(〃)遞減;當(dāng)九.10時(shí)，f(")遞增,

由于/(1)<0,因此f(")>0的解只能在加.10時(shí)取得，

經(jīng)檢驗(yàn)，/(24)<0,f(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個(gè)季度的利潤(rùn)首次超過(guò)該季度營(yíng)業(yè)額的18%.

解法二：設(shè)今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利潤(rùn)與該季度營(yíng)業(yè)額的比為4,

則也=3吏±”網(wǎng)“。4-此=1+0.04(1-上)，

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

?.數(shù)列｛?！ǎ凉M足Oy>a2>a3>a4=a5<a6<Oj<...，

注意到，a25=0.178...,a26=0.181...,

...今年第一季度往后的第25個(gè)季度利潤(rùn)首次超過(guò)該季度營(yíng)業(yè)額的18%.

考點(diǎn)一：二次函數(shù)與幕模型

?規(guī)律總結(jié)

1、二次函數(shù)模型的應(yīng)用

構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問(wèn)題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求

最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變

量的取值范圍.

2、暴函數(shù)模型為丫=辦"+。（。，6為常數(shù)，。中0）,

在計(jì)算塞函數(shù)解析式、求事函數(shù)最值的時(shí)候，通常利用暴函數(shù)圖像、單調(diào)性、奇偶性解題.

—型特訓(xùn)

例1.（2023?江蘇南通?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)動(dòng)力船拖動(dòng)載重量相等的小船若干只，在兩個(gè)港口之間

來(lái)回運(yùn)貨.若拖4只小船，則每天能往返16次；若拖7只小船，則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)

與相應(yīng)減少的往返次數(shù)成正比例.為使得每天運(yùn)貨總量最大，則每次拖只小船.

【答案】6

【解析】設(shè)每日每次拖了只小船，每日來(lái)回y次，每只小船的載重量為〃，每日的運(yùn)貨總重量為G,

由題意設(shè),=履+3則;:〃A，解得:..,

[7左+/?=10[b=24

所以>=—2x+24,

所以每日運(yùn)貨總重量為6=Mxy=Me（-2尤+24）=-2M（x-6）2+72M,

所以當(dāng)尤=6,〉=12時(shí)，G取得最大值72M,

即每次拖6只小船，

故答案為：6

例2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)“中國(guó)女排精神”，加強(qiáng)青少年體育發(fā)展.學(xué)校在體育課中組織學(xué)

生進(jìn)行排球練習(xí)，某同學(xué)以初速度為=12m/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出點(diǎn)2根以上的位置最多停

留時(shí)間為秒（小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）.（注：若不計(jì)空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)

2

的高度為（m）與時(shí)間f（s）滿足關(guān)系式=，其中g(shù)=9.8m/s,7655^25.59.）

【答案】2.09

【解析】由題意，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度Mm）與時(shí)間f（s）滿足關(guān)系式/z=引一;g/,

因?yàn)?=12m/s,所以〃=12f-；x9.8產(chǎn)，

令/?=2,可得12f—：x9.8r=2,即49產(chǎn)-120r+20=0,

所以4+,2=詈，斯2=%，所以『1一L|=+，2）2-4他=4X2.09s.

所以排球能夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最多停留2.09秒.

故答案為：2.09.

例3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全

部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)

政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政

府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元.若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：

VL82?1.22,^/1?73?1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,則150（1+X）3+10=270,

所以x=合1.2-1=0.2,故年平均增長(zhǎng)率為20%.

故選:B

例4.（2023-廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系

通常以幕函數(shù)形式表示.比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足>=丘3其中左和。為正常數(shù)，

該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀

態(tài)的8倍，則a為（）

A.-B.；C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】設(shè)初始狀態(tài)為（%，%）,則％=16%，%=8%，

又％=卮：，y2=kx^,即8%=左（16xja=左」6ax：,

8%公160￥43/。3

—=——16a=8,24a=23,4a=3,

yxkx^4

故選：D.

考點(diǎn)二：分段函數(shù)模型

規(guī)律總結(jié)

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏

題型特訓(xùn)

例5.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)已知A8兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度從A

地前往8地，到達(dá)3地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x(千

米)表示為時(shí)間f(小時(shí))的函數(shù)，則下列正確的是()

60;(04*2.5)

A.x=60t+50z(0<t<6.5)B.x=150(2.5<t<3.5)

150-50/(3.5<f<6.5)

60r,(0<f<2.5)

60r(0<f<2.5)

D.x=<150,(2.5<?<3.5)

150-50(>3.5)

150-50(f-3.5),(3.5<Z<6.5)

【答案】D

【解析】因?yàn)锳B兩地相距150千米，

所以當(dāng)汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度從A地前往8地時(shí)，

需要要=2.5小時(shí)，此時(shí)汽車(chē)離開(kāi)A地的距離為：

60

A：=60^(0<r<2.5),

到達(dá)5地停留1小時(shí)，此時(shí)汽車(chē)離開(kāi)A地的距離為：

x=150(2.5<t<3.5),

當(dāng)汽車(chē)以50千米/小時(shí)的速度從B地前往A地時(shí)，

需要黑=3小時(shí)，此時(shí)汽車(chē)離開(kāi)A地的距離為：

x=150-50(r-3.5)(2.5<t<6.5),

'60f,(0<Z<2.5)

所以由題意有：x=150,(2.5<?<3.5)

150-50(/-3.5),(3.5<?<6.5)

故選：D.

例6.(2023-全國(guó)?高三對(duì)口高考)2005年10月27日全國(guó)人大通過(guò)了關(guān)于修改個(gè)人所得稅的決定，工

薪所得減去費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元也就是說(shuō)原來(lái)月收入超過(guò)800元部分就要納稅，2006年1月

1日開(kāi)始超過(guò)了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過(guò)部分的稅率相同，如下表：

級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(％)

1不超過(guò)500元5

2500-2000元10

32000-5000元15

某人2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅()元.

A.43B.2280C.680D.不能確定

【答案】A

【解析】設(shè)工資為x元，

當(dāng)0VXV800,納稅為0元；

當(dāng)800<xV1300,納稅為(x-800)x5%元；

當(dāng)1300<xV2800,納稅為500x5%+(x-1300)xl0%元；

當(dāng)2800cXV5800,納稅為5OOx5%+15OOxlO%+(x-28OO)xl5%元；

0,0<x<800

X

——40,800<x<1300

20

所以，納稅為>=<Y

——105,1300<x<2800

10

3x

——245,2800<x<5800

120

Y

而25<123<175,令m-105=123,可得x=2280元,

由x-1600=680>500,則按新稅法只要交稅500x5%+(680-500)x10%=43元.

故選：A

例7.(2023?云南?統(tǒng)考二模)下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格:

一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具()

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為％,花費(fèi)為y元，

37x,l<x<10

32x』1WxW50

貝l|y=，30x,514xW100,當(dāng)x=107時(shí)，y=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當(dāng)x=108時(shí)，y=2916>2900,所以最多可購(gòu)買(mǎi)這種產(chǎn)品107件,

故選：C.

考點(diǎn)三：對(duì)勾函數(shù)模型

1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域;

h

2、利用模型/（x）=?x+2求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

X

■■題型特訓(xùn)

例8.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考一模）某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型聯(lián)合收割

機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬(wàn)元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保

養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬(wàn)元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺(tái)收割機(jī)報(bào)廢，則這臺(tái)收割機(jī)的使用年限是

（）

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】設(shè)第"年的維修保養(yǎng)費(fèi)為為萬(wàn)元，數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，該機(jī)的年平均耗費(fèi)為。，

據(jù)題意，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為12,公差為4的等差數(shù)列.

S+981「n（n-\\198I98

貝ijp=^——=_12n+-^——^x4+98=2n+—+10>22n—+10=38.

nn2nyn

當(dāng)且僅當(dāng)2幾=一，即〃=7時(shí)，〃取最小值38.

n

所以這臺(tái)冰激凌機(jī)的使用年限是7年.

故選:B.

例9.（2023?江蘇南通?高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？计谥校┠硢挝唤ㄔ煲婚g背面靠墻的小房，地面面積

為48m2,房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元（包含門(mén)窗），房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑?/p>

價(jià)為5800元.如果墻高為3m,且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則最低總造價(jià)是（）

A.57600元B.63400元C.69200元D.57600&元

【答案】B

AQ

【解析】設(shè)房屋的正面邊長(zhǎng)為加（了>0）,側(cè)面邊長(zhǎng)為四（y>0），總造價(jià)為Z元，則沖=48,即y=?,

所以z=3尤xl200+6yx800+5800=3600尤+^^^+5800

X

>2^3600%?“600x4+5800=63400.

當(dāng)3600x=57600x4時(shí),即當(dāng)％=&時(shí)，z有最小值，最低總造價(jià)為63400元.

X

故選：B

例10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)

元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比

上一年增加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為尤（尤6N*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，

則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+6++2X=M2,）=X（X+I）,

匚g、…左.干小段中口l0°+°.5x+尤（尤+1）1003、J100343,七一、

所以x年的干均費(fèi)用為,=-----------------=尤-|-----1—22jx------1--=—（萬(wàn)兀），

x%2Y尤22

當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

例11.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？既＃┤鐖D為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，A3為球

門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的P點(diǎn)處接球，此時(shí)tanNAP3=g,假設(shè)

甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即-AQB最大），則射

門(mén)時(shí)甲離上方端線的距離為（）

c.10V2D.10^/3

【答案】B

【解析】設(shè)AB=X，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tan/3PH=型上=2,<tanZAPB=—,

HP25531

52

所以tanZAPH=tan(ZAPB+ZBPH)=_

./AnqAHA.B+BHx+10已廣…x+103左力，口_口門(mén)入門(mén)「

XtanZAPH=—=—所以一^=^，解得x=5,即AB=5,

PHrri25255

沒(méi)QH=h,/?e[0,25],則AQ="Q〃2+AH2=J/z2+i52,

BQ=y]QH2+BH2=V/z2+102,所以在，AQB中，

AQ2+BQ1-AB2/r+150

有cosZAQB=

2AQxBQV/Z4+325/I2+22500，

令根=層+150(15。4機(jī)4775),所以/?=m-150,

一一cosAAQB=[-----=?=

所以J("7-150)2+325("150)+22500J3750?25?1，

因?yàn)?50V機(jī)W775,所以二V’W工，則要使NAQ8最大，

775m150

cosZAQB=-,I375f)~~25

即375025，要取得最小值,即、-字+4+1取得最大值,

J------5-+—+1Vm2m

Vmm

即-W3750+25+l在11士1取得最大值,

mm775m150

1___1_

，⑺=—3750/+25,+1,

775，150

所以/⑺的對(duì)稱軸為：，=5，所以/⑺在單調(diào)遞增，在^0'^單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，=工時(shí)，/⑺取得最大值，即-AQ8最大，此時(shí),=工，即機(jī)=300，

300m300

所以/=150,所以〃=5#,即為獲得最佳的射門(mén)角度（即-AQ8最大），

則射門(mén)時(shí)甲離上方端線的距離為：5瓜

故選：B.

P

考點(diǎn)四：指數(shù)函數(shù)模型

一挪律何結(jié)

在解題時(shí)，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率

有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型.

^題型特訓(xùn)

例12.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）人類(lèi)已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從

TB（1TB=1024GB）級(jí)別躍升到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）級(jí)別.國(guó)際數(shù)

據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為Q500ZB,2010年增長(zhǎng)到L125ZB.若從2008

年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量產(chǎn)與年份f的關(guān)系為尸其中4,a均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的

數(shù)據(jù)量是2022年的倍.

3

【答案】1.5/-

【解析】由題意，1.125=0.5/°電2008,所以所以尸=0515-2°08,

所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.5.1,514,則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量0.5.1.515,

所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的”與=1.5倍.

0.5-1.514

故答案為：1.5

例13.（2023?福建龍巖?高三上杭一中校考階段練習(xí)）研究表明大氣中二氧化碳的含量對(duì)地表溫度有明

顯的影響：當(dāng)大氣中二氧化碳的含量每增加25%,地球平均溫度就要上升0.5℃.若到2050年，預(yù)測(cè)大氣中

二氧化碳的含量是目前的4倍，則地球平均溫度將上升約℃.（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.3010）

【答案】3

【解析】設(shè)目前大氣中二氧化碳的含量為。，

依題意，當(dāng)二氧化碳的含量為1.25a時(shí)，地球平均溫度上升0.5℃,

當(dāng)二氧化碳的含量為ax1.252時(shí)，地球平均溫度上升（0.5x2）℃,

依次類(lèi)推，當(dāng)大氣中二氧化碳的含量為axl.25”時(shí)，地球平均溫度上升（。.5X”）。。，

1g421g221g22x0.301“

令axl.25"=4a,即1.25"=4,方程兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，貝l|-lgl.25-,5-l-31g2~1-3x0.301~,

所以到2050年，地球平均溫度將上升約0.5義6=3（℃）.

故答案為：3

例14.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)某人的行車(chē)速度v（km/h）與行駛地區(qū)的人口密度p

（人/kn?）有如下關(guān)系：v=5Ox（O.5+2^00004^,若此人在人口密度為。人/km?的地區(qū)的行車(chē)速度為

70km/h,則他在人口密度為2a人/km?的地區(qū)的行車(chē)速度是km/h.

131

【答案】65.5/—^―

【解析】由70=50><e.5+2?）,#2^00004a=0.9,

所以當(dāng)人口密度為2a人/km?時(shí)，他的行車(chē)速度

v=50x（0.5+2Awamx2a）=50x0.5+（2-0000（14fl）2]=65.5km/h.

故答案為：65.5

考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)模型

一榭隹敢結(jié)

在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像

求解最值問(wèn)題.

一題型特訓(xùn)

例15.（2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).其值丫（單位：

dB）定義為y=101g：.其中/為聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為亞/!1?,/0=10*亞/1112為基準(zhǔn)值.若

/-10W/m2,則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為dB.

【答案】130

*122

【解析】因?yàn)?=10W/m2,Z0=10W/m,

所以其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為y=101g蒜=101gl0"=130dB.

故答案為：130.

例16.（2023?云南楚雄?高三統(tǒng)考期中）生物學(xué)家為了了解某藥品對(duì)土壤的影響，常通過(guò)檢測(cè)進(jìn)行判斷.

12

已知土壤中某藥品的殘留量y（mg）與時(shí)間/（年）近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=〃log2不（〃。0）,其中〃是殘

留系數(shù)，則大約經(jīng)過(guò)年后土壤中該藥品的殘留量是2年后殘留量的；.（參考數(shù)據(jù)：血。1.41，

答案保留一位小數(shù)）

【答案】7.5

1?

【解析】當(dāng)，=2時(shí)，y=a\og2-^—^=2af

121

由Qlog2y^=]a,得￡=6^/5—1B7.5

故答案為：7.5

例17.（2023?山西-高三統(tǒng)考階段練習(xí)）科學(xué)家以里氏震級(jí)來(lái)度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)/為地震時(shí)所散發(fā)

出來(lái)的相對(duì)能量程度，則里氏震級(jí)/可定義為7=0.61g/.在2021年3月13日下午，江西鷹潭余江區(qū)發(fā)

生里氏3.1級(jí)地震，2020年1月1日，四川自貢發(fā)生里氏”級(jí)地震，若自貢地震所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量程

度是余江地震所散發(fā)出來(lái)的相對(duì)能量程度的100倍，貝”=.

【答案】4.3嗒43

【解析】設(shè)里氏3.1級(jí)地震所散發(fā)出來(lái)的能量為人，里氏"級(jí)地震所散發(fā)出來(lái)的能量為八，則/2=1。。/-

由已知可得3」=0.6坨4.

所以，?=0.61g/2=0.61g100Z,=0.6（lgl00+lg/1）=1.2+0.61gZ1=1.2+3.1=43.

故答案為：4.3.

例18.（2023?山西晉中?高三介休一中?？茧A段練習(xí)）大西洋鞋魚(yú)每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研

究魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鞋魚(yú)的游速v（單位：m/s）可以表示為v=；log3葛，其中M表示魚(yú)的耗氧量