廣東中山2024年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

oo

中山市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中水平試卷

九年級(jí)數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：120分鐘

一、單選題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

斑

1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

oo

2.拋物線y=（x-4）2—5的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（）

A.開口向下，（4,—5）B.開口向上，（4,—5）

3

C.開口向下，（-4,-5）D.開口向上，（-4,-5）

3.下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）

A.ax2+bx+c=0B.x2—2=（x+3）2

C.%2+--5=0D.x2-1=0

ooX

4.設(shè)4（-5,yi）,B（l,y2）,C（2,y3）是拋物線y=-（％+1尸+3上的三點(diǎn)，貝1」乃，y2,乃的

大小關(guān)系為（）

A-7iB.為＞曠3＞曠2C.、3＞龍＞為D.y3＞yi＞y2

堞

5.關(guān)于x的方程2/一?2%-2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

oo6.在同一坐標(biāo)系中，作y=3/+2,y=-3x2-1,y的圖象，則它們（）

A.都是關(guān)于y軸對(duì)稱B.頂點(diǎn)都在原點(diǎn)

C.都是開口向上D.以上都不對(duì)

7.某廠今年十月份的總產(chǎn)量為500噸，十二月份的總產(chǎn)量達(dá)到720噸，若平均每月增長(zhǎng)率

氐-E

是x,則可以列出方程（）

A.500（1+2%）=720B.500（1+x）2=720

C.500（1+/）=720D.720（1-%2）=500

一次函數(shù)（豐）和二次函數(shù)2（豐）在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系

oo8.y=ex-ac0y=ax+x+ca0

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O

①2a+b=0；@abc<0；③9a+36+c>0；④3a+c<0；⑤若zn*1,則m（am+

O

b）-a<b.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，04=2,OB=2?OC=4,將線段B。以點(diǎn)B為

旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BO,則S^BC-S^oc的值為（）

O

二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.方程/=x的解是.

12.將y=x2-2%向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后其解析式為—.

O

13.如圖，在△ABC中，ZXCB=90°,Z.B=50°.將此三角形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后

得到△ABC，,若點(diǎn)次恰好落在線段4B上交于點(diǎn)。，貝亞4CB'的度數(shù)為.

14.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-（％-5/+1,當(dāng)2〈尤<6時(shí)，y的取值范圍為

15.如圖所示，一段拋物線：尸一尤（x—3）（04W3）,記為G，它與x軸交于點(diǎn)O,

Ai；

將Ci繞點(diǎn)Ai旋轉(zhuǎn)180。得C2，交無軸于點(diǎn)A2；

將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180。得C3，交無軸于點(diǎn)A3；

O

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oo

如此進(jìn)行下去，直至得C22.若P（65,n）在第22段拋物線C22上，則“

三、解答題（一）：（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

O

o16.（7分）解方程:X2—3x—2=0.

17.如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)均在格

fa

⑴畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)。的中心對(duì)稱圖形

期堞（2）WADEF繞點(diǎn)、E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DiEF],畫出△。止&.

（3）若4OEF由4ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的,則這點(diǎn)的坐標(biāo)為.

18.圖1是一個(gè)瓷碗，圖2是其截面圖，碗體。EC呈拋物線狀（碗體厚度不計(jì)），碗口寬CD=

12cm,此時(shí)面湯最大深度EG=8cm.

oO

D

FB

圖1

（1）當(dāng)面湯的深度ET為4cm時(shí)，求此時(shí)湯面的直徑PQ的長(zhǎng);

（2）如圖3,把瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)乙4BM=45。時(shí)停止，求此時(shí)碗中液

O

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面寬度C”的長(zhǎng).

四、解答題(二)：(本大題共3小題，每小題9分，共27分)

19.已知關(guān)于x的方程(a—4)x2—4x+2=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；

(2)若方程為一元二次方程，且方程的一個(gè)根為-1,請(qǐng)你求出方程的另一個(gè)根.

20.如圖所示，四邊形4BCD為矩形,48=6cm,AD=4cm,若點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)沿4D以lcm/s

的速度向D運(yùn)動(dòng)，尸從A點(diǎn)出發(fā)沿28以2cm/s的速度向2運(yùn)動(dòng).P、。分別同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一

個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也同時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為3cm2?

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大？

21.某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價(jià)為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出

200本.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價(jià)每降低1元，則平

均每月可多賣出20本，設(shè)每本科普讀物的售價(jià)降低x元.

⑴嘉嘉說：“既然是薄利多銷，平均每月的銷售量肯定能達(dá)到500本，可列出方程：200+

20%=500.”

請(qǐng)判斷嘉嘉的說法是否正確，并說明理由；

(2)該書店期望銷售此科普讀物平均每月的銷售利潤(rùn)達(dá)到2860元，王經(jīng)理說：“在原售價(jià)每

本30元的基礎(chǔ)上降價(jià)3元，銷售利潤(rùn)即可達(dá)到期望目標(biāo).”李經(jīng)理說：“不用降那么多，

在原售價(jià)每本30元的基礎(chǔ)上降價(jià)1元即可達(dá)到期望目標(biāo).”

①判斷王經(jīng)理、李經(jīng)理二人的說法是否正確，并利用方程思想說明理由；

②試分析指出采納誰的意見更合適.

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oo

五、解答題（三）：（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）

22.綜合與實(shí)踐：閱讀材料，并解決以下問題.

（1）學(xué)習(xí)研究：北師大版教材九年級(jí)上冊(cè)第39頁介紹了我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓

方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以*2+2%-35=0為例，求解過程如下：

①變形：將方程/+2%-35=0變形為久。+2）=35；

②構(gòu)圖：畫四個(gè)長(zhǎng)為x+2,寬為x的矩形，按如圖（1）所示構(gòu)造一個(gè)“空心”大正方形；

③解答：則圖中大正方形的面積從整體看可表示為（％+%+27，從局部看還可表示為四個(gè)

oo矩形與中間小正方形面積之和，即4x（x+2）+22=4X35+4=144,因此，可得新的一

元二次方程（x+x+2尸=144,,."x表示邊長(zhǎng),.,.2x+2=12,即x=5.

這種數(shù)形結(jié)合方法雖然只能得到原方程的其中一個(gè)正根.但是從新方程（久+%+2）2=144

可以得到原方程的另一個(gè)根是.

fa

（2）類比遷移：根據(jù)趙爽幾何解法的方法求解方程/一3x-4=0的一個(gè)正根（寫出完整的

求解過程，并在畫圖區(qū)畫出示意圖、標(biāo)明各邊長(zhǎng)）.

oo

期堞（3）拓展應(yīng)用：一般地對(duì)于形如：尤2+奴+匕=o一元二次方程可以構(gòu)造圖（2）來解，已知

圖2是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4.那么a=,

b=，方程/+ax+b=0的一個(gè)正根為.

oo

oo

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23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c交x軸于4(一1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),

交y軸于點(diǎn)C.一次函數(shù)、=fcc+l(k力0)與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E.

O

招用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM||y軸交4。于點(diǎn)求出+

的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線沿著射線AE方向平移了魚個(gè)長(zhǎng)度得到新的拋物線，新拋物線與原拋物線交于R

點(diǎn)，點(diǎn)X是原拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在N點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、R、H、N為

O

頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

O

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參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABDAAABBDA

1.A

【分析】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重

合.根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)符合題意；

B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

2.B

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)y=a(x-hY+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(九k),a>0,

拋物線的開口向上，a<0,拋物線的開口向下，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：=。-4)2-5,a=1>0,

拋物線的開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,-5)；

故選B.

3.D

【分析】根據(jù)形如a/+bx+c=0(a^0)的整式方程叫做一元二次方程，以此判斷即可.

【詳解】A.ax2+bx+c=0,缺少條件a力0,不是一元二次方程；

B.%2-2=(y+3產(chǎn)，有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；

C.%2+--5=0,不是整式方程，不是一元二次方程；

X

D.x2+1=0,是一元二次方程；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析

式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=-。++3的開口向

答案第1頁，共15頁

下，對(duì)稱軸為直線x=-1,然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小.

【詳解】解：???拋物線y=—0+1)2+3的開口向下，對(duì)稱軸為直線x=—1,

'''|—5—(—1)|=6,11—(—1)|=2,|2—(―1)|=3,即6>3>2,

4(—5,%)離直線％=—1的距離最遠(yuǎn)，B(l/2)點(diǎn)離直線％=—1最近，

?1?力>%>乃?

故選：A.

5.A

【分析】本題考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a。0)根的判別式A=b2-4ac與根的

關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)△>()時(shí)，一元二次方程有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，一元二次

方程沒有實(shí)數(shù)根.求出△的值即可判斷.

【詳解】解：—2=0,

；.△=(―m)2—4X2X(—2)=m2+16>0,

方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

故選：A.

6.A

【分析】從三個(gè)二次函數(shù)解析式看，它們都缺少一次項(xiàng)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0,故對(duì)稱軸x=0,

對(duì)稱軸為y軸.

【詳解】觀察三個(gè)二次函數(shù)解析式可知，一次項(xiàng)系數(shù)都為0,

故對(duì)稱軸*=-或=0,對(duì)稱軸為y軸，都關(guān)于y軸對(duì)稱.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)為0,對(duì)稱

軸是y軸.

7.B

【分析】本題考查求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化

率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(l±x)2=b(當(dāng)增長(zhǎng)時(shí)中間的“土”號(hào)選"尸"當(dāng)

降低時(shí)中間的“土”號(hào)選.

【詳解】解：設(shè)平均每月增長(zhǎng)率是x,列出方程為500(1+x)2=720,

故選：B.

答案第2頁，共15頁

8.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同

情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

可先由一次函數(shù)y=ex-a圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象

相比較看是否一致.

【詳解】A.由拋物線可知a<0,又6=1>0,所以對(duì)稱軸應(yīng)該在y軸右側(cè)，故本選項(xiàng)不符

合題意；

B.由拋物線可知，a>0,c<0,由直線可知，a>0,c<0,故本選項(xiàng)符合題意；

C.由拋物線可知，a>0,c<0,由直線可知，a>0,c>0,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.由拋物線可知a<0,又b=1>0,所以對(duì)稱軸應(yīng)該在y軸右側(cè)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

9.D

【分析】利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到b=-2a,可以對(duì)①進(jìn)行判斷；由拋物線開口向下得

到a<0,然后利用對(duì)稱軸的位置以及拋物線與y軸的交點(diǎn)可得到從c的符號(hào)，可以對(duì)②進(jìn)

行判斷；利用x=3時(shí)，x=3可以對(duì)③進(jìn)行判斷；當(dāng)x=-l時(shí)，y<0,即a-6+c<0,

加上b=-2a,可以對(duì)④進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱軸為x=-l,可以對(duì)⑤進(jìn)行判斷.

【詳解】解：???拋物線的對(duì)稱軸為直線久=一二=1，

b=—2a,即2a+b=0,故①正確；

???拋物線開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，

a<0,c>0,b=-2a>0,

abc<0,故②正確；

當(dāng)％=3時(shí)，yV0,

???9a+3b+c<0,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)％=-1時(shí)，y<0,

即a—b+cV0,又b=—2a,

a+2a+c=3a+c<0,故④正確；

???拋物線的對(duì)稱軸為直線X=-白=1，

2a

;當(dāng)m41時(shí)，am2+bm+c<a+b+c,即+b)—a<b,故⑤正確.

故選：D.

答案第3頁，共15頁

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a*0),

二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)a<0時(shí)，拋

物線開口向下；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即防>

0),對(duì)稱軸在y軸的左邊，當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸的右邊；常數(shù)項(xiàng)c決

定拋物線與y軸的交點(diǎn);拋物線與工軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定,△>0拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),△=0,

拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，△<(),拋物線與％軸沒有交點(diǎn).

10.A

【分析】證明△BO%三△BOC,即可得到0%=。。=4,S&AO，B=S"oc，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)可知△B。。，是等邊三角形，貝1JOO=0B=2百，利用勾股定理的逆定理判斷△4。。'是

直角三角形，乙400'=90。，利用四邊形2080,的面積=等邊△800,面積+及△400面積

=△4OB面積+△40B的面積=△BOC的面積+△40B的面積，進(jìn)行計(jì)算即可判斷.

【詳解】解：在△B。%和△BOC中，BO'=BO,^O'BA=^OBA,BA=BC,

：./\BO'A三△BOC(SAS),

：.0'A=0C=4.

如圖，連接。O',

Er---------------(

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△8。0,是等邊三角形，

：.00'=0B=2V3,

在△2。。'中，A0=2,00'=2?A0'=4,

：.AO2+OO'2=A0'2,

...△2。0,是直角三角形，AA00'=90°.

."△2。。面積為卜2x2V3=2V3,

作8D_L00,于D,則￡>0=^00=百，

/.BD=y/BO2-DO2=3,

/.等邊△B。。，面積為之X2V3X3=3V3,

四邊形4080,的面積為5次,

答案第4頁，共15頁

'：/\BO'A三△BOC,

.??四邊形4。80,的面積的面積+A80C的面積，

?,^AABC-S&AOC=^AAOB+^ABOC=5V

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股

定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)把三條線段轉(zhuǎn)化到特殊三角形中，利用特殊三角形的

性質(zhì)進(jìn)行求解.

11.%]—0,%2=1

【分析】方程移項(xiàng)后運(yùn)用因式分解法求解即可.

【詳解】解:/=X

x2—x=Q

x[x-1)=0

??%?￡—0,%2=1

故答案為：%!=0,X2=1

【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握?qǐng)?bào)解方程的步驟是解答本題的

關(guān)鍵.

12.y=x2

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的變換，根據(jù)：“左加右減，上加下減”的方法求解即可.

【詳解】解：將y=%2-2%=(%--1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度后可得：y=(x-1+I)2-1+1,

即y=x2,

故答案為：y=%2.

13.10710g

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CB=CB',

從而有NCB，B=NB,然后由三角形的內(nèi)角和可求出NBCB1最后根據(jù)互余求解即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CB=CB',

：.ACB'B=NB=50°,

在△CB8'中，

乙BCB'=1800-乙CB'B一乙B=80°,

^ACB=90°,

答案第5頁，共15頁

???AACB'=90°-^BCB'=10°,

故答案為：10°.

14.-8<y<1

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì).求得拋物線的對(duì)稱軸，

根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x=5,函數(shù)有最大值1；當(dāng)％=2時(shí)函數(shù)有最小值-8,進(jìn)而求得它們的

范圍.

【詳解】解：???拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線％=5,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1),

.?.在2<%<6范圍內(nèi)，當(dāng)x=5,函數(shù)有最大值為1；當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)有最小值：y=-9+1=

-8,

故答案為：—8<yWL

15.-2

【分析】將代入y=-x(x-3)(0<x<3)即可得m的值；先根據(jù)拋物線的的解析式

可求出&(3,0),。&=3,同樣的方法可求出22(36,0),23(39,0),再根據(jù)拋物線

…,C13的開口大小相同，且都向下可求出拋物線C13的解析式中的二次項(xiàng)的系數(shù)為

-1,從而可得出拋物線C13的解析式，然后將點(diǎn)P(65,m代入即可得ri的值.

【詳解】解：由題意，當(dāng)y=0時(shí)，—x(x—3)=0,解得久=0或x=3,即4(3,0),。4=3,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A1A2=OAr=3,

4(3x2,0),

同理可得：4(3X3,0),…，陽(3><21,0)，X22(3X22,0),

即拋物線C22與％的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為41(63,0),X22(66,0),

由旋轉(zhuǎn)過程可知，拋物線。2，。4，。6,…，。22的開口大小相同，且都向上，

則拋物線C22的解析式為y=(X-63)0-66),

將點(diǎn)P(65,n)代入得:n=(65-63)X(65-66)=-2,

故答案為：—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題，正確找出拋物線的旋轉(zhuǎn)變化規(guī)律，并熟練掌握待

定系數(shù)法是解題關(guān)鍵.

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式解方程.

【詳解】解：△=(-3)2-4XlX(-2)=17>0,

答案第6頁，共15頁

3±yi7

._3+V17_3-717

『”2-

故答案為：勺=檸豆，乂2=上/

【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟練掌握解方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

⑵見解析

(3)(0,1)

【分析】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可畫出△&BlG；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出△D1E&；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，△a/iG即為所求；

(3)解：如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)中心到兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等;

旋轉(zhuǎn)中心在線段4D、CF的中垂線上，即為圖中點(diǎn)P；

答案第7頁，共15頁

由圖象可知，該點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1).

故答案為：(0,1).

18.6A/2yV2

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),則拋物線的表達(dá)式為y=ax2+c則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：

(6,8+c),點(diǎn)Q(x,4+c)再用待定系數(shù)法即可求解；

(2)確定直線CH的表達(dá)式為y=x-6+8+c=x+2+c,求出/+x2=^,xrx2=-9進(jìn)

而求解；

本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)以及直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，建立合適的直角坐

標(biāo)系和待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)以F為原點(diǎn)，直線4B為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(0,c),則拋物線的表達(dá)式為y=a/+c,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,8+c),點(diǎn)Q(x,4+c),

將點(diǎn)C、Q的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：(8+c=36a+c,

14+c=+c

解得：“一3,

(x=3&

即拋物線的表達(dá)式為：y=：/+c①，

PQ=2XQ=6企，

故答案為：6V2；

(2)將瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)乙4BK=45。時(shí)停止，

二所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為45。，

設(shè)直線C”的解析式為y=x+b,

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式的：直線的表達(dá)式為：y=x-6+8+c=x+2+c@,

聯(lián)立①②并整理得：2/一9%-18=0,

答案第8頁，共15頁

9

則%1+%2==-9,

22

貝1J01—%2)=01+X2)-4%1%2=竽，

貝|］比-亞1=

由CH的表達(dá)式知，其和x軸的夾角為45。，貝UCH=V2I%1-%2|=yV2,

故答案為：yV2.

19.(l)a的取值范圍為a<6；

(2)方程的另一個(gè)根為￡

【分析】(1)分①當(dāng)a=4時(shí)，②當(dāng)a74時(shí)，根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式，可

得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得出a的取值范圍；

(2)把x=-1代入方程，得出a的值，再將a的值代入原方程，解方程即可；

本題考查了一元二次方程的定義，根的判別式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟

練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)①當(dāng)a=4時(shí)，方程為—4%+2=0,有實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)a牛4時(shí)，

:關(guān)于久的方程(a-4)x2-4x+2=0有實(shí)數(shù)根，

；.△=(—4)2-4(a-4)x2=16-8a+32=48-8a>0,

解得：a<6,

/.a<6且a豐4,

綜上可知：方程有實(shí)數(shù)根，a的取值范圍為a<6；

(2)?.?方程為一元二次方程，且方程的一個(gè)根為-1,

(a-4)X(-1)2-4X(-1)+2=0,解得：a=-2,

原方程為-6/-4x+2=0,即有3/+2%-1=0,

解得：x1=-1,x2=I，

方程的另一個(gè)根為也

20.(1)當(dāng)t=1s或3s時(shí)，A.PDQ的面積為3cm2.

(2)不存在f使為等腰三角形，理由見解析

【分析】

答案第9頁，共15頁

(1)由四邊形2BCD為矩形，AB=6cm,AD=4cm,可得DQ=4-t,AP=2t,NA=90°,

結(jié)合34-t),2t=6,再解方程即可;

(2)由題意可得：S=j(4-t)-2t,建立函數(shù)模型，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解：由題意可得：AQ=t,AP=2t,

,：四邊形2BCD為矩形，AB=6cm,AD=4cm,

：.DQ=4-t,AP=2t,NA=90°,且0WtW3,

-1

.?彳(4—t)-2t=6,

t2-4t+3=0,

解得：1=1或1=3；

/.當(dāng)t=Is或3s時(shí)，△PQD的面積為3cm2.

⑵由題意可得：S=|(4-t)-2t=-(t-2)2+4,

?：a=1<0,

...當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，利用圖形面積

建立函數(shù)模型求解是解本題的關(guān)鍵.

21.(1)嘉嘉的說法不正確，理由見解析；

(2)①兩人的說法都正確，理由見解析；②采取王經(jīng)理的意見，理由見解析.

【分析】本題考查了一元一次方程中的銷售問題，一元二次方程的應(yīng)用，掌握利潤(rùn)、售價(jià)、

進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知的方程可求出具體降價(jià)金額，從而可求出售價(jià)，將售價(jià)與進(jìn)價(jià)比較即可求

解；

(2)①根據(jù)題意列出方程(30—x—16)(200+20%)=2860,整理得到產(chǎn)-4x+3=0,

求解即可得出結(jié)論；

②從增加銷售量可以減少庫存，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：嘉嘉的說法不正確，理由如下：

200+20%=500,

解得：%=15,

???30—15=15兀，

答案第10頁，共15頁

V15元<16元,

.?.虧本，

，小宇的說法不正確.

(2)解：①兩人的說法都正確，理由如下：

依題意得：(30-%-16)(200+20%)=2860,

整理得：x2-4x+3=0,

解得：X]=1,x2=3,

降價(jià)1元或3元都能達(dá)到期望目標(biāo)，

兩人的說法都正確；

②由于增加銷售量可以減少庫存，

.?.應(yīng)采取王經(jīng)理的意見.

22.(1)-7；

(2)x=4,圖形見詳解；

(3)a=2,b=—3,x=1.

【分析】(1)運(yùn)用直接開平方法解方程(X+X+2)2=144,即可得到方程的另一個(gè)根.

(2)將方程——3%-4=0變形為x(x-3)=4,畫四個(gè)長(zhǎng)為x,寬為％—3的矩形，構(gòu)造一

個(gè)“空心”大正方形；仿照例題求解即可；

(3)由中間圍成的正方形面積為4,可得中間正方形的邊長(zhǎng)為2.設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x,則長(zhǎng)

為x+2,由題意得x(x+2)=3,整理得/+2尤一3=0,即可求得a和b的值.仿照例題

構(gòu)造大正方形，即可求出x的值.

本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.讀懂例題，正確的構(gòu)造出大正方

形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)由(久+尤+2)2=144得

(2x+2)2=144

2x+2=±12

X]=5,x2=—7

原方程的另一個(gè)根是-7.

故答案為：-7

(2)將方程/-3x-4=0變形為x(x-3)=4,

畫四個(gè)長(zhǎng)為“，寬為％-3的矩形，按如圖所示構(gòu)造一個(gè)“空心”大正方形，

答案第11頁，共15頁

L3x

則圖中大正方形的面積從整體看可表示為(％+%-3)2,從局部看還可表示為四個(gè)矩形與中

間小正方形面積之和，即4x(%-3)+32=4x4+9=25,因此，可得新的一元二次方程

(x+%—3)2=25,

,.,%表示邊長(zhǎng)，

A2x—3=5,

即％=4.

(3)??,中間圍成的正方形面積為4,

???中間正方形的邊長(zhǎng)為2,

設(shè)長(zhǎng)方形的寬為％,則長(zhǎng)為％+2,

由題意得%(%+2)=3,

整理得%2+2%-3=0,

???a=2,b=—3.

如圖中大正方形的面積從整體看可表示為(％+%+2不，從局部看還可表示為四個(gè)矩形與中

間小正方形面積之和，即+2)+22=4x3+4=16,因此，可得新的一元二次方程

(%+%+2)2=16,

表示邊長(zhǎng)，

2%+2=4,

即％=1.

?二方程％2+ax+b=0的一個(gè)正根為久=1.

23.(l)y=x2-2%-3

答案第12頁，共15頁

(2)PM+亨AM取得最大值9,點(diǎn)P(2,—3)

(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,—1)或(—2,—1)或(0,帶空)或(0,三衛(wèi))

【分析】(1)根據(jù)題意將點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；

(2)根據(jù)題意求得一次函數(shù)解析式y(tǒng)=x+l,即可判定△OAE為等腰直角三角形，得到△

M4H為等腰直角三角形,則AM=近MH,設(shè)點(diǎn)M(t,t+1)(0<t<3),則點(diǎn)P(t,/-2t-3),

有PM+--AM=PM+MH化簡(jiǎn)得到二次函數(shù)求最值即可；

(3)根據(jù)題意可知拋物線沿著無軸和y