2024-2025學年高二上學期期末復習選擇題壓軸題二十三大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學年高二上學期期末復習選擇題壓軸題二十三大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1向量共線、共面的判定及應用1．（24-25高二上·陜西西安·開學考試）在下列條件中，使M與A，B，A．OMB．OMC．MAD．OM2．（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．?3 B．3 C．?15 D．153．（23-24高二上·江西九江·期末）對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=1是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA?2C．MA+MB+題型2題型2空間向量的數(shù)量積問題5．（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠DAA1=∠BAAA．CM=?12C．BD1=6．（24-25高二上·湖南·階段練習）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=3,∠ABC=∠BAP=π3，且cos∠PAD=A．?277 B．277 7．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點M滿足ME?MF=?40，AB是正方體的一條棱，則AMA．162?4 B．162?2 C．8．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的校長均為3，且AB,AD,AA

A．截面BDDB．AEC．AC,AD．平行六面體ABCD?A1題型3題型3空間向量基本定理及其應用9．（24-25高二上·重慶·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點N在BC上，且A．12a?C．12a?10．（24-25高二上·廣東深圳·期中）如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線OB,AC,M,N分別是對邊OA,BC的中點，點G在線段MN上，且GN=2MG，現(xiàn)用向量OA,OB,OC表示向量OG，設OG=xA．23 B．1 C．13 11．（23-24高二上·陜西寶雞·期末）如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M、N分別在線段OA、BC上，且2OM=MA，A．?13aC．13a?12．（24-25高二上·吉林·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2

A．AM=12C．AM=11 題型4題型4空間向量平行、垂直的坐標表示13．（24-25高二上·廣東深圳·期中）設x,y∈R，向量a=x,2,2,b=2,y,2,c=3,?6,3，且A．?8 B．?2 C．2 D．814．（24-25高二上·山東泰安·期中）設x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,?4,2且aA．3 B．10 C．22 D．15．（24-25高二上·甘肅慶陽·期中）已知向量n=4,1,2，點A?1,2,1，B2,s,t，且AB→A．112 B．212 C．11416．（24-25高二上·河南·階段練習）已知空間向量a=1,2,3,2a+A．b=6 C．2b+c題型5題型5利用空間向量研究點、線、面的距離問題17．（24-25高二上·云南普洱·期中）如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是A1

A．63 B．263 C．218．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，AD，B1A．13 B．23 C．1219．（24-25高二上·河北張家口·階段練習）已知四棱錐A?EBCD,AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E為直角，EB//DC的直角梯形，如圖所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=23，點F為AD的中點，則F到直線BC的距離為（

A．312 B．232 C．31420．（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為15B．點G到平面AEF的距離為2C．點B1到AFD．若線段AA1的中點為H，則GH題型6題型6利用空間向量求空間角21．（23-24高一下·河北承德·期末）在正四棱錐P?ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值是（

）A．612 B．68 C．3822．（23-24高三上·福建福州·期中）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，四面體ACBA．12 B．14 C．1323．（23-24高二上·四川涼山·期中）已知圓錐的頂點是P，底面圓心是O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=4，點C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°A．AC與平面PAB所成角的正弦值為3B．O到平面PAC的距離為2C．PC與AB所成角的余弦值為3D．平面PAB與平面PAC所成角的正弦值為224．（24-25高二上·云南昆明·階段練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐P?AB．異面直線AP與A1DC．平面ADP與平面ABCD所成夾角的余弦值取值范圍是[D．直線C1P與平面A題型7題型7立體幾何中的探索性問題25．（2024·北京懷柔·模擬預測）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，F(xiàn)為線段

A．存在點E，使EF//平面ABCDB．三棱錐B1?ACE的體積隨動點C．直線EF與AD1D．存在點E，使EF⊥平面A26．（23-24高三上·四川成都·期末）如圖所示的幾何體是由正方形ABCD沿直線AB旋轉90°得到的，設G是圓弧CE的中點，H是圓弧DF上的動點（含端點），則下列結論不正確的是（

）A．存在點H，使得EH⊥BGB．存在點H，使得EHC．存在點H，使得EH//平面D．存在點H，使得直線EH與平面BDG的所成角為30°27．（23-24高二下·上海楊浦·期末）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點①存在點P滿足PD②存在點P滿足PD1與平面A1③存在點P滿足MD其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．328．（24-25高二上·遼寧大連·期中）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分別是線段BC,SB的中點，Q是線段DC上的一個動點（含端點D，C），則下列說法正確的是（

）A．存在點Q，使得NQ⊥SBB．存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角的余弦值為5C．當點Q自D向C處運動時，直線DC與平面QMN所成的角不變D．三棱錐Q?AMN體積的最大值是2題型8題型8直線與線段的相交關系求斜率范圍

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）已知點A(2,3),B(?3,2)，若直線ax+y+1=0與線段AB相交，則a的取值范圍是（

）A．[?1,2] B．(?∞,?1)∪[2,+C．[?2,1) D．?∞30．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知點M3,0關于直線x?y?1=0的對稱點為P，經(jīng)過點P作直線l，若直線l與連接A?7,1，B5,8兩點的線段總有公共點，則直線l的斜率kA．18,3C．?18,31．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）過點P0,?1作直線l，若直線l與連接A?2,1，B2A．π6,πC．0,π6∪32．（23-24高二上·陜西安康·期末）已知直線l過點P?1,2且與線段AB的延長線有公共點，若A?2,?3，B3,0，則直線lA．?14 B．0 C．14題型9題型9根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高二上·河北保定·期中）若直線l1:ax?3y+2=0與直線l2:3ax+y+3=0垂直，且直線l3:a2x?y+4=0與直線l?：A．1 B．?1 C．2 D．?234．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習）已知a，b都是正實數(shù)，且直線2x?b?3y+6=0與直線bx+ay?5=0互相垂直，則2a+3b的最小值為（A．12 B．10 C．8 D．2535．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知直線l1:ax?2y?2=0與直線l2:x?a+1A．-2 B．?1 C．1 D．236．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直線l1:(a+2)x+3y+4=0，l2A．當a=0時，直線l1的一個方向向量為B．若l1與l2相互平行，則a=?3C．若l1⊥D．若l1不經(jīng)過第二象限，則題型10題型10與距離有關的最值問題37．（24-25高二上·廣東汕頭·期中）點A2,?4到直線l:mx?y?4m?8=0（mA．5 B．25 C．4 D．38．（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉化為平面上點Mx,y與點NA．210 B．22 C．2+39．（24-25高二上·云南昆明·階段練習）已知點A?1,3，直線l:m+2x?m+1y+2m?1=0，則AA．23 B．25 C．2640．（23-24高二下·遼寧·開學考試）對于直線l1:ax+2y+3a=0,lA．l1//l2的充要條件是a=3或a=?2 C．直線l2經(jīng)過第二象限內的某定點 D．點P(1,3)到直線l1題型11題型11點、線間的對稱問題41．（2024高三·全國·專題練習）光線自點2,4射入，經(jīng)傾斜角為135°的直線l：y=kxA．14,2 B．14,1 C．13,2 D．13,142．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）如圖所示，已知點A(2,0),B(0,2)，從點P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是（

）A．3 B．10 C．33 D．43．（24-25高二上·全國·單元測試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點A13,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為A．1453 B．5 C．15 D．44．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直線l1:x+y=0,lA．直線l1與l2B．直線l1、l2C．直線l2關于原點O對稱的直線方程為D．直線l2關于直線l1題型12題型12圓的切線長及切線方程問題45．（24-25高二上·江西·階段練習）已知圓x?12+y?12=r2A．x+y?4=0 B．x+y=0C．x?y=0 D．x?y?4=046．（23-24高二下·浙江溫州·期末）已知圓C：x2+y2=4，點P為直線x+y?4=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，A，BA．22 B．32 C．4 47．（23-24高二上·安徽黃山·期中）已知直線l:x+ay?1=0(a∈R)是圓C:x2+y2?4x?2y+1=0的對稱軸.過點A(?4,a)作圓C的兩條切線，切點分別為B、A．3x+y?5=0 B．2x+y?5=0 C．3x?y+5=0 D．2x+y?5=048．（23-24高二上·廣西南寧·期中）設圓C:x?12+y?12=3，直線l:x+y+1=0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別為A．PA的取值范圍為6B．四邊形PACB面積的最小值為3C．存在點P使∠APB=D．直線AB過定點0,0題型13題型13直線與圓有關的最值（范圍）問題49．（24-25高二上·重慶·期中）圓C:x?22+y2=4，P是直線l:x+2y?8=0上的動點，過點P作圓C的切線，切點為M，A．55 B．1655 C．50．（24-25高二上·黑龍江·階段練習）已知點O是坐標原點，點Q是圓(x?3)2+(y+4)2=1上的動點，點P(t,?t?4)，則當實數(shù)tA．8 B．7 C．6 D．551．（24-25高三上·湖南衡陽·開學考試）已知圓C1:(x?2)2+(y?2)2=14與圓C2:(x+1)2+(y+2)2=14，過動點Mm,n分別作圓A．192 B．154 C．19252．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直線l:kx?y+k=0，圓C:x2+y2?6x+5=0，點A．x0B．y0xC．x0+D．圓心C到直線l的距離最大為4題型14題型14直線與圓有關的面積問題53．（2024·河南洛陽·模擬預測）從直線l:3x+4y=15上的動點P作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為C、D，則∠CPD最大時，四邊形OCPDA．3 B．22 C．23 54．（2024·甘肅酒泉·三模）若直線3x?y?3=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，動點P在圓x2+(y?1)2A．[2,32] B．[3,255．（24-25高二上·新疆烏魯木齊·期中）已知點M是直線l：x?y+4=0上的動點，過點M作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點為C，DA．2 B．2 C．22 56．（23-24高三上·廣東汕頭·期中）已知圓C:(x?2)2+y2=1，點P是直線l:x+y=0上一動點，過點P作直線PA?A．圓C上恰有一個點到l的距離為12 B．直線AB恒過定點C．AB的最小值是2 D．四邊形ACBP面積的最小值為2題型15題型15求圓錐曲線的離心率或其取值范圍57．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知點F1、F2是橢圓B:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點M為橢圓B上一點，點FA．36 B．33 C．102558．（24-25高二上·吉林延邊·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，Mx1A．22,1 C．63,1 59．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在C上，點A．52 B．6 C．35560．（24-25高二上·江西新余·階段練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1A．0.3 B．0.6 C．0.9 D．1題型16題型16橢圓的弦長與“中點弦”問題61．（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知直線l:mx?y+1=0與橢圓C:x24+y2=1交于A，BA．±52 B．±32 C．62．（23-24高二上·浙江溫州·期中）直線l：y=?2x+1在橢圓y22+A．103 B．253 C．863．（24-25高二上·湖北·期中）已知橢圓y29+x24=1與直線l交于A,B兩點，若點P(?1,1)A．9x+4y?13=0 B．9x?4y+13=0C．4x?9y+13=0 D．4x?9y+3=064．（24-25高二·上?！るS堂練習）設橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k≠0的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A、BA．直線AB與OM垂直B．若點M坐標為1,1，則直線方程為2x+y?3=0C．若直線方程為y=x+1，則點M坐標為1D．若直線方程為y=x+2，則|AB|=題型17題型17雙曲線的弦長與“中點弦”問題65．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線x2?y29=1交于A，B兩點，線段AB的中點為點A．?49 B．49 C．?66．（2024·山東·模擬預測）過雙曲線x2?y2=2的左焦點作直線l，與雙曲線交于A,B兩點，若ABA．1條 B．2條 C．3條 D．4條67．（23-24高二下·重慶沙坪壩·階段練習）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點F(?3,0)A．7 B．8 C．9 D．1068．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設A,B是雙曲線y24?x2A．?1,2 B．1,1 C．1,3 D．2,5題型18題型18拋物線的弦長與焦點弦問題69．（23-24高三上·廣東廣州·期中）直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若AF=3BF，則A．83 B．3 C．163 70．（2024·四川·模擬預測）已知過拋物線C：y2=4x的焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若AF=3BF，則A．433 B．833 C．71．（2024·山東聊城·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F到其準線的距離為2，過F的直線l與C交于A，B兩點，則ABA．2 B．4 C．6 D．872．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知拋物線C:x2=2py(p>0)上的動點M到焦點F的距離最小值是2，經(jīng)過點P2,?3的直線l與C有且僅有一個公共點，直線PF與C交于兩點A．p=2 B．拋物線C的準線方程為y=?2C．AB=58 D．滿足條件的直線l題型19題型19圓錐曲線中的切線與切點弦問題73．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C:x2=4y，過點P(m,?1)作拋物線的兩條切線，兩個切點分別為A,B，若|AB|=8，則mA．2或?1 B．1或?2C．2或?2 D．1或?174．（23-24高三下·河南·階段練習）已知橢圓C:x2+y2t2=1，離心率為22，過P1,2的直線分別與A．x+y?1=0或x+4y?1=0 B．x+4y?1=0C．x+y?1=0 D．x+y+1=0或x+4y?1=075．（23-24高三·江西上饒·階段練習）已知拋物線y2=2px(p>0))的焦點為F，過F且傾斜角為π4的直線l與拋物線相交于A，B兩點，AB=12，過A，B兩點分別作拋物線的切線，交于點①Q(mào)A⊥QB；②若M(1，1)，P是拋物線上一動點，則|PM|+|PF|的最小值為52③1AF④△AOB(O為坐標原點)的面積為32A．①③ B．②④ C．①② D．③④76．（23-24高三下·廣東·階段練習）已知拋物線C：x2=2pyp>0的焦點為F，點P?1,t在C的準線上，過點P作C的兩條切線，切點分別為M，A．M，F(xiàn)，N三點共線B．若PF=13PMC．當t=?1時，直線MN的方程為y=?D．△PMN面積的最小值為3題型20題型20圓錐曲線中的面積問題77．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知P為橢圓x24+y2=1y≠?1上任一點，過P作圓C:x2A．3 B．22 C．53378．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線的左?右焦點，點M?a,0,NA．4 B．8 C．23 D．79．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知中心在原點O，焦點在y軸上，且離心率為23的橢圓與經(jīng)過點C?2,0的直線l交于A,B兩點，若點C在橢圓內，△OAB的面積被x軸分成兩部分，且△OAC與△OBC的面積之比為3:1，則△OAB面積的最大值為（A．873 B．473 C．80．（23-24高三上·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系xOy中，已知F為拋物線y2=x的焦點，點Ax1,y1A．x1x2=6 C．△ABO的面積最小值是22 D．△ABO與△AFO面積之和的最小值是題型21題型21圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問題81．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點為F，過F的直線l交Γ于點A,B，分別在點A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點PA．0,1 B．0,12 C．0,182．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知A,B是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)長軸的兩個端點，M,N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM,BNA．1 B．2 C．32 D．83．（2024·江西贛州·一模）已知M、N是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0上關于原點對稱的兩點，P是C上異于M、N的動點，設直線PM、PN的斜率分別為k1、k2A．112,18 B．?1884．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知F為橢圓C:x216+y28=1的左焦點，經(jīng)過原點O的直線l與橢圓C交于A,B兩點，AD⊥x軸，垂足為D，BD與橢圓A．AB⊥AE B．△ABD面積的最大值為4C．△ABF周長的最小值為12 D．1AF+題型22題型22圓錐曲線中的向量問題85．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知拋物線y=116x2與雙曲線y2a2?x2=1a>0有共同的焦點A．415?16 B．16?415 C．15?486．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓M:x24+y2=1的上、下頂點為A,B，過點P0,2的直線l與橢圓M相交于兩個不同的點A．?1,16 B．?1,16 C．87．（2024·湖北黃石·三模）已知Mx0,y0為雙曲線x2?y2=4上的動點，x0>0，y0≥0，直線l1：xA．?8 B．?4 C．0 D．88．（2024·湖北·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且傾斜角為πA．a(chǎn)，b滿足b=32a B．C．存在點P，使得∠F1P題型23題型23圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題89．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習）已知橢圓x24+y22=1上的兩個動點P，Q，設Px1A．12,0 B．1,0 C．2,0 90．（23-24高二下·安徽安慶·期末）已知拋物線C：y2=4x內有一點A3,?2，過點A作直線l與該拋物線交于P、Q兩點，經(jīng)過點B3,?6和點Q的直線與該拋物線交于另一點T，則直線A．?1,0 B．1,0 C．?3,0 D．3,091．（2024·廣西梧州·一模）已知雙曲線C:x2a2?y24=1a>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上的動點，過①a=4；②PA?③雙曲線C的離心率e=2④當點P異于頂點時，△PF1FA．1 B．2 C．3 D．492．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知橢圓x24+y2=1的左頂點為A，上、下頂點分別為C,D，動點Px1,y1A．y1x2為定值C．△OCP與△OAQ的面積相等 D．△OCP與△ODQ的面積和為定值2024-2025學年高二上學期期末復習填空題壓軸題十六大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項、通項公式1．（24-25高三上·上海·期中）數(shù)列an滿足：an為正整數(shù)，an+1=an2,【解題思路】利用遞推關系式可推得數(shù)列an是周期為3【解答過程】因為an+1=a所以a2=3a1+1=4，a以此類推，可知an+3=an，即數(shù)列所以a=674×1+4+2故答案為：4723.2．（24-25高三上·全國·自主招生）數(shù)列an，a1=2，?7080.【解題思路】由遞推關系式求前幾項的值，易判斷an【解答過程】由題意可得a1故數(shù)列an則a2022=a故2022a故答案為：?7080.3．（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=13，前n項和Sn=n【解題思路】當n≥2時，由已知的等式可得Sn?1=n?12n?3a【解答過程】由于數(shù)列an中，a1=13所以當n≥2時，Sn?1兩式相減可得：an所以n?12n?3n?12n?3所以2n?3a所以an所以a=1a1因此an故答案為：an4．（23-24高二下·四川成都·階段練習）已知數(shù)列an滿足：a1=1且anan?1=【解題思路】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項公式即可.【解答過程】因為an所以a2累乘可得a2即ana1當n=1時，a1所以an故答案為：an題型2題型2求數(shù)列的最大項、最小項5．（23-24高二下·安徽亳州·階段練習）數(shù)列an的通項an=nn2+5【解題思路】由作商法求出數(shù)列an的單調性，可得a1<【解答過程】因為an=n則an+1令an+1an>1，即解得n=1，所以a2令an+1an所以a1故數(shù)列an中的最大項為a2，其值為故答案為：296．（23-24高二上·上海楊浦·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式為an=n22n【解題思路】通過列舉法進行觀察，然后利用差比較法比較求得正確答案.【解答過程】依題意，an則a1當n≥5時，an+1所以當n≥5時，an+1所以數(shù)列an的最大項為第3故答案為：3.7．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習）已知數(shù)列an的通項公式an=n?197n?198【解題思路】分離常數(shù)，然后利用數(shù)列單調性求最小項.【解答過程】an當n>198時，a當n<198時，a又當n<198時，a所以當n=14時，a14故答案為：14.8．（23-24高二下·廣東·階段練習）在數(shù)列an中，an=2n?178n【解題思路】利用作商法，結合n∈N?，判斷得【解答過程】因為an所以an+1an又n∈N?，所以當1≤n≤7時，an+1>a所以a8最大，則n=8故答案為：8.題型3題型3求等差數(shù)列的前n項和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·開學考試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算得出通項公式，再根據(jù)通項的正負得出和的最大值.【解答過程】設公差為d，因為a1所以d=?1，即an因為n≤3,an所以Sn故答案為：6.10．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列an滿足a1=15,(n+1)an?nan+1=2n(n+1),n∈【解題思路】化簡得到an+1n+1?ann=?2，得出a【解答過程】由數(shù)列an滿足(n+1)an又由a1=15，可得a11=15，所以數(shù)列a所以an令ann≥0，即17?2n≥0，解得n≤所以，當1≤n≤8,n∈N?時，ann>0所以數(shù)列ann的前n項和的最大值是故答案為：64.11．（23-24高二下·山西晉中·階段練習）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1<0，S6=【解題思路】根據(jù)S6=S20，利用等差數(shù)列前n項和公式推得175d=?14a1，結合【解答過程】由題意知a1<0，S6=S則6a1+15d=20因為a1<0，故d>0，即等差數(shù)列又由S6=S即7(a13+即等差數(shù)列an故Sn取最小值時，n=13故答案為：13.12．（23-24高二上·河南洛陽·期末）首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列an，其前n項和為S①若S8<S②若S11=0，則③若S13>0,S14<0④若S2=S10，則使其中所有真命題的序號是②③④．【解題思路】①由題意可以推出a9>0，不能推出a10>0，判斷①錯誤；②由題意可得a1+a【解答過程】若S8<S9，則a9若S11=0，則S11=11(若S13>0,S所以a7>0,a8<0若S2=S即2a因為首項為正數(shù)，則公差小于0，則a6則S11=11(則使Sn>0的故答案為：②③④．題型4題型4求等比數(shù)列的前n項和及其最值13．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知公比不為l的等比數(shù)列an滿足a1+a3=5，且a1,a3,a2構成等差數(shù)列．記S【解題思路】利用等差數(shù)列的性質與等比數(shù)列的通項公式求出a1,q，再利用等比數(shù)列的前【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為q，且q≠1因為a1+a∴a1+∴S∴Sk=∴831?當k為偶數(shù)時，?1所以k為奇數(shù)，設k=2m?1,m∈N則?122m?1即14m>所以正整數(shù)m≤2，所以m的最大值為2，此時k的最大值為3，所以使Sk>23故答案為：3.14．（24-25高三上·山東聊城·期中）等比數(shù)列an的前n項和記為Sn，若S2=?1,S8【解題思路】由題意知公比q≠1，設首項為a1，根據(jù)等比數(shù)列公式，由S8=17S4求出q，再代入【解答過程】設首項為a1因為S8=17S所以a1所以1?q8=17?所以q4=16，解得又因為S2=?1，所以當q=2時，a1=?1當q=?2時，a1=1故答案為：?21.15．（2024·河北邯鄲·模擬預測）記Sn為等比數(shù)列an的前n項的和，若a3+a4=1，【解題思路】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質進行計算即可求解.【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為q，由題意可得q≠1由4S6=7S2又a3+a4=1同理a5+a6=12因為S12所以S12故答案為：631616．（23-24高三下·重慶·階段練習）已知數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列，a1+a5=82，a2?a4=81，記數(shù)列2an【解題思路】由下標和性質得到a1?a5=81，從而求出a1、a5，即可求出a【解答過程】因為數(shù)列an為正項的遞增等比數(shù)列，所以a又a1所以a1、a5是關于x方程解得x1=1，所以a1=1a設公比為qq>1，則q4=a5a所以an=3所以Tn=2所以202413Tn?1又函數(shù)fx=3x在定義域上單調遞增，f5所以n≤6，故正整數(shù)n的最大值為6.故答案為：6.題型5題型5等差、等比數(shù)列的綜合應用17．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1，b5=3【解題思路】利用等差、等比數(shù)列的通項公式列方程求基本量，并求出{an}的通項，進而有c【解答過程】令{an}的公差為d，{則b1q4所以cn所以數(shù)列{cn}的前n故答案為：3n18．（2024·湖北襄陽·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.數(shù)列an和bn【解題思路】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，由題意可得{cn}【解答過程】設等差數(shù)列{an}的公差為d和等比數(shù)列{由a1=5，b1=2，a2=2b解得d=4，q=2，則an=5+4(n?1)=4n+1，由a15由{an}和{bn}中無公共項，可得則S20故答案為：557．19．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習）正項等比數(shù)列|an滿足a1+a3=54，且2a2,【解題思路】先由題意列出關于a1,q的方程，求得an的通項公式，再表示出(【解答過程】設an公比為q，且q>0∴a3=得：2×1∴2×1∴q∵q>0，∴q=2，∴a∴a1=14∴b∴=2∴n=2時，上式有最小值2?4故答案為：2.20．（24-25高三上·上海長寧·期中）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a4=5，且a1、a3、a7成等比數(shù)列，設bn=a【解題思路】設等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，根據(jù)a32=a1a7求出【解答過程】設等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0因為a1、a3、a7成等比數(shù)列，則a即5?d2=5?3d5+3d，因為所以，an所以，bn對任意的k∈N?，b4k?2=4k?1b4k所以，b4k?3因為2024=4×506，故數(shù)列bn的前2024項和為2×506=1012故答案為：1012.題型6題型6數(shù)列的求和21．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）已知數(shù)列an滿足2n?1a1+2n?2a2+?+2an?1【解題思路】根據(jù)所給遞推關系，得出2n?2【解答過程】當n=1時，a1=3?22n?1當n≥2時，2n?2①?2×②得an所以an當n=1時，a1=2也適合綜上，ancnT=n+2故答案為：n+2?22．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習）設數(shù)列an滿足a1+3a2+5a3+?+2n?1【解題思路】由a1+3a2+5相減可得an【解答過程】因為a1所以當n=1時，a1當n≥2時，a1（1）?（2）可得：2n?1an=2當n=1時，a1所以an=所以2n記數(shù)列2nan的前n則Tn所以2T①-②可得：?T所以?T所以Tn故答案為：2n23．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)fx=4x4x+2，數(shù)列an滿足【解題思路】由函數(shù)f(x)的解析式，求出數(shù)列{an}的通項公式，將n=2019代入即可得到a【解答過程】依題意，函數(shù)fx=4x4數(shù)列an滿足a所以an=fnan設此數(shù)列前2019項的和S2019S2019S2019所以2S2019=1×2019故答案為：2019224．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列an的首項a1=1，且an+1+an=3?2n【解題思路】根據(jù)題意，推得an+1?2n+1=?an【解答過程】因為an+1+an=3×2n所以數(shù)列an?2n是首項為所以an?2可得2n+1?則Sn記Tn則?T由①-②得2T即2Tn=?3+2×記Mn=3×2所以Sn故答案為：n+1?題型7題型7數(shù)列不等式25．（24-25高二上·上?！て谥校┰OSn是數(shù)列an的前n項和，a1=14，且對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=a【解題思路】根據(jù)給定條件，由任意性可得數(shù)列an為等比數(shù)列，求出公比及前n【解答過程】在數(shù)列an中，對任意正整數(shù)m，n，都有am+n=am則有an+1=a1?an則Sn=14[1?所以實數(shù)a的取值范圍為a≥1故答案為：a≥126．（24-25高三上·重慶·階段練習）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=3an+4【解題思路】利用構造法分析得數(shù)列an+2是等比數(shù)列，進而求得an+2，從而將問題轉化為k≥3n?5【解答過程】由an+1=3an+4故數(shù)列an+2為首項為3，公比為所以an則不等式kan+2≥3n?5可化為當n=1時，fn<0；當n≥2時，又fn+1則當n=2時，f3>f2，當n≥3所以fn≤f3=3×3?533故答案為：42727．（2024高二·全國·專題練習）在數(shù)列an中，a1=3，3a1a2+3a2a3【解題思路】在已知等式中用n?1替換n得另一等式（n≥2），兩式相減得3anan+1，然后用累乘法求得通項公式an，不等式λ【解答過程】因為a1=3，3a所以當n≥2時，有3a兩式相減可得3anan+1=當n=1時，3a1a2=1+所以an而a1=3也滿足該式，故由于λan≥由于cn+1當n=4時，c4當n<4時，cn+1cn當n>4時，cn+1cn所以c1故數(shù)列cn最大項為c4=故答案為：3208128．（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知數(shù)列an的通項公式是an=2n?1，記bm為an在區(qū)間m,2m【解題思路】分別談論m為奇數(shù)和偶數(shù)時，bm+1?b【解答過程】由m≤2n?1<2m?當m為奇數(shù)時，bm當m為偶數(shù)時，bm所以當m為奇數(shù)時，bm+1?bm=2由2m?1?1>2062?當m為偶數(shù)時，bm+1?bm==由2m?1>2062?又m為偶數(shù)，所以m≥14綜上可知：m的最小值為13.故答案為：13.題型8題型8新情景、新定義下的數(shù)列問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高二上·湖南長沙·期中）若數(shù)列an滿足1an+1?1an=d（n∈N?，d為常數(shù)），則稱數(shù)列【解題思路】根據(jù)題設易知正項數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為d，應用等差數(shù)列前n項和公式得b1+【解答過程】由題意，正項數(shù)列1bn為“調和數(shù)列”，則bn+1所以正項數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為d則b1+b則b1b2022所以b1故答案為：100.30．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列{bn}、{cn}均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得bm∈[cn,cn+1]，則稱數(shù)列①存在等差數(shù)列{an}，使得{an②存在等比數(shù)列{an}，使得{an③存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn④存在等比數(shù)列{an}，使得{Sn【解題思路】對于①取an=n分析判斷，對于②④取【解答過程】對于①：例如an=n，則{an}所以an+1?a故{an}取m=n(n+1)2，則am所以{an}是{對于②，例如an=2n?1>0，則{所以an+1?a故{an}取m=n+1，則am=a所以{an}是{對于③，假設存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn設等差數(shù)列{an}因為{an}又因為{Sn}為嚴格增數(shù)列，所以Sn+1?取n0∈N?，滿足an又因為{S所以對任意正整數(shù)m≥n0+1，則有S對任意正整數(shù)m≤n0，則有Sm故當n=k+1時，不存在正整數(shù)m，使得ak+1對于④，例如an=2n?1>0，則{an所以an+1?a故{an}取m=n，則Sm=S所以{Sn}是{故答案為：①②④.31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定義np1+p2+?+pn為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為【解題思路】根據(jù)數(shù)列新定義可求得Sn=n2，繼而求得an【解答過程】設數(shù)列an的前n項和為Sn，則nS當n=1時，a1當n≥2時，an=S故an所以bn=a故數(shù)列1bnbn+1的前故答案為：nn+132．（24-25高三上·北京朝陽·期中）對于無窮數(shù)列an，若存在常數(shù)M>0，使得對任意的n∈N?，都有不等式a2?a1①存在公差不為0的等差數(shù)列an具有性質P②以1為首項，qq<1為公比的等比數(shù)列an③若由數(shù)列an的前n項和構成的數(shù)列Sn具有性質P，則數(shù)列an④若數(shù)列an和bn均具有性質P，則數(shù)列an其中所有正確結論的序號是②③④.【解題思路】對于①，可使用反證法證明①錯誤；對于②，取M=q?1?11?q【解答過程】對于①，假設存在公差為dd≠0的等差數(shù)列an具有性質P，則存在常數(shù)使得對任意的n∈N?，都有不等式則對任意的n∈N?，都有但這對大于Md的正整數(shù)n對于②，設an是以1為首項，qq<1為公比的等比數(shù)列，則a所以正實數(shù)M=q?1?1a=q?1對于③，若由數(shù)列an的前n項和構成的數(shù)列Sn具有性質P，則存在常數(shù)使得對任意的n∈N?，都有不等式從而正實數(shù)a1+2M滿足對任意的a==a對于④，若數(shù)列an和bn均具有性質P，存在常數(shù)M1都有不等式a2?a使得對任意的n∈N?，都有不等式從而正實數(shù)b1M1a≤≤k=1≤k=1≤=≤b故答案為：②③④.題型9題型9兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高三上·遼寧·期中）已知直線y=x+t是曲線y=lnx?1和y=ax2?3x的公切線，則a+t【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義求解即可.【解答過程】令fx=ln因為直線y=x+t是曲線y=ln所以由f′x=1所以fx在2,0處的切線為y=x?2，所以t=?2又y=x?2是y=ax聯(lián)立y=x?2y=ax2令Δ=16?8a=0解得a=2所以a+t=0，故答案為：0.34．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知直線y=kx+b是曲線f(x)=ex?1與g(x)=ex+2023【解題思路】設出公切線與兩曲線的切點坐標，分別求出在切點處的切線方程，利用斜率相等及切線在y軸上的截距相等即可求解.【解答過程】設直線y=kx+b與f(x)的圖象相切于點P與g(x)的圖象相切于點P2又f'(x)=e曲線y=f(x)在點P1x1曲線y=g(x)在點P2x2故ex解得x1故k=y故答案為：1.35．（2024·北京朝陽·一模）已知函數(shù)fx=12sin2x.若曲線y=fx在點Ax1【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義，結合條件可知，cos2【解答過程】f′x=即cos2x1?cos2x2=?1或cos2x1=?1cos2x所以x1?x2=?所以x1?x故答案為：π2(答案不唯一)36．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線y=ex與圓(x?a)2+y2=2【解題思路】易得曲線y=ex在點x0,y0處的切線方程為y?ex0=ex0x?x0，再根據(jù)切線與圓x?a2【解答過程】解：曲線y=ex在點x0由于直線y?ex0=e因為曲線y=ex與圓即方程e2令gx=e2xx?a?1顯然，g′當x∈?∞,a?1時，g′x>0，當x∈a?1,a+2所以，gx在?∞,a?1上單調遞增，在a?1,a+2且當x→?∞時，gx=x?a?12因此，只需ga?1>2g解得a>1.故答案為：1,+∞題型10題型10函數(shù)的單調性問題37．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）已知函數(shù)fx=sin2π3，【解題思路】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可.【解答過程】f′x=令f′x=2cosx+12+當x∈0,2π3時，f′當x∈2π3,4π3當x∈4π3,2π時，f綜上可知，函數(shù)fx的單調遞減區(qū)間為2故答案為：2π38．（24-25高三上·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)fx=x2+x?2ex?2x+5【解題思路】根據(jù)題意可知y=f'x【解答過程】由題意知f'因為fx在區(qū)間2m?1,3m+2上不單調，即y=f'x在區(qū)間2m?1,3m+2有變號零點，又ex+2>0，所以所以x=1在區(qū)間2m?1,3m+2內，所以2m?1<13m+2>1，解得?13<m<1，即故答案為：?139．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，對任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，設a=2fπ6，【解題思路】構造函數(shù)Fx【解答過程】構造函數(shù)Fx=fxsin則x∈0,π時，所以函數(shù)Fx在0,于是Fπ即2fπ所以a<b<c，故答案為：a<b<c.40．（24-25高三上·安徽·開學考試）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1?x)=f(1+x)，當x∈[1,+∞)時，f(x)=12x2?x【解題思路】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱，再利用導數(shù)求出f(x)在[1,+∞【解答過程】依題意，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱，當x∈[1,+∞)時，f′(x)=x?ln函數(shù)f′(x)在[1,+∞)上單調遞增，f′不等式f(3x?1)≥f(0)化為|3x?1?1|≥|0?1|，解得x≤13或所以不等式f(3x?1)≥f(0)的解集為(?∞故答案為：(?∞題型11題型11函數(shù)單調性、極值與最值的綜合應用41．（23-24高三上·浙江紹興·期末）設函數(shù)fx=x3+ax2?3x?ba,b∈R在x=x1,x=x2【解題思路】利用導數(shù)求函數(shù)的單調性及極值，結合韋達定理求參數(shù)a，再分類討論b的范圍計算即可.【解答過程】由已知得f′x=3可得Δ=4則x2可得fx=令f′x>0，解得x<?1或x>1；令f易知fx=x3?3x?b在?故當x∈0,2時，0,1上單調遞減，1,2而f1當?b<0<2?b，即0<b<2時，M=f當b=0時，M=f當b≥2時，M=f當b<0時，M=f顯然對于?b∈R，當b=0時，M故答案為：2.42．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習）若函數(shù)fx=13x3?x2【解題思路】求得函數(shù)的導數(shù)，判斷單調性，確定函數(shù)極值，結合函數(shù)值情況，列出使得函數(shù)fx在區(qū)間?2,1+a【解答過程】由fx=1當x<0或x>2時,f′x>0；當0<x<2即fx=13x故x=0為函數(shù)的極大值點，且f0令fx=13x故要使函數(shù)fx=13x需滿足0<1+a≤3,∴?1<a≤2，故答案為：(?1,2].43．（23-24高三下·浙江·開學考試）設x1，x2是函數(shù)fx=12ax2?e【解題思路】根據(jù)極值點定義可將問題轉化為y=a與gx=exx有兩個不同交點x1,x2；化簡得到ex2?x【解答過程】∵f′x=ax?e∴x1,x2即ex1=ax1，ex2所以ex2?x1令?(t)=lntt?1令u(t)=1?1t?所以u(t)在[2,+∞)上單調遞減，所以所以?(t)在[2,+∞)所以a=e令φ(x)=exx所以φ(x)在(0,ln2]故答案為：2ln44．（23-24高二下·北京·期末）已知函數(shù)fx①當a≥0時，y=fx在0,+②當0<a<12時，③當a≤0時，y=fx④若函數(shù)存在兩個不同的極值點x1，x2，則其中所有正確結論的序號是②④．【解題思路】根據(jù)導函數(shù)的正負，即可判斷①,極值點的定義，結合函數(shù)的單調性即可判斷②③，根據(jù)極值點，構造函數(shù)ga【解答過程】fx=xf′當a≥0時，2x2?2x+a=2x?1若y=fx存在兩個極值點；則2x2?2x+a=0有兩個相異的正實數(shù)根，所以當a≤0時，令f′x=0,則2x2則x1x2當x∈0,x2所以fx在0,x2因此當x=x2時，由②知若函數(shù)存在兩個不同的極值點x1，x2，0<a<1令ga由于y=2a,y=lna?1均為所以g′a=2a+lna?1為0<a<12故ga為0<a<12上的單調遞減函數(shù)，當a趨近于0時，ga也趨向于于0，因此故答案為：②④.題型12題型12利用導數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根）45．（24-25高三上·山東濟寧·期中）已知函數(shù)fx=x2?12lnx【解題思路】根據(jù)題意轉化為fx=x2?12lnx【解答過程】因為函數(shù)fx=x2?12所以fx=x所以a>lnx2設gx=ln因為x>2，lnx2>0，可得1?所以gx在區(qū)間2,+∞上單調遞減，所以gx所以，實數(shù)a的取值范圍為[?2,+∞故答案為：[?2,+∞46．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）已知函數(shù)f(x)=x?ex,x<1lnxx,x≥1，方程【解題思路】分x<1和x≥1兩種情況，分別求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值，從而得到函數(shù)圖象，由方程fx【解答過程】因為fx當x<1時fx=x?e當x<?1時f′x<0，當?1<x<1所以fx在?∞,?1上單調遞減，在?1,1上單調遞增，fx在x=?1當x≥1時,fx=當1≤x<e時,f′x>0，當所以fx在1,e上單調遞增，在所以fx在x=e取得極大值，令lnx=t，若x≥1，則t≥0，從而ln當t→+∞時，ln所以fx

方程fx由圖可知當且僅當a∈?故答案為：?147．（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)fx=x2,x≤0xex?1,x>0，若關于x【解題思路】求得f′x=1?xe【解答過程】當x>0時，fx=x當x∈(0,1)時，f′x>0當x∈(1,+∞)時，f′x<0畫出函數(shù)y=fx關于x的方程f2令fx=t，令則gx=0在則滿足Δ=?m2所以實數(shù)m的取值范圍為(1故答案為：(1

48．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=ex,x≤0lnxx,x>0【解題思路】題目轉化為函數(shù)y=fx與函數(shù)y=x?a=x?a,x≥aa?x,x<a【解答過程】函數(shù)gx則函數(shù)y=fx與函數(shù)y=作出函數(shù)y=fx

當x≤0時，fx=ex，則故曲線fx=ex在x=0處的切線方程為當x>0時，fx=lnxx故曲線fx=lnxx在x=1綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為?∞故答案為：?∞題型13題型13利用導數(shù)研究恒成立、存在性問題49．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎猭為常數(shù)，若關于x的不等式(x?k)2exk≤1e對任意的x∈(0,+【解題思路】分析可知k<0，整理可得xk?12ex【解答過程】顯然k≠0，若k>0，當x趨近于+∞，y=(x?k)2可知k<0，因為(x?k)2ex由x>0，可得xk<0，令t=x原題意等價于t?12et構建ft=t?1令f′t>0，解得t<?1；令f可知ft在?∞,?1則ft≤f?1所以實數(shù)k的取值范圍為?1故答案為：?150．（24-25高二上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)fx=5ex+alnx+1?a+5x?5，若【解題思路】就a>0、a≤0分類討論，前者再就0≤a≤5,a>5分類后結合導數(shù)的符號討論單調性后可得相應范圍，后者結合常見的函數(shù)不等式可得恒成立，故可得參數(shù)的取值范圍.【解答過程】當a>0時，f′設gx=5因為a>0，故y=5ex,y=?故g′x在若5?a≥0即0<a≤5，則g′x>0故gx在0,+∞上為增函數(shù)，故故fx為0,+∞上為增函數(shù)，故故0<a≤5符合，若5?a<0即a>5，此時g′0=5?a<0故存在x0∈0,且?x∈0,x0，g′x故?x∈0,x0，gx<g故fx當a≤0時，設sx=x?ln故sx在0,+∞上為增函數(shù)，故sx設tx=etx在0,+∞上為增函數(shù)，故tx而a≤0，故5e即5ex+alnx+1綜上，a≤5，故答案為：a≤5.51．（24-25高三上·江西宜春·階段練習）若關于x的不等式x2?mx+3m?2≥0在區(qū)間1,2上有解，則實數(shù)m的取值范圍是?2,+∞【解題思路】分離參數(shù)可得m≥2?x23?x在區(qū)間【解答過程】∵x∈1,2∴不等式x2?mx+3m?2≥0，即m≥2?設g(x)=2?x2則g(x)=?令t=3?x,t∈1,2設?(t)=?t+7t?′(t)=?1?7t故?(t)min=?(1)=?2故要使m≥2?x23?x在區(qū)間即實數(shù)m的取值范圍是?2,+∞故答案為：?2,+∞52．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數(shù)fx=lnx2+1,gx=【解題思路】根據(jù)題意得fx【解答過程】由題意，可得fx當?1≤x≤1時，f′由f′x<0，可得?1≤x<0，由f所以函數(shù)fx在?1,0上單調遞減，在0,1上單調遞增，所以f因為gx=1ex?a，所以所以0≥1e2?a，解得a≥1故答案為：1e題型14題型14利用導數(shù)研究雙變量問題53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函數(shù)fx=12x2,gx=【解題思路】由f′x1=gx2得【解答過程】因為f′x=x，若f′令?x=3x?當x∈0,13時，?當x∈13,+∞時，?xmin=?故x2?x故答案為：1+ln54．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x3?3ax2+12xa>0【解題思路】根據(jù)極值點定義可知x1,x2為f′x=0的兩根，由Δ>0可求得a>2，并得到韋達定理的形式；結合韋達定理將fx【解答過程】由題意知：fx的定義域為R，f∵fx有兩個極值點x1,x2∴Δ=36a2?144>0，又a>0，解得：a>2∴fx1+fx2=x令ga=?4a∴當a>2時，g′a<0恒成立，∴g∴ga<g2=?4×8+24×2=16，則故答案為：?∞55．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)fx=lnx,x≥11?x2,x<1，若Fx=f【解題思路】先運用分段函數(shù)的解析式，得出F(x)=f(f(x)+1)+m的解析式，再利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性區(qū)間,即可求得x1【解答過程】當x≥1時,f(x)=lnx≥0,∴f(x)+1≥1,當x<1，f(x)=1?x綜上可知：F(x)=f(f(x)+1)+m=ln則f(x)+1=e?m，f(x)=e?m?1有兩個根x當x≥1時,lnx2=e?m令t=e?m?1>12,則lnx2=t，x2設g(t)=et(2?2t)，t>12,所以g′(t)=?2t∴g(x)的值域為(?∞,e),∴x故答案為：(?∞,e56．（2023·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)fx=12x2+1?ax?xlnx有兩個極值點x1,x2【解題思路】由f(x)有兩個極值點x1,x2，得f′(x)有兩個變號零點，構造函數(shù)?x=x?lnx?a，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，得函數(shù)的草圖，利用草圖列式可求出【解答過程】f(x)的定義域為(0,+∞)，由已知得x1,x令?x=x?ln當x∈0,1時，?′x<0,，?(x)單調遞減，當x∈1,+所以函數(shù)f′x在0,1上單調遞減，在當x→0時，lnx→?∞，?ln當x→+∞時，lnx→?∞，?如圖：由圖可知，只需f′xmin即實數(shù)a的取值范圍是1,+∞若3x1≥x2由已知a=x1?則tx1?x1所以lnx令mt=t+1令φ(t)=?2lnt+t?1所以函數(shù)φ(t)在t∈(1,3]上遞增，又因為φ(1)=0，所以當t∈(1,3]時，φ(t)>0