空間向量及其應用（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第31講空間向量及其應用

（10類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關系有關命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間向量的加減數(shù)乘運算，掌握共線、共面問題。

2.能掌握線線角，線面角，與面面角問題。

4.會解空間中的動點問題，會解決空間中的動點含參問題。

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給幾何體，求解夾角問題，與空間中的動點問題。

卜々?考點梳理?

知識點一.空間向量的有關概念考點一、空間向量加減數(shù)乘運算

1.共線向量定理考點二、空間向量基本定理

《考點四、共線問題

知識點二.空間向量的有關定理2.共面向量定理

3.空間向量基本定理考點五、共面問題

知識點三?空間向量的數(shù)量積及運算律2.空間信■的坐標表示及其應用考點三、空間向量數(shù)量積運算

空間向量及其應用1.直線的方向向量

知識點四.空間位置關系的向量表示＜2.平面的法向量

3.空間位置關系的向量表示

1.異面直線所成的角

考點六、線線、線面角問題

知識點五.夾角相關2.直線與平面所成的角

考點七、面面角問題

3.平面與平面的夾角

考點八、點面、線面、面面距

1.點到直線的距離

知識點六.距離相關考點九、點線、線線距

2?點到平面的距離

考點十、空間中的動點問題

知識講解

知識點一.空間向量的有關概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相壬任

共線向量（或平行向量）

或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量

知識點二.空間向量的有關定理

1.共線向量定理：對任意兩個空間向量“，的充要條件是存在實數(shù)九使“=肪.

2.共面向量定理：如果兩個向量“，5不共線，那么向量p與向量a,&共面的充要條件是存在唯二的有序實

數(shù)對（尤，y）,使。=網(wǎng)+9.

3.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數(shù)組（x,y,z）,使得p=xa

+yb+zc,[a,b,c｝叫做空間的一個基底.

知識點三.空間向量的數(shù)量積及運算律

1.數(shù)量積

非零向量a,?的數(shù)量積a3=|a||臼cos[a,b）.

2.空間向量的坐標表示及其應用

設。=（。1，。2,俏），b=（bi,岳，bi）.

向量表示坐標表示

數(shù)量積a-b〃回+a?2+a3b3

共線/leR)〃2=%62，

垂直a仍=0（a，0,萬￥。）包―+。2岳+a3b3=Q

模\a\q裙+詔+曙

a，b,_____〃而1+。2—+。3人3

夾角余弦值cos〈a,b)—忸|(〃W0,萬#0)c°\"'q屆+層+曷々3+優(yōu)+質

知識點四.空間位置關系的向量表示

1.直線的方向向量：如果表示非零向量”的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此向量a為直線/

的方向向量.

2.平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

3.空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示

h//hn\//敢=2〃2(/1￡R)

直線/1，辦的方向向量分別為“1，?2

/山2〃1_L〃2=〃1，〃2=O

直線/的方向向量為〃，平面a的法1//a〃?機=0

向量為m,/0al-Lan//=2/w(A￡R)

a//pn//機=〃￡R)

平面a,乃的法向量分別為“，m

a_L4〃_L/n=〃?帆=0

4.常用結論

1.三點共線：在平面中A,B,C三點共線Q殖比（其中x+y=l）,O為平面內任意一點.

2.四點共面：在空間中尸，A,B,C四點共面=辦=*次+y彷+z求（其中x+y+z=l）,。為空間中任意

~'點.

知識點五.夾角相關

1.異面直線所成的角

若異面直線Z1,/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cose=|cos〈〃，力尸黑.

2.直線與平面所成的角

如圖，直線A2與平面a相交于點2,設直線A3與平面a所成的角為仇直線A2的方向向量為“，平面a

\u'n\

的法向量為“，則sin『=|cos〈“,”〉|=

|w||?l~\u\\n\'

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面￡相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱為平面a與平

面P的夾角.

若平面a,4的法向量分別是"1和"2，則平面a與平面4的夾角即為向量”1和”2的夾角或其補角.設平面

a與平面￡的夾角為仇則cos0=|cos<ni，n2)|=黑湍.

知識點六.距離相關

1.點到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點，P是直線/外一點，設#=a,則向量力在直

線/上的投影向量毆=("?")”，在R3APQ中，由勾股定理，得尸0=｛油2_曲|2=,2_4/2.

AQ

2.點到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，A是平面a內的定點，尸是平面a外一點.過點尸作平面a的垂線/,交

平面a于點Q,則n是直線I的方向向量,且點P到平面a的距離就是力在直線I上的投影向量辦的長度，

考點一、空間向量加減數(shù)乘運算

典例引領

1.（2024高三.全國.專題練習）如圖，在空間四邊形2BCD中，E,尸分別是BC,CD的中點，則:就+（麗+育=

（）

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，空間四邊形。4BC中，耐=心礪=3,前=落點M在。4上,

且麗=：方I,點N為8C中點，則而等于（）

A.-a+-D——cB.——a+-b+-c

222322

242T2T2T1-?

C.-a+-b--cD.--a+-b--c

332332

即時檢測

1.（2024?全國?模擬預測）在棱長為2的正方體ABCD中，已知而=屈+|而+］麗*,截面40*

與正方體側面BCC14交于線段MN,則線段MN的長為（）

A.1B.夜C.芋D.2V2

2.（23-24高三上?江蘇?階段練習）若空間中四點4B,C,D滿足4瓦5+前=4而，則粵=（）

\BC\

113

A.-B.3C.-D.-

344

3.（2024?內蒙古錫林郭勒盟.模擬預測）在空間直角坐標系中，己知4（0,3,0）,5（0,0,0）,C（4,0,0）,3（0,3,2）,

則四面體ABCD外接球的表面積為（）

A.29TTB.28兀C.321TD.30兀

4.（2024?浙江嘉興?模擬預測）設x,yeR,a=（1,1,1）1=（l,y,z）,c=（%,-4,2）,且日1c,b||c,貝”22+同=

A.2V2B.0C.3D.3a

考點二、空間向量基本定理

典例引領

1.（20-21高三上.浙江寧波?階段練習）己知。，A,B,C是空間中的點，則“耐，礪，擊”不共面是“對于任意

的久,yeR,向量成+支而與向量4+y瓦都不共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024高三?全國?專題練習）已知體積為百的正三棱錐P-4BC的外接球的球心為。，若滿足瓦？+赤+

OC=0,則此三棱錐外接球的半徑是（）

A.2B.V2C.V2D.V4

1.（2024?山東濟南?一模）在三棱柱ABC-4/16中，AM=2MB,A^N=mA^_,且BN〃平面&CM,則機

的值為.

考點三、空間向量數(shù)量積運算

典例引領

1.（2024?全國?模擬預測）設A,B,C三點在棱長為2的正方體的表面上，則前?前的最小值為（）

934

A.--B.-2C,--D,--

2.（2024.江西贛州.二模）已知球O內切于正四棱錐P-ABC。，PA=AB^2,EF是球O的一條直徑，點

Q為正四棱錐表面上的點，則詼?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-273]

即時便測

1.（2024?山東日照.二模）已知棱長為1的正方體4BCD-4/停1。1，以正方體中心為球心的球。與正方體的

各條棱相切，若點P在球。的正方體外部（含正方體表面）運動，則麗?麗的最大值為（）

731

A.2B.;C.;D.;

2.（2024.上海.三模）已知點C在以AB為直徑的球面上，若BC=2,則荏?芯=_.

3.（2024.貴州?模擬預測）已知正方體ABC。-ABiGDi的頂點均在半徑為1的球。表面上，點P在正方體

ABC。表面上運動，MN為球。的一條直徑，則正方體2BCD—A/iGA的體積是,

兩?兩的范圍是.

考點四、共線問題

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）已知向量江=（2m+1,3,血一1），b=（2,m,—m）,且五〃3,則實數(shù)m的值為

（）

A.-|B.-2C.0D.-1或-2

2.（2023?山東?模擬預測）已知三棱錐S-ABC,空間內一點M滿足詢=襦-3宓+4元，則三棱錐M-ABC

與S-4BC的體積之比為.

即時便測

1.（2023?河北?模擬預測）在空間直角坐標系中，2（1,—2,a）,B（0,3,l）,C（b,—1,2）,若4,B,C三點共線，則

ab=.

2.（2023高三?全國?專題練習）已知向量日=（1,0,爪），b=（2,0,-2V3）,若由/立則|團=.

考點五、共面問題

典例引領

1.（2024.河南.三模）在四面體28CD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，。是4鳥。。內一點，四面體48CD

的體積為2百，則對Vx,y€R,|為一x礪—y沆|的最小值是（）

A.2V6B.手C.V6D.6

2.（23-24高三上?遼寧沈陽?階段練習）已知空間向量用=（1,2,4）,而=（5,—1,3）,麗=（瓶,上—1）,則

呼,48,。四點共面”是“10機+1771=-11”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

即時性測

1.（2024高三?全國?專題練習）在四面體。—2BC中，空間的一點M滿足麗=

流共面，則九=.

2.（23-24高三上?上海寶山?期末）已知空間向量方=（1,2,4）,而=（5,-1,3）,PC=（m,n,-1）.若P,4B,C四

點共面，則10根+17?1=.

3.（23-24高三上?河北張家口?階段練習）若向量江=（1,一2,-n）,另=&—（0,1,—|）共面，則

n=.

4.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在正三棱柱28。-4/1的中，4B=4,44】=3,M是4B的中點，AN=

2M點P在BJV上，且第=2瓦R（0W4W1）.是否存在實數(shù)人使C,M,P，4四點共面？若存在，求;I的

值；若不存在，請說明理由；

考點六、線線、線面角問題

典例引領

1.（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知平行六面體4BCD-力iBiQDi中，棱44i，4B,4D兩兩的夾角均為60。,

AA±=2AB,AB=AD,E為aG中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）

2.（24-25高三上?四川成都?開學考試）已知M,N分別是正四面體4BCD中棱AD,BC的中點，若點E是

棱CD的中點.則MN與AE所成角的余弦值為（）

A.—3B.在C.—漁D.在

3366

即時檢測

I_________L__________

1.（2024?廣東?一模）在正方體ABC。—a/iGA中，點P、Q分別在上，且&P=2PB1,C1Q=2QDr

則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為

2.（2022?全國?高考真題）在四棱錐P—ABC。中，PDl^ABCD,CD||AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

(1)證明：BD1PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

3.(2022?全國?高考真題)如圖，四面體48C。中，AD1CD,AD=CD.^ADB=^BDC,E為AC的中點.

A

(1)證明：平面BED_L平面4CD；

(2)設AB=BD=2/ACB=60°,點F在8。上，當AAFC的面積最小時，求CF與平面4BD所成的角的正弦

值.

4.(2022?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-&B1Q中，側面BCC/i為正方形，平面BCC1/，平面

AB=BC=2,M,N分別為4/1，AC的中點.

C

(1)求證：MN〃平面BCC1%；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

考點七、面面角問題

典例引領

1.（2024?河南鄭州?模擬預測）如圖，在三棱錐P-ABC中，AABC=￡,4。=CO,PA=PB=PC.

⑴證明：0Pl平面ABC；

（2）若PA==E是棱BC上一點且2BE=EC,求平面P4E與平面P4C的夾角公

2.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模）如圖，三棱錐P-ABC中，/LABC=^,AB=BC=2,P4=PB,D是棱AB的

（1）下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取

并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；

①平面P4B_L平面4BC；

@DE1AC；

@PE1AC.

（2）若三棱錐P-ABC的體積為I，以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面PDE與平面P8C所成二面角

的大小.

即時檢測

1.（24-25高三上?山東荷澤?開學考試）如圖，在三棱柱48C—2/16中，A4i1平面4BC,ABi14C,AB1

BC,AB=BC=2.

⑴求證：平面ABiG1平面&BC；

⑵設點P為aC的中點，求平面4BP與平面8CP夾角的余弦值.

2.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐P—A8C中，PA1平面ABC,PA=AB=BC1,PC=瓜

⑴求證：BC_L平面PAB；

(2)求二面角4-PC-B的大小.

3.(2023?全國?高考真題)如圖，在正四棱柱力BCD中，4B=2,441=4.點醺為，C2,“分別在

棱441，BB],CCi，DZ)i上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2||A2D2-,

(2)點P在棱8%上，當二面角P—42c2-。2為150°時，求82P.

4.(2023?全國?高考真題)如圖，三棱錐4—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,^ADB=^ADC=60°,E

為BC的中點.

AF

(1)證明：BCIDA；

(2)點F滿足麗=瓦?，求二面角0—48—F的正弦值.

考點八、點面、線面、面面距

典例引領

1.(24-25高三上?廣東?開學考試)如圖，四邊形48CD是圓柱0E的軸截面，點尸在底面圓。上，0A=BF=

聒AD=3,點G是線段8尸的中點，點H是師的中點.

(1)證明：EG〃平面小4尸；

(2)求點H到平面ZMF的距離.

2.(2021?廣西柳州?一模)如圖AdBC的外接圓。的直徑4B=2,CE垂直于圓。所在的平面,BD〃CE,CE=2,

BC=BD=1,M為。E上的點.

⑴證明：BMLAC；

(2)當“為DE的中點時，求點M到平面ZCD的距離.

即時期I

1.(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺ABC-4tBic1中，△ABC為等邊三角形，AB=2A1B1=4,AA1，平

面ABC,點M,N,D分別為AB,AC,BC的中點，ArB1AQ.

(1)證明：CCi〃平面4MN；

(2)求直線&D與平面&MN所成角的正弦值；

⑶求點D到平面&MN的距離.

2.(24-25高三上?福建?開學考試)如圖所示，在四棱錐U-4BCD中，底面4BCD為直角梯形,4B〃CD,乙4BC=

90°,側面UBC底面4BCD且KB=VC=BC=AB=2CD=2,E為V4中點.

(1)求證：EBLAD；

(2)求二面角B-VD-4的正弦值；

⑶求點C到平面匕4。的距離.

3.(2024?黑龍江?二模)如圖，已知正三棱柱力BC-的側棱長和底面邊長均為2,M是BC的中點，N

是AB】的中點，P是81G的中點.

(1)證明：MN//平面41cP；

(2)求點P到直線MN的距離.

4.(2024?貴州?模擬預測)在三棱錐4BCD中，AC1平面BCD,P是4B上一點，且3AB=4BP,連接CP與OP,

Q為DP中點.

B

(1)過Q點的平面平行于平面AC。且與8C交于點M,求翳；

(2)若平面PCD_L平面ABC,且AC=2BC=2CO=4,求點P到平面BCQ的距離.

考點九、點線、線線距

典例引領

1.(2024?吉林?模擬預測)如圖所示，半圓柱。。1與四棱錐4-BCDE拼接而成的組合體中，F(xiàn)是半圓弧上

(不含B,C)的動點，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點4在半圓柱下底面所在平面內，0B=2。。1=2,48=2。=

2A/2.

(1)求證：CG1BF；

(2)若DF〃平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值；

(3)求點G到直線。。距離的最大值.

2.(2024?江蘇無錫?模擬預測)如圖，在棱長為4的正方體48CD中，點E在棱44］上，且4E=1.

⑴求四棱錐久—EABBi的表面積

(2)若點P在棱DiQ上，且P到平面B/E的距離為學，求點P到直線EE1的距離.

包即

1.(2024.天津河西?模擬預測)如圖，在棱長為a的正方體。ABC-O7T夕廠中，民F分別是棱48,BC上的動

點，且4E=BF.

(1)求證：A'F1C'Ei

(2)當三棱錐次-BEF的體積取得最大值時，求平面9EF與平面BEF夾角的正切值及點。到直線BN的距離.

2.(2024?廣東廣州?模擬預測)如圖所示的空間幾何體是以4。為軸的工圓柱與以4BCD為軸截面的半圓柱拼接

4

而成，其中AD為半圓柱的母線，點G為弧CD的中點.

(1)求證：平面BDF_L平面BCG；

(2)當4B=4,平面BDF與平面力BG夾角的余弦值為平時，求點E到直線BG的距離.

3.(23-24高三下?天津南開?階段練習)如圖，棱柱力BCD-4/1Ci。1的底面是菱形，^DAB=60°,所有棱

長都為2,ACQBD=0,&。1平面ABCD,F為DC1的中點.

AB

(1)證明：OF〃平面BCG/；

(2)求二面角D-A4i-C的余弦值；

(3)求點F到直線D&的距離.

4.(2024?山西呂梁?一模)如圖，在四棱錐P—4BCD中，已知P41平面4BCD,且四邊形4BCD為直角梯形,

^ABC=^BAD^,PA=3,AD=2,AB=BC=1.

(1)線段PB上是否存在一點Q使得QC1CD,若存在，求出BQ的長，若不存在，說明理由；

(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，求異面直線

PB與CD之間的距離.

考點十、空間中的動點問題

1.(24-25高三上?四川達州?開學考試)如圖，在三棱柱ABC—a/iG中，AA11^ABC,AB11ArC,AB1

⑴求證：AB11平面4BC；

⑵設點P滿足中=4碇(0W4W1),若平面48P與平面8CP的夾角為以求實數(shù)人

2.(22-23高三下?江蘇連云港?階段練習)如圖，在正四棱柱ABC?！?B1GD1中，44=248=2,E,F分

別為棱441,CG的中點，G為棱上的動點.

(1)求正四棱柱4BCD-&B1QD1過點B,E,F的截面的面積;

(2)是否存在點G,使得二面角G-EF-B的大小為60°?若存在，求出DG的長度；若不存在，說明理由.

即時檢測

1.(24-25高三上?江蘇揚州?開學考試)在四棱錐P-4BCD中，24，平面力BCD,底面ABC。為正方形，P4=

AB,E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，BF=ABC(O<A<1).

(2)求實數(shù)4的值，使得平面4EF與平面PDC所成角的余弦值最大.

2.(2025?浙江?模擬預測)在正四面體ABCD中,P是△4BC內部或邊界上一點,滿足而=%荏+〃尼,4+〃=

1

2,

(1)證明：當|DP|取最小值時，DP1BC；

⑵設加=茄1+)/礪+Z反，求/+y2+z2的取值范圍.

3.(2024.貴州貴陽?二模)由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺4BCD-4/1G4中，分別

為4D,48的中點，AB=2A/1=4,側面BBiQC與底面48CD所成角為45。.

AFB

(1)求證：8必〃平面&EF；

(2)線段48上是否存在點M,使得直線與平面4EF所成的角的正弦值為管，若存在，求出線段AM的長；

若不存在，請說明理由.

4.(2025?廣東深圳?一模)如圖，PD1平面ABCD,AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=

24B=2,點E,F,M分別為AP,CD,BQ的中點.

(1)求證：EF〃平面CPM；

(2)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為3求QMNC的值.

6

IN.好題沖關

A基礎過關

1.(23-24高三上.廣東東莞?階段練習)如圖，AB是圓的直徑，平面PAC1面ACB,且AP1AC.

(1)求證：BC，平面P4C；

(2)若=2,AC=1,AP=1,求直線AC與面PBC所成角的正弦值.

2.(2024.天津紅橋.二模)在如圖所示的幾何體中，P4_L平面48CD,PA//QD,四邊形A8CD為平行四邊形,

AB=PA=1,PQ=2V2.

(1)求證：直線PB//平面DCQ；

(2)求直線P8與平面PCQ所成角的正弦值;

(3)求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值.

3.(2024.天津?二模)如圖，在直三棱柱ABC-4/1的中，AC1BC,AC=BC=2,CCr=3,F為名的的

中點，點、D,E分別在棱和棱CQ上，且4。=1,CE=2.

⑴求證：&F//平面BDE；

(2)求平面4CC14與平面BDE夾角的余弦值；

⑶求點4到平面8DE的距離.

4.(2024?天津?二模)如圖，DAJ_平面力8C,AB1AC,AD||CE,ABAC=CE=1,AD=2,M為4。的

(2)求平面D8C與平面48C夾角的余弦值；

(3)設N是棱BC上的點，若EN與CD所成角的余弦值為察，求BN的長.

5.(23-24高三下?天津?階段練習)已知四棱臺4BCD-4/傳1。1，下底面48CD為正方形,AB=2,44=1,

側棱A4i_L平面4BCD,且=2,E為CD中點.

⑴求證：&E//平面BCC/i；

(2)求平面4BC1A與平面BCQB］所成角的余弦值；

(3)求E到平面力BQDi的距離.

6.(2024?天津河西?一模)已知三棱錐P—A8C中，PA1平面力8C,AB1AC,AB=2PA=2AC=4,N為AB

上一點且滿足3麗=而，M,S分別為PB,BC的中點.

(1)求證：CM1SN；

(2)求直線SN與平面CMN所成角的大小;

⑶求點P到平面CMN的距離.

B能力提升

1.（24-25高三上?天津薊州?開學考試）如圖，PD1平面1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=

(1)求證：EF〃平面CPM；

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；

(3)若N為線段CQ上的點，且直線DN與平面QPM所成的角為士求N到平面CPM的距離.

2.(23-24高三上?天津?期中)如圖，PD垂直于梯形4BCD所在平面，N4DC=N瓦W=90。,尸為P力的中點,

PD=41,AB=AD=1,四邊形PDCE為矩形.

(1)求證：4C〃平面OEF；

(2)求平面4BCD與平面BCP的夾角的余弦值;

⑶求點尸到平面BCP的距離.

3.(2024?天津薊州?模擬預測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱4P兩兩垂直，長度分別為1,2,

C

⑴求實數(shù)九值；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面P8D與平面PCD夾角的余弦值.

4.(23-24高三下?天津?階段練習)如圖，已知多面體4BC—a/iG，A±A,BrB,均垂直于平面ABC,

/.ABC=120°,A1A=4,CtC=1,AB=BC=BrB=2.

B

(1)求證:ABr1平面A/iQ；

(2)求直線4C1與平面4BB1所成角的正弦值；

(3)求點a到平面A/IG的距離.

5.(2024?天津?模擬預測)四棱錐P—4BCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD為矩形，且=4,=3,

PA=5,E、F分別為PD、PB中點，CM=|c?.

(1)求平面EFM與平面力BCD夾角余弦值；

(2)求平面EFM與直線PB夾角正弦值；

⑶平面EFM與PA交于N點，求AN的長.

6.(23-24高三下