立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)22立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1立體幾何中的體積問題】...............................................................4

【題型2立體幾何中的線段長度問題】..........................................................5

【題型3空間角問題】.........................................................................7

【題型4空間點(diǎn)、線、面的距離問題】..........................................................9

【題型5立體幾何中的作圖問題】..............................................................11

【題型6立體幾何中的折疊問題】..............................................................14

【題型7立體幾何中的軌跡問題】..............................................................16

【題型8立體幾何中的探索性問題】............................................................17

【題型9立體幾何建系繁瑣問題(幾何法)】...................................................20

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】..................................................21

?命題規(guī)律

1、立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類

空間向量與立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，屬于高考

的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)

空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深；第一小問主要考察空間線面位置關(guān)系的證明，難度較易；第二、

三小問一般考察空間角、空間距離與幾何體的體積等，難度中等偏難；空間向量作為求解空間角的有力工

具，通常在解答題中進(jìn)行考查，解題時(shí)需要靈活建系.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體表面積與體積的常見求法】

1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該

怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡單

幾何體的體積，再相加或相減.

【知識(shí)點(diǎn)2幾何法與向量法求空間角】

1.幾何法求異面直線所成的角

(1)求異面直線所成角一般步驟：

①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是(0,。],所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面

直線所成的角.

2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(。，y],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的

絕對(duì)值.

3.幾何法求線面角

(1)垂線法求線面角(也稱直接法)：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)3為斜足；找線在面外的一點(diǎn)/,過點(diǎn)N向平面a做垂線，確定

垂足O-,

②連結(jié)斜足與垂足為斜線在面a上的投影；投影8。與斜線之間的夾角為線面角；

③把投影與斜線歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：

用等體積法，求出斜線為在面外的一點(diǎn)尸到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.

公式為：sin6=},其中6是斜線與平面所成的角，〃是垂線段的長，/是斜線段的長.

4.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

5.幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線,

再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角

的大小.

【知識(shí)點(diǎn)3空間距離的求解策略】

1.向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟：

(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量；.

(2)在直線上任取一點(diǎn)M可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)).計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量加.

(3)垂線段長度.=y/MN2~(MN-v)2.

2.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法

(1)直接法：過尸點(diǎn)作平面a的垂線，垂足為°,把放在某個(gè)三角形中，解三角形求出尸。的長度就

是點(diǎn)P到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)尸所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個(gè)點(diǎn)到平面a的距離來求.

③等體積法.

④向量法：設(shè)平面a的一個(gè)法向量為〃，/是a內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到a的距離為巧：

H

【知識(shí)點(diǎn)4立體幾何中的軌跡問題的解題策略】

1.動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法

動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問題的常見解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問題.

(2)交軌法：若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動(dòng)曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時(shí)，要首先分析兩動(dòng)曲

線的變化，依賴于哪一個(gè)變量?設(shè)出這個(gè)變量為/,求出兩動(dòng)曲線的方程，然后由這兩動(dòng)曲線方程著力消去

參數(shù)化簡整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.

(4)坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，進(jìn)

行求解.

(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問

題，進(jìn)行求解.

【知識(shí)點(diǎn)5立體幾何中的探索性問題的求解策略】

1.與空間向量有關(guān)的探索性問題的求解策略：

在立體幾何中，與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探

究線面角、二面角或點(diǎn)線面距離滿足特定要求時(shí)的存在性問題.

解決這兩類探索性問題的解題策略是：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)

出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.

?舉一反三

【題型1立體幾何中的體積問題】

【例1】(2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知三棱柱力BC—4B1C1，如圖所示，P是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、D

分另|J是AC、PC的中點(diǎn)，AB1BC,AAt=AB=BC=2.

(1)求證：。。||平面P48；

(2)當(dāng)44i1平面4BC,且&P=3PCi時(shí)，求三棱錐Bi-力PC的體積.

【變式1-1](2024?山東日照?二模)在三棱錐P—ABC中，BA1BC,P81平面A8C,點(diǎn)E在平面ABC內(nèi),

且滿足平面P4E1平面PBE,AB=BC=BP=1.

⑴求證：AE1BE；

(2)當(dāng)二面角E-PA-B的余弦值為三時(shí)，求三棱錐E-PCB的體積.

【變式1-2](2024?河南?模擬預(yù)測)如圖，幾何體4BCDEF中，底面力BCD為邊長為2的菱形，平面CDEF1

平面2BCD,平面BCF_1_平面43。。，NDAB=1

(1)證明：CF_L平面4BCD；

(2)若。E=孚，平面4DE與平面BCF的夾角為g求四棱錐E-力BCD的體積.

26

【變式1-3](2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)如圖，四棱錐P-4BCD的底面力BCD是矩形，PD1平面

4BCD,PD=&AD=為PD的中點(diǎn)，Q為R1上一點(diǎn)，S.AM1DQ.

(1)證明：PC〃平面

(2)若二面角B-DQ-。為45°,求三棱錐Q-BCD的體積.

【題型2立體幾何中的線段長度問題】

[例2](2024?江蘇南京?二模)如圖，AD//BC,一。148,點(diǎn)E、F在平面4BCD的同側(cè),CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,平面4CFE_L平面力BCD,EA=EC=V3.

(1)求證：BF〃平面4DE；

(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為嚶，求線段CF的長.

【變式2-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐E-4BCD中，EC1平面ABCD,4B||DC,△4CD為等邊

三角形，DC=24B=2,CB=CE,點(diǎn)F為棱BE上的動(dòng)點(diǎn).

B

(1)證明：DC_L平面BCE；

(2)當(dāng)二面角F-AC-B的大小為45。時(shí)，求線段CF的長度.

【變式2-2］（2024?湖北?模擬預(yù)測）如圖，AE_L平面4BCD,E,F在平面力BCD的同側(cè)，AE//DF,AD//BC,

1

AD1AB,AD=AB=-BC=1.

2

(1)若￡C四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求線段EF的長；

(2)若DF=24E,平面BEF與平面BCF的夾角為30。，求線段4E的長.

【變式2-3](2024?湖南?模擬預(yù)測)如圖1,在五邊形力BCDP中，連接對(duì)角線4D,AD//BC,AD1DC,PA=

PD=2y/2,AD=2BC=2DC=4,將三角形PAD沿力。折起，連接PC,PB,得四棱錐P—ABC。(如圖2),

且P8=2VIE為4D的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PE上.

圖1圖2

(1)求證：平面PHD1平面A8CD；

(2)若平面4MN和平面P4B的夾角的余弦值為嚶，求線段EN的長.

【題型3空間角問題】

【例3】(2024?青海?二模)如圖，在三棱柱力BC-&BiCi中，所有棱長均相等，C/CBCi=。，乙4期=60°,

CB1BB?

4

(1)證明；4。_L平面B/CiC.

(2)若二面角Ci-A1B1-B的正弦值.

【變式3-11(2024?福建龍巖?三模)如圖，在四棱臺(tái)2BCD-&/的。1中，底面四邊形48co為菱形，N4BC=

60°,AB=2441=2A1Bl,AA1，平面ABCD.

(1)證明：BD1CC1；

(2)若〃是棱3c上的點(diǎn)，且滿足整=：求二面角M—ADi-。的余弦值.

【變式3-2](2024?黑龍江大慶?三模)如圖，在四棱錐P—A8CD中，AD//BC,NB4D=90。,AD=28C=

4,AB=2,PA=2A/XNPA。=45。，且。是4D的中點(diǎn).

(1)求證：平面POC_L平面ABC；

(2)若二面角P-的大小為120。，求直線PB與平面PAD所成角的余弦值.

【變式3-3](2024?河南濮陽?模擬預(yù)測)如圖所示，在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AD=A8=BC=2,

CD=4,E為CD中點(diǎn)、,4E與BD相交于點(diǎn)O,將aADE^AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置(PC平面ABCE).

(1)求證：平面POB1平面尸8C；

(2)若28=逐，試判斷線段依上是否存在一點(diǎn)0(不含端點(diǎn))，使得直線PC與平面4EQ所成角的正弦值

為野，若存在，求0在線段PB上的位置；若不存在，說明理由.

【題型4空間點(diǎn)、線、面的距離問題】

【例4】(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺(tái)ABC-&BiCi中，△ABC為等邊三角形，AB=2A1B1=4,

AAtABC,點(diǎn)、M,N,。分別為48,AC,2。的中點(diǎn)，AXBLACr.

⑴證明：CC1II平面4MN；

(2)求直線&D與平面&MN所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)D到平面&MN的距離.

【變式4-1](2024?廣東?三模)如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分別

為BC,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱4D上，AG=2GD,直線4B與平面EFG相交于點(diǎn)H.

(1)證明：BD//GH；

⑵求直線BD與平面EFG的距離.

【變式4-2】(2024?上海?三模)如圖，在直三棱柱ABC—H/iCi中，44i=AB=2,AC=1,乙4cB=90。,

。是棱上的一點(diǎn).

(1)若力。=DB,求異面直線Bi。與a的所成的角的大小;

(2)若CD1BD求點(diǎn)B到平面BiCD的距離.

【變式4-3](2024?海南?模擬預(yù)測)如圖，在直四棱柱A8CD—公/的。1中，底面四邊形2BCD為梯形，AD//

BC,AB=AD=2,BD=242,BC=4.

(1)證明：&…皿;

(2)若直線與平面Bi。/所成角的正弦值為彳，點(diǎn)M為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面8修內(nèi)的距離.

【題型5立體幾何中的作圖問題】

【例5】(2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測)如圖，正三棱柱ABC-中，AB=4,設(shè)點(diǎn)D為公的

上的一點(diǎn)，過。，/作平面BCC1%的垂面a,

(1)畫出平面a與正三棱柱力BC-A/iG表面的交線(保留作圖痕跡，不需證明)；

(2)若&到平面a的距離為弓，求AC與平面a所成角的正弦值.

【變式5-1](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為直角梯

形，CD〃AB,/.ABC=90°,AB=2CD,三棱錐B-PCD的體積為手，平面24。與平面P8C的交線為I.

(1)求四棱錐P-A8CD的體積，并在答卷上畫出交線1(注意保留作圖痕跡)；

(2)若力B=2BC=4,PA=PD,且平面P力。_L平面4BCD,在/上是否存在點(diǎn)N,使平面PDC與平面DCN所成

角的余弦值為白？若存在，求PN的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式5-2](2023?廣西?模擬預(yù)測)已知四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為直角梯形，PA，平面ABC。，AD||

BC,ABLAD,PA-AD=4,BA=BC=2,M為PA中點(diǎn)，過C,D,M的平面截四棱錐P-4BCD所得

的截面為a.

(1)若a與棱PB交于點(diǎn)凡畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，求點(diǎn)尸的位置;

(2)求平面CDM與平面PBC所成銳二面角的余弦值.

【變式5-3](2024?廣西河池?模擬預(yù)測)已知四棱錐P-ABCD中，底面4BCD為直角梯形，PH1平面A8CD,

ADWBC,ABLAD,PA=AD=4,BA=BC=2,M為P力中點(diǎn)，過C,D,M的平面截四棱錐P-ABC。所

得的截面為a.

P

(1)若a與棱PB交于點(diǎn)F,畫出截面a,保留作圖痕跡(不用說明理由)，并證明北=3.

⑵求多面體力BCDMF的體積.

【題型6立體幾何中的折疊問題】

【例6】(2024?四川南充?三模)已知如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2?將△4BD沿BD折起，得

到三棱錐M—BCD,其中△MBD是折疊前的△A8D,過M作BD的垂線，垂足為77,MC=V10.

⑴求證：MH1CD；

(2)過”作MB的垂線，垂足為N,求點(diǎn)N到平面MCD的距離.

【變式6-1](2023?甘肅?一模)如圖甲所示的正方形44Z'Mi中，力々=12,4B=A1B1=3,BC=B1C1=4,

對(duì)角線44；分別交BBi，CCi于點(diǎn)P,Q,將正方形沿BBi，折疊使得力必與4】；重合，構(gòu)成如圖乙所

示的三棱柱力BC-點(diǎn)M在棱力C上，且力M=y.

(1)證明:BMII平面4PQ；

(2)求三棱錐M-力PQ的體積.

【變式6-2](2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在梯形4BC0中,AB||CD,ABAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E

為線段4B上靠近點(diǎn)力的三等分點(diǎn)，將△4DE沿著DE折疊，得到四棱錐力一BCDE,使平面4DE，平面BCDE,P

為線段CE上的點(diǎn).

(1)求證：ADLAP；

(2)是否存在點(diǎn)P,使得直線力P與平面力BE所成角的正弦值為乎?若存在，求出線段EP的長；若不存在，請(qǐng)說

O

明理由.

【變式6-3](2024?安徽合肥?三模)如圖一：等腰直角△A8C中且力C=2,分別沿三角形三邊向

夕卜作等腰梯形力38242,3。。283，以43。3使得力42=BB2=CC2=1,ACAA3=ABAA2=p沿三邊4B,BC,G4

折疊，使得力2&，巳83，。2c3，重合于Ci，如圖二

圖一圖二

⑴求證：AAj,1B1C1.

(2)求直線CCi與平面A41B#所成角8的正弦值.

【題型7立體幾何中的軌跡問題】

【例7】（2024?安徽蕪湖?二模）在三棱錐P—A8C中，PB_L平面ABC,=BC=BP=2,點(diǎn)E在平面48c

內(nèi)，且滿足平面PAE1平面PBE,BA垂直于BC.

（1）當(dāng)乙4BE6楂,,時(shí)，求點(diǎn)E的軌跡長度；

（2）當(dāng)二面角E-PA-B的余弦值為爭寸，求三棱錐E-PC8的體積.

【變式7-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱A8C—aB1C1中，AB=AC=AAX=3,BC=3<2,E

是側(cè)面A&CiC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），。為BCi的中點(diǎn)，BiEl&D.

（1）求證：點(diǎn)E的軌跡為線段4的；

⑵求平面ADE與平面4BC夾角的大小.

【變式7-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，四邊形4BDC為圓臺(tái)010的軸截面，4C=28D,圓臺(tái)的母線與

底面所成的角為45。，母線長為虎，E是冠的中點(diǎn).

（1）已知圓。2內(nèi)存在點(diǎn)G,使得DE1平面8EG,作出點(diǎn)G的軌跡（寫出解題過程）；

⑵點(diǎn)K是圓。2上的一點(diǎn)（不同于4C）,2CK=AC,求平面4BK與平面CDK所成角的正弦值.

【變式7-3］（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）如圖，四面體力BCD的每條棱長都等于2,M,G,N分別是棱

AB,BC,CD的中點(diǎn)，。，E,F分別為面BCD,面ABC,面力CD的重心.

A

⑴求證：面OE尸〃面A8D；

（2）求平面OEF與平面力BN的夾角的余弦值；

（3）保持點(diǎn)E,F位置不變，在△BCD內(nèi)（包括邊界）拖動(dòng)點(diǎn)。，使直線MN與平面OEF平行，求點(diǎn)。軌跡長度;

【題型8立體幾何中的探索性問題】

【例8】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知48,平面BCE,CD\\AB,△BCE是等腰直角三角形，其

中NEBC=p且AB=BC=2CD=4.

A

(1)設(shè)線段BE中點(diǎn)為F,證明：CF||平面ADE；

(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)B到平面CEM的距離等于苧，如果存在，求MB的長.

【變式8-1](2024?貴州黔西?一模)如圖所示為直四棱柱4BCD-&4的。1，48=AD=242,CB=CD=

4,4a=4,4BCD=60°,M,分別是線段BC,少的的中點(diǎn).

(1)證明:8C1平面MM/；

(2)求直線8C與平面BD公所成角的正弦值，并判斷線段8C上是否存在點(diǎn)P,使得PBi〃平面BD&,若存在,

求出2尸的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式8-2](2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在平行四邊形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,ADC

沿4c折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置，且PCJ_BC,連接PB得三棱錐P-ABC,如圖2.

(1)證明：平面R48_L平面力BC；

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使平面4MB與平面MBC的夾角的余弦值為，，若存在，求出鬻的值，若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【變式8-3](2024?天津?一模)已知底面力BCD是正方形，PA1平面力BCD,PA//DQ,PA=AD=3DQ=3,

點(diǎn)E、F分別為線段PB、CQ的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面P4DQ；

(2)求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；

(3)線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得直線力M與平面PCQ所成角的正弦值是手，若存在求出霽的值，若不存在,

說明理由.

【題型9立體幾何建系繁瑣問題（幾何法）】

【例9】（2024?山東?二模）如圖所示，直三棱柱ABC-&B1C1，各棱長均相等刀，E,F分別為棱AB,BC,

4G的中點(diǎn).

（1）證明：平面&CD，平面44BB1；

（2）求直線EF與41%所成角的正弦值.

【變式9-1]（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面2BCD是平行四邊形,

^ABC=120°,AB=1,BC=4,PB=2百，PD1CD,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，5.PE1ED.

P

AB

（1）求證：PEIAD；

⑵求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

【變式9-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P—4BCD中，AB||CD,且力B_L4P,CD1DP.

p

c

L

AB

（1）證明：平面PCD1平面PAD；

(2)若PH=PD=AB,PA1PD,求PB與平面4BCD所成角的大小.

【變式9-3]（2024?浙江?模擬預(yù)測）.如圖，底面為B1C1%固定在底面a上的盛水容器口為正方形力BCD,

側(cè)棱44i，BBi，CCi，相互平行.

⑴證明：底面四邊形力iBiCiDi是平行四邊形；

（2）若已知四條側(cè)棱垂直于面A8CD,且力&=DDi=4,BB1=CCX==2.現(xiàn)往該容器中注水，求該容器

最大盛水體積U及此時(shí)側(cè)面BBiQC與底面a所成角。的余弦值（水面平行于底面a）.

【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】

【例10]（23-24高一下?四川成都?期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理;

如圖1,由射線P4PB,PC構(gòu)成的三面角P—ABC,^APC=a,乙BPC=0,4APB=y,二面角A—PC—B

的大小為仇則cosy=cosacos/3+sinasin^cosS.

(1)當(dāng)a、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；

(2)如圖2,平行六面體4BCD一418也1。1中，平面441的。1平面ABC。，N&4C=60°,ABAC=45°,

①求的余弦值；

②在直線CCi上是否存在點(diǎn)P,使BP〃平面D&Ci?若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由.

【變式10-1](24-25高三上?浙江?開學(xué)考試)已知。是棱長為近的正四面體ABCD,設(shè)。的四個(gè)頂點(diǎn)到平面

a的距離所構(gòu)成的集合為M,若M中元素的個(gè)數(shù)為k,則稱a為Q的那介等距平面，M為。的那介等距集.

(1)若a為。的1階等距平面且1階等距集為｛研，求a的所有可能值以及相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)；

(2)已知0為。的4階等距平面，且點(diǎn)2與點(diǎn)8,C,D分別位于0的兩側(cè).若。的4階等距集為｛6,2b,3b,4b｝,其中

點(diǎn)4到S的距離為6,求平面BCD與￡夾角的余弦值.

【變式10-2](23-24高一下?福建三明?期末)閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M

在點(diǎn)P處的離散曲率為1一/(“IPQ2+42PQ3+43PQ4+-+“IPQK+“KPQI)，其中Q&=

271

1,2,…，k,kN3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2,平面Q2PQ3,…，平面Q—PQk

和平面Q/Qi為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面.”已知在直四棱柱4BCD-&%的。1中，底面力BCD為菱

形SA=4B.(角的運(yùn)算均采用弧度制)

(1)若力C=BD,求四棱柱4BCD-&B1C1D1在頂點(diǎn)力處的離散曲率；

(2)若四棱柱力BCD-4/心。1在頂點(diǎn)4處的離散曲率為g,求8C1與平面2CC1的夾角的正弦值；

(3)截取四面體4-4BD,若該四面體在點(diǎn)4處的離散曲率為5,AC1與平面&BD交于點(diǎn)G,證明：第=*

【變式10-3](23-24高一下?湖南長沙?期末)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎

曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2TT與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面

體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為全故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均

為2n—3X^=TL如圖，在直三棱柱2BC—4/1的中，點(diǎn)2的曲率為尊N,M分別為AB,的中點(diǎn)，且2B=

AC.

(1)證明：CN1平面4BB14；

(2)若441=五AB,求二面角%-AM-的的余弦值；

(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面

體的頂點(diǎn)數(shù)為D,棱數(shù)為3面數(shù)為M,則有：D-L+M=2.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率(多

面體有頂點(diǎn)的曲率之和)是常數(shù).

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）如圖，已知正方形A8CD為圓柱的軸截面，4B=BC=2,E,尸為上底面圓

周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且即過上底面的圓心G,若AB1EF,則三棱錐A—BEF的體積為（）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體力BCD—的棱長為4,點(diǎn)Me平面力道皿，且翳=點(diǎn)則

點(diǎn)M的軌跡的長度為（）

cV34TTD?等

A.V34TTB.717TTcF

3.（2024?山東濟(jì)南?三模）如圖所示，正方體ABC。-力把1的。1的棱長為1,點(diǎn)E,F,G分別為BC,CCi，BBi

A.直線與直線力F垂直B.直線4G與平面4EF平行

C.三棱錐尸—4BE的體積為:D.直線3C與平面力EF所成的角為45°

O

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知△4BC中，AC=1,AB=2,BC=V3,在線段48上取一點(diǎn)M,連接CM,如

圖①所示.將aacM沿直線CM折起，使得點(diǎn)a到達(dá)T的位置，此時(shí)△BCM內(nèi)部存在一點(diǎn)N,使得aNi平面

BCM,NC=y,如圖②所示，則A,M的值可能為（）

A23

B.D.1

A?i53

5.（2024?湖北?模擬預(yù)測）如圖所示的多面體是由底面為4BCD的長方體被截面AECiF所截得到的，其中AB=

4,BC=2,CC\=3,BE=1,則點(diǎn)C到平面4EQF的距離為（）

6.（2024?廣西南寧?一模）在邊長為4的菱形A8CD中，^ABC=120°.將菱形沿對(duì)角線力C折疊成大小為30。

的二面角B'-4C—D.若點(diǎn)E為B'C的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐夕一力CD表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足力C1EF,則點(diǎn)F

軌跡的長度為（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知四棱錐P—4BCD的底面為正方形，PDL^ABCD,PDAD,點(diǎn)E是

線段P8上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與平面PBC所成角的最大值為（）

8.（2024?青海?模擬預(yù)測）如圖，在正方體A8CD-中，E,F,M,N,G,H分別為棱4B,BC,

AD,CD,4B1，的中點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，連接EH,FG.對(duì)于空間任意兩點(diǎn)/,J,若線段〃上不存在

也在線段EH,FG上的點(diǎn)，貝！I稱/,/兩點(diǎn)“可視”，則與點(diǎn)當(dāng)“可視”的點(diǎn)為（）

C.MD.N

二、多選題

9.（2024?湖北襄陽?模擬預(yù)測）如圖，已知正方體A8CD—4tBic1%的棱長為2,E,F,G分別為AB,

A.三棱錐的-EFG的體積為,B.力Q平面EFG

C.8的|］平面EFGD.二面角G—EF—C的余弦值為F

O

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖,在三棱錐P-4BC中，平面PAC_L平面力BC,且△P4C和△ABC均是

邊長為2的等邊三角形，D,E,F分別為的中點(diǎn)，G為PB上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面EFG交直線P4

A.當(dāng)G運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有HG〃4B

B.當(dāng)G運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G到直線力C距離的最小值為當(dāng)

C.存在點(diǎn)G,使得CD1平面EFG

D.當(dāng)PG>GB時(shí)，直線PC,GF,HE交于同一點(diǎn)

1