立體幾何小題：截面與動點(diǎn)（16題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題18立體幾何小題：截面與動點(diǎn)

更盤點(diǎn)?置擊看考

目錄

題型一：截面基礎(chǔ)................................................................................1

題型二：截面圓錐型軌跡..........................................................................2

題型三：動點(diǎn)：阿波羅尼斯圓......................................................................4

題型四：平行線法做截面..........................................................................5

題型五：相交線法做截面.........................................................................8

題型六：截面計(jì)算：求面積.......................................................................10

題型七：截面計(jì)算：求周長.......................................................................11

題型八：動點(diǎn)：恒垂直求截面.....................................................................12

題型九：動點(diǎn)：恒平行求截面.....................................................................13

題型十：截面分體積比...........................................................................15

題型十一：截面最值范圍：面積型.................................................................16

題型十二：截面最值范圍：周長型.................................................................17

題型十三：動點(diǎn)：兩線動點(diǎn)最值...................................................................18

題型十四：動點(diǎn)：表面上動點(diǎn)距離最值.............................................................19

題型十五：動點(diǎn)：折線和最值.....................................................................20

題型十六：動點(diǎn)：折線型“將軍飲馬”最值.........................................................21

結(jié)束...........................................................................................22

更突圍?檐淮蝗分

題型一：截面基礎(chǔ)

指I點(diǎn)I迷I津

在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正

方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為

橫截、豎截、斜截。。

1?-（^23-24禽三示至薇簧山確蓑蒙為5-如囪丁茬前1茁的山遙籥矗而為S5至i7帝二褥而「麗i藏面

圖形為橢圓，將圓柱側(cè)面沿母線48展開，該橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)y=2sin且X一個周期的圖象,

則該截面橢圓的離心率為（）

2.（24-25高一下?全國?隨堂練習(xí)）圓錐的截面形狀不可能為（）

A.等腰三角形B.平行四邊形

4.（2020高二?浙江?專題練習(xí)）正方體內(nèi)接于一個球，經(jīng)過球心作一個截面，則截面的不可能圖形為（）

5.（20-21高二下?貴州黔東南?階段練習(xí)）用一個平面截一個正方體，截面圖形可以是（）

A.三角形B.等腰梯形

C.五邊形D.正六邊形

題型二：截面圓錐型軌跡

指I點(diǎn)I迷I津

立體幾何中與動點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些

證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點(diǎn)符合什么樣的軌跡（定義），要么通過計(jì)算（建系）求出具體的

軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二

次曲線型，球型.

1.（2023?云南文山?模擬預(yù)測）用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）

是一個圓，用一個不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角6不同時，可以得到不同的截口曲線，

它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.記圓錐軸

截面半頂角為a,截口曲線形狀與夕，。有如下關(guān)系：當(dāng)。〉口時，截口曲線為橢圓；當(dāng)夕=&時，截口曲線

為拋物線：當(dāng)。時，截口曲線為雙曲線.其中ae（。,5］，現(xiàn)有一定線段A3,其與平面夕所成角9（如

設(shè)P點(diǎn)在￡的運(yùn)動軌跡是「，貝I（）

TTTT

A.當(dāng)。7=9時，「是橢圓B.當(dāng)。=彳，7=工時，「是雙曲線

463o

JT7T7TTT

C.當(dāng)"=?'7時,「是拋物線D.當(dāng)夕=耳，7=W時，「是圓

44

2.（2023?安徽安慶?一模）.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓

的模型（稱為"Dandelin雙球"）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，

設(shè)圖中球。一球色的半徑分別為4和1,球心距|QQ|=6,截面分別與球。一球色切于點(diǎn)E，F(xiàn),（￡,F

是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于（）

A.叵V6C,也

3.（21-22高二上?山西太原?期中）如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點(diǎn)和軸都重合），已

知兩個圓錐的母線長均為2后，底面直徑均為4.記過兩個圓錐軸的截面為a,平面a與兩個圓錐的交線為

AC,80.已知平面夕平行于平面a,平面夕與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線E的一部分，且E的兩條漸近線

分別平行于AC加，若雙曲線E的兩頂點(diǎn)恰為其所在母線的中點(diǎn)，則建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，雙曲線E的方

程可以為（）

4.（21-22高二上?河北石家莊?期中）如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為6（0°＜。＜90。）的

平面所截，截面是一個橢圓，當(dāng)。為30。時，這個橢圓的離心率為（）

5.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）如圖，已知圓錐尸O的軸尸。與母線所成的角為a,過4的平面與圓錐的軸所

成的角為夕（夕〉。），該平面截這個圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長軸為A4,短軸為月生，長半軸長為。，

短半軸長為6,橢圓的中心為N,再以用名為弦且垂直于尸。的圓截面，記該圓與直線尸4交于C-與直線尸&

交于G,則下列說法正確的是（）

P

A.當(dāng)尸時，平面截這個圓錐所得的截面也為橢圓B.|NCJ|NC2l=JsmW+0;m（￡.a）

cosa

ccqh

c.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率eD.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率e=

cosa

題型三：動點(diǎn)：阿波羅尼斯圓

指I點(diǎn)I迷I津

阿氏圓的定義與應(yīng)用

定義：已知平面上兩點(diǎn)A,8,則所有滿足髭=的動點(diǎn)P的軌跡是一個以定比為機(jī)：”內(nèi)分和

外分定線段A3的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓，圓的半徑為|七二|?|A3|,圓心為（七一?|AB|,0）.

A—1Z—1

PA

1.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)A5,則所有滿足再~=〃丸>。且?guī)住?）的點(diǎn)。的軌跡是

一個圓心在直線上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿

氏圓.已知棱長為6的正方體48^）-4262表面上的動點(diǎn)尸滿足|上4|=2歸到，則點(diǎn)「的軌跡長度為（）

8兀715-71

---1-----

32

2.（23-24高二上?山西?模擬）在四棱錐尸-ABCD中，PAL底面ABCD,底面ABCD為正方形，PA=AB=3,

點(diǎn)”為正方形A3。內(nèi)部的一點(diǎn)，且Affi）=2M4,則直線尸”與AD所成角的余弦值的取值范圍為

3.（2023?四川涼山?二模）如圖所示，正方體ABCD-A4GA棱長為2,點(diǎn)尸為正方形BCG片內(nèi)（不含邊

界）一動點(diǎn)，N3PC角平分線交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在運(yùn)動過程中始終滿足*=2.

①直線BG與點(diǎn)尸的軌跡無公共點(diǎn)；②存在點(diǎn)尸使得尸BLPC；③三棱錐P-3CZ）體積最大值為|；

__47r

④點(diǎn)尸運(yùn)動軌跡長為1.上述說法中正確的個數(shù)為（）

4.（23-24高二上?黑龍江齊齊哈爾）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點(diǎn)A8距離之比為常數(shù)

且2片1）的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線A5上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息解決下面的問題:

在長方體ABCD-4耳G2中,A8=2AD=2AA,=6,點(diǎn)￡在棱AB上,BE=2AE,動點(diǎn)P滿足BP=#1PE,F為

棱CB的中點(diǎn)，/為CP的中點(diǎn).以A為原點(diǎn),AB,A￡>,A4,所在的直線為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系.下列說法正確的是（）

阿波羅尼奧斯

A.若點(diǎn)P只在平面ABC。內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)尸所形成的阿氏圓的半徑為3&

B.若點(diǎn)P只在平面內(nèi)運(yùn)動，則團(tuán)P3C的面積最小值為9-36

C.類比阿氏圓定義，點(diǎn)P在長方體內(nèi)部運(yùn)動時，尸的軌跡為球面的一部分

D.若點(diǎn)P在平面ADD^內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)M到平面尸C耳的距離最小值為更

2

5.圓心在直線43上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體

中，48=24。=2M=6,點(diǎn)E在棱AB上，BE=2AE,動點(diǎn)P滿足BP=gPE.若點(diǎn)P

在平面ABC。內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)尸所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)尸在長方體ABCD-A與GR內(nèi)部

運(yùn)動，/為棱GR的中點(diǎn)，〃為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面gCF的距離的最小值為.

題型四：平行線法做截面

指I點(diǎn)I迷I津

基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意

等分點(diǎn)。做出過三E,F,Ci點(diǎn)的截面

特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上,

如C1,注意：此時合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最

后處有解釋。

平行線法。

本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。

平行線法特征：有兩點(diǎn)連線在表面：EF,在前側(cè)面

方法如下：

1、尋找C1點(diǎn)所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側(cè)面（綠色的）

2、在這個面內(nèi)，過C1做EF平行線，顯然必須擴(kuò)展這個面了。如第三圖。

3、注意！注意！，E與F分別在右側(cè)面和下側(cè)面上（紅色面就不要用了）

4、注意這任面的相交棱，

5、下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖

6、分別連FK與EL,交點(diǎn)為J與H。出截面，與第一種方法一致。

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）在棱長為3的正方體ABCO-ABIGA中，。為AC與8。的交點(diǎn)，尸為耳目上一

點(diǎn)，且“=2可，則過A,P,。三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為（）

A.4>/13B.672

C.2A/13+2A/2D.2A/13+4V2

2.（21-22高二下?四川成都?期中）在棱長為1的正方體A/SGQ—ABC。中，M為底面ABC。的中心，。

是棱4Q上一點(diǎn)，且配=4瑯，2G[0,1],N為線段A。的中點(diǎn)，給出下列命題：

①CN與QM共面；

6）三棱錐A—OWN的體積跟2的取值無關(guān)；

③當(dāng)幾=；時，AMS\QM；

④當(dāng)2時，過A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為逑土友I.

33

其中正確的是（）

2,__C1

A.6②③B.①②④C.①③④D.②③④

3.（22-23高三?湖南長沙?）如圖，已知正方體瓦G2的棱長為2,E,尸分別為A。，的中點(diǎn),

G在線段AG上運(yùn)動（包含兩個端點(diǎn)），以下說法正確的是（）

A.三棱錐C-EFG的體積與G點(diǎn)位置無關(guān)

3

B.若G為AG中點(diǎn)，三棱錐C-￡FG的體積為]

C.若G為AG中點(diǎn)，則過點(diǎn)E,F,G作正方體的截面，所得截面的面積是￡

D.若G與C1重合，則過點(diǎn)E,F,G作正方體的截面，截面為五邊形

4.（23-24高三上?浙江寧波?期末）在棱長為2的正方體A4G2中，Q為線段4G的中點(diǎn)，尸為線

段CG上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有

A.P為中點(diǎn)時，|DP|+|P。的值最小

B.不存在點(diǎn)P,使得平面。PQ〃平面陰C

3

C.P與端點(diǎn)C重合時，三棱錐D-PG。的外接球半徑為§

D.P為中點(diǎn)時，過。，P,Q三點(diǎn)的平面截正方體ABCO-AAC2所得的截面的周長為3無+2若

5.（22-23高三上?安徽六安?階段練習(xí)）棱長為1的正方體A耳G2—A3C。中，M為底面ABCZ）的中心，Q

是棱4A上一點(diǎn)，且萬疫=2冰，2e[0,l],N為線段AQ的中點(diǎn)，下列命題中正確的是（）

A.三棱錐A-的體積與4的取值無關(guān)

B.當(dāng)2=g時，點(diǎn)。到直線AC的距離是手

C.當(dāng)幾=；時，AMQM=Q

D.當(dāng)幾=:時，過A三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為逆土2巫

33

題型五：相交線法做截面

指I點(diǎn)I迷I津

基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分

點(diǎn)。做出過三E,F,Ci點(diǎn)的截面

特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如

C1,注意：此時合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有

解釋。

方法：相交線法

以“第三點(diǎn)”所在的表面中，，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線

如下圖，符合的有cl的表面有三個，紅色的和EF平行而不會相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍(lán)色）或者

右表面（綠色的），

先用上表面（紅色的）來做：

1、所以，先補(bǔ)出擴(kuò)展EF直線所在的前側(cè)面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G

2、此時G也在上表面了，連接GP,出來與棱A1D1交點(diǎn)H.

3、連接HB,則的如右圖的截面。

再用右表面綠色的來做：

1、則發(fā)現(xiàn)，右邊面和EF相交于前側(cè)面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I

2、此時I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.

3、連接FJ,則出右圖的截面。

最終，兩個合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點(diǎn)，幾何體是否正方體無掛具體的都可

以通過對應(yīng)的E、F幾等分點(diǎn)以及幾何體長寬高的不同變化來計(jì)算出來，這個幾何體也不一定是長方體，還可以

是斜棱柱，都不影響這個作圖。

1.（2021高三?全國?專題練習(xí)）正三棱柱ABC-中，所有棱長均為2,點(diǎn)、E,尸分別為棱88/,AiCi

的中點(diǎn)，若過點(diǎn)A,E,尸作一截面，則截面的周長為（

2_

A.2+2逐B(yǎng).2-\/5+—^/13C.2A/5+V13D.2^5+—

2

2.（2017?江西九江?三模）如圖所示，在棱長為6的正方體中，點(diǎn)瓦/分別是棱G2，BG

的中點(diǎn)，過尸三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為

A.18+30B.6713+372

C.66+90D.10+3A/2+4A/10

3.（21-22高三上?全國?階段練習(xí)）已知正四棱柱A8C。-A用G2中，2AA=3A8=12,點(diǎn)M是線段B片的

中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段。2上靠近。的三等分點(diǎn)，若正四棱柱被過點(diǎn)A，M,N的平面所截，

則所得截面的周長為（）

A.10+8A/2B.10+7也c.9+85/2D.9+7忘

4.（23-24高三上?河北張家口?）在棱長為1的正方體ABCD-A用GR中，E,尸分別為棱AB,GQ的中點(diǎn),

G為棱CG靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)，用過點(diǎn)E,F,G的平面截正方體，則截面圖形的周長為

.13+20010+2V2,13+2014

A.----------b.------------C.------------nU.--

3363

5.（22-23高二下?浙江紹興?期末）如圖，正方體ABC。-的棱長為6,分別為棱A4,3月的中點(diǎn),

過三點(diǎn)的平面截正方體，得到截面多邊形a,則下列說法正確的是（）

A.多邊形a是一個六邊形

B.多邊形a的周長為6舊+30

C.AC|_L平面

4

D.截面多邊形a在頂點(diǎn)。處的內(nèi)角的余弦值為二

題型六：截面計(jì)算：求面積

指I點(diǎn)I迷I津

截面面積計(jì)算，可以拆分為三角形或者四邊形等容易計(jì)算的圖形進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵是要通過平行和垂直

找到對應(yīng)圖形的底和高。

1.（23-24高一下?云南昆明?期中）如圖所示，棱長為3的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)尸是VABC的重心，過

點(diǎn)尸將木塊鋸開，并使得截面平行于AD和2C,則截面的面積為（）

2.（22-23高一下?陜西寶雞?階段練習(xí)）如圖所示，棱長為1的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)P是VABC的中心，

過點(diǎn)尸將木塊鋸開，并使得截面平行于AD和BC,則下列關(guān)于截面的說法正確的個數(shù)為（）

①截面是矩形；②截面不是平行四邊形；③截面的面積為④截面與側(cè)面的交線平行于側(cè)面AC。.

3.（20-21高三下,全國?階段練習(xí)）已知四棱錐S-ABCD中，SAL平面ABC。，四邊形ABC。為正方形,

SA=AB=6,平面a過SB,CD,SD的中點(diǎn)，則平面a截四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

45r-R27瓜

A.—。6C.9A/6D.12A/6

42

4.（23-24高一下?遼寧?期中）如圖（1）所示，己知點(diǎn)B在拋物線y=/上，過B作B4_Lx軸于點(diǎn)A,且CH=a.將

曲邊三角形如圖（2）所示放置，并將曲邊三角形沿平面的垂線方向平移一個單位長度（即

9=1）,得到相應(yīng)的幾何體瓦.取一個底面面積為“2高為。的正四棱錐S-%VPQ放在平面

43瑪4上如圖（3）所示，這時，平面OQS〃平面AB4片，現(xiàn)用平行于平面AB4a的任意一個平面去截這

兩個幾何體，截面分別為矩形CDM,四邊形截面與平面。。戶的距離為不（0<%<a））,試用

祖晅原理，求曲邊三角形的面積為（）

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)尸為直四棱柱ABC。-48/。。表面上一動點(diǎn)，四邊形A8CD為正方形,

AAl=2AB=4,E為AB的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.過4,Ci,E三點(diǎn)的平面截該四棱柱所得截面的面積為‘竺

2

B.過C/,E,尸三點(diǎn)的平面截該四棱柱所得的截面為五邊形

C.若2P〃平面A/GE,則點(diǎn)尸的軌跡長度為2（&7+0）

D.若動點(diǎn)P到棱88/的距離為百，則點(diǎn)尸的軌跡長度為扃+8

題型七：截面計(jì)算：求周長

1.（23-24高三?湖南?階段練習(xí)）在棱長為6的正方體A8Cr>-A4GA中，點(diǎn)E,尸分別是棱GR,Bg的

中點(diǎn)，過A,E,歹三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為

A.3A/13+6A/2B.2而+4有

C.5713+373D.6713+372

2.（23-24高三上?河南鄭州?階段練習(xí)）已知正方體ABCD-AZC'D的棱長為4,E,F分別為BB'，CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在平面ABB'A中，尸尸=26，點(diǎn)"在線段4月上，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①點(diǎn)尸的軌跡長度為2萬；

②線段FP的軌跡與平面ABCD的交線為圓弧;

③NP的最小值為6（1°；

④過A、E、尸作正方體的截面，則該截面的周長為曰+g屈+26

A.4B.3C.2D.1

3.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-A,與G2的棱長為4,E,b分別是棱AA—8C的中點(diǎn),

則平面REF截該正方體所得的截面圖形周長為（）

A.6B.106C.713+2A/5D.2而+y+25

4.（22-23高二上?重慶江津?期末）正三棱柱ABC-中,所有棱長均為2,點(diǎn)E,F分別為棱24AG的中

點(diǎn),若過點(diǎn)A耳尸作一截面，則截面的周長為

B.2小+:歷

C.2國歷D.2A/5+—

2

5.（22-23高二下?湖南邵陽?期末）《九章算術(shù)?商功》中記載："斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽

馬，一為鱉席，陽馬居二，鱉席居一，不易之率也，合兩鱉臊三而一，驗(yàn)之以茶，其形露矣"，文中"塹堵"

是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；文中"陽馬"是指底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂

直的四棱錐；文中"鱉膈"是指四個面都是直角三角形的三棱錐，如圖所示，在塹堵ABC-A瓦G中，若

AB±BC,AlA=AB=BC=2,則下列說法中正確的有（）

A.四棱錐C-胡用8為陽馬，三棱錐用-ABC為鱉腌

B.點(diǎn)N在線段上運(yùn)動，則BN+4N的最小值為2g

c.G,“分別為A耳,CG的中點(diǎn)，過點(diǎn)氏G,H的平面截三棱柱ABC-A瓦G，則該截面周長為

2國也

3

D.點(diǎn)尸在側(cè)面BCG瓦及其邊界上運(yùn)動，點(diǎn)加在棱瓶上運(yùn)動，若直線G"，AP是共面直線，則點(diǎn)P的

軌跡長度為新

題型八：動點(diǎn)：恒垂直求截面

指I點(diǎn)I迷I津

恒垂直型截面，可以借助投影解決，投影型，需要利用"三垂線定理及其逆定理“這個性質(zhì)轉(zhuǎn)化尋找。

三垂線定理指的是平面內(nèi)的一條直線，如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直。

1.（22-23高一下?湖北武漢?期末）已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為1,側(cè)棱長為0,5r的中點(diǎn)為E,

過點(diǎn)E作與SC垂直的平面a,則平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）.

AR娓n—

A.D.L.L）.

3333

2.（23-24高三?江蘇常州?模擬）在棱長為2的正方體ABCD—4BQDI中，E是正方形BB】QC的中心，M為

GD】的中點(diǎn)，過4/W的平面a與直線?！甏怪?，則平面a截正方體488—所得的截面面積為（）

「20

B.2屈L?-----D.3

5

3.（20-21高二上?江西南昌?階段練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCZ）-A與G2中，E是正方形BBGC的中心，

M為G2的中點(diǎn)，過4"的平面a與直線OE垂直，則平面a截正方體ABC。-A烏G2所得的截面面積為

（）

A.4&B.276C.2小D.2M

4.（2023?河南洛陽?模擬預(yù)測）己知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為20，SC的中點(diǎn)為E,

過點(diǎn)E做與SC垂直的平面a,則平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

A4734#4忘?8

3333

5.（23-24高一下?江西贛州?期末）如圖，已知正方體A3C。-ABCQi的棱長為2,點(diǎn)P是他的中點(diǎn)，點(diǎn)M

是正方體內(nèi)（含表面）的動點(diǎn)，且滿足QMLCP,則（）

A.動點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)軌跡的長度是2亞

B.點(diǎn)M所在平面截正方體所得截面的面積為1

C.三角形ARM在正方體內(nèi)運(yùn)動形成幾何體的體積是2

D.存在某個位置使得直線B2與平面ARM所成的角為J

4

題型九：動點(diǎn)：恒平行求截面

指I點(diǎn)I迷I津

如果是線面恒平行，過線做面，需要找它們和第三個面的交線互相平行，借助好“第三個面的交線平行

“這個性質(zhì)，可以解決線面恒平行題型的截面問題

L（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體

的四個頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，得到

所有棱長均為a的截角四面體，現(xiàn)給出下列四個命題：①二面角A-3C-。的余弦值為-g；②該截角四

面體的體積為生"/；③該截角四面體的外接球表面積為?加？④該截角四面體的表面積為6折，則

122

其中正確命題的個數(shù)為（）

FH

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（22-23高三上?湖南衡陽模擬）如圖，在棱長為2的正方體耳G2中，A片的中點(diǎn)是P，過點(diǎn)A

作與截面P8G平行的截面，則該截面的面積為

c.2V6D.4

3.（21-22高二下?江西南昌?期末）已知正方體A8CZ）-4用6口的棱長為3,點(diǎn)尸在棱AD上，過點(diǎn)尸作該正

方體的截面，當(dāng)截面平行于平面40C且該截面的面積為行時，線段AP的長為（）

A.也B.1C.73D.J2

2

4.（22-223高三?北京昌平?模擬）在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面.如圖，

在棱長為1的正方體A8C。-ABGR中，點(diǎn)瓦尸分別是棱4民用G的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱CG的中點(diǎn)，則過線

段AG且平行于平面吊￡尸的截面的面積為

9。8廣

A.1B.—C.—D.J2

89"

5.（23-24高二下?湖北?階段練習(xí)）如圖，在棱長均為2的正三棱柱ABC-A瓦G中，M是棱的中點(diǎn),

OV=ACCI（0<2<1）,過點(diǎn)耳作平面a與直線AN垂直，過點(diǎn)B作平面夕與平面4IW平行，則（）

A.當(dāng)2=J時，a截正三棱柱ABC-所得截面的面積為H

22

B.當(dāng)4=1時，a截正三棱柱ABC-AB?所得截面的面積為遠(yuǎn)

2

C.若夕截正三棱柱ABC-A與a所得截面為三角形，則％的取值范圍為［o,g

D.若九則月截正三棱柱ABC-A4a所得截面為四邊形

題型十：截面分體積比

1.（2022?河南南陽?三模）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A與G2中，點(diǎn)P是棱上的動點(diǎn)，過A，G，

產(chǎn)三點(diǎn)作正方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（）

A,9B.3+辿C.5+述D.5+這

2222

2.（2022?山西?模擬預(yù)測）如圖，長方體A3C。-中，AB=3C=1,AA,=2,點(diǎn)M為線段4A的中

點(diǎn)，點(diǎn)N為棱CG上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面與MN截長方體的截面為a,則（）

A.截面a可能為六邊形

B.存在點(diǎn)N,使得截面a

C.若截面。為平行四邊形，則該截面面積的最大值為々

D.當(dāng)N與C重合時，截面a將長方體分成體積比為2:3的兩部分

3.（2024高三?全國?模擬）如圖.設(shè)為A-BCD正三棱錐（底面BCD是正三角形），作49,底面BCD,。為

垂足.尸為高AO上一點(diǎn)，且上4=,4。（加＞1）.過點(diǎn)尸作底面88的平行截面分別交三條棱48、AC.AD

m

于點(diǎn)片、q、2.點(diǎn)。在線段PO上,過點(diǎn)。作底面BCD的平行截面平分正三棱臺BCD-4G2的體積.則

等于（）.

A

B.也加+1)TVm^+l-l口,4M+1)-2

C.

sjm3+1-7712m-}4(m3+1'

2m-

4.（23-24高三?安徽蕪湖?）在棱長為3的正方體A/B/GQ-ABCD中，〃是棱8/G上靠近8/的三等分點(diǎn)，

過4。/、M作正方體的截面，則這個截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之

比）為（）

5.（23-24高二下?浙江?開學(xué)考試）如圖，已知棱長為2的正方體ABC。-A4G2,點(diǎn)P是棱A3的中點(diǎn)，過

點(diǎn)P作正方體A8CD-A此G2的截面，關(guān)于下列判斷正確的是（）

A.截面的形狀可能是正三角形

B.截面的形狀可能是直角梯形

C.此截面可以將正方體體積分成1：3

D.若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值

題型十一：截面最值范圍：面積型

:指I點(diǎn)I迷I津：

：求截面最值思維

：可以設(shè)變量，建立函數(shù)模型求最值問題：

1.設(shè)元

；?

2.建立二次函數(shù)模型

■

3.計(jì)算求解最值。

;可以結(jié)合圖形的特殊性，利用極限思想，以及“特殊值必在特殊位置”猜想法求最值問題：

'要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，"動中找靜"：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；

I

1I

；「756江面1「碗丁森正芳頹程敬云一德藕標(biāo)宣殖彝茴Z南最標(biāo)湘攀-而々誓此正方底薪

得截面面積的最大值為

A.3小B.浮C.372D.2A/3

2.（2023?廣西?模擬預(yù)測）在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD^CD=BC=4,平面a經(jīng)過AC的中點(diǎn)￡,

并且與8C垂直，當(dāng)a截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐A-BCZ）的外接球的表面積為（）

C.20K

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）在如圖所示的直三棱柱ABC-A瓦G中，A4,=4,AB1AC,過點(diǎn)A作平面a分

別交棱AB,AC于點(diǎn)￡>,E,且AFLDE,ZAA,F=60°,則截面△4。石面積的最小值為（）

3

A.16^/3B.32后C.366D.484

4.（23-24高三?福建泉州?階段練習(xí)）如圖，已知四面體ABCD為正四面體，AB=2,E,尸分別是AD,BC

中點(diǎn).若用一個與直線所垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一個多邊形

截面，則該多邊形截面面積最大值為（）

C

A.1B.0C.由

5.（23-24高二下?湖南長沙?開學(xué)考試）在正方體ABCD-ABC2中，AB=1,點(diǎn)尸滿足而=2①+〃笈,

其中2e[0,l],〃目0』，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)月尸〃平面A/O時，男尸不可能垂直CR

B.若耳P與平面CCQQ所成角為則點(diǎn)尸的軌跡長度為g

42

c.當(dāng)九=〃時，忸可+|胡|的最小值為號或

D.當(dāng)4=1時，正方體經(jīng)過點(diǎn)A、P、C的截面面積的取值范圍為坐，近

題型十二：截面最值范圍：周長型

L（2024全國?模擬預(yù)測）在直三棱柱4BC-A瓦G中，M是陷上的點(diǎn)，AB=3,BC=4,AC=5,C￡=7,

過三點(diǎn)A、M.G作截面，當(dāng)截面周長最小時，截面將三棱柱分成的兩部分的體積比為（）.

2.（2023?河北邯鄲?模擬）在直三棱柱ABC-4中，平面A8C是下底面.M是BB】上的點(diǎn)，>48=3,BC

=4,AC=5,CG=7,過三點(diǎn)A、M、Q作截面，當(dāng)截面周長最小時，截面將三棱柱分成的上、下兩部分的

體積比為（）

3.（23-24高一下,湖南長沙?期末）在側(cè)棱長為2右的正三棱錐5-ABC中，ZASB=ZBSC=ZCSA=40°.

過A作截面AEF,則截面的最小周長為（）

A.272B.4C.6D.10

4.（2023?甘肅定西?模擬預(yù)測）如圖，四棱錐尸一ABC。中，平面A8CD底面A8CD是矩形，AB=3,

AD=B4=4,E是棱BC上一點(diǎn)，則當(dāng)截面PDE的周長最短時，PE與AB所成角的余弦值等于.

5.（2014高三?江西,競賽）已知正三棱錐O-ABC的底面邊長為1,側(cè)棱長為2.過點(diǎn)A作截面與側(cè)棱3。、CD

分別交于點(diǎn)E、尸.當(dāng)AA￡尸的周長最小時，AA￡尸的面積為.

題型十三：動點(diǎn)：兩線動點(diǎn)最值

指I點(diǎn)I迷I津

兩條線上動點(diǎn)距離

（1）、建立空間坐標(biāo)系，表示為函數(shù)求最值

（2）、異面直線的距離，即公垂線的距離

1.（23-24?湖北武漢?模擬）正方體ABCD-A3G2的棱長為4,點(diǎn)M在棱43上，且4〃=1,點(diǎn)P是正方

體下底面A5C。內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且動點(diǎn)尸到直線AA的距離與點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離的平方差為16,則

動點(diǎn)尸到B點(diǎn)的最小值是（）.

7

A.-B.272C.屈D.72

2.（22-23高三?江蘇南通）已知四面體A8CD的所有棱長均為M,N分別為棱A。，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為

棱A8上異于A,8的動點(diǎn).有下列結(jié)論：

①線段MN的長度為1；

殺若點(diǎn)G為線段MN上的動點(diǎn)，則無論點(diǎn)尸與G如何運(yùn)動，直線BG與直線C。都是異面直線；

③NMFN的余弦值的取值范圍為［0,乎）；

④AWWN周長的最小值為四+1.

其中正確結(jié)論的為（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

3.（23-24高二上?廣東廣州,期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條

直線距離的最小值.在棱長為1的正方體ABCD-A瓦C2中，直線3。與C4的距離為（）

4.（22-23高二上?重慶?期中）如圖在棱長為2的正方體A8C。-A瓦C2，中E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段

上，點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為（