立體幾何中的?？冀?jīng)典小題全歸類（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)21立體幾何中的?？冀?jīng)典小題全歸類【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1求幾何體的體積與表面積】............................................................4

【題型2幾何體與球的切、接問題】............................................................6

【題型3體積、面積、周長、距離的最值與范圍問題】............................................7

【題型4空間線段以及線段之和最值問題】......................................................7

【題型5空間角問題】.........................................................................9

【題型6空間中的距離問題】...................................................................9

【題型7翻折問題】..........................................................................10

【題型8立體幾何中的截面、交線問題】........................................................II

【題型9立體幾何中的軌跡問題】..............................................................12

【題型10以立體幾何為載體的新定義、新情景題】..............................................13

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的常考經(jīng)典小題全歸類

立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對該部

分的考查，小題主要體現(xiàn)在三個方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的判斷；二是空間幾何體的體積和表面

積的計算，難度較易；三是常見的一些經(jīng)典常考壓軸小題，涉及到空間角、空間距離與軌跡問題等，難度

中等或偏上，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1空間幾何體表面積與體積的常見求法】

1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該

怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單

幾何體的體積，再相加或相減.

【知識點(diǎn)2幾何體與球的切、接問題的解題策略】

1.常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

2.空間幾何體外接球問題的求解方法：

空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：

(1)定義法：利用平面幾何體知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，

確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.

⑵補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)尸〃,8,C構(gòu)成的三條線段PC兩兩垂直，且必=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4尺2=°2+〃+02求解.

⑶截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線

作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.

3.內(nèi)切球問題的求解策略：

(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.

(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

【知識點(diǎn)3幾何法與向量法求空間角】

1.幾何法求異面直線所成的角

(1)求異面直線所成角一般步驟：

①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因為異面直線所成角0的取值范圍是(0,三，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面

直線所成的角.

2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,y],即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的

絕對值.

3.幾何法求線面角

(1)垂線法求線面角(也稱直接法)；

(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：

用等體積法，求出斜線現(xiàn)在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解.

公式為：sind=4,其中。是斜線與平面所成的角，〃是垂線段的長，/是斜線段的長.

4.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)

角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

5.幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線,

再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角

的大小.

【知識點(diǎn)4立體幾何中的最值問題及其解題策略】

1.立體幾何中的幾類最值問題

立體幾何中的最值問題有三類：

一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動，求線段長度、截面的面積和體積的最值；

二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動，求有關(guān)角度和距離的最值；

三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系.

2.立體幾何中的最值問題的求解方法

解決立體幾何中的最值問題主要有兩種解題方法：

一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；

二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求

最值；通過降維的思想，將空間某些量的最值問題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問題.

【知識點(diǎn)5立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】

1.立體幾何截面問題的求解方法

(1)坐標(biāo)法：所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，進(jìn)行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過三點(diǎn)的完整截面，再進(jìn)行求解.

2.截面、交線問題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

【知識點(diǎn)6立體幾何中的軌跡問題及其解題策略】

1.動點(diǎn)軌跡的判斷方法

動點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

出動點(diǎn)的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動點(diǎn)的軌跡方程.

2.立體幾何中的軌跡問題的常見解法

(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問題.

(2)交軌法：若動點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時，要首先分析兩動曲

線的變化，依賴于哪一個變量?設(shè)出這個變量為K求出兩動曲線的方程，然后由這兩動曲線方程著力消去

參數(shù)/,化簡整理即得動點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.

(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動

點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.

(4)坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，進(jìn)

行求解.

(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問

題，進(jìn)行求解.

【知識點(diǎn)7以立體幾何為載體的情景題的求解策略】

1.以立體幾何為載體的幾類情景題

以立體幾何為載體的情景題大致有三類：

(1)以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；

(2)以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問題，包括中國傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；

(3)以生活實際為背景設(shè)置問題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動實踐、文化精神等.

2.以立體幾何為載體的情景題的求解思路

以立體幾何為載體的情景題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情景下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決

問題.

此類問題的求解過程主要分四步：一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，

即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實現(xiàn)“圖形一文字一符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖

形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動觀點(diǎn)，要“動手”去操

作，動態(tài)地去閱讀圖形.

?舉一反三

【題型1求幾何體的體積與表面積】

【例1】(2024?浙江?模擬預(yù)測)清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地.為

了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量

恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm,

斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【變式1-1］（2024?江蘇連云港?二模）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,

,242412,12

【變式1-2］（2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活.如

圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,。是圓柱下底面的圓心.若

圓錐的側(cè)面與以。為球心，半徑為4m的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A.SVSirm2B.16V5irm2C.20nm2D.40-rrm2

【變式1-3］（2024?天津和平?二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰

影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內(nèi)切

球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點(diǎn)）的體積為（）

【題型2幾何體與球的切、接問題】

【例2】（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐4一BCD中，4D_L平面力BC,^BAC=60°,AB=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.3On

【變式2-1］（2024?海南?模擬預(yù)測）已知正方體4BCD-&B1C1%的棱長為2,點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDDiCi

的中心，則四面體NCBiM的外接球的表面積為（）

A.2irB.4TTC.6TTD.8TT

【變式2-2］（2024?云南大理?模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不

燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正

八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如

圖所示，正八面體E-4BCD-尸的棱長為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2近

【變式2-3］（2024?安徽安慶?三模）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底

A.這兩個球體的半徑之和的最大值為萼

B.這兩個球體的半徑之和的最大值為《

C.這兩個球體的表面積之和的最大值為（6+3班戶

D.這兩個球體的表面積之和的最大值為詈

【題型3體積、面積、周長、距離的最值與范圍問題】

【例3】（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，NC邊上的高為且8H=AH=3,CH=6,

矩形。EFG的頂點(diǎn)。，G分別在邊8/,8c上，E,歹都在邊/C上，以/C為軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周，則矩

形。EFG旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的最大體積為（）

,81_23

A.—TTB.—TTC.12TTD.18TT

82

【變式3-1］（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）在三棱錐P-ABC中,AC=BC=PC=2,且力C1BC.PC1平面ABC,

過點(diǎn)P作截面分別交4C,BC于點(diǎn)E,F,且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面PEF的面積最小值為

（）

A.-B.-C.-D.1

333

【變式3-2］（2024?河南?一模）已知尸為棱長為巡的正四面體力-BCD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面

上）一動點(diǎn)，記尸到面4BC,面力CD,面BCD,面2BD的距離分別為后，h,h,%，若九3+儲=1，則上+二

232九1的

的最小值為（）

A.2B.—C.史延D.12+4V2

22

【變式3-3］（2024?四川宜賓?三模）已知E,尸分別是棱長為2的正四面體力BCD的對棱力D,BC的中點(diǎn).過EF

的平面a與正四面體ABCD相截，得到一個截面多邊形T,則下列說法正確的是（）

A.截面多邊形T不可能是平行四邊形B.截面多邊形T的周長是定值

C.截面多邊形T的周長的最小值是a+逐D.截面多邊形T的面積的取值范圍是［1,應(yīng)］

【題型4空間線段以及線段之和最值問題】

【例4】（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測）如圖，在長方形4BCD中，AB=2,BC=1,￡為。。的中點(diǎn)，F(xiàn)為線

段EC（端點(diǎn)除外）上的動點(diǎn).現(xiàn)將△力FD沿/尸折起，使平面2BD1平面ABC,在平面2BD內(nèi)過點(diǎn)。

作DK1AB,K為垂足.設(shè)BK=t,貝”的取值范圍是（）

A.（1,|）B.（1,V2）C.（V2,V3）D.（y,l）

【變式4-1］（2024?北京?模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體力BCD-4/1的。1中，點(diǎn)F是棱CCi的中點(diǎn)，P是

正方體表面上的一點(diǎn)，若/PIAF,則線段DiP長度的最大值是（）

C.|D.V3

【變式4-2］（23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí)）在棱長為2的正方體力BCD-中，P,Q,R分

別為線段BD,的。上的動點(diǎn)，則PR+3QR的最小值為（）

A.2V6B.4V2C.3V5D.5

【變式4-3］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，力C為圓錐S。的底面圓。的直徑，點(diǎn)B是圓。上異于4C的動

點(diǎn)，SO=1AC=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓錐S。的側(cè)面積為8近11

B.三棱錐S-4BC的體積的最大值為孩

C.NS4B的取值范圍是

D.若AB=BC,E為線段4B上的動點(diǎn)，則SE+CE的最小值為2（舊+1）

【題型5空間角問題】

[例5]（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知直三棱柱4BC-4/iCi中,Z.ABC=120°,AB=CCX=2,BC=1,

則異面直線AB】與BCi所成角的余弦值為（）

A.更B./C.亞D.坦

2543

【變式5-1]（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，底面48CD是邊長為2的正方形，半圓面力PD1底面力BCD,

點(diǎn)P為圓弧4。上的動點(diǎn).當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時，二面角P-BC-D的余弦值為（）

【變式5-2]（2024?四川雅安?一模）如圖，在正方體力BCD-力道1的。1中，點(diǎn)P是線段力當(dāng)上的動點(diǎn)（含端

點(diǎn)），點(diǎn)Q是線段4C的中點(diǎn)，設(shè)PQ與平面AC%所成角為仇則cos。的最小值是（）

【變式5-3]（2024?山東臨沂?二模）已知正方體）CD—4%的。1中,M,N分別為CQ,的。的中點(diǎn)，則

（）

A.直線與&C所成角的余弦值為半B.平面BMN與平面8的。1夾角的余弦值為部

C.在BQ上存在點(diǎn)°,使得D.在當(dāng)。上存在點(diǎn)尸，使得P4〃平面BMN

【題型6空間中的距離問題】

【例6】（2023?貴州六盤水?模擬預(yù)測）平面a的一個法向量為元=（1,2,2）,力（1,0,0）為a內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)P（3,l,l）

到平面a的距離為（）

A.1B.2C.3D.VT1

【變式6?1】（2024?廣西來賓?一模）棱長為3的正方體/BCD—Z/iCiDi中，點(diǎn)E,產(chǎn)滿足印=2前，BF=

2FB］,則點(diǎn)/到直線FC1的距離為（）

3V352V35

AA--B.

5

「3V72V7

c—D.可

【變式6-2］（2024?福建福州?模擬預(yù)測）四棱錐E-4BCD的頂點(diǎn)均在球。的球面上，底面A8CD為矩形，平

面BEC1>平面4BCD,BC=V5,CD=CE=1,BE=2,貝1|0到平面ADE的距離為（）

1V2V5

A.B.C.D.

348

【變式6-3］（2024?廣西?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體/BCD-4當(dāng)?shù)男≈?，E為線段D%的中點(diǎn),

F為線段8當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).直線FC1到平面48把的距離為（）.

1

D.

3

【題型7翻折問題】

【例7】（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知矩形45C。中，E為線段CD上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記=a,

現(xiàn)將△川□￡沿直線4E翻折到的位置，記直線C尸與直線4E所成的角為氏則（）

A.cosa>cos/?B.coscr<cos/?C.cosa>sin/?D.sincr<cos0

【變式7-1］（2023?浙江臺州?二模）已知菱形48CD的邊長為3,對角線BD長為5,將△48。沿著對角線BD

翻折至△A'BD,使得線段力'C長為3,則異面直線A'B與CD所成角的余弦值為（）

348

-V-5C--

A.4B.49D.9

【變式7-2］（2024?全國?三模）在平面直角坐標(biāo)系中，P為圓/+y2=16上的動點(diǎn)，定點(diǎn)4（—3,2）.現(xiàn)將y

軸左側(cè)半圓所在坐標(biāo)平面沿y軸翻折，與y軸右側(cè)半圓所在平面成殖的二面角，使點(diǎn)4翻折至AP仍在右側(cè)

半圓和折起的左側(cè)半圓上運(yùn)動，貝以'，P兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（）

A.[V13,3V5]B.[4-V13,7]C.[4-V13,3V5]D.[V13,7]

【變式7-3]（2024?湖南邵陽?二模）如圖所示，在矩形4BCD中，AB=瓜力。=1,AF1平面ABC。，且

4F=3,點(diǎn)E為線段CD（除端點(diǎn)外）上的動點(diǎn)，沿直線4E將△D4E翻折到則下列說法中正確的是

（）

A.當(dāng)點(diǎn)E固定在線段CD的某位置時，點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡為球面

B.存在點(diǎn)E,使平面Z/4E

C.點(diǎn)力到平面BCF的距離為日

D.異面直線EF與BC所成角的余弦值的取值范圍是（誓,嚕）

【題型8立體幾何中的截面、交線問題】

【例8】（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知球。的半徑為5,點(diǎn)4到球心。的距離為3,則過點(diǎn)4的平面a被球。所截

的截面面積的最小值是（）

A.9TCB.12nC.16TlD.2On

【變式8-l]（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測）在長方體ABC?！狝i/CiDi中，A8=2AD=2AAr,點(diǎn)M是線段的小

上靠近％的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CM的中點(diǎn)，則平面AMN截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【變式8-2]（2024?安徽安慶?三模）在正方體48。?！?1%的。1中，點(diǎn)民F分別為棱4D的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,F,的

三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱8名的一個三等分點(diǎn)

C.4C1平面Ci￡T

D.平面力/小〃平面CiEF

【變式8-3］（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱4BC-4當(dāng)好的體積為4,ACA.BC,AC=BC=CC1,

。為％Ci的中點(diǎn)，￡為線段/C上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面ADE截直三棱柱4BC-&BiCi所得的截面面

積的取值范圍為（）

【題型9立體幾何中的軌跡問題】

【例9】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱ABC-4/1的的底面邊長是2,側(cè)棱長是2百，M為4的

的中點(diǎn)，N是側(cè)面BCC1/內(nèi)的動點(diǎn)，且MN〃平面ABC。則點(diǎn)N的軌跡的長度為（）

A.V6B.2C.V2D.4

【變式9-1］（2024?浙江溫州?一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱ABC—4B1C1，南=2就，點(diǎn)F

是側(cè)棱上的動點(diǎn)，且萬^2葡，H為線段FB上的動點(diǎn)，直線CHn平面力EG=M,則點(diǎn)M的軌跡為（）

B

A.三角形（含內(nèi)部）B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

【變式9-2］（2024?四川成都?三模）在棱長為5的正方體4BCD-4/1的小中，Q是。小中點(diǎn)，點(diǎn)P在正

方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動，且CP14Q,則點(diǎn)P的軌跡長度為（）

A.V5TTB.2V5TTC.—D.5n

4

【變式9-3］（2024?四川成都?二模）在所有棱長均相等的直四棱柱ABCD-41%的。1中，^BAD=60°,點(diǎn)

P在四邊形A&BiB內(nèi)（含邊界）運(yùn)動.當(dāng)CiP=?CCi時，點(diǎn)P的軌跡長度為則該四棱柱的表面積為（）

A.16+4V3B.8+2V3C.4+bD.4日

【題型10以立體幾何為載體的新定義、新情景題】

【例10】（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨(dú)立開

展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，

中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可

以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為

4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

【變式10-11（2024?安徽池州?模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在其著作《幾何原本》中定義了相似圓錐:

兩個圓錐的高與底面的直徑之比相等時，則稱這兩個圓錐為相似圓錐.已知圓錐S。的底面圓。的半徑為3,其

母線長為5.若圓錐S'。'與圓錐S。是相似圓錐，且其高為8,則圓錐S'。'的側(cè)面積為（）

A.157rB.607rC.967rD.120TT

【變式10-2】（2024?廣東江門?模擬預(yù)測）沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時間的裝置.沙漏由兩個完全一樣

的圓錐和一個狹窄的連接管道組成，通過充滿了沙子的玻璃圓錐從上面穿過狹窄的管道流入底部玻璃圓錐

所需要的時間來對時間進(jìn)行測量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國的沙漏出現(xiàn)要晚.時鐘問

世之后，沙漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來助眠.經(jīng)科學(xué)認(rèn)證，人類的健康入睡時間是15分鐘，

沙漏式伴睡燈便是一個15分鐘的計時器.它將古老的計時沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑

下，下部的燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋.就這樣，寧靜的夜

晚，聽著沙粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看

成完全一樣的圓錐，測得圓錐底面圓的直徑為10cm,沙漏的高（下底面圓心的距離）為8cm,通過圓錐的

頂點(diǎn)作沙漏截面，則截面面積最大為（）

W

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

【變式10-3］（23-24高二上?河南?階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔

各有一個幾何體，右塔上的幾何體首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）.埃舍爾多面體可以用兩兩垂直

且中心重合的三個正方形構(gòu)造，定義這三個正方形2n=1,2,3）的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形

的交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為Pn，Qn，將極點(diǎn)P1，Q1分別與正方形4282c2%的頂點(diǎn)連線，取其中

點(diǎn)記為Em，工?（6=123,4）,如圖3.埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成的，這些四棱錐頂點(diǎn)均為

“框架點(diǎn)”,底面四邊形由兩個“極點(diǎn)”與兩個“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于理解,在圖4中構(gòu)造了其中兩個四棱錐&-

。出/252與4-P2E1P3%，則直線Q182與平面&E2P2所成角的正弦值為（）

圖1圖2

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）為了美化廣場環(huán)境，縣政府計劃定購一批石墩.已知這批石墩可以看作是一個

圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中AB=2CE=2EF=40cm,AC=10V2cm,則該石

墩的體積為（）

C13000TTO

cm3,C.4000ircm23D.-------cm°

333

2.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）已知S0=2,底面半徑。遇=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過S和?！ㄖ悬c(diǎn)的

平面截球。所得截面面積的最小值為（）

25C25

A.一nB.—nC.-TID.5K

234

3.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為4的正三角形，。是8C的中點(diǎn)，沿/。將△ABC

折疊，形成三棱錐人-BCD.當(dāng)二面角B—AD-。為直二面角時，三棱錐A-BCD外接球的體積為（）

心5V5TTD20的71

A.5TlB.20Tlc

--.3

4.（2024?河南?二模）已知四面體A8CD的各個面均為全等的等腰三角形，且CA=C8=2A8=4.設(shè)E為空

間內(nèi)一點(diǎn)，且五點(diǎn)在同一個球面上，若力E=2百，則點(diǎn)E的軌跡長度為（）

A.IlB.211C.3nD.4n

5.（2024?河南?模擬預(yù)測）為體現(xiàn)市民參與城市建設(shè)、共建共享公園城市的熱情，同時搭建城市共建共享

平臺，彰顯城市的發(fā)展溫度，某市在中心公園開放長椅贈送點(diǎn)位，接受市民贈送的休閑長椅.其中觀景草坪

上一架長椅因其造型簡單別致，頗受人們喜歡（如圖1）.已知4B和CD是圓。的兩條互相垂直的直徑，將平

面4BC沿翻折至平面A8C',使得平面4BC'，平面2BD（如圖2）此時直線與平面C,BD所成角的正弦值

為（）

6.（2024?安徽?一模）在平行六面體48CD-4道10￡）1中，己知A8=力。=A&=1,N&AB=N力遇。=

△BAD=60°,則下列選項中錯誤的一項是（）

A.直線&C與所成的角為90。

B.線段4修的長度為企

C.直線&C與所成的角為90。

D.直線4忑與平面N3CD所成角的正弦值為當(dāng)

7.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）棱長為2的正方體4BCD-4/1的小中，設(shè)點(diǎn)P為底面公當(dāng)?shù)囊詢?nèi)（含邊

界）的動點(diǎn)，則點(diǎn)4cl到平面PBD距離之和的最小值為（）

A.五B.辿C.遮D.空

3323

8.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知E,尸分別是棱長為2的正四面體ZBCD的對棱4D,BC的中點(diǎn).過EF的平面

a與正四面體4BCD相截，得到一個截面多邊形T,則正確的選項是（）

①截面多邊形T可能是三角形或四邊形.

②截面多邊形T周長的取值范圍是［4,2近+3網(wǎng).

③截面多邊形T面積的取值范圍是［1,周.

④當(dāng)截面多邊形T是一個面積為半的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

二、多選題

9.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）如圖，一個棱長為6的透明的正方體容器（記為正方體力BCD-41當(dāng)3。1）

放置在水平面a的上方，點(diǎn)A恰在平面a內(nèi)，點(diǎn)B到平面a的距離為2,若容器中裝有水，靜止時水面與表面

的交線與&D的夾角為0,記水面到平面a的距離為d,則（）

A.平面48的。11平面a

B.點(diǎn)小到平面a的距離為8

C.當(dāng)de（2,8）時，水面的形狀是四邊形

D.當(dāng)d=7時，所裝的水的體積為與

10.（2024?全國?二模）已知正方體4BCD-4/1的。1外接球的體積為4971了是空間中的一點(diǎn)，則下列命

題正確的是（）

A.若點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動，且4P=2,則點(diǎn)P軌跡的長度為2TT

B.若P是棱Ci%上的點(diǎn)（不包括點(diǎn)的,?。?，則直線AP與CCi是異面直線

C.若點(diǎn)P在線段BCi上運(yùn)動，則始終有OiPl&D

D.若點(diǎn)P在線段BCi上運(yùn)動，則三棱錐4-BiPDi體積為定值

11.（2024?湖南