解三角形的最值和范圍問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】...............................................2

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】........................................................5

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】........................................................8

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】.....................................12

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】.....................................................15

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................17

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】.....................................................21

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】.........................................................25

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】.................................................29

?命題規(guī)律

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長、周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形中的最值和范圍問題】

1.三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

（1）利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

（2）利用基本不等式求最值（范圍）；

（3）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

（5）坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的邊長、周長或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)

用.解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究

其最值（范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值（范圍）問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利

用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

（3）坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊

角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡，再結(jié)

合三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求其最值.

?舉一反三

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】

【例1】（2024?河北石家莊?三模）在△ABC中，角4B、C所對的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9.

⑴若sinC=I，求sin力?sinB的值；

（2）求△力BC面積的最大值.

【解題思路】（1）根據(jù)正弦定理可得sinA=g,sinB=&從而可求sinA?sinB的值；

（2）利用基本不等式可得+b2>2ab=18,再根據(jù)余弦定理可得cosC的范圍，從而可得sinC的范圍,

結(jié)合三角形面積公式，即可得△4BC面積的最大值.

【解答過程】（1）由正弦定理三=4=9=6,可得sinA=±sinB=&

sinesmHsmA66

ab91

???sinA-sinB=—?—=—=—

66364

(2)vab=9,**.a2+b2>lab=18,

2ab-161

由余弦定理可得cose=__18-5'

?*.1<cost,<1,0<1—（cosC）2<3

???0<sinf<竿，?,.S=|ahsinC=|sinf<2V5,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積取得最大值2代.

【變式1-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）記銳角三角形ZBC的內(nèi)角48,C的對邊分別為a”,c,已知bcosZ=V3-

acosB,2asinC=V3.

⑴求A

（2）求4ABC面積的取值范圍.

【解題思路】（1）方法一：由余弦定理角化邊求解；方法二：由正弦定理邊化角求解.

⑵利用正弦定理得b===E+結(jié)合△ABC為銳角三角形，求得g<C<，進(jìn)而求得

smesme2tanc232

|<h<2,即可求解.

【解答過程】（1）方法一：由余弦定理，得=B—ax誓也，解得c=VI

2bc2ac

又2asinC=g,所以由正弦定理，得sin4=竺變=

c2

又△ABC為銳角三角形，所以4=3

方法二：由題意知，bcosA=2asinC-acosB.

由正弦定理得sinBcosA=2sinZsinf—sin/cosB,

所以sinBcosA+cosBsinA=2sin4sinC,

所以sin(B+4)=2sinZsinf,即sinf=2sin4sinC；

又因?yàn)閟inC^O,所以sin4=g,又因?yàn)?€(0弓)，所以4=].

(2)由正弦定理，得6=誓V^sin(4+C)_V3sin?lcosC4-V3coSi4sinC

2tanC2

0<c<-

2

因?yàn)椤髁C為銳角三角形，所以

0<B=--C<-

解得三<C<￡，所以tanC>B,所以：<b<2.

因?yàn)閏=V5,所以S/^BC=；bcsin4=當(dāng)8,所以當(dāng)〈S^BCV號(hào).

【變式1-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測)如圖，在平面內(nèi)，四邊形力BCD滿足B,。點(diǎn)在AC的兩側(cè)，AB=1,BC=2,

△ACD為正三角形，設(shè)N4BC=a.

D

⑴當(dāng)a=軻，求力C；

(2)當(dāng)a變化時(shí)，求四邊形4BCD面積的最大值.

【解題思路】(1)在△力BC中，由余弦定理可得AC的值；

(2)由余弦定理可得AC?的表達(dá)式，進(jìn)而求出正三角形力CD的面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出四邊形4BCD的面積

的表達(dá)式，由輔助角公式及a的范圍，可得四邊形面積的范圍.

【解答過程】⑴因?yàn)?B=1,BC=2,8=全

由余弦定理可得：AC=VXB2+BC2-2AB-BCcosB=Jl+4-2X1X2X1=V3.

(2)由余弦定理可得AC?=_|_BC2—2AB-BCcosa=1+4—2xlx2coscr=5—4cosa,

因?yàn)椤髁D為正三角形，所以S&4CD=苧4=乎一V3cosa,

11

S2ABC=-BCsina=-x1x2sina=sina,

所以S四邊形ABCD=S4wc+S^ACD=sina-V3cosa+莘=2sin(仇一§+乎，

因?yàn)閍G(Om),所以a—^6

所以sin(a冶)e(一耳,斗

所以S四邊形4BCDe(f,2+#卜

故當(dāng)a=g時(shí)，四邊形力BCD面積的最大值為2+乎.

【變式1-3](2024?上海?三模)已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且遮a=2csinA.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求△力BC面積S的最大值.

【解題思路】⑴由正弦定理即可得sinC=^；

(2)由余弦定理結(jié)合重要不等式可得ab取值范圍，再由三角形的面積公式S^BC=gabsinC可求出面積的最

大值.

【解答過程】(1)由題意可知，V3a=2csinA,

由正弦定理得V5sinA=2sinCsin4

因?yàn)榱?，CG(0,n),所以sin4H0,

即sinC=-y.

(2)由(1)可知sinC=/，

所以C=g或0=生

在△ABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

當(dāng)C=］時(shí)，c=3,

9=h2+a2-2ab--=b2a2—ab>2ab-ab=ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=3時(shí)取等號(hào)，即ab<9,

故44BC的面積S&4BC=-absinC=――ctbW

244

當(dāng)c=g時(shí)，c=3,

9=82+次+2ab?I=b2+a2+ab>lab+ab=3ab,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)取等號(hào)，即ab<3,

故aZBC的面積SAZBC=^absinC=~ctb<~~r~-

244

綜上所述，△ABC的面積最大值為竽.

【題型2三角形邊長的最值或范圍問題】

【例2】(2024?四川三模)在△4BC中,內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,且滿足2csinBcosA=b(sinAcosB+

cosAsinB).

(1)求力；

(2)若△ABC的面積為16遮，。為AC的中點(diǎn)，求2D的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊化角得cosX=則得到力的大?。?/p>

(2)利用三角形面積公式得幾=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答過程】(1)因?yàn)?csinFcoSi4=6(sin4cosB+cosZsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcos4=sinBsin(Z+B)=sinBsinC,

又CG(0,ii),BG(0,7i),故sinfH0,sinBW0,

所以cosA=I，又4e(0,11),故4=

(2)S4ABe=^ebsinA=16v又4=p???be=64,

2

在△84。中，由余弦定理8。2=—2?84MD?cos4=c2+C)-2c-1-cosp

=c2+-——-cb>2c2--——-cb=-cb=32,

42\422

當(dāng)且僅當(dāng)c=g=4位時(shí)取等號(hào)，

BD的最小值為4V2.

B

【變式2-1]（2024?江西?模擬預(yù)測）在aABC中，角4B,C所對的邊分別記為a,b,c,且tanA=吟吟

cosC+smB

⑴若B=F，求c的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范圍.

【解題思路】(1)由tan/=ssB-smC,得sin/cosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,再利用兩角和差

cosf+sinB

的正余弦公式化簡，進(jìn)而可求得4B的關(guān)系，即可得解;

（2）利用正弦定理求出仇c,再根據(jù)48的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解答過程】(1)因?yàn)閠an4=cosB-sinC,所以陋=C°SB-Sinc

cosC+sinBcos4cosf+sinF

即sirh4cosc+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinXcosC+cosAsinC=cosAcosB—sin/sinB,

所以sin(i4+C)=cos(i4+B),即sinB=cosQ4+B),

而4BE(0,T[),所以B+/+B=5或B—(4+B)=—>

所以4+2B=]或4=一5（舍去），

又因?yàn)锽=g所以4=9

OO

所以c=g；

(2)由⑴得4+28=今

因?yàn)榫?9C

sinC，

所以竺哼2sinS_2sinF_2sinB

sinZsin4sin怎一28)cos2B'

asinC_2sinC_2sin(^+^)_2cos8

sinZsin4sin(5—28)cos2B'

貝帕+c=2(sinB+cosB)2(sinB+cosB)2

cos2Fcos2B—sin2ScosB—sinBcos(8+]

0<B<ii

0<=-2B<n)得O<B<$

{0<y+B<TT

所以T<B+m<3所以0<cos(B+R<￥，

442\4/2

所以b+cE(2,+oo).

【變式2-2X2024?廣東廣州?三模)在銳角△ABC中，內(nèi)角42,C的對邊分別為a,6,c,且c=bsin^+acosB.

⑴求4

(2)若。是邊BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且N4BD=NB4),求號(hào)的取值范圍.

DL)

【解題思路X1)根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到sin?=cos4進(jìn)而求得sin?=

即可求解.

(2)設(shè)乙4BD=Na4。=久(0<x<*在△4CD中，利用正弦定理，化簡得到黑=一1+要一，根據(jù)題

意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】(1)c=6sin^+acosB,sinC=sinBsin^H-sinAcosB,

又/+B+C=IT,可得sinC=sin(/+B)=sinZcosB+cosTlsinB,

???sin/cosB+cos/sinB=sinBsin-+sinXcosB,

2

:.sinBcos/=sinBsinp又0VB<]sinBH0,

可得cosA=sin*所以1—2sin2^=sin*解得sing=；或sin5=一旦

v0<>1<I，所以sin、=,即。=

(2)設(shè)N4BD=/BAD=x(0<x<§,則N￡MC=]一相44(7￡)=g—x,

???Z-ABD=Z.BAD,AD=BD,

在44CD中，由正弦定理得殷=殷=把a(bǔ)=曾sx-s叫=生之=_1+2V3_f

BDADsin(-----xjV3cosx+sinxV3+tanxV3+tanx

因?yàn)椤髁C為銳角三角形，所以0<x(洱?！戳恪?lt;今貝%<x<%

所以tanxe停⑹，可得B+tanxe件,2⑹，所以T+送=(。，。，所以恭(嗚)?

【變式2-3](2024?江西鷹潭?二模)△ABC的內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足上哼=當(dāng).

cos/cosB

⑴求證：A+2B=]；

(2)求亨的最小值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，化簡得到sin(4+B)=cosB=sing-B),即可得證；

(2)由(1)知4=]一28且C=]+8,利用正弦定理得到亨=4cos2B+熹一5,結(jié)合基本不等式,

即可求解.

【解答過程】(1)證明：由1sm9=可得4”且sinZcosB+cos/sinB=cosB,

cos?lcosB2

所以sin(X+B)=cosB—sin(]—B),

因?yàn)?B為三角形的內(nèi)角，可得4+B=]—B,即4+28=看得證.

(2)解:由(1)知力=]-28,且C=Tt-a-B=]+B,

EITPla21^2__sin2i4+sin2B__cos22B+sin25_(2cos2B-1)2+1—cos2B

2

csin2cCOS2FCOS2F

所以巴券=4cos28+^^-5>4V2-5,當(dāng)且僅當(dāng)=乎時(shí)，等號(hào)成立，

所以號(hào)的最小值為4V2-5.

【題型3三角形周長的最值或范圍問題】

【例3】(2024?安徽淮北二模)記△4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c一6=2csiM?

(1)試判斷△4BC的形狀；

(2)若c=l,求△ABC周長的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，求得COS4=L利用余弦定理列出方程，得到a2+62=c2,即可求解；

C

(2)由(1)和c=l,得到a=sinZ,8=cos4則△ZBC周長為1+sinZ+cos/,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),

即可求解.

【解答過程】⑴解：由c—6=2csin2],可得宜/仁^，所以卡=F，

222c22c

即1T=L所以cos4=2,

2222cc

又由余弦定理得四等=2,可得a2+62=c2,所以c=；,

2bcc2

所以△4BC是直角三角形

(2)解：由(1)知，ZiZBC是直角三角形，且c=l,可得a=sinZ,b=cos4

所以△力BC周長為1+sinA+cos力=1+V2sin(4+：)，

因?yàn)?e(o,g,可得"+：€(：號(hào))，

所以，當(dāng)/=：時(shí)，即△力BC為等腰直角三角形，周長有最大值為企+1.

【變式3-1](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知在△ABC中，。為2C邊的中點(diǎn)，且AD=*.

(1)若△4BC的面積為2,cos^ADC=y,求B；

(2)若力5+力。2=18,求△力BC的周長的最大值.

【解題思路】(1)根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得BD=1,由余弦定理，求得48=2近，再由

正弦定理求得sinB=今進(jìn)而求得B的值；

(2)設(shè)CD=BD=x,分別在△力BD和△4CD中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,結(jié)合Q4B+4C)2W

2{AB2+AC2},即可求解.

【解答過程】(1)解：因?yàn)椤?BC的面積為2,且。為BC的中點(diǎn)，

可得SA4BD=/力切出D|sinN4D8=1,

又因?yàn)閟inNADB=sinNADC=W，可得BD=1,所以BC=2

在△ABD中，由余弦定理得力B2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(V5)2+12_2x逐xlxW=8,所以48=2V2,

由正弦定理缶=焉，可得SEB=3

因?yàn)橐?DC+Z.ADB=Tt且COSZ.ADC=y;

可得cosZ-ADB=cos(IT—Z.ADC)=—cosZ-ADC=—<0,

即“DB為鈍角,所以B為銳角,所以B=(.

(2)解：設(shè)CD=BD=x,分別在△力BD和△力CD中，

由余弦定理力=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB,

即4B2—x2+5—2x-VSCOSZTIDB,同理可得AC2—x2+5+2x-y[Scosz.ADB,

所以力B2+4。2=2(^2+5)=18,可得尤=2,

又因?yàn)镼48+4C)2式2(41+力。2)=36,當(dāng)且僅當(dāng)4B=4C時(shí)，等號(hào)成立，

所以4B+4CW6,所以△ABC周長的最大值為10.

【變式3-2](2024?云南曲靖?二模)在△ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且acosC+V^csinH=b+c.

(1)求角B的取值范圍；

(2)已知△力BC內(nèi)切圓的半徑等于手，求△力BC周長的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理可得sirh4cosc+BsinCsin/=sinB+sinC,利用三角恒等變換可得sin(4—

m)=；，可求角B的取值范圍；

oZ

(2)由三角形的面積可求得a=—b—c+be,結(jié)合余弦定理可得(be)?-2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2—

3bcf計(jì)算可得b+cW2或b+cN6,進(jìn)而可求得

△ZBC的周長L=a+b+c=Vfo2+c2-2bccosA+b+c,設(shè)△ZBC與圓內(nèi)切于點(diǎn)D,b+c=AC+

AB>AD+AF=3f進(jìn)而分析可得△4BC的周長的取值范圍.

【解答過程】(1)vacosC+V^csinA=b+c

由正弦定理得：sirh4cosc+V5sinCsinZ=sinB+sinC,

???sirh4cosc+V3sinCsinA=sinB+sinC,:.sin4cosc+gsinCsinC=sin(4+C)+sinC,

???y/3sinCsinA=cos^sinC+sinC.

vsinCHO,???V3sinyl=cosA+1,???sin(4—

(2)S=^besinA=be,S=+b+c)?r=廣(a+b+c),

???a+b+c=be,即a=—b—c+be,

由余弦定理得：a2=b2+c2-be.

???(fee)2—2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2—3bc,

??.be=2(b+c)—3..??(be)2—2bc=2(b+c)—3,

2

??*be<(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào))，

:.2(6+c)-3</；)b+c<2或b+c>6.

O

設(shè)與圓內(nèi)切于點(diǎn)貝!Mo=AF=r-tan60°=

+c>6(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào)).

△4BC的周長L=a+b+c=Vb24-c2-2bccosA+b+c,

I--------------------Irb+C

=+c)2—3bc+h+c>(b+c)2—3(---)2+b+c

=1(h+c)>9(當(dāng)且僅當(dāng)6=c=3時(shí)兩處都取等號(hào)).

,."min=%

,；c=AB>DB<B(爭,

tan-2tan-J

「?8—0時(shí)，C7+oo,L->+8,

.?.△ABC的周長的取值范圍是［9,+8).

【變式3-3](2024?湖南常德?一模)已知△力BC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別是a,b,c,且唉=2b.

cost

⑴判斷△4BC的形狀；

(2)若△ABC的外接圓半徑為VL求△ABC周長的最大值.

【解題思路】(1)使用正弦定理對條件進(jìn)行邊化角，再用三角恒等變換證明8=C；

(2)先用基本不等式證明sinA+sinB+sinC<苧，然后利用正弦定理與外接圓半徑的關(guān)系可得到a+b+

c<3V6,最后說明等號(hào)可以取到，即得結(jié)果.

【解答過程】(1)由正弦定理并結(jié)合已知有sinScosC+sinCcosF=sin(B+C)=sin4=友詈=外7==

2sinBcosC.

故sinBeosf=sinCcosB,從而sin(B—C)=sinBeosf-sinCcosB=0.

由于3,CE(Oji),從而g-CW(-nm),故由sin(B-C)=0可知B=C,所以△4BC一定是等腰三角形.

（2）設(shè)的外接圓半徑為R.

一方面，我們有sinA+sinB+sinC=sin(B+C)+sinB+sinC

=sinBcosf+sinCcosB+sinB+sinC

2sinB?V3cosC2sinC-V3cos^

——--------1-----------------------FsinB+sinC

2V32V3

sin*25+3cos2csin2c+3cos2B

—胃--------1-------------

2V32V3

sin2B+3—3sin2Csin2c+3-3sin2^

-------------------------1---------------------------FsinB+sinC

2V32V3

V3V3「

———sin27B+sinB———sin72C+sinC+v3

27

V3/.DV3\V3/.V3\,3V3.3V3

-T(sinC-TJ+—<—

故a+b+c=2R(sin3+sinB+sinC)W2R?言=2a?誓=3后;

另一方面，當(dāng)△4BC是邊長為傷的等邊三角形時(shí)，有a=b=c=&,A=B=C=^.

此時(shí)—^7=半=2乃=2b,R=-=V2,且a+b+c=3歷.

COSG-22smA92~73

所以△ABC周長的最大值是3瓜

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】

【例4】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特*一模）記△力BC的內(nèi)角4的C的對邊分別為a,hc.若a=g,b=2,則B+C

的取值范圍是（）

A?俘期B.[￡）

C"D.仔罰

【解題思路】先根據(jù)邊的關(guān)系求出c的范圍，然后表示出cos4求出其范圍進(jìn)而可得力的范圍，則B+C的取

值范圍可求.

【解答過程】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得2-8<c<2+療,

*+c2-a24+C2-3

即cos4=

2bc4c爭4c=總4\+9cj

由對勾函數(shù)y=x+：單調(diào)性可知，其在（2-百,1）上單調(diào)遞減，在（1,2+舊）單調(diào)遞增;

即cos4=](c+，)e[T，1),可得AG所以B+Ce仔,TT).

故選：B.

【變式4-1]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在△4BC中，角力、B、C的對邊分別為a、b、c,若專+*=金,

則tan/---二的最小值為（）

tanc

ABD.1

-I-I9

【解題思路】由題意化簡可得-八浮，根據(jù)余弦定理可得34=親cosC=-A,進(jìn)而tanC=-

9tanZ<0,則tan/——二=tanA+-^—,結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.

【解答過程】由強(qiáng)+?=磊，得。2+濟(jì)=。2,所以?2—。2=浮,

沙=翌cosC=^^="=—2,

由余弦定理得cosX="耍""

2bc8c2ab2ab8a

9b

所以注=另=—四羽竺，整理得理=_9.辿，即tanf=—9tan4

COSC—csinfcosCCOSTI

8a

由cosC=-2〈o,知C為鈍角，所以tanC=-9tanZ<0,則tanZ>0.

所以tan/----=tan/H———>2/tanZ?——=

tanC9tanAy9tan43

當(dāng)且僅當(dāng)tanX=#7即tan/=:時(shí)等號(hào)成立，

9tarii43

所以當(dāng)tan力號(hào)時(shí)，tan”高的最小值為余

故選：B.

【變式4-2]（2024?陜西寶雞?二模）△ABC中，。為BC邊的中點(diǎn)，AD=1.

（1）若△4BC的面積為2后且乙4DC=字求sinC的值;

（2）若8C=4,求cosNBHC的取值范圍.

【解題思路】（1）由S0DC=[SOBC，利用面積公式求出DC，在△力DC中由余弦定理求出4C,再由正弦定

理求出sinC；

（2）設(shè)〃℃二/六（0力，分別利用余弦定理表示出冊、依從而得到8S皿C=-而蠢方再

由余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【解答過程】⑴因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，所以SA4DC=?SA4BC=A

又SMDC=,DCsinN/WC=心即gx1xDCxsi吟=百，解得DC=4,

在^ADC中由余弦定理力。2=4。2+DC2_2AD.DCcos^ADC,

即力/=12+42_2x1x4x(—3=21,所以ZC=V21,

在△4DC中由正弦定理一奇=當(dāng)即粵=士解得sinC=《

smz.ADCsineirsine14

2

(2)設(shè)立力DC=/eG(0,n),

在aADB中由余弦定理4^2=AD2+BD2-2AD-BDeos乙ADB,

即4Z?2=l2+22—2xlx2COS(TT-0)=5+4cos8,

在aADC中由余弦定理4c2=AD2+DC2_2AD.DCCOSZ.ADC,

2

即力。2=i2+2-2xlx2COS0=5—4cos0,

在aABC中由余弦定理cos^BAC=5+4cos6+5—4cos8-16_3

ZAD-AC2V5+4cose-V5-4cos0V25-16cos20

因?yàn)閑e(0,n),所以cos2。e[0,1),貝(J25—16cos2。e(9,25],

所以'25-16cos2?e(3,5],

所"k11,

EG.

所以一宿入G(-1,—-jf即cosZ-BACG(T，T

【變式4-31(2024?北京石景山?一模)在銳角△ZBC中，角48。的對邊分別為a,8的且2bsinZ-=0.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)求cos力+cosC的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理邊化角求解即可；

(2)由(1)可知8=爭所以4+C=g,所以將cosA+cosC轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，最后求其值域

即可.

【解答過程】(1)因?yàn)?bsin4-8a=0,由正弦定理邊化角得：

2sinBsinX—V3sinX=0,所以(2sin8—V3)sinX=0,

由于在△力BC中，sin力力0,所以2sinB一百=0,

即sinB=M又0<B<],所以8=今

(2)由(1)可知B=%所以a+c=g,

所以cosA+cosC=cosA+cos-4)=cosA+cos-cos>l+sin—sin?l

33

1V31V3/

=cosA----cosZH------sinA=—cosAH------sinZ=sinL4+

2222V3

（0<--A<-“

由于在銳角△ABC中，3兀2,所以m

0<X<-62

2

所以《<4+3所以5屋<皿6+外40吟

3633\6/2

所以苧<sin（4+習(xí)W1,所以cos力+cosC的取值范圍為停斗

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】

【例5】（2024?山西太原?三模）已知△ABC中，4=120。，。是BC的中點(diǎn)，且4D=1,貝面積

的最大值（）

A.V3B.2V3C.ID.2

【解題思路】利用中線得到4=爐+?2-6c,結(jié)合不等式得出beW4,進(jìn)而得到面積的最大值.

【解答過程】因?yàn)?=120。，所以四?尼=|祠|祠3120。=-如，

因?yàn)榱ΑＪ侵芯€，所以前=g（南+左），AD2=1（AB2+AC2+2AB-XC）,

所以4=次+C2-be2be,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立；

△ABC面積為S=^besinA<|x4Xy=V3.

故選：A.

【變式5-1］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△ABC的內(nèi)角45C的對邊分別為a,6,c,且a=g,8C邊上中

線力。長為1,則be最大值為（）

A.7B.\C.V3D.2V3

42

【解題思路】根據(jù)兩角互補(bǔ)余弦值之和等于0,然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方

程求出按+。2=?然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答過程】由題意得4WB+N/WC=TT,

所以cosZ-ADB+cosZ-ADC=0,

又a=?且。是BC的中點(diǎn)，所以DB=DC=f,

7a

/icnAD2+BD2-C27-C

i±AABD中，cosZ-ADB=-------------=^-f=-

2ADBDV3

在△皿;中，=嚶等=4

77

所以cos^ADC+cos^ADB='+隼=0,

V373

即扶+=；,得2bc<b2+c2=be當(dāng)且僅當(dāng)b=c=《取等號(hào)，

2242

故選：A.

【變式5-2](2024?安徽合肥?二模)記△力BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知?=2,‘7+」7+

tanAtan3

=1.則△ABC面積的最大值為()

tan/tanB

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【解題思路】由題意及正切與正弦與余弦的關(guān)系，兩角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦

定理及基本不等式可得M的最大值，進(jìn)而求出該三角形的面積的最大值.

【解答過程】因?yàn)槎狪—-—I-------—=1,可得tanA+tanB+1=tanAtanB,

tan4tanBtanAtanB

口nSinZ,sinB,.sinAsinB

即——+——+1=---------,

cosZcosBcosAcosB

整理可得sirL4cosB+cosZsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(i4+B)=—cos(X+B),

在三角形中sin(>l+B)=sinC,cos(A+B)=—cost1,

即sinC=cosC,C6(0/n),可得C=:;

由余弦定理可得c?=b2+a2-2abeos：>2ab-y[2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

而c=2,

所以ab<2-y[2=2(2+V2),

所以=5absinC45x2(2+V2)x=1+V2.

即該三角形的面積的最大值為1+V2.

故選：A.

【變式5-3](2024?浙江臺(tái)州?二模)在△ABC中,角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccos4

則等的最大值為()

A.V3B.-C.—D.3

22

【解題思路】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】由余弦定理可知，COSC=Q^F，COS4=Q±《W,

2ab2bc

由QCOSC=2ccos4可得Q?丘》二.=2c-b-+c~a~,

2ab2bc

化簡可得。2+/一=2b2+2c2-2a2,

所以3a2=ft2+3c2,即4=-b_6,

3bc_33_V3

b2+3c2.2+主—2叵^-2

c-Jeb

當(dāng)且僅當(dāng)卜干時(shí)，即b=Bc時(shí)，等號(hào)成立,

所以挪最大值為日

故選：C.

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值(范圍)】

【例6】(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)在△4BC中,內(nèi)角),8,C所對的邊分別為a,b,c,且*=L

(1)求角A的大小;

(2)若△力BC為銳角三角形，點(diǎn)/為△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理及余弦定理可得cos4的值，再由角4的范圍，可得角2的大小;

(2)設(shè)NR4B=a,分別在兩個(gè)三角形中，由正弦定理可得BF,CF的表達(dá)式，由輔助角公式可得BF+CF

的取值范圍.

【解答過程】(1)因?yàn)槔镢?1,

cos^B—cos^A

所以sin2c-sinCsinB=cos2B—cos2y4=1—sin2B—1+sin2>l,

所以siMB+sin2c—siMz=sinCsinB,

由正弦定理可得抉+c2-a2=be,

由余弦定理可得COSi4=b+；—a=I，G(0,71),

2bc2

可得a=p

(2)延長2F交BC于D,延長BF交AC于E,延長CF交4B于P,AF=6,

根據(jù)題意可得BC14D,BE1AC,因?yàn)樗訬EBA=N力CP=二

36

設(shè)NF4B=a,ae(05)，在△AB尸中，由正弦定理可得~

3smz.EBAsmz.FAB

即1=—,可得BF=12sincr,

-sina

2

同理在△CR4中，可得CF=12sin6-a),

所以BF+CF=12[sina+sin(^—a)]=12(sina+苧cosa—|sina)

=12(|sina+弓cosa)=12sin(a+])，

因?yàn)閍W(0—),所以a+號(hào))，

所以sin(a+/)E1]?

所以BF+CFE(6V3,12].

【變式6-1](2024?遼寧?模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角4BfC的對邊分別為見瓦c,(c-V3fa)sinC=(a-

b)(sin4+sinB).

(1)求力；

(2)若△ABC為銳角三角形，且b=6,求△力BC的周長I的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；

(2)利用正弦定理求出a,c的表達(dá)式，根據(jù)△4BC為銳角三角形確定2的范圍，求出三角形周長的表達(dá)式

并化簡，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.

【解答過程】(1)由題意知△ABC中,(c—V3h)sinC=(a—6)(sin4+sinB),

即(c—V3Z?)c=(a-b)(a+b),BPZ>2+c2-a2=痘be,

I.L.b2+c2-a2V3k?.A7T

故COSi4=----------=—,而0V4<IT,?,?Z=-；

2bc26

(2)由(1)知B+C=gn,而b=6,

6

故由正弦定理得號(hào)=4=￡,則。=霽=三

sm/sinnsinesinBsinn

6sinf_6sinQ4+B)_6sin(^+^)_+3cosB

sinBsinBsinBsinB

由△ABC為銳角三角形,則C=

故4的周長Z=Q+b+c=——F6+3V3+3c°s'

6cos2g

3(1+cosB)

=6+3百+=6+3V3H--------5-----p

sinB.DD

2nsm2cos2

=6+3V3H----g,

tan.

而故-^E(3,3V^),

乙3tan—

故^ABC的周長的取值范圍為(9+3V3,6+6V3).

【變式6-2](2024?河北衡水一模)在△力BC中，內(nèi)角48,C所對的邊分別是a,仇c,三角形面積為S,若D

為4C邊上一點(diǎn)，滿足力B_L=2,且a2=—等S+abcosC.

(1)求角8;

⑵求方+/的取值范圍.

【解題思路】(1)結(jié)合面積公式、正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得tanB=-W,進(jìn)而求解即可;

(2)在△BCD中由正弦定理可得DC=」-,在Rt△4BD中，可得4。=二進(jìn)而得到上+工=sinA+sinC,

sinCsinAADCD

結(jié)合三角恒等變化公式化簡可得Wsin(C+9,進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.

ZiZzCU\Oz

【解答過程】(1)???a?=—?S+a6cosC,

???a2=——absinC+abcosC,BPa=——bsinC+bcosC,

3