平行四邊形的存在性問題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對應(yīng)邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:

(1)對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：]/一/二%一%,

[%-yB=yD-yc

_XR+程

(2)對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：\22

yA+ycyB+yD

22

可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).

/

【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣,但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：

r

xA-XB=XD-xc^(xA+xc=XD+XB

jA-yB=yD-yc民+/=%+%'

r

xA+xc_xB+xD

2―2\xA+xc=xB+xD

yA+ycyB+yD1%+%=%+%"

、2—2

當(dāng)AC和8。為對角線時，結(jié)果可簡記為：A+C^B+D(各個點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相力口)

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一間：若坐標(biāo)系

中的4個點(diǎn)A、B、C、。滿足“A+C=8+?！?，則四邊形ABC。是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛8C。是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個點(diǎn)''并不是完全等價的轉(zhuǎn)化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印?和"兩定兩動''兩大類問題.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)。使得以A、B、C、。四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論：

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+3=]+tn

(1)8C為對角線時，,uc,可得2(7,6);

[3+5=2+〃

[1+3=5+tn

(2)AC為對角線時，，解得2(-1,4);

[2+5=3+〃

[1+5=3+m

(3)AB為對角線時，2+3=5+〃'解得3(3，0).

當(dāng)然，如果對這個計(jì)算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(相，0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,"),又A(1,1)、B(3,2).

[1+3=nr+0{tn—4

(1)當(dāng)A3為對角線時，〈c八,解得,,故C(4,0)、D(0,3);

1+2=0+〃\n=3

(]+nr=3+0[—2

⑵當(dāng)AC為對角線時，]+』+〃,解得…1,故。⑵……

/、,，、,[l+0=3+m\m=-

⑶當(dāng)例為對角線時，?=2+。,解得I故C(-2,0)、D(0,1).

【動點(diǎn)綜述】

“三定一動''的動點(diǎn)和“兩定兩動''的動點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確

定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為"全動點(diǎn)”，而有一些動點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，

用一個字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動點(diǎn)

從上面例子可以看出，雖然動點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點(diǎn)坐標(biāo).若把一個字母稱

為一個“未知量”也可理解為：全動點(diǎn)未知量=半動點(diǎn)未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

(1)對邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：\X^+XC=XB+XD,

［為+yc=yB+yD

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未

知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點(diǎn)設(shè)計(jì)，由動點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線》=以2+版經(jīng)過一Q4B的三個頂點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)A(3,-3),點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線x=且11aR的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

⑵求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)C為線段A3的中點(diǎn)，P為直線上的一個動點(diǎn)，連接”，CP,將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)

點(diǎn)為4.問是否存在點(diǎn)尸，使得以A-P,C,5為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9

2.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點(diǎn)在函數(shù)y=-二(x＜0)的圖象上.

X

⑴若〃2=-2,求W的值；

⑵拋物線y=(x-m)(x-〃)與X軸交于兩點(diǎn)M在N的左邊)，與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)為E.

①m為何值時，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②設(shè)GMN的外接圓圓心為C,C與y軸的另一個交點(diǎn)為尸，當(dāng)〃?+"/0時，是否存在四邊形FGEC為平

行四邊形？若存在，求此時頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(2023?山東?中考真題)如圖，直線y=-x+4交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,對稱軸為龍=］的拋物線經(jīng)

過BC兩點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A.P為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交

拋物線于另一點(diǎn)M，作x軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交V軸于點(diǎn)O.

(1)求拋物線的解析式;

3

⑵若。＜小＜5，當(dāng)〃2為何值時,四邊形CDNP是平行四邊形?

4.(2023?山東聊城?中考真題)如圖①，拋物線>=62+"-9與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),3(6,0),與y軸交于

點(diǎn)C,連接AC,8c.點(diǎn)尸是無軸上任意一點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線>=-/+云+0經(jīng)過4(-1,0)((0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)8,

點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請亶填寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.（2023?甘肅武威?中考真題）如圖1,拋物線>=-犬+區(qū)與x軸交于點(diǎn)A,與直線>交于點(diǎn)3（4,T）,

點(diǎn)c（o,T）在y軸上.點(diǎn)?從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段8。方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)。時停止.

⑴求拋物線y=*+法的表達(dá)式;

（2）當(dāng)2P=20時，請?jiān)趫D1中過點(diǎn)尸作尸。，。4交拋物線于點(diǎn)。，連接尸C,OD,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說明理由.

7.（2023?四川巴中中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線丫=/+法+。（。*0）經(jīng)過點(diǎn)A（-