平行四邊形的存在性問題-2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識導航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質：

(1)對應邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中:

(1)對邊平行且相等可轉化為：]/一/二%一%,

[%-yB=yD-yc

_XR+程

(2)對角線互相平分轉化為：\22

yA+ycyB+yD

22

可以理解為AC的中點也是BD的中點.

/

【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣,但其實可以化為統(tǒng)一：

r

xA-XB=XD-xc^(xA+xc=XD+XB

jA-yB=yD-yc民+/=%+%'

r

xA+xc_xB+xD

2―2\xA+xc=xB+xD

yA+ycyB+yD1%+%=%+%"

、2—2

當AC和8。為對角線時，結果可簡記為：A+C^B+D(各個點對應的橫縱坐標相力口)

以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一間：若坐標系

中的4個點A、B、C、。滿足“A+C=8+?！?，則四邊形ABC。是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因為“四邊形A8C。是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點''并不是完全等價的轉化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動’'和"兩定兩動''兩大類問題.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標系內確定點。使得以A、B、C、。四個點為頂點的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論：

設。點坐標為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+3=]+tn

(1)8C為對角線時，,uc,可得2(7,6);

[3+5=2+〃

[1+3=5+tn

(2)AC為對角線時，，解得2(-1,4);

[2+5=3+〃

[1+5=3+m

(3)AB為對角線時，2+3=5+〃'解得3(3，0).

當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點的橫縱坐標相加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點C在x軸上，點。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標.

【分析】

設C點坐標為(相，0),。點坐標為(0,"),又A(1,1)、B(3,2).

[1+3=nr+0{tn—4

(1)當A3為對角線時，〈c八,解得,,故C(4,0)、D(0,3);

1+2=0+〃\n=3

(]+nr=3+0[—2

⑵當AC為對角線時，]+』+〃,解得…1,故。⑵……

/、,，、,[l+0=3+m\m=-

⑶當例為對角線時，?=2+。,解得I故C(-2,0)、D(0,1).

【動點綜述】

“三定一動''的動點和“兩定兩動''的動點性質并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確

定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為"全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，

用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標.若把一個字母稱

為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質：

(1)對邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：\X^+XC=XB+XD,

［為+yc=yB+yD

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未

知量.

由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線》=以2+敬經過AQAB的三個頂點，其中。為坐標原點,

點A(3,-3),點8在第一象限內，對稱軸是直線x=且的面積為18

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式;

⑵求點8的坐標；

(3)設C為線段A3的中點，P為直線上的一個動點，連接”，CP,將△ACP沿CP翻折，點A的對應

點為4.問是否存在點尸，使得以A-P,C,5為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）丫=1犬2-3工

⑵（6,6）

尸點的坐標為（"I,2或'"I,

⑶存在,

hg

【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線l=-F=將點A代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

2a4

（2）設蘇-3m］，過點A作跖，y軸交于E點，過8點作交于尸點，繼而表示出AQ4B的

面積，根據(jù)AOAB的面積為18,解方程，即可求解.

（3）先得出直線的解析式為y=%設P（rj）,當8尸為平行四邊形的對角線時，可得AP=AC,當3c

為平行四邊形的對角線時，BP=AC,進而建立方程，得出點尸的坐標，即可求解.

h9

【詳解】（1）解：???對稱軸為直線'=-

2a4

9

??b=—a（X）,

2

將點A（3,-3）代入y=ax2+Zzx得，

???9。+36=-3②，

'_2

聯(lián)立①②得，＜“一§,

b=-3

2

解析式為y=-x2-3x；

（2）設療-3m），如圖所示，過點A作所，＞軸交于E點，過5點作的，￡F交于下點，

AF（m,-3）,E（0,-3）,

2

貝！JOE=3,A石=3,人尸二加一3,3尸=—m2—3m+3

3

?q=—mx|—m2—3m+3+3|—=18

??^^AOB213J

解得：帆=6或帆=-3（舍去）,

（3）存在點尸，使得以A，p，C,6為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

???A（3,-3）,B（6,6）,

設直線。3的解析式為，=辰,

6k=6,解得：k=1,

直線。3的解析式為y=尤，

設尸（M，

如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，BC//A.P,

圖2

BC=AP,

'：AC=BC,

AC=AjP,

由對稱性可知AC=AC,AP=AiP9

：.AP=AC,

J(f_3y+(/+3)2=+[_3_)

3

解得：f=±1

點的坐標為停功或[;I)

圖3

由對稱性可知，AC=AlCf

BP=AC,

J（6-）2+（6T）2=Jb-;-]+U

解得：t=—+6^t=--+6,

22

536/3石]

點的坐標為春+6,后—I-6------F6,----F6

\-,122,

)或信力或殍+6,李6W一孚

綜上所述，P點的坐標為

2

2.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點P(s〃)在函數(shù)y=-一(x<0)的圖象上.

X

(1)若〃2=-2,求〃的值；

⑵拋物線丫=(》-加)(％-冷與了軸交于兩點〃，在N的左邊)，與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①相為何值時，點E到達最高處；

②設AGMN的外接圓圓心為C,G)C與y軸的另一個交點為尸，當加+"片0時，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)〃的值為1;

(2)①根=-0；②假設存在，頂點E的坐標為一4，—：>或g-

22

【分析】(1)把帆=—2代入y=——(%<0)得〃=—不=1,即可求解;

x-2

m+n22

(2)?x=9^y=(x-m)(x-n)=-—(m-n)=-2-—(m+n)<-2,即可求解;

244

m+n1、?-e,-,.

②求出直線小的表達式為：y=-1m(x-1m)-l,得到點C的坐標為I;由垂徑定理知，點。在

FG的中垂線上，則尸G=2(%—>G)=2X(—g+2)=3；由四邊形尸GEC為平行四邊形，則

17

CE=FG=3=y?-yE二一3-YE，求出力二—］，進而求角軋

22

【詳角軍】(1)解：才巴利=一2代入y=一—(xvO)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值為1;

(2)解：①在y=(%_機)(％_〃)中，令y=0,則(x一根)(％_〃)=0,

解得％=加或4=〃，

,N(n,0),

2

???點PO,〃)在函數(shù)y=—-(x<0)的圖象上，

x

：.mn=—2,

,77?力II

令彳=----,得y=。_加)(尤_“)=——(〃2-”了=-2——+<-2,

244

即當機+〃=0,且mn=-2,

則蘇=2,解得：機=-應(正值已舍去)，

即加=-a時，點E到達最高處;

②假設存在，理由：

對于＞=（%—相）（%—〃），當x=0時，y=mn=-2,即點G（0,—2）,

對稱軸為直線尤=歲

作MG的中垂線交MG于點T,交,軸于點S,交x軸于點K,則點7］；加,-1）,

則tanZMKT=--m,

2

則直線75的表達式為：y=

、［/m+n…1/1、［1

當了=---時，y=--m（x-—m）-l=-—,

則點c的坐標為（＞，-￡|.

由垂徑定理知，點C在尸G的中垂線上，貝q尸G=2（九一%）=2X（-：+2）=3.

四邊形FGEC為平行四邊形,

則CE=FG=3=於-%=一；一%，

7

解得：%二一5，

127

即一--(jn-ri)=-—,且mn=-2,

42

則加+〃=土，

???頂點七的坐標為一半'一［，或乎［?

3

3.（2023?山東?中考真題）如圖，直線y=f+4交九軸于點6,交丁軸于點C,對稱軸為工=5的拋物線經

過BC兩點，交x軸負半軸于點A.尸為拋物線上一動點，點尸的橫坐標為加，過點尸作工軸的平行線交

拋物線于另一點V，作X軸的垂線PN,垂足為N,直線交y軸于點O.

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)若0<“<5，當機為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結合平行四邊形的性質，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解;

【詳解】(1)解：在直線y=-x+4中，當x=o時，y=4,當y=0時，x=4,

...點8(4,0),點。(0,4),

設拋物線的解析式為y=+k,

a+左二0

把點3(4,0)，點。(0,4)代入可得-

a+左=4

a=-1

解得L25.

k=—

L4

，拋物線的解析式為y=+^=-X2+3X+4；

(2)解：由題意，P(m,-/n2+3m+4),

**?PN=—m2+3m+4，

當四邊形CDNP是平行四邊形時，PN=CD,

OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m，

:.￡>(0,m2-3m),N(m,0),

設直線腦^的解析式為〉=用工+加2_3根,

2

把N（m,0）代入可得kxm+1V-3m=0,

解得勺=3—m,

直線MN的解析式為y=（3—x+4—3機，

3

又???過點尸作x軸的平行線交拋物線于另一點M,且拋物線對稱軸為九=],

M（3—機，—加之+3機+4）

（3—m）2+m2—3m=-m2+3m+4,

解得叫=如魯（不合題意，舍去），丐=殳2普；

4.（2023?山東聊城?中考真題）如圖①，拋物線y=aY+bx_9與x軸交于點A（-3,0）,3（6,0）,與y軸交于

（1）求拋物線的表達式；

（2）點0在拋物線上，若以點A,C,P,。為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點。的坐標；

【分析】（1）將4（-3,0）,3（6,0）代入〉=0?+法-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

1Q13

（2）由二次函數(shù)>一]x_9,求得點C（0,-9）,設點P（",0）,點。（凡9）,分類討論：當AC

為邊，AQ為對角線時，當AC為邊，AP為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質，構建方程求

解；

【詳解】（1）將A（—3,0）,3（6,0）代入〉=依2+灰-9,得

j_

a=

9a-3b-9=Q2

36a+6b-9=0'解得

_3

b=

-2

14

???拋物線解析式為：J^=-X2--X-9

i3

（2）二次函數(shù)y=]%2一/%一9,當％=0時，y=

?,?點。（0「9）

13

設點P（九0）,點。-_n_9）,

當AC為邊，42為對角線時，

???四邊形ACQ尸為平行四邊形，

???42,CP互相平分

13

A-n2--n-9=-9解得，n=0（舍去）或〃=3

點。坐標（3,-9）；

i3

同理得，-1--n-9+(-9)=0

22

副但33后個33歷

解得，n=-+----或〃=--------，

2222

1,3

-n---n-9=9

22

.上門0廣/33^17C、T,33717c、

??點。坐標(5+,9)或(耳----,9)

綜上，點。坐標(3,-9),或弓+之乎,9)或g-2乎,9)；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線>=-尤2+法+。經過A(-l,0),C(0,3)兩點，并交x軸于另一點2,

點〃是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D

備用圖

(1)求該拋物線的表達式;

⑶若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請度填寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

(3)分DM,DP,M尸分別為對角線，三種情況進行討論求解即可.

【詳解】(1)解：:?拋物線產-爐+6x+c經過4-l,0),C(0,3)兩點,

—l—b+c=Qb=2

,解得:

c=3c=3

??y=—尤2+2無+3?

(3)解:存在；

y=-x2+2x+3=-(x-1)-+4,

，對稱軸為直線x=l,

設尸(pj),2(1,n),

當以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形時:

①加為對角線時：-

t+n=4+2'

1

\t+n=6

當p=0時，，=3,

.**n=3,

Jo+p=l+l

②當￡＞尸為對角線時：

12+，=4+〃

t

qfr

1

??.]P=2,

[2+/=4+幾

當p=2時，,=-22+2x2+3=3,

n=l,

2(1,1)；

1+p=0+1

③當〃尸為對角線時:

4+/=2+〃

當p=0時，t=3,

??〃=5,

.-.2(1,5)；

綜上：當以。，M,P,°為頂點的四邊形是平行四邊形時，。(1,3)或。(1,1)或。(1,5).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線丫=-父+樂與x軸交于點A,與直線＞=一》交于點3(4,T),

點C(O,T)在y軸上.點P從點8出發(fā)，沿線段3。方向勻速運動，運動到點。時停止.

⑴求拋物線y=-V+&V的表達式；

⑵當=時，請在圖1中過點P作尸。_LCM交拋物線于點D,連接尸C,OD,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說明理由.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)作PDLQ4交拋物線于點。，垂足為H,連接尸C,0D,由點尸在》=一》上，可知0"=尸",

ZPOH=45°,連接3C,得出02=4&,則OH=PH=^0P=顯乂2也=2,當/=2時，

22

一4+3x2=2,進而得出PZ)=OC,然后證明尸D〃OC,即可得出結論；

【詳解】(1)解：：拋物線丫=7+區(qū)過點B(4,T),

一16+46=4

：.b=3,

y=—x2+3x；

(2)四邊形OCPD是平行四邊形.

理由：如圖1,作尸DLQ4交拋物線于點。，垂足為H,連接尸C,0O.

?點?在，=-％上，

：.OH=PH,ZPOH=45°,

連接3C,

??OC=BC=4,

??OB=4A/2，

,?*BP=272，

OP=OB-BP=26,

???OH=PH=—OP=—x2y/2=2,

22

當X。=2時，DH=yD=-4+3x2=2,

PD=DH+PH=2+2=4,

,/C（0,M）,

:.OC=4f

：.PD=OC,

：OC_Lx軸，P￡>_Lx軸，

PD//OC,

四邊形OCPD是平行四邊形;

7.(2023.四川巴中,中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+阮+c(g0)經過點A(-l,0)和B(0,3),

其頂點的橫坐標為1.

⑴求拋物線的表達式.

(3)若點P為拋物線y=a/+法+c(aw0)的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，。為平移

后拋物線上一動點.在(2)的條件下求得的點是否能與A、P.Q構成平行四邊形？若能構成，求

出Q點坐標；若不能構成，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;

(3)由(1)知,y=--+2x+3向左平移后的拋物線為>=3+4,由⑵知4T0),設

尸(1,%),。(勺,％),假設存在以A、尸、Q、/為頂點的平行四邊形.根據(jù)中點坐標公式，分類討論即可

求解，①當以A"為對角線時，②當以A。為對角線時，③當以AP為對角線時.

【詳解】(1)解：???拋物線的頂點橫坐標為1

對稱軸為x=l

A(-l,0)

與x軸另一交點為(3,0)

設拋物線為V=a(x+1)(尤一3)

Q8(0,3)

CL=11

/.j=-(x+l)(x-3)

拋物線的表達式為y-+2x+3

(3)由(1)知，>=一/+2工+3向左平移后的拋物線為丁=-/+4

由由)知M(|,抖A(TO)

設尸(1,%),。(々,場),假設存在以A、P、Q、/為頂點的平行四邊形.

①當以AM為對角線時，

???平行四邊形對角線互相平分

.4+3=&+%,即T+萬l+xQ

2

z2z---------=2--------2

1

,??。在拋物線〉=*+4上

15

；?%=1

,Q的坐標為

②當以AQ為對角線時

.一3

同理可得/q=Xp+",即-1+41+2

/22z-----2-----=---2---

733

門口則為丁

Q的坐標為

③當以A尸為對角線時

3

4+，即7+1%e+2

22—=——

37

.??&=_，貝

37

二。的坐標為

254

綜上所述：存在以A、P、Q、M為頂點的平行四邊形.

Q的坐標為cm、a。-富。3m

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形

的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

8.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線丫=依2+次+3（awO）與無軸交于A（T0）,3（3,0）兩點,

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，點。在x軸上，以8,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點尸的坐標;

【分析】（1）將A（-L0），3（3,0）兩點代入拋物線的解析式即可求解；

（2）根據(jù)P,。的不確定性，進行分類討論：①過C作CP〃x軸，交拋物線于勺，過月作交x

軸于0i，可得%=3,由-d+2x+3=3,可求解；②在x軸的負半軸上取點Q，過久作交拋

物線于8，同時使之5=8。，連接C2、BP2,過鳥作鳥軸，交無軸于。，地=-3,即可求解；③

當2C為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點。在點B的左邊，且滿足8。=8。，也滿足條件，只是

點P的坐標仍是①中的坐標；

【詳解】（1）解：?.?拋物線y=aY+6x+3（awO）與x軸交于A（—l,0）,8（3,0）兩點，

0+3=0

,|9?+3Z?+3=0,

a=-1

解得

b=2

故拋物線的解析式為丫=-—+2工+3.

（2）解：①如圖，過C作C尸〃x軸，交拋物線于過［作4Q〃8C,交x軸于。一

???四邊形Bq。1是平行四邊形，

「?力=3,

—%2+2%+3=3,

解得：石=2,%2=°，

片（2,3）；

同時使&鳥=連接C°2、

②如圖，在X軸的負半軸上取點。2,過Q2作Q2P2〃BC,交拋物線于P2,BC,BP2,

過鳥作軸，交x軸于。，

四邊形BC24是平行四邊形,

NCBQ]=ZP2Q2B,

在和Ago/中，

BQ2=Q2B

<