四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測文科試題含解析

Page10四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測文科試題滿分：150分時間：120分鐘一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},若集合M滿意?UA.2∈M B.3∈M C.4?M D.5?M2.若復(fù)數(shù)z滿意i?z=3-4i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)A.-3i B.C.-3 D.33.已知直線l1:x+y-1=0,l2:A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知雙曲線x2A.233C.2 D.55.已知α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列命題中正確的是()A.若m⊥α,m⊥n,則n//αB.若m//β,α∩β=n,m⊥n,則α⊥βC.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥nD.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β6.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b)且cos2θ=-35A.5 B.23 C.4 D.7.函數(shù)f(x)=2sin(πx)exA.B.C.D.8.設(shè)等差數(shù)列an的前n項的和為Sn,若aA.17 B.34 C.51 D.1029.已知點(diǎn)D在直角△ABC的斜邊BC上,若AB=2,AC=3,則AD?A.[-4,9] B.[0,9] C.[0,4] D.[-2,3]10.設(shè)ω>0,若函數(shù)y=cosωx+π3的圖象向左平移π3個單位長度后與函數(shù)A.112 B.72 C.511.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,則下列關(guān)于函數(shù)A.函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn) B.函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D.直線x+y=0與曲線y=f(x)的相切12.已知2aA.a>b>c B.c>a>bC.b>a>c D.c>b>a二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線14.某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用x(萬元)與銷售額y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:依據(jù)上表可得回來方程y=5x+15.在三棱錐A-BCD中,BD⊥平面ADC,BD=2,AB=22,AC=BC=2516.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosA,則A=________,sinBsinC的取值范圍為______三.解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿意bn=nan,求數(shù)列b18.(本題滿分12分）自《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》頒布實施以來,越來越多的市民加人到綠色運(yùn)動“健步走”行列以提高自身的健康水平與身體素養(yǎng).某調(diào)查小組為了解本市不同年齡段的市民在一周內(nèi)健步走的狀況,在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查,部分結(jié)果如下表所示,其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的310,45歲以上（含45歲)的人數(shù)占樣本總數(shù)的（1）請將題中表格補(bǔ)充完整,并推斷是否有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān);(2)現(xiàn)從樣本中45歲以上(含45歲)的人群中按一周內(nèi)健步走的步數(shù)是否少于5萬步用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談,然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷,求抽取的2人中恰有一人一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步的概率.附：K2=n19.(本題滿分12分）如圖,正方形ABCD和直角梯形BEFC所在平面相互垂直,BE⊥BC,BE//CF,且AB=BE=2,CF=3.(1)證明:AE//平面DCF;(2)求四面體F-ACE的體積.20.(本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-12x(1)若函數(shù)f(x)在x=2時取得極大值,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a?0時,函數(shù)g(x)=f(x)+121.(本題滿分12分）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若圓x2+y2=1的切線l與橢圓C交于M選作題：考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計分。22.(本題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,0),傾斜角為π6.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(1)求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|的值.23.(本題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=|2x-3|+|2x+3|.（1）解不等式f(x)?8;(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為M,若正數(shù)a,b,c滿意1a+四川省雙流中學(xué)2024屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)文科參考答案及解析一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.【答案】B【解析】B.先寫出集合M,然后逐項驗證即可.由U={1,2,3,4,5}且CUM={1,2}得2.【答案】C【解析】C.利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算,先求出z,再依照復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)z的虛部.選C.方法一：由題意有z=3-4ii=(3-4方法二：由i?z=3-4i=i(-3i-4)3.【答案】A【解析】A.l1//l2?m=±1,故“4.【答案】D【解析】D.不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)(c,0),漸近線y=bx,由點(diǎn)到直線距離公式得b2=4,然后利用離心率的變通公式c=1+b2=5,進(jìn)而求得離心率e的值.由題意得,不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)F1+b2,0,雙曲線的漸近線為y=bx5.【答案】C【解析】C.充分利用長方體中的棱、面之間的關(guān)系直觀感知,同時結(jié)合空間中線面間平行及垂直的判定與性質(zhì)推理論證,需留意相應(yīng)定理的條件的完備性.對于A選項,n?α也可能：對于B選項,由條件得不到m⊥α,故不能推斷出α⊥β;對于C選項,則法線與法向量垂直則兩個平面垂直知正確;對于D選項,條件中缺少m?α,故得不到m⊥β.6.【答案】D【解析】D.由隨意角的三角函數(shù)定義,得tanθ=a1=b2,故B(2,2a),|OB|=21+tan2α=2|OA|.由cos2θ=-35得:cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos7.【答案】D【解析】D.借助推斷函數(shù)的奇偶性、對稱性和有界性,正弦型函數(shù)的符號改變規(guī)律,均值不等式等學(xué)問進(jìn)行推斷.由f(x)=2sin(πx)ex+e-x,x∈[-2,2]知f(x)為奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)桓正,故A、B選項不正確:又8.【答案】B【解析】B.設(shè)公差為d,則由a2+a8+a17=6得3a1+8d9.【答案】A【解析】A.本題考查平面對量的線性運(yùn)算、數(shù)量積及其幾何意義,數(shù)量積的坐標(biāo)表示,數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,運(yùn)算求解實力.方法一:由點(diǎn)D在BC上,設(shè)BD=xBC,0?x?1,則AD=AB+BD=AB方法二:以A為原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),則AB=(2,0),AC=(0,3),BC=(-2,3),設(shè)D(x,y),則AD=(x,y),故AD?BC=-2x+3y(*),由點(diǎn)D在BC上得:3x+2y-6=0,0?x?2(可借助初中的一次函數(shù)學(xué)問或必修2第三章直線的方程獲得x,y滿意方法三：設(shè)AD與與BC的夾角為θ,則由題意得AD?BC=13|AD|cosθ,故|AD|cosθ取最大值時AD?BC最大,|AD|cosθ取最小值時AD?BC最小,結(jié)合上圖,用運(yùn)動改變的觀點(diǎn)分析易知:D在斜邊BC上移動時,當(dāng)D與C重合時AD的模最大且與BC的夾角最小(∠ACB),故此時AD?BC取得最大值,且AD?BCmax=AC?10.【答案】B【解析】B.將函數(shù)y=cosωx+π3的圖象向左平移π3個單位長度,得y=cosωx+π3+π3的圖象.而y=cosωx+π3+π3=cosωx+ωπ3+π3=sinπ2+11.【答案】D【解析】D.f'(x)=3x2-3由f(-1)=3>0>-1=f(1)知B正確:由y=x3-3x是奇函數(shù),其圖象向上平移1個單位長度得到函數(shù)f(x)的圖象,故C正確:由于函數(shù)f(x)在x=1處取微小值-1,故直線x+y=0與曲線y=f(x)不相切,故D錯誤,選D.也可借助函數(shù)的圖象直觀感知作出12.【答案】A【解析】A.由已知得:a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log420=1+log45,故a,b,c的大小依次與log23,log34,或者利用函數(shù)f(x)=ln(x+1)lnx(x>1)的單調(diào)性比較log23,log34,log45的大小.事實上,當(dāng)x>1時f二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.【答案】2【解析】由拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)知,其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,本題中14.【答案】57【解析】計算得x=14(2+3+5+6)=4,y=14(28+31+41+48)=37,則樣本中心點(diǎn)是(4,37),代入回來方程得a15.【答案】8【解析】由BD⊥平面ADC，AD,DC?平面ADC,得BD⊥AD,BD⊥CD；由BD=2,AB=22,BC=25及勾股定理得:AD=2,CD=4,又AC=25,故AD2+CD2=AC2,所以AD⊥DC16.【答案】π3【解析】以三角形邊角關(guān)系的射影定理為背景,綜合考查正弦、余弦定理、三角變換的基本公式與方法,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等學(xué)問,求角A時,既可用正弦定理邊化角,也可用余弦定理角化邊,還可干脆用教材中習(xí)題的結(jié)論一一射影定理簡化;對于sinBsinC的范圍問題,可利用B+C=2π3且(1)求角A的過程與方法.①由已知及正弦定理得:2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,又0<A<π故cosA=12,所以②由已知及射影定理得:2acosA=ccosB+bcosC=a,故cosA=12,又所以A=π③由已知及余弦定理得:a2+c2-所以A=π(2)求sinBsinC范圍的過程與方法.策略一:利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì).由A=π3得B+C=2π3,故①sinBsinC=sinBsin2π3-B=sinB32cosB+12②令B=π3-x,C=故sinBsinC=sinπ因為-π3<x<π3,所以-32③由和、差角的余弦公式可得:2sinBsinC=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)+1由已知得0<B,C<2π3,故-2π3<B-C<2π3策略二:用余弦定理轉(zhuǎn)化.④在△ABC中,由正弦、余弦定理得:sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=sin2又由已知得0<B,C<2π3,故-所以0?sinB-sinCk32,當(dāng)且僅當(dāng)故sinBsinC∈0,三.解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.【答案】(1)an=2【解析】解:(1)方法一:由Sn+1-∴Sn+1∴a又a1=2∴a由①②知:對隨意n∈N*,恒有a∴數(shù)列an是首項與公比均為2的等比數(shù)列.方法二由Sn+1-又a1=2∴數(shù)列Sn∴Sn∴當(dāng)n?2時,a又a1=2(2)方法一:由(1)知,b∴兩式相減得:-T=∴T裂項變形得：b∴即Tn18.【答案】（1）有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年軨有關(guān)（2）3【解析】解:(1)由題意得,總?cè)藬?shù)為20045歲以上（含45多）的人數(shù)為200×3一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)為200×由此得如下列聯(lián)表:故K∴有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年軨有關(guān)（2）由題意，抽取的8人中一周內(nèi)健步走≥5萬步有6人，少于5萬步的有2人將一周內(nèi)健步走≥5萬步的6人編號為1,2,3,4,5,6,另外兩人記為A,B,則全部可能狀況如下:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,561A,2A1A記“抽取的2人中恰有一人一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步”這事務(wù)C由等可能事務(wù)的概率公式得:P(C19.【答案】(1)見解析(2)2【解析】(1)證明方法一:由正方形ABCD的性質(zhì)得:AB//CD又AB/?平面DCF,CD?平面DCF∴AB//平面DCF∵BE//CF,BE/?平面DCF,CF?平面DCF∴BE//平面DCF∵AB∩BE=B,AB,BE?平面ABE∴平面ABE//平面DCF∵AE?平面ABE∴AE//平面DCF.方法二:在CF取點(diǎn)G使得CG=2=BE,連結(jié)EG、DG∴四邊形BEGC是平行四邊形故EG//BC,且EG=BC又AD//BC,AD=BC∴AD//EG,AD=EG∴四邊形ADGE是平行四邊形.∴AE//DG.又AE/?平面DCF,DG?平面DCF∴AE//平面DCF.(2)由體積的性質(zhì)知:V∵平面BCFE⊥平面ABCD,平面BCFE∩平面ABCD=BCAB⊥BC,AB?平面ABCD∴AB⊥平面BCFE又AB=2故點(diǎn)A到平面CEF的距離為2,即三棱雉A-CEF底面CEF上的高h(yuǎn)=2?由題意,知BE⊥BC,BE//CF且CF=3,BC=2∴20.【答案】(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=3即3x-2y-1=0(2)見解析【解析】解:（1）ff'(x)=1由在x=2時取得極大值得：f'(2)=0,即1∴f(x)=lnx-12∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=32(2)證明方法一:由題意得:g由g'(x)=0得-x由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知,關(guān)于x的方程-x2設(shè)-x2+ax+1=0的唯一正根為m當(dāng)0<x<m時,g'(x)>0,故g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>m時,g'∴g設(shè)h(x)=lnx+12∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)且h(1)=0由am=m2-1及am=m2-1∴h(m)?h(1)=0,故g又ge-∴g(x)在(0,m]內(nèi)有零點(diǎn),即g(x)有零點(diǎn)方法二:由題意得:g由g'(x)=0得-x由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知,方程-x2設(shè)-x2+ax+1=0的正根為m當(dāng)0<x<m時，g'(x)>0,故g(x)單調(diào)遞增：當(dāng)x>m時,g'∴g∵ge-∴g(x)有零點(diǎn)等價于g(x)max?0由h(x)=lnx+12x2-當(dāng)且僅當(dāng)m?1時,lnm+由am=m2-1及a?0得:m-∴h(m)?h(1)=0,即當(dāng)a?0時,g(x)∴g(x)有零點(diǎn)方法三:g(x)有零點(diǎn)等價于關(guān)于x的方程lnx-1亦等價于關(guān)于x的方程a=1設(shè)φ(x)=12x-記H(x)=x2-1+2lnx,x>0,則H又H(1)=0,故φ'(x)=0當(dāng)0<x<1時,H(x)<0,故φ'當(dāng)x>1時,H(x)>0,故φ'∴φ(x)min∴當(dāng)a?0時,函數(shù)g(x)=f(x)+1方法四:要證:當(dāng)a?0時,函數(shù)g(x)=f(x)+1只需證:當(dāng)a?0時,直線y=ax與函數(shù)h(x)=1由h'當(dāng)0<x<1時,h'(x)<0,故h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時,h'∴h∴y=0是曲線y=h(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線即當(dāng)a=0時,直線y=ax與函數(shù)h(x)的圖象有唯一公共點(diǎn)當(dāng)a>0時,直線y=ax與函數(shù)h(x)的圖象在第一