2025版新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)與解三角形第七節(jié)正弦定理余弦定理學(xué)生用書

第七節(jié)正弦定理、余弦定理【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.駕馭正弦定理、余弦定理及其變形.2.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)潔的三角形度量問題．必備學(xué)問·夯實(shí)雙基學(xué)問梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asin＝________＝2Ra2＝____________；b2＝____________；c2＝____________變形(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________．(2)sinA＝a2RsinB＝________，sinC＝________；(3)a∶b∶c＝________．(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝____________2.三角形的面積公式(1)S＝12ah(h表示邊a(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12ab(3)S＝12r(a＋b＋c)(r[常用結(jié)論]1．三角形的內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：A+B2＝2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：在△ABC中，(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC3．角平分線定理：如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，則BDCD＝AB夯實(shí)雙基1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.()(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知隨意三個(gè)元素可求其他元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，△ABC為鈍角三角形．()2．(教材改編)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝()A．π6B．C．2π33．(教材改編)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，則△ABC的面積等于________．4．(易錯(cuò))在△ABC中，B＝30°，b＝2，c＝2，則A＝()A．15°B．45°C．15°或105°D．45°或135°5．(易錯(cuò))在△ABC中，若sin2A＝sin2C，則△ABC的形態(tài)為________．關(guān)鍵實(shí)力·題型突破題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若∠A＝45°，a＝2，b＝3，則∠C＝()A．60°B．75°C．60°或120°D．15°或75°(2)已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角所對(duì)的邊，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且a＝3，則△ABC外接圓的半徑為()A．1B．2C．2D．4(3)[2024·黑龍江哈爾濱月考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a-bc-bA．π6B．C．2π3D．π題后師說利用正弦、余弦定理的解題策略鞏固訓(xùn)練1(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若A＝π3，a＝23，b＝22，則BA．π4B．C．π4或3π4D．(2)已知△ABC中，a2＝b2＋c2－3bc，則A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°(3)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知3cosAcosC＝ac，且a2－c2A．4B．3C．2D．1題型二推斷三角形的形態(tài)例2(1)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且2a＝b＋c，sin2A＝sinBsinC，則△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形(2)[2024·河南濟(jì)源月考]在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosAcosB＋bcos2A＝acosA，則△ABC的形態(tài)是________．題后師說推斷三角形形態(tài)的方法鞏固訓(xùn)練2(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝ccosB，則△ABC的形態(tài)是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且csinC－bsinB＝asinA，則△ABC的形態(tài)為________三角形．題型三與面積有關(guān)的問題例3[2024·河北邯鄲模擬]在①b2＋c2－a2＝23acsinB；②sin2B＋sin2C－sin2A＝3sinBsinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，________．(1)求角A；(2)若a＝8，b＋c＝10，求△ABC的面積．題后師說與三角形面積有關(guān)問題的解題策略鞏固訓(xùn)練3[2024·遼寧鞍山模擬]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cosB(3a＋bsinC)＋bsinBcosC＝0.(1)求角B；(2)若2c＝a，△ABC的面積為233，求△第七節(jié)正弦定理、余弦定理必備學(xué)問·夯實(shí)雙基學(xué)問梳理1.bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC（1）2RsinB2RsinC（2）（3）sinA∶sinB∶sinCb2+c2夯實(shí)雙基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：在△ABC中，設(shè)AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc＝9+25-4930＝－1故選C.答案：C3．解析：在△ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.由題意及余弦定理得cosA＝b2+c2-a2所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝2答案：234．解析：由正弦定理得sinC＝csinBb＝2∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°，當(dāng)C＝45°時(shí)，A＝105°；當(dāng)C＝135°時(shí)，A＝15°.故選C.答案：C5．解析：在△ABC中，若sin2A＝sin2C.可得2A＝2C或2A＋2C＝π，所以A＝C或A＋C＝π2所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形關(guān)鍵實(shí)力·題型突破例1解析：(1)因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A＝45°，a＝2，b＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，可得sinB＝bsin又由0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°，當(dāng)B＝60°時(shí)，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°；當(dāng)B＝120°時(shí)，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋120°)＝15°.故選D.(2)因?yàn)?a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2+c2-a22bc＝12.又因?yàn)锳∈(0°，180°)，所以A故選A.(3)因?yàn)閍-bc-b＝sinCsinA+sinB，由正弦定理得a-bc由余弦定理得cosA＝b2+c2-又因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝π3故選B.答案：(1)D(2)A(3)B鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由正弦定理可得asinA＝則sinB＝bsinAa＝2故B＝π4或B＝3因?yàn)閎<a，所以B<A，所以B＝π4故選A.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－3bc可得cosA＝b2+c由于A∈(0，π)，故A＝π6故選A.(3)3cosAcosC＝ac，即為3ccosA即有3c·b2+c2-即有a2－c2＝12b2又a2－c2＝2b，則2b＝12b2解得b＝4.故選A.答案：(1)A(2)A(3)A例2解析：(1)由sin2A＝sinBsinC及正弦定理得(a2R)2＝b2R·c2R，即a2又2a＝b＋c，即a＝b+c2將②代入①可得(b－c)2＝0即b＝c③，將③代入①得a＝c，所以a＝b＝c，從而△ABC為等邊三角形．故選C.(2)若cosA＝0，即A＝π2，則acosAcosB＋bcos2A＝acosA若cosA≠0，則由acosAcosB＋bcos2A＝acosA得acosB＋bcosA＝a，所以sinAcosB＋sinBcosA＝sinA，sin(A＋B)＝sinC＝sinA，所以C＝A或C＋A＝π(舍去)，所以三角形為直角三角形或等腰三角形．答案：(1)C(2)等腰或直角三角形鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵在△ABC中，a＝ccosB，∴由正弦定理得sinA＝sinCcosB，又sinA＝sin(B＋C)，∴sin(B＋C)＝sinCcosB，即sinBcosC＋sinCcosB＝sinCcosB，∴sinBcosC＝0，∵在△ABC中B∈(0，π)，sinB>0，∴cosC＝0，又C∈(0，π)，∴C＝π2∴△ABC是直角三角形．故選B.(2)依據(jù)正弦定理得c2－b2＝a2，則c2＝a2＋b2，∴△ABC為直角三角形．答案：(1)B(2)直角例3解析：(1)選擇①：因?yàn)閎2＋c2－a2＝23acsinB，由余弦定理可得2bccosA＝23acsinB，所以結(jié)合正弦定理可得sinBcosA＝3sinAsinB.因?yàn)锽∈(0，π)，則sinB>0，所以cosA＝3sinA，即tanA＝33因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝π6選擇②：因?yàn)閟in2B＋sin2C－sin2A＝3sinBsinC，由正弦定理得b2＋c2－a2＝3bc，由余弦定理得cosA＝b2+c因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝π6(2)由(1)知A＝π6，又已知a＝8，b＋c由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－(2＋3)bc，即64＝100－(2＋3)bc，所以bc＝362+所以△ABC的面積為12bcsinA＝12bcsinπ6鞏固訓(xùn)練3解析：(1)∵cosB(3a＋bsinC)＋bsinBcosC＝0，∴3acosB＋b(sinCcosB＋c