三角函數(shù)與解三角形-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

第04講三角函數(shù)與解三角

(新高考專(zhuān)用)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)在△ABC中，內(nèi)角4所對(duì)的邊分別為a,瓦c,若B=熱孑=2ac)則sind+sinC=

()

A2V39n聞「中門(mén)3V13

A--------D.C.—D.--------

1313213

【解題思路】利用正弦定理得sinAsinC=再利用余弦定理有a?+c?=9ac,由正弦定理得到siM/l+sin2c

的值，最后代入計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?話,/=3四，則由正弦定理得sinAsinC=3也28=：

由余弦定理可得:/-a2+c2—ac--ac,

4

即:/+c2=—ac,根據(jù)正弦定理得siMz+sin2c=—sin^sinC=—,

4412

所以(sinZ+sinC)2=siM/+sin2c+2sin/sinC=

因?yàn)?。為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0,則sinA+sinf=

故選：C.

2.(2023?北京?高考真題)在△4BC中,(a+c)(sini4—sinC)=b(sinA-sinB),則NC=()

A.-B.-C.—D.—

6336

【解題思路】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?a+c)(sin4—sinC)=b(sinA—sinB),

所以由正弦定理得(a4-c)(a—c)=b(a—ft),即次—02=—孑，

則/+b2—c2=ab,故cost*="23

又0<C<1T,所以c='

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?高考真題)在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=$

貝=()

【解題思路】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得N力的值，最后利用三

角形內(nèi)角和定理可得N4的值.

【解答過(guò)程】由題意結(jié)合正弦定理可得sinTlcosB-sinBcos力-sinC,

即sin力cosB—sinScosX=sin(/I+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sinBcosA=0,由于Be(0,TT),故sinB>0,

據(jù)此可得cosA=0,A=p

貝!J8=TT-4—C=TT-.

2510

故選：c.

4.(2023?全國(guó)?高考真題)己知四棱錐P—ABC。的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,^PCA=45°,

則△PBC的面積為()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6加

【解題思路】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得△P。。三△PCO,APDB=APCA,從而得到P4=

PB,再在△PAC中利用余弦定理求得P4=g,從而求得PB=舊,由此在△PBC中利用余弦定理與三角

形面積公式即可得解；

法二：先在△P4C中利用余弦定理求得24="7,COSNPCB=：,從而求得方?麗=一3,再利用空間向量

的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于PB,NBPD的方程組，從而求得PB=VT7,由此在APBC中利用余弦定理

與三角形面積公式即可得解.

【解答過(guò)程】法一：

連結(jié)力&BD交于0,連結(jié)P0,則。為力&BC的中點(diǎn)，如圖，

又PC=PD=3,P0=OP,所以△PDOwZkPC。，則NPD0=NPC。,

又pc=PD=3,AC=BD=4V2,所以△PDBWZXPC4貝l|P4=PB,

在△PAC中，PC=3,2C=4夜,NPCA=45。，

貝lj由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCcos^PCA=32+9-2x472x3xy=17,

故R4=V17,貝！JPB=V17,

故在△PBC中，PC=3,PB=V17,BC=4,

PC2+BC2-PB2

所以coszPCB=9+16-17_1.

2PCBC2x3x43’

又0<乙PCB<m所以sinzPCB=V1-cos2zPCB=手，

所以△PBC的面積為S=|PC-BCsm^PCB=1x3x4x^=4V2.

法二:

連結(jié)力C,BD交于0,連結(jié)PO,則。為力C,BD的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4,所以4C=BD=4企，

在△PAC中，PC=3,/LPCA=45°,

則由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCcos^PCA=32+9-2x472x3x^=17,故PA=V17,

所以cos〃PC=「抵了=賽=_用,則方.PC=\PA\\PC\cOS^APC=gx3x（一半）=-3,

不妨記PB=m,Z-BPD—仇

因?yàn)槎?1（可+玩）=i（PF+PD）,所以（刀+而,=（而+而）2,

即且?2+PC2+2刀-PC=PB2+PD2+2PB-PD,

則17+9+2x（—3）=m2+9+2x3xmcos0,整理得+6mcos0-11=0①，

又在△PB。中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDcus乙BPD,BP32=m2+9—6mcos0,貝Um?—6mcos0-23=

0②，

兩式相加得2m2-34=0,故PB=m=V17,

故在△PBC中，PC=3,PB=V17,BC=4,

PU+BU-尸辟9+16-17_1

所以coszPCB=

2PCBC2x3x4-3’

又0<乙PCB<IT,所以sinzPCB=V1-cos2zPCB=—,

所以△PBC的面積為S=1PC-BCsin乙PCB=(x3x4x#=4^2.

故選：C.

5.（2023?全國(guó)?高考真題）已知△力BC為等腰直角三角形，為斜邊，△力BD為等邊三角形，若二面角C-

A8-D為150。，則直線CD與平面N3C所成角的正切值為（）

A.|B.C.?D.|

【解題思路】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【解答過(guò)程】取的中點(diǎn)E,連接CE,DE,因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，且4B為斜邊，則有CE14B,

又△ABD是等邊三角形，貝l]DE_L4B,從而NCED為二面角C-4B-D的平面角，即NCED=150。，

ODE=E,CE,DEc^?CDE,于是力B1平面CDE,又力Bu平面力BC,

因此平面CDE，平面ABC,顯然平面COEn平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而NDCE為直線CD與平面力BC所成的角，令A(yù)B=2,貝【JCE=1,DE=舊，在aCDE中，由余弦定理得:

CD=y/CE2+DE2-2CE-DEcos^CED=Jl+3-2xlxV3x(-y)=V7,

r4~.~r力士曰0ECD___V3sinl50°V3

由正弦定理得,R即nsm/DCE=—/=—=

smZ.DCEsmz.CED772V7

顯然NDCE是銳角，coszDCE=V1-sinVDCf=Jl-(^)2-^=,

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為R.

故選：C.

二、填空題

6.（2023?全國(guó)?高考真題）在△ABC中，NB力C=60°,AB=2,BC=V6,乙84C的角平分線交BC于，貝ijAD=

_2_.

【解題思路】方法一：利用余弦定理求出2C,再根據(jù)等面積法求出4D；

方法二：利用余弦定理求出4C,再根據(jù)正弦定理求出8,C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【解答過(guò)程】

如圖所不：記4B=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，2?+公-2x2xbxcos60。=6,

因?yàn)?>0,解得：b=1+V3,

由Sz\4BC=^AABD+SocD可得，

gx2xbxsin60。=gX2X2DXsin30°+^xADxbxsin30。,

解得：4。=綏=粵用=2.

1+-3+V3

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，2?十反—2x2xbxcos60。=6,因?yàn)閎>0,解得：b=1+V3,

由正弦定理可得，得白=白，解得：sinB=竽，sinC=^

sinHsmc42

因?yàn)?+百>迎>VL所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°,

又NB4D=30。，所以N?WB=75。，即4D=4B=2.

故答案為：2.

7.（2022?浙江?高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方

法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是S=

c2a2_（/+片）2],其中訪6,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊a=&,b=

V3,c=2,則該三角形的面積5=_孽

【解題思路】根據(jù)題中所給的公式代值解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)閟=J4c2a2—（立9竺）］,所以s=J*［4x2_（七）2］=苧.

故答案為：苧.

8.（2022?全國(guó)?高考真題）已知△4BC中，點(diǎn)。在邊8C上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)空取得

AB

最小值時(shí)，BD=V3-1.

【解題思路】設(shè)CD=2BD=>0,利用余弦定理表示出蜷后，結(jié)合基本不等式即可得解.

【解答過(guò)程】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=2BD=2a>0,

則在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZ-ADB=m2+4+2m,

在44CD中，AC2=CD2+AD2—2CD?ADcosZ.ADC=4m2+4—4m,

所蠕=4m24-4-4m4(m2+4+2771)-12(1+771)_彳12

m2+4+27n

m2+4+2m-(m+D+高

>4——iI?=4_2痘,

2j(m+D高

當(dāng)且僅當(dāng)m+1=二匚即m=百—1時(shí),等號(hào)成立,

m+1

所以當(dāng)而取最小值時(shí)，m=

故答案為：V3—1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,V3),B(-t,0),

..^=(2^=ifzi￡ii=4一_1L_>4-2V3

AB2(t+l)2+3t2+2t+4?+i)+會(huì)-

當(dāng)且僅當(dāng)t+1=8,即BD-V3-1時(shí)等號(hào)成立；

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

E=2…+i+6系

:北二二2&-有+按="+6/,

令第=t,則2c2+12c2-12+6x2,

*+2=g=鬢蕓=6(1-總)26-2A

?-.t2>4-2V3,

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=2，即刀=百+1時(shí)等號(hào)成立.

x+1

［方法四1:判別式法

設(shè)=X,貝IJCD=2x

在44BD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADCOSAADB=X2+4+2X,

在44CD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZ.ADC=4/+4—4x,

匕匚］、［4。24x2+4—4x,4X2+4—4X

所以―72=-o------，記t=-5-------，

ABX2+4+2XX24-4+2X

則(4—t)/—(4+2t)x+(4-4t)=0

由方程有解得：△=(4+2t>-4(4-t)(4-4t)>0

即/-8t+4W0,解得：4-2V3<t<4+2V3

所以「min=4—2V5,此時(shí)X=W^=V5-1

4—t

所以當(dāng)受取最小值時(shí)，X=V3-1,即BD=g-l.

AB

故答案為：V3—1.

9.（2024?上海?高考真題）已知點(diǎn)3在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，BC=CD,存在點(diǎn)N滿足NB4C=

16.5°,ADAC=37°,則NBC力=7.82.（精確到0.1度）

A

【解題思路】設(shè)MG4=。，在△0G4和中分別利用正弦定理得到懸=缶CACB

sin(0+16.5°)sinl6.5°，

兩式相除即可得到答案.

【解答過(guò)程】設(shè)4BC4二a乙ACD=90°—仇

在△DS中，由正弦定理得益=缶

即,CACD

sin[180°-(90°-6>+37.0°)]sin37.0°

即，CACD

sin(9O°-0+37.O°)sin37.0°

在中，由正弦定理得二=CB

sinz.CAB9

CA_CB目口CA_CB

sin[1800-(S+16.5°)]-sinl6.5°，"sin(0+16.5°)—sinl6.5°

②洱sin(90f+37.0。)sin37.0°

因?yàn)镃D=CB,了得

sin(0+16.5°)sinl6.5"'

利用計(jì)算器即可得。-7.8。,

故答案為：7.8。.

10.（2023?全國(guó)?高考真題）已知點(diǎn)S,A,8,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，S41

平面4BC,則S4=2.

【解題思路】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】如圖，將三棱錐S-4BC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-力BC,

設(shè)△4BC的外接圓圓心為?？诎霃綖閞,

則2r=.，口=2=2?可得「=遍，

smzACB史

2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接04。。1，貝=2,。。1=gsa,

2

因?yàn)椤?。。彳+OM2,gp4=3+^SA,解得S4=2.

故答案為：2.

三、解答題

11.(2024?天津?高考真題)在△ABC中，角48,C所對(duì)的邊分別為a,hc,已知cosB=^,6=5,巴=:

16c3

⑴求a；

(2)求sin4；

⑶求cos(B—2A)的值.

【解題思路】(1)a=2t,c=3t,利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

(2)法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos4則得到sinA；

(3)法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定4為銳角，則得到cos4再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法

二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.

【解答過(guò)程】(1)設(shè)a=2t,c=33t>0,則根據(jù)余弦定理得/=a?+c2-2accosB,

即25=4t2+9產(chǎn)一2x2tx3tX2,解得t=2(負(fù)舍)；

16

則a=4,c=6.

(2)法一：因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB=,1—COS2B=J1—(.丫=挈，

再根據(jù)正弦定理得號(hào)=白，即三=2，解得sinA=?,

smAsmBsin?l迫4

16

法二：由余弦定理得COS力="*Q=：

2bc2x5x64

因?yàn)榱(O,TT),則sin力=J1一?=

⑶法一：因?yàn)閏osB=V>0,且Be(0,n),所以Be(o,g,

由(2)法一知sinB=平，

16

因?yàn)閍<b,則4<B,所以cosZ=J1—(f)=1

則sin2i4=2sini4cos>l=2x，x：=乎，cos24=2cos2/l-1=2x(：)—1=1

cos(B—2A)=cosBcos2Z+sinBsin2/=-x-+—x—=—.

、J16816864

法二：sin27l=2sin/cos/=2x—x-=22

448

2

則cos2i4=2cos—1=2xG)—1=

因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以sinB="-COS2B=Jl—(看丫=整，

r-rI\l7-r-jCd、n.■r*?n>1

所以cos(B—24)=cosBcosn2A4+sinBsm24=—9x-1H.--5V-7x——3V7=一57.

v716816864

12.(2024?全國(guó)?高考真題)記△ABC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+bcosA=2.

(1)求4

(2)若a=2,V^bsinC=csin28,求△ABC的周長(zhǎng).

【解題思路】(1)根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sin力+V3cosX=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用

同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B,然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長(zhǎng).

【解答過(guò)程】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+V3COST4=2可得;sinA+亨cosA=1,即sin(X+])=1,

由于力e(O,Tt)n4e6片)，故4+?=3，解得力=?

333DLO

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinZ+V3cos>l=2,又siMz+cos224=1,消去sinZ得到：

4COS2X—4V3coSi4+3=0=(2cos/—V3)2=0,解得cosA=

又4E(0ji),故Z=￡

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(%)=sin%+V3cosx(0<%<n),則/(%)=2sin(%+§(0V%Vn),

顯然式=:時(shí)，/(%)max=2,注意到/(Z)=sinZ+V3cos?l=2=2sin(X+^),

/Wmax=/(Z)，在開(kāi)區(qū)間(Ojl)上取到最大值，于是％=/必定是極值點(diǎn)，

即/'(A)=0=cosA—V3siny4,即tan/=

又46(0,IT),故4=]

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)方=(1,V3),b=(sin/,cos/),由題意，工?b=sinZ+V^cosZ=2,

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，

則2cos(2㈤=2u>cos(a,b)=1,此時(shí)值b)=0,即工”同向共線，

根據(jù)向量共線條件，1?cosZ=V3?sinAotan%=y,

又/E(0m)，故/二￡

方法五：利用萬(wàn)能公式求解

設(shè)t=tang,根據(jù)萬(wàn)能公式，sin/+V^cos/=2=+粵號(hào)

21+產(chǎn)1+產(chǎn)

整理可得,t2-2(2-V3)t+(2-V3)2=0=(t-(2-何)2,

解得tan]=t=2-8，根據(jù)二倍角公式，tan>l=

Z1—t3

又ae(o,Ti),故a=￡

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

V2bsinC=csin2B=V2sinBsinC=2sinfsinBcosB,

又B,CE(O,ii),則sinBsinfH0,進(jìn)而cosB=亭得到B=力

于是。=n-A-B=^,

sinC=sin(IT—A—=sin(4+B)=sinXcosB+sinBcos/=&;逅,

由正弦定理可得，即三=3=」而，

sir)i4sinHsinesin-sin;sin—

6412

解得b=2V2,c=V6+V2,

故^ABC的周長(zhǎng)為2+迎+3V2.

13.(2024?全國(guó)?高考真題)記△ABC的內(nèi)角/、8、C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知sinC=V2cosB,a2+b2-c2=

dab

⑴求8

(2)若△ABC的面積為3+百，求c.

【解題思路】(1)由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosC,sinC,最后結(jié)合已知sinC=&cosB得cosB的值

即可；

(2)首先求出4,B,C,然后由正弦定理可將a,b均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求

【解答過(guò)程】（1）由余弦定理有+82一=2abcOSC,對(duì)比已知次十房一=金防,

可得cosC=Q^《y/2abV2

2ab

因?yàn)镃e(O,ir),所以sinC>0,

從而sinC=V1-cos2C=Jl一仔)=y,

又因?yàn)閟inC=V2cosB,即cosB=

注意到BG(O,IT),

所以8=]

(2)由(1)可得cosC=，，CE(O,TC),從而C=；,A==

3243412

而sin4=sin借)=sin《+9=日V3,V21V6+V2

X------1------X-=-----------

2224

由正弦定理有5r5r建

族而a=W?c=*c,b*fc=*,

由三角形面積公式可知，△4BC的面積可表示為

iiV3+1V6V23+V3

S/L4BC=-ahsinC=-2

22

由已知△力BC的面積為3+遙，可得噌c2=3+g,

o

所以C=2V2.

14.（2024?北京?高考真題）在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,乙4為鈍角，a=7,sin25=y&cosB.

⑴求“；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求△力BC的面積.

條件①：b-7；條件②：cos8=U；條件③：csin/1=1V3.

14Z

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【解題思路】（1）利用正弦定理即可求出答案；

（2）選擇①，利用正弦定理得B=$結(jié)合（1）問(wèn)答案即可排除；選擇②，首先求出sinB=普，再代入

式子得b=3,再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到

c=5,再利用正弦定理得到sinC=蹩，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinB,最后利用三角形面積公

式即可；

【解答過(guò)程】（1）由題意得2sinBcosB=7bcosB,因?yàn)?為鈍角，

則cosBW0,則2sinB=*b,則一勺=5=w=三，解得sinZ=當(dāng)

7sinFirsmAsm42

7

因?yàn)閍為鈍角，則4=竽

(2)選擇①b=7,則sinB=/=^x7=M因?yàn)?=季則B為銳角，則2=*

此時(shí)4+8=不合題意，舍棄；

選擇②cosB=",因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，則sinB=J1—借了=當(dāng)，

則代入2sinB得2乂孚=當(dāng)b,解得力=3,

7147

/2n\2n2n

sinf=sin(i4+B)=sinI—+Bj=sin—cosB+cos—sinB

=避義軍+(-9、逋=超，

214\271414'

則SA48C=\absmC=1x7x3x*=彳.

選擇③csinH=?|V5,則有cx苧=qB，解得c=5,

則由正弦定理得號(hào)=三，即看=白，解得sinC=萼，

sm4sineirsine14

2

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosc=J1-(膂)2=S，

則sinB=sinQ4+C)=sin管+C)=sin^cosC+cos^sinC

梟4G）若考

則S/^BC=[acsinB=?x7x5x*=彳.

15.（2023?全國(guó)?高考真題）記△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a”,c,已知此=貯=2.

COST!

⑴求be；

(2)若acosB—bcosA-=1,求△ABC面積.

acosB+bcosAC

【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sin力即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)榇?房+-2bccos4所以一三二二其。：=2機(jī)=2,解得：be=1.

cos/cos/

_xi,-r*rm―r”日acosB-bcosAbsin4cosB—sinBcos/4sinB

(z2)由正弦定理可得------------=-------------------

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

_sin(i4—F)sinB_sin(4—8)—sinB_1

sin(i4+B)sin(i4+B)sinQ4+B)

變形可得：sin(i4—B)—sin(4+B)=sinB,即—2cos4sinB=sinB,

而0<sinBW1,所以cos4=一又0V/Vm所以sin4=f,

故4的面積為=^besinA=x1xf.

16.(2023?全國(guó)?高考真題)在△ABC中，已知乙B4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sin乙4BC；

(2)若。為5C上一點(diǎn)，且乙84。=90。，求△ADC的面積.

【解題思路】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為BC=V7,然后由余弦定理可得cosB=箸，最后由同

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=等；

14

(2)由題意可得p=4,PWS^CD=%A4BC，據(jù)此即可求得△力DC的面積.

^AACD5

【解答過(guò)程】(1)由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+1—2x2xlxcosl20°=7,

則BC=V7,cosB="i7+4—1_5V7

2x2xV7-14

sin乙48C=V1-cos2B=

(2)由三角形面積公式可得p=批竺^=4,

S&4CD-xACxADxsin30

則SMCD=1詆=:XGx2x1xsinl200)=春

17.(2023?天津?高考真題)在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知a=府,8=2,乙4=120。.

⑴求sinB的值;

(2)求c的值;

⑶求411(3-0的值.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理即可解出;

(2)根據(jù)余弦定理即可解出;

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方關(guān)系求出cosB,cosC,即可由兩角差的正弦公式求出.

V13

【解答過(guò)程】（1）由正弦定理可得，-、=白，即二黑解得：sinB

sin/smBsml2013

(2)由余弦定理可得，a1=b2+c2-2bccosA,即39=4+/—2x2xcx(一號(hào),

解得：c=5或c=-7（舍去）.

⑶由正弦定理可得，竟=竟,即急=高,解得：sine=啜,而a=12。。,

2V39

所以3,C都為銳角，因此cosC=嚕cosB

13

.「n,「辰―3V392V39-5V137V3

sin(B—C)=sinBneose—cosBsinc=——x--------------x------=

1326132626

18.(2023?全國(guó)?高考真題)已知在△ZBC中,l+3=3&2sin(/—C)=sinB.

(1)求sin/；

（2）設(shè)48=5,求邊上的高.

【解題思路】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解;

（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b,根據(jù)等面積法求

解即可.

【解答過(guò)程】（1）???4+B=3C,

TT—C=3C,即C='

4

又2sin(4—C)=sinB=sinQ4+C),

???2sin?lcosC—2cos?lsinC=sinAcosC+cosAsinC,

???sirh4cosc=3cosZsinC,

???sinA=3cos/,

即tan/=3,所以0<<p

3_3V1U

???sinA=

V10-io'

(2)由(1)知，cosA=

由sinB=sin(i4+C)=sinXcosC+cosZsinC=—

kJ2k101075

_2V5

由正弦定理，三二―)，可得6='=2收，

sinesinH

2

11

^-AB-h=-AB-AC-s\nA,

22

??.h=b.sin力=2"Ux*6.

19.(2023?全國(guó)?高考真題)記△4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知△ABC的面積為遮，D為BC

中點(diǎn)，且AD=1.

(1)若乙4DC=*求tanB；

(2)若'+?2=8,求b,c.

【解題思路】(1)方法1,利用三角形面積公式求出a,再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面

積公式求出a,作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出乙4DC即可求解作答；方法2,利用向量運(yùn)

算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出乙4DC即可求解作答.

【解答過(guò)程】⑴方法1：在△力BC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，AADC=pAD=1,

則SA4DC=z：AD-DCsin^ADC=ix1xxf*a=[SAABC=鼻解得a=4,

ZZZZozz

在△ABD中，^ADB=y,由余弦定理得c2=802+402—28。-ADcosNADB,

即c2=4+1—2x2x1X(-2)=7,解得C=V7,則cosB=^i=空,

22v7x214

sinB=Vl-cos^F=卜-呼￥=目

所以tanB=*V3

cosB~5,

方法2：在△ABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，^ADC=pAD=1,

則S/MDC=,DCsinZ-ADC=x1xx反=~Ta~^AABC=g解得a=4,

LLZZoZZ

在44CD中，由余弦定理得乂=CD2+AD2-2CD-ADcos^ADC,

即接=4+1—2x2x1xg=3,解得/)=仃，有AC2+=4=cf)2,則4c

。=工，過(guò)4作ZE_LBC于E,于是CE=aCcosC=0,4E=4CsinC=^,BE=J

6222

所以tanB二霽=E.

BE5

（c2=-a2+1—Zxiaxlxcos（n—Z.ADC}

（2）方法1：在△ZBO與△470中，由余弦定理得[42,

Ib2=-a2+l—2x-axlxcosZ.ADC

I42

整理得;次+2=+C2,而Z）2+C2=8,則a=2V3,

又S/UDC=[X遮x1xsin4力DC=產(chǎn)，解得sinN力DC=1，而0<N力DC<TT,于是zADC=]

所以6=c=y/AD2+CD2=2.

方法2：在△ABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，貝!]2而=屈+前，又麗=屈一而，

于是4前2+而2=（國(guó)+灰）2+（屈一左）2=2（按+?2）=16,即4+a2=16,解得a=2a，

又S&ADC=|xV3x1xsinz力DC=y,解得sinzXDC=1,而0<^ADC<m于是NADC=p

所以b=c=y/AD2+CD2=2.

20.（2022?天津?高考真題）在△ABC中，角43、C的對(duì)邊分別為a,6,c.己知a=逐,6=2c,cos4=-％.

4

⑴求C的值；

（2）求sinB的值;

（3）求sin（2A—B）的值.

【解題思路】（1）根據(jù)余弦定理a?=b2+c2-2bccosA以及b=2c解方程組即可求出；

（2）由（1）可求出6=2,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin24cos24再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍?=b2+c2—2bccosA,BP6=&2+c2+|bc,而6=2c,代入得6=4c2+c2+c2,

解得:c-1.

（2）由（1）可求出b=2,而所以sinX=V1-cos2/1=—,又-L=一也，所以sinB="則.-

4sin/sinBa

2x^_Vlo

（3）因?yàn)閏osA=一工,所以三VZ<n,故OvBvg又sinA=V1—cos2A=—,所以sin24=2sinZcosZ=

4224

2xx—=——,cos2X=2cos24—l=2x——1=-而sinB=—,所以cosB=V1—sin2B=—,

V4/4816844

故sin（24_B）=sin24cosB—cos2/sinB=（一平）x^+^x平=等.

21.（2022?浙江?高考真題）在△ABC中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=逐c,cosC=去

⑴求sinZ的值;

⑵若b=ll,求△4BC的面積.

【解題思路】(1)先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出；

(2)根據(jù)余弦定理的推論85。=當(dāng)三以及4a=而c可解出a,即可由三角形面積公式S=；absinC求出

2ab2

面積.

【解答過(guò)程】⑴由于cosC=2，0<C<TT,貝ljsinc=/因?yàn)?a=4c,

由正弦定理知4sin4=V5sinC,則sinX=—sinC=—.

45

(2)因?yàn)?。=述的由余弦定理，得CUSC==a5a=與

2ab22a2a

即a2+6a—55=0,解得a=5,而sinC=b=11,

所以△4BC的面積S=jafesmC=|x5x11=22.

22.(2022?全國(guó)?高考真題)記△力BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三

個(gè)正三角形的面積依次為S1，52,S3，已知Si-$2+S3=j,sinB=/

(1)求△4BC的面積；

(2)若sin力sinC=?，求6.

【解題思路】⑴先表示出S1，S2，S3,再由Si—S2+S3=當(dāng)求得a2+c2-〃=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)

系求得ac,再由面積公式求解即可；

(2)由正弦定理得"￡=一■，即可求解.

smBsinAsinC

【解答過(guò)程】(1)由題意得Si=：?Q2y二手小石？=手乂應(yīng)=%2,貝后一$2+S3=fa?一手爐+

V3

即/+c2—扶=2,由余弦定理得cosB="+，-b,整理得QCCOSB=1,則cosB>0,又sinB=工,

2ac3

則C°SB=J1—G)=苧，四=總=苧，貝US^BcnTacsinBn?；

3V2

2

(2)由正弦定理得：工a_cM.rb_a