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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣西南寧桂鼎學(xué)校高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知{1,3}?M?{1,2,3,4,5}的集合M的個(gè)數(shù)是(
)A.7 B.8 C.9 D.102.復(fù)數(shù)z=4+ii在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若正實(shí)數(shù)x,y.且x+2y=1,則2y+3xA.2 B.3+22 C.5+24.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)(3,?4),則sin2α的值為(
)A.725 B.2425 C.?75.已知a=log30.2,b=30.2,A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a6.已知向量a,b滿(mǎn)足,|a|=1,|b|=3,|2aA.33 B.32 C.7.已知函數(shù)f(x)=x2+(4a?3)x+3a,x>0loga(1?x),x≤0(a>0且a≠1)A.[13,34] B.(0,8.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2<φ<π2A.?π6 B.π6 C.?二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.ω=2
B.φ=π3
C.x=?π6是曲線y=f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸
D.10.已知橢圓C:x225+y29=1,(
)A.橢圓離心率為925
B.|PF1|+|PF2|=10
C.若∠F111.下列選項(xiàng)正確的是(
)A.若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x20的方差為1,那么數(shù)據(jù)3x1?5,3x2?5,?,3x20?5的方差為?2
B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.1x+a時(shí),y與x正相關(guān)
C.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么D(X)最大值是14
D.數(shù)據(jù)1,2,3,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知tanθ=2,則sinθ?3cosθ2sinθ+3cosθ=______.13.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=1+an?114.已知展開(kāi)式(x2?1x)n四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)
已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=13,且滿(mǎn)足an+1+2an+1an?an=0.
16.(本小題15分)
已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asinA+C2=bsinA.
(1)求B;
(2)若△ABC為銳角三角形,且b=317.(本小題15分)
中國(guó)共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議,于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會(huì)提出,中國(guó)式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強(qiáng)文化自信,發(fā)展社會(huì)主義先進(jìn)文化,弘揚(yáng)革命文化,傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢(shì),培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊(duì)伍,激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此,某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動(dòng),學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:男女合計(jì)了解20不了解2040合計(jì)(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)根據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)?
(3)若把上表中的頻率視作概率,現(xiàn)從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:χ2=n(ad?bcP(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82818.(本小題17分)
在四棱錐P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=PB=2,點(diǎn)E是棱PC上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面BDE;
(2)當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)A到平面BDE的距離.19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=(1+a)x+xlnx,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=?2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅲ)若f(x)≤ex?a+x2恒成立,求參考答案1.B
2.D
3.D
4.D
5.B
6.A
7.C
8.A
9.AD
10.BCD
11.BC
12.?113.1314.?10
15.解:(1)由數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=13,且滿(mǎn)足an+1+2an+1an?an=0,
得an≠0,則an?an+1=2anan+1,
兩邊同時(shí)除以a16.解:(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA,
因?yàn)閟inA≠0,所以sinA+C2=sinB,
由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2,
故cosB2=2sinB2cosB2,
因?yàn)閏osB2≠0,故sinB2=12,因此B=60°.
(2)由正弦定理2R=asinA=csinC=bsinB17.解:(1)由題可得,列聯(lián)表如下:男女合計(jì)了解402060不了解202040合計(jì)6040100(2)零假設(shè)為H0:該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別無(wú)關(guān)聯(lián),
則χ2=100(40×20?20×20)260×40×40×60=259≈2.778<3.841,
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,
因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別無(wú)關(guān)聯(lián);
(3)由題意,從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,則抽到女生的概率為2060=13,
所以X~B(3,13X0123P8421則E(X)=np=3×1318.(1)證明:因?yàn)锳BCD是正方形,所以BD⊥AC,
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD,AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,
又因?yàn)锽D?平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE;
(2)解:以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間坐標(biāo)系:
因?yàn)镻A=AB=2,E為PC中點(diǎn),
所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,1,1),P(0,0,2),
所以BD=(?2,2,0),BE=(?1,1,1),AB=(2,0,0),
設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),
則n?BD=?2x+2y=0n?BE=?x+y+z=0,
取y=1,則n=(1,1,0),
設(shè)點(diǎn)19.解:(Ⅰ)當(dāng)a=?2時(shí),f(x)=xlnx?x,f′(x)=lnx,f′(e)=1,f(e)=0,
故曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y=x?e.
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2x+xlnx(x>0),則f′(x)=3+lnx,
令f′(x)<0,得0<x<e?3,令f′(x)>0,得x>e?3,
所以f(x)在(0,e?3)上單調(diào)遞減,在(e?3,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)極小值=f(e?3)=?e?3,無(wú)極大值.
(Ⅲ)令g(x)=ex?a?(1+a)x?xlnx+x2,
由g(1)≥0,得e1?a?(1+a)+1=e1?a?a≥0,
令q(a)=e1?a?a
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