湖南省婁底市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 含解析

婁底市2023年下學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為為虛數(shù)單位，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.3.一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入該容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底部時(shí)，留在圓柱形容器內(nèi)的水的體積為（）A.B.C.D.4.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩斯特?恩格爾提出的，計(jì)算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項(xiàng)重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結(jié)論正確的是（）A.城鎮(zhèn)居民從2013年開始進(jìn)入“最富裕”水平B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）A.B.C.D.6.已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A.B.12C.D.24

7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相切于點(diǎn)，連接，在中，設(shè)，則的值為（）A.B.1C.D.2

8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則“”是“"的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知傾斜角為的直線過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的方程為B.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為C.的最大值為D.的最小值為10.已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.11.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.函數(shù)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)C.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.對(duì)任意，不等式恒成立12.如圖，已知正方體的棱長為為底面的中心，交平面于點(diǎn)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（）A.三點(diǎn)共線B.點(diǎn)到平面的距離為C.用過點(diǎn)的平面截該正方體所得的較小部分的體積為D.用過點(diǎn)且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個(gè)多面體的能容納的最大球的半徑均為三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知隨機(jī)變量，則__________.14.已知數(shù)列滿足，則的值為__________.15.已知直線與曲線相切于點(diǎn)，且與曲線相切于點(diǎn)，則__________.16.已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求證：.18.（本小題滿分12分）某無人飛機(jī)研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機(jī)，在投放市場(chǎng)前對(duì)100架新能源無人飛機(jī)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100架新能源無人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款新能源無人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機(jī)，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則）（3）該無人飛機(jī)研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機(jī)的載重量和續(xù)航能力分為卓越型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計(jì)分析可知卓越型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場(chǎng)前決定分別按卓越型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機(jī)共抽取6架，然后再從這6架中隨機(jī)抽取3架進(jìn)行綜合性能測(cè)試，記隨機(jī)變量是綜合性能測(cè)試的3架中卓越型的架數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.（本小題滿分12分）如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大??；（2）若，求的大小.20.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是長方形，側(cè)棱底面，且是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上（異于端點(diǎn)）的點(diǎn)，且，連接.（1）求證：平面；（2）若，銳二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的距離的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為的直線過點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的大小，并求四邊形面積的最小值.婁底市2023年下學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案CDBCDDAA1.C【解析】因?yàn)榧希?故選.2.D【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)坐標(biāo)是.故選.3.B【解析】留在容器內(nèi)水的體積為.故選B.4.C【解析】對(duì)于A：從折線統(tǒng)計(jì)圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進(jìn)入“最富?！彼?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017?2018?2019這三年在30%32%之間，其余年份均大于，且2012?2013這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對(duì)應(yīng)的年份）前5位分別為2019?2018?2017?2021?2020，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對(duì)于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選C.5.D【解析】由得，不符合函數(shù)圖象，所以錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以B錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，不符合函?shù)圖象，所以C錯(cuò)誤.故選D.6.D【解析】由已知非零向量的夾角為，所以，由兩邊平方得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為24.故選D.7.A【解析】由已知，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則，因?yàn)橹本€與拋物線相切.設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當(dāng)時(shí)，.在三角形中由正弦定理可知：，故選.8.A【解析】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增.由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)9101112答案BDABDABDACD9.BD【解析】由傾斜角為的直線過點(diǎn)，得直線的方程為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以由可知線段最小值為，線段無最大值，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤?正確.故選.10.ABD【解析】由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，依題意有，結(jié)合圖象可知，，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.11.ABD【解析】因?yàn)闀r(shí)，，所以為奇函數(shù)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，，可得的大致圖象如下所示，故選項(xiàng)B正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.12.ACD【解析】由已知平面平面平面，又平面平面平面，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，故正確；因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因?yàn)椋矫?，所以平面，則的長度就是點(diǎn)到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點(diǎn)到平面的距離為，故錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面，如圖：所以過點(diǎn)的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺(tái)，其體積為，故C正確；過點(diǎn)且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個(gè)多面體全等，如下圖所示，該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐的內(nèi)切球（如下圖所示），，設(shè)為的中心，則，高，設(shè)正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，①在中，，得，，代入①，得，故D正確.故選ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因?yàn)?，所?另解：因?yàn)?，所?14.32【解析】因?yàn)椋?，兩式相除得，故?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，所以.15.3【解析】由已知直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線的方程為，即，又直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線的方程為，即，所以所以得.16.【解析】由題意，，故，設(shè)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，則兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以①，同理②因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，所以，將①②代入得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）法一：設(shè)的公差為，依題意可得即解得所以.法二：因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)樗?，即，所?所以的公差，所以.（2）由（1）可得，所以..18.【解析】（1）估計(jì)這100架新能源無人飛機(jī)的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.（2），.（3）由題設(shè)可知抽取的6架新能源無人飛機(jī)中，卓越型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機(jī)變量的可能取值為.，，隨機(jī)變量的分布列如下表：0123.（另解：）.19.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又為鈍角，所以.（2）設(shè)，四邊形內(nèi)角和為，由（1）的結(jié)論知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，則，即，即，，，即，即的大小為.20.【解析】（1）因?yàn)榈酌娴酌?，所以，由底面為長方形，有，而平面，所以平面，而平面，所以，又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，而平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）法一：由已知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，由（1）平面，又.所以取平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，又，所以即令，得.所以.，求得或.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.法二：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以是二面角的平面角，因?yàn)?，所以，所以，又Rt，所以，得，又，則，求得或.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.21.【解析】（1）由得函數(shù)，所以，令得，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，得，又，所以，即對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞