湖南省婁底市2023-2024學年高三上學期期末質量檢測數(shù)學試卷 含解析

婁底市2023年下學期高三質量檢測數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復數(shù)在復平面上對應的點為為虛數(shù)單位，則點的坐標是（）A.B.C.D.3.一個圓柱形容器的底面半徑為，高為，將該圓柱注滿水，然后將一個半徑為的實心球緩慢放入該容器內，當球沉到容器底部時，留在圓柱形容器內的水的體積為（）A.B.C.D.4.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學家恩斯特?恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標，一般隨居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達60%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知下列結論正確的是（）A.城鎮(zhèn)居民從2013年開始進入“最富裕”水平B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）A.B.C.D.6.已知平面非零向量的夾角為，且滿足，則的最小值為（）A.B.12C.D.24

7.已知拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸交于點，過點的直線與拋物線相切于點，連接，在中，設，則的值為（）A.B.1C.D.2

8.已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則“”是“"的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知傾斜角為的直線過點，動點在直線上，為坐標原點，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.直線的方程為B.動點的軌跡方程為C.的最大值為D.的最小值為10.已知函數(shù)的最小正周期為，方程在的解為，則下列結論正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在上單調遞減D.11.已知函數(shù)則下列結論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于點中心對稱B.函數(shù)存在極大值點和極小值點C.若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是D.對任意，不等式恒成立12.如圖，已知正方體的棱長為為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（）A.三點共線B.點到平面的距離為C.用過點的平面截該正方體所得的較小部分的體積為D.用過點且平行于平面的平面截該正方體，則截得的兩個多面體的能容納的最大球的半徑均為三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知隨機變量，則__________.14.已知數(shù)列滿足，則的值為__________.15.已知直線與曲線相切于點，且與曲線相切于點，則__________.16.已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點，直線和交于點（異于坐標原點）.若直線的斜率為3，直線是坐標原點的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分10分）設等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，若，求證：.18.（本小題滿分12分）某無人飛機研發(fā)中心最近研發(fā)了一款新能源無人飛機，在投放市場前對100架新能源無人飛機進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為和的近似值），現(xiàn)任取一架新能源無人飛機，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則）（3）該無人飛機研發(fā)中心依據(jù)新能源無人飛機的載重量和續(xù)航能力分為卓越型?卓越型和卓越型，統(tǒng)計分析可知卓越型?卓越型和卓越型的分布比例為，研發(fā)中心在投放市場前決定分別按卓越型?卓越型和卓越型的分布比例分層隨機共抽取6架，然后再從這6架中隨機抽取3架進行綜合性能測試，記隨機變量是綜合性能測試的3架中卓越型的架數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖所示，在平面四邊形中，角為鈍角，且.（1）求鈍角的大??；（2）若，求的大小.20.（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是長方形，側棱底面，且是側棱的中點，是側棱上（異于端點）的點，且，連接.（1）求證：平面；（2）若，銳二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點為，離心率，橢圓上一動點到的距離的最小值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設斜率為的直線過點，交橢圓于兩點，記線段的中點為，直線交直線于點，直線交橢圓于兩點，求的大小，并求四邊形面積的最小值.婁底市2023年下學期高三質量檢測數(shù)學參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CDBCDDAA1.C【解析】因為集合，所以.故選.2.D【解析】因為，所以點坐標是.故選.3.B【解析】留在容器內水的體積為.故選B.4.C【解析】對于A：從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于，即從2015年開始進入“最富?！彼?，故A錯誤；對于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017?2018?2019這三年在30%32%之間，其余年份均大于，且2012?2013這兩年大于（等于），故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于，故B錯誤；對于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應的年份）前5位分別為2019?2018?2017?2021?2020，因為，所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系數(shù)高于，故C正確；對于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯誤.故選C.5.D【解析】由得，不符合函數(shù)圖象，所以錯誤；是奇函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，所以B錯誤；的定義域為，不符合函數(shù)圖象，所以C錯誤.故選D.6.D【解析】由已知非零向量的夾角為，所以，由兩邊平方得當且僅當時等號成立，所以，所以的最小值為24.故選D.7.A【解析】由已知，設點在準線上的射影為，則，因為直線與拋物線相切.設的方程為，與聯(lián)立得，由，解得，當時，.在三角形中由正弦定理可知：，故選.8.A【解析】設，該函數(shù)的定義域為，則，所以在上單調遞增.由可得，即，又在上單調遞增，所以，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.題號9101112答案BDABDABDACD9.BD【解析】由傾斜角為的直線過點，得直線的方程為，故選項錯誤；設，可得動點的軌跡為圓，故選項B正確；因為圓心到直線的距離，所以由可知線段最小值為，線段無最大值，所以選項錯誤?正確.故選.10.ABD【解析】由函數(shù)的最小正周期為，得，所以，故選項正確；因為，得，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故選項B正確；由，得，所以函數(shù)在上先減后增，故選項C錯誤；當時，，依題意有，結合圖象可知，，即，所以，故選項D正確.故選ABD.11.ABD【解析】因為時，，所以為奇函數(shù)，則關于點對稱，故選項正確；當時，，令，解得，在上單調遞增，在上單調遞減，，又為奇函數(shù)，，可得的大致圖象如下所示，故選項B正確，C錯誤；當時，，所以對任意，故選項D正確.故選ABD.12.ACD【解析】由已知平面平面平面，又平面平面平面，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故正確；因為平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為4，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故錯誤；取的中點，連接，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得的截面，如圖：所以過點的平面截該正方體所得的較小部分為三棱臺，其體積為，故C正確；過點且平行平面的平面截該正方體，所截得的兩個多面體全等，如下圖所示，該七面體能容納的最大球亦為正三棱錐的內切球（如下圖所示），，設為的中心，則，高，設正三棱錐的內切球的半徑為，則，①在中，，得，，代入①，得，故D正確.故選ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因為，所以.另解：因為，所以.14.32【解析】因為，所以，兩式相除得，故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，所以.15.3【解析】由已知直線與曲線相切于點，因為，所以直線的方程為，即，又直線與曲線相切于點，因為，所以直線的方程為，即，所以所以得.16.【解析】由題意，，故，設的中點的中點，則兩式相減，得，化簡得，所以，所以①，同理②因為，所以三點共線，所以，將①②代入得，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的離心率為.所以雙曲線的離心率的取值范圍為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）法一：設的公差為，依題意可得即解得所以.法二：因為，所以，即，又因為所以，即，所以.所以的公差，所以.（2）由（1）可得，所以..18.【解析】（1）估計這100架新能源無人飛機的單次最大續(xù)航里程的平均值為：.（2），.（3）由題設可知抽取的6架新能源無人飛機中，卓越型?卓越型和卓越型的架數(shù)分別為3架?2架和1架，隨機變量的可能取值為.，，隨機變量的分布列如下表：0123.（另解：）.19.【解析】（1）因為，所以，所以，又，所以，即，解得或者，又為鈍角，所以.（2）設，四邊形內角和為，由（1）的結論知：，在中，由正弦定理得：，即，在中，，即，又，則，即，即，，，即，即的大小為.20.【解析】（1）因為底面底面，所以，由底面為長方形，有，而平面，所以平面，而平面，所以，又因為，點是的中點，所以，而平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）法一：由已知兩兩垂直，以為坐標原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系.因為，則，點是的中點，所以，由（1）平面，又.所以取平面的法向量為.設平面的法向量為，又，所以即令，得.所以.，求得或.當時，，所以.當時，，所以.法二：因為平面平面，所以，所以是二面角的平面角，因為，所以，所以，又Rt，所以，得，又，則，求得或.當時，，所以.當時，，所以.21.【解析】（1）由得函數(shù)，所以，令得，令得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由，得，又，所以，即對任意的恒成立，令，則，令，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞