湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以.故選：A.2.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因?yàn)槊}“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題即，.故選：D.3.將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則進(jìn)行的平移是（）A向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】B【解析】因?yàn)?，所以將的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象，而把的圖象向左平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，不合題意；把的圖象向右平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，不合題意.故選：B.4.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)榈亩x域?yàn)?，所以排除C；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以排除D；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以排除A.故選：B.5.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，由冪函數(shù)單調(diào)性可知：，所以.故選：D.6.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)的定義域?yàn)?，則不是定義域的子集，所以無(wú)法推出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且定義域?yàn)?，因?yàn)槎魏瘮?shù)只可能在上單調(diào)遞增，不可能在上單調(diào)遞減，故只需滿足，解得，此時(shí)可以推出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】由題可知，又因，所以，則，，則，，所以，，由于，所以，所以，則，對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，則，函數(shù)不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，則是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，故D正確.故選：D.8.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在區(qū)間上有9個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)圖象在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，且是最小正周期為的周期函數(shù)，而，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，如下圖所示：因?yàn)椋?，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，的圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且第個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)?，，所以，所以第個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的取值范圍是，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.是第二象限角B.C.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，則D.已知扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為60°，則該扇形的面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：是第三象限角，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于C：已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，則，C正確；對(duì)于D：根據(jù)條件該扇形的面積為，D正確.故選：BCD.10.已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.11.計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的根，它們從小到大依次記為，則（）A. B.C. D.函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下：對(duì)于A：關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的根，即函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖可知，解得，B正確；對(duì)于C：由圖象知，所以，且，所以，又由，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：對(duì)于函數(shù)函數(shù)，令，則，可得，當(dāng)時(shí)，由圖可得，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由圖可得，有個(gè)根，綜合得函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：B.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則的值是____________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：.14.已知，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?故答案為：.15.若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)φ的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】，其中，又函數(shù)的最大值為，所以，整理得，又，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)與的零點(diǎn)分別為和，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)，明顯函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，令，得，令，對(duì)于函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域?yàn)?，所?故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（1）計(jì)算：；（2）若，求的值.解：（1）原式.（2），，.18.已知函數(shù)．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．解：（1）為奇函數(shù)，證明：因?yàn)椋?，所以，所以的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以為奇函?shù).（2）在上單調(diào)遞減，證明：且，，因?yàn)?，所以，且，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，已知的最大值為1，求使成立時(shí)自變量x的集合．解：（1）由題意知，當(dāng)，，即，，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)，，則，所以，解得，所以，由，即，所以，解得，所以使成立時(shí)自變量的集合為.20.我們知道：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，那么“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件是“，”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，那么“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(m，n)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件是“，”已知．（1）利用上述結(jié)論，證明：的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；（2）判斷的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解關(guān)于x的不等式．解：（1）的定義域?yàn)椋?，根?jù)條件可得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.（2），當(dāng)越大，會(huì)導(dǎo)致為正數(shù)，且越大，從而會(huì)越小，所以在上單調(diào)遞減，由得，所以由在上單調(diào)遞減可得，即，即，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.21.如圖，某公園摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處．（1）已知在時(shí)刻（單位：）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度（其中，，），求函數(shù)解析式及時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；（2）當(dāng)點(diǎn)P距離地面及以上時(shí)，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩，則游客在游玩過(guò)程中共有多少時(shí)間可以看到公園的全貌？解：（1）由題意可知：，所以，又，得到，即，又摩天輪上的點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處，即，所以，即，又，所以，故，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為85.（2）因?yàn)閺淖畹吞庨_(kāi)始到達(dá)高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)再下降至?xí)r又能看著全貌，每個(gè)游客可游玩三個(gè)周期，由（1）知，得到，即，得到，所以在每個(gè)周期內(nèi)，，又，所以，游客在游玩過(guò)程中共有可以看到公園的全貌.22.已知函數(shù)為偶函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，，使得恒成立，求