云南省昆明市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題

云南省昆明市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上

學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=W,則z+i=（）

i

A--1B-l+2iC--l+2iD-1

2.集合4={耶尤2-10尤+3<0},貝嚴(yán)，是sm尤>0的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.,既不充分也不必要條件

3.已知直線。，b,c,平面or,p,下列選項能推出“〃6的是（）

A.a±c，b±cB.a,6與所成角相同

C.aPa,a〃夕，aC\/3=bD.aPaJbua

4.如圖是某市隨機抽取的100戶居民的月均用水量頻率分布直方圖，如果要讓60%的居民

a的數(shù)為（）

D.10

5.已知函數(shù)/（%）=/,記2

試卷第11頁，共33頁

A.B.

a<b<ca<c<b

CD

b<a<c'c<a<b

6.已知直線?x-陽+1=°與幻*+>-加+2=。交于點尸，點4G°）,則的最

大值為（）

A-2V2B.2+&C.3D.4

7.已知三棱錐尸的所有頂點都在球0的球面上，其中AP/B為正三角形，YABC為

等腰直角三角形，ZACB=~,"3=2,PC=址，則球。的表面積為（）

2

A20兀&8兀28?！?2兀

A.D.C.D.

333

22

8.雙曲線c：3—/Ui?。?。,，?。]的左焦點坐標(biāo)為生￡一。,0勺，直線

/：y=9（x+c）與雙曲線。交于“'8兩點（其中A在第一象限），己知°片。/=-C2,

耶=/即（O為坐標(biāo)原點），則;1=（）

二、多選題

9.函數(shù)/（x）=cos[s+：ko</<l）的部分圖象如圖所示，則（）

試卷第21頁，共33頁

A.的最小正周期為3兀

B.的圖象可由y=cos|x的圖象向左平移§個單位得到

C.若點（X。，%）在jH/fx?的圖象上，則點七一天,-為］也在的圖

象上

D.若點（X。，為）在jH/Sx?的圖象上，則點，］一%,％］也在》的圖

象上

10.己知定點/（TO）,3（1,0）,動點尸到8的距離和它到直線/：x=4的距離的比是常數(shù)

則下列說法正確的是（）

2

2

A.點尸的軌跡方程為：土+/=1

4-

B.P,A,8不共線時，AP/8面積的最大值為百

C.存在點尸,使得N/p8=90。

D.0為坐標(biāo)原點，忸0|+2忸則的最小值為4

11.在棱長為1的正方體48co中，。為AC；的中點，。為48的中點，動點尸

試卷第31頁，共33頁

滿足方=%存+〃而，其中4e[0,1]，〃式05，則（）

A.當(dāng)"二°,時，平面〃尸。截正方體所得截面為四邊形

B.當(dāng)4+〃=2時，4Pl平面08/

c.當(dāng)，+〃=1時，P/+PG的最小值為也上，!

2

D.當(dāng)op=叵時，動點P的軌跡長度為叵

64

三、填空題

12.圓錐的底面積為兀，其母線與底面所成角為“，且c°sO=巫，則該圓錐的體積為一

10

13.在V"8C中，內(nèi)角a8,C所對的邊分別為a,b,c.已知"“方。的面積為”祖,

4

b-c=22兀,sinC

’r則嬴?

14.已知函數(shù)〃x）=lnx+f_ax+2有兩個極值點，則。的取值范圍為一；若〃x）的極

小值小于零，則a的取值范圍為

四、解答題

15.甲袋中裝有2個紅球、2個白球，乙袋中裝有1個紅球、3個白球.拋擲一枚質(zhì)地均勻的

骰子，如果點數(shù)為1或2,從甲袋中隨機摸出2個球；如果點數(shù)為3,4,5,6,從乙袋中

隨機摸出2個球.

試卷第41頁，共33頁

(1)記摸出紅球的個數(shù)為X,求X的分布列和期望E(x)；

(2)已知摸出的2個球是1紅1白，求這2個球來自乙袋的概率.

16.已知在長方形/geo中，4D=2，A8=4，點”是邊CD的中點，如圖甲所示?將

AADM沿AM翻折到APAM,連接PB,PC，得到四棱錐P-ABCM,其中尸g=2行，

如圖乙所示.

(1)求證：平面平面/BCM；

(2)求平面尸和平面尸3c夾角的余弦值?

17.已知函數(shù)/（x）=x2+0a）x+l.

(1)若直線y=3是曲線V=/(x)的一條切線，求。的值;

e

⑵若/(X)在［0,2］上的最大值為1，求。的取值范圍?

18.設(shè)廠為拋物線%/=2內(nèi)儲＞0)的焦點，過可［夕3作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為

M△EAW的面積為

⑴求拋物線"的方程；

(2)直線點》-了-1=0與￡交于點4B(/在X軸上方)，直線小了一了一6=0僅＞1盧

試卷第51頁，共33頁

￡交于點C,D(。在x軸上方)，直線/c與8。的交點為〃

①證明：〃在一條定直線上；

②若〃坐標(biāo)(4,2),求AFCD的面積.

19.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為耳，若耳=(。％+療(“eN*),其中，qeR,reN*,則

稱｛%｝為“P-q-r數(shù)列”.

⑴若｛(｝是“2-2-2數(shù)列”，求滿足條件的一個

(2)若｛叫是“""I數(shù)列",且證明：*安；

"2P2

(3)是否存在等差數(shù)列｛%｝是“p-4-r數(shù)列”？若存在，求出所有滿足條件的｛%｝,并指

出(。一l)2+g_])2取最小值時｛叫的通項；若不存在，請說明理由

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案DACABBCCACBD

題號11

答案BC

1.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則計算.

【詳解】z+i=—+i=(1+i)(~i：)+i=-i+l+i=l,

ii-(-i)

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由已知/={x|；<x<3},由0<；<x<3爪，因此充分性滿足,

但當(dāng)x=2時，smx=l>。，但亞冷，必要性不滿足，

22

應(yīng)是充分不必要條件，

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系判斷各選項.

【詳解】選項A,直線凡方可能相交，可能平行也可能異面，A錯;

選項B,直線°力可能相交，可能平行也可能異面，B錯；

選項C,如圖，apa,a///3,aC\/3=b,

過a作平面7rlor=c,〈alia,，a//c，

同理過。作平面5口0="，〃戶，

:,c/Id，又cua,d(za<?-d//a>而夕0夕=6，du尸，

答案第11頁，共22頁

?,dllb''-allb-C正確.

選項D中，直線應(yīng)6可能平行也可能異面，D錯；

故選：C.

4.A

【分析】首先判斷。位于［7.2,10.2)之間，再根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得結(jié)論.

【詳解】因為3(0.077+0.107)=0.552<0.60，3(0.077+0.107+0.043)=0.681>0,6，

所以a應(yīng)在［7.2,10.2),

所以3(0.077+0.107)+(A-7.2)x0.043=0.60>解得”8.316?

故最接近8.316的數(shù)為8s

故選：A.

5.B

【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，利用奇偶性轉(zhuǎn)化，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比

較大小，再利用單調(diào)性得結(jié)論.

【詳解】是偶函數(shù)，在9+°°)上是增函數(shù)，

b=/(log31)=/(-log32)=/(log32),

log32>log3V3=1,5下=5<：'

答案第21頁，共22頁

即0<5下<；<1。832，所以/(5《)</(；)</(logs?)，即.〈。〈方，

故選：B.

6.B

【分析】由直線方程確定尸點軌跡是以"N為直徑的圓，圓心為2(0,-1),求出A到圓心距

離后再加上半徑即得最大值.

【詳解】由直線4的方程是x-〃V+1=0知直線4過定點直線的方程是

加x+y-〃2+2=0知直線過定點N(l,-2),

又m=0時兩直線方程分別為x=-1和y=-2，它們垂直，

時，兩直線的斜率分別為上和，而(_")=_],因此它們垂直，

mm

即4-L4-

所以P點軌跡是以""為直徑的圓，圓心為以°'一D,半徑為r=(一J1)2+2=后,

又|/同=4")?+1=2,

所以|/訓(xùn)最大值是2+收，

答案第31頁，共22頁

7.C

【分析】找到球心的位置，計算出球的半徑，進而求得球的表面積.

【詳解】依題意，AB=PA=PB=2,AC=BC=日

設(shè)的中點為q,則Q是等腰直角三角形48。的外心,

設(shè)連接POi＞設(shè)o2是等邊三角形PAB的外心，則P0,：=2:1，

pO\=6,co、=i,pc=4i，在三角形尸eq中，

1+3-7V3

由余弦理得COSZPO{C=----,

2x1x62

所以“尸℃為鈍角，且/尸℃=*

由于PQ1AB,CO,LAB'所以NPqC是二面角尸一N8-C的平面角,

過?作平面48。的垂線，過2作平面尸48的垂線，設(shè)兩條垂線相交于0,

則0是三棱錐p_ABC外接球的球心.

15兀兀兀

。。2=嚴(yán)^^00,02=--

23

所以=2002=平

所以外接球的半徑R=02=

728兀

所以外接球的表面積為47r斫=X—=---------

33

故選：C

答案第41頁，共22頁

【點睛】思路點睛：

構(gòu)造輔助線與幾何位置確定：首先通過輔助線構(gòu)造，確定了三角形的中點和外心，從而找

到球心的位置.

使用余弦定理判斷角度：利用余弦定理來判斷三角形中的角度性質(zhì)，以此作為進一步計算

球半徑的依據(jù).

計算半徑并推導(dǎo)表面積：通過幾何關(guān)系求出外接球的半徑，并利用球的公式計算其表面積.

8.C

【分析】利用已知可求得點兒的少)，利用點在直線上可求得,=囪。，b=區(qū),進而利用

a

片2=4瓦3,求得點2(2%_c,或)，代入橢圓方程求解可.

a

【詳解】設(shè)/(尤,y)(X>0/>0),所以。3=(x,y)，西=(-c,0)

由西?厲=一02,可得一XC=-02,解得X=C,

代入雙曲線方程E一心=1,可得且_廿=1,解得尸里，

a2b2a2b2ya

所以/(c，9，又點4(c,\)在/：y="(x+c)上，所以d="(c+c)

所以/二述4，所以/一/=空或，所以3/-2也%一3a2=0,

33

答案第51頁，共22頁

所以(V§c+a)(6c-30)=0，解得c=所以6=收”，

設(shè).⑼，由電=2帚，所以5+c,〃)=2(2c,&，解得相=2日…=型,

aa

所以8(2立-(:,生)，又點3(22c-c,生)在雙曲線。:￡-匕=1上,

aacrb-

/、23(22-1)2-2%=110A2-12A+2=0

所以(24-1)2,2(丁)所以，所以

------0------------0---=1

ab

所以5日62+1=0,所以(5"1)("1)=0,解得為=g或"=%舍去).

故選：C.

【點睛】思路點睛：利用向量的坐標(biāo)運算求得點A的坐標(biāo)，進而表示出點R是關(guān)鍵，在平

AD

面幾何中注重向量的運算.

9.AC

【分析】由圖象確定函數(shù)解析式，然后由周期性判斷A,由圖象變換判斷B,由對稱性判

斷CD.

【詳解】由已知/(W^cos(5-+-)=0,又(女,0)在“X)的減區(qū)間上,

8

二匚I、I38c兀兀16左+2

所以---+-=2ft,+-Z左Gco=女WZ,

8423

答案第61頁，共22頁

?0<?<l.2

又，所fiC以h。=一,

3

2兀

即/(x)=cos(jx+-),

7=多=3兀

最小正周期是2，A正確;

3

y=cos|x的圖象向左平移1個單位得到＞=cos=cos］§x+%］的圖象，B錯;

圖象關(guān)于點（包,0）對稱,則竭-X（=yfX所以，若點（不，%）在丁目/曾莉的圖

84

象上，則點［曰一］也在jH/Sx?的圖象上C正確,

點（-%,0）不是函數(shù)圖象的對稱點，若點（X。，%）在的圖象上，則點

8

不一定在的圖象上，所以D錯誤，

故選：AC.

10.BD

【分析】設(shè)P（x,y），用坐標(biāo)表示出題設(shè)條件化簡即得軌跡方程，從而判斷A,由橢圓的性

質(zhì)確定三角形面積最大值判斷B,利用以為直徑的圓與橢圓是否相交判斷C,把4尸回

轉(zhuǎn)化為尸到直線/:x=4的距離0尸01后，當(dāng)。，尸,C共線時取得最小值，從而判斷D.

答案第71頁，共22頁

【詳解】選項A,設(shè)玖“J）,則jiy+v,1,平方整理得旦+《=i，即為尸點軌跡

\x-4\243

方程，A錯；

選項B,由軌跡方程知P點軌跡是橢圓，a=2,b=6由于4-3=1，橢圓的焦點是42,

當(dāng)尸點為橢圓短軸頂點時，△以"面積最大，此時面積為S=LX2X^=VLB正確；

2

選項C,由于％=?>i=c，因此以為直徑的圓與橢圓沒有交點，因此不存在P,使得

ZAPB=90°-C錯；

選項D,如圖,作尸C_U，C為垂足,則1Pq=2|尸四,\PO\+2\PB\=\PO\+\PC\'

當(dāng)且僅當(dāng)O,尸,C共線時，|po|+|pq取得最小值4,即|po|+21P目的最小值為4,D正確.

【詳解】AP=AAB+piAD'則尸在平面/BCD中，

選項A,當(dāng)“二°,時，尸在棱上，"上，且

延長尸。交C8延長線于s，則8S=4P，過D悍DTHPS交CB于T

DP^T1T

則是平行四邊形，所以ST=DP>L,所以在線段上（不含端點），

2

答案第81頁，共22頁

作交GA于點M，則M在線段4G上（不含端點），

連接MS交臺用于五，連接。R，則截面為五邊形PQ?Aff）i，A錯;

選項B,當(dāng)為+〃=2時，則2=〃=1,即萬=萬+赤=就，P與C重合，

如圖，正方體中44]_L平面44G2，片"u平面44G2，貝1

又用2_L4C，A41c4cl=4，X4]，4Gu平面A4￡C，

所以耳〃_L平面44]C]C，而&Cu平面44clC，所以耳同理/月，/?，

又因為N8JBQi=Bl，481,耳〃u平面48.，

所以&C_L平面42Q]，即4Pl平面442，B正確;

選項C,當(dāng)彳+〃=1時，P在8。上，把等腰直角△/瓦）和等邊AMG沿3。攤平到一個平

面上，

如圖，則當(dāng)4P，G三點共線時，/P+GP最小，

答案第91頁，共22頁

由圖可知這個最小值是1+1*拒=立上"，c正確;

222

D

選項D,如圖，設(shè)〃是底面45co中對角線的交點，即為底面中心，

OH_*ABCDPHUREABCD.OH1PH曰八八〃1

由正方體性質(zhì)知平面，平面，則n，易知=

2

所以P/Z=slOP2-OH2=/（乎PT，=g'

因此尸點軌跡是平面,BCD內(nèi)以“為圓心，'［為半徑的圓在正方形“'0。內(nèi)的部分,

3

正方形邊長是1,因此該圓與正方形的四邊都相交，設(shè)其與的交點為/“，

由對稱性得

=HJ=HI'

是正三角形，ZIHJ=~,

3

所以動點尸的軌跡長度為如南萍屋匚=工,D錯,

3339

答案第101頁，共22頁

故選：BC.

【點睛】方法點睛：本題考查向量基本定理的應(yīng)用，考查空間圖形的截面與軌跡問題.解

題時需要利用向量運算的法則確定尸點軌跡，然后再根據(jù)空間幾何知識求解。對空間線段

和的最小值問題可以把空間問題平面化，利用平面上兩點間距離線段最短的性質(zhì)求解.

12.71

【分析】根據(jù)題意可求出圓錐的底面半徑與母線的長，然后利用勾股定理求得高，從而可

求體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為『，母線為/,

因為圓錐的底面積為兀，所以3m2=,解得r=l,

又因為母線與底面所成角為"，且cosO=巫，所以二=巫，解得/=廂，

10I10

所以圓錐的高為：〃=（）_1=3，

所以圓錐的體積為.

3

故答案為：兀.

3

13.-

5

【分析】由面積公式求得兒，結(jié)合已知求得仇。,再利用正弦定理可得結(jié)論.

【詳解】由已知s=」bcsinZ='bcsin@'

加c2234

由p-c=2,解得件5（負值舍去），

[be=15[c=3

答案第111頁，共22頁

sinCc_3

所以

sin5b~5

故答案為：

5

14.（2血,+oo）（3,+8）

A8=—>

a八

【分析】空1：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)有兩個正根可得%1+%2=->0,求解即可；空2：利用空

1

X1X2=~

1，可得函數(shù)/（X）的單調(diào)性，可得x=x?時，函數(shù)/（X）取得極小值，由已知計算可得超>1，

根據(jù)q=2%+,可求結(jié)論.

x2

【詳解】空1：函數(shù)〃x）=lnx+/_ax+2的定義域為（0,+s）

求導(dǎo)得了，（x）」+2x-a=”W±l，令/'（x）=°,可得2X“6+I=°

xX

因為函數(shù)［（x）=ln尤+--辦+2有兩個極值點，所以2--辦+1=0有兩個不等的正根，

x1,x2x1<x2a>2^2

A8=(2d—>

a八

設(shè)兩根分別為且,所以可得Xl+X2=">0,解得

1

X1X2=2

所以。的取值范圍為（20,+00）；

答案第121頁，共22頁

空2：由(1)可得o<x<X］時，f,^x)>0?當(dāng)為<%<%2時,

當(dāng)%>12時，/所以％=%時，函數(shù)/(%)取得極小值，

所以丫g上且2只-陋+1=0,即辦2=2尤+1,

242

極小值〃％)=1眸+￥-仁+2<0，所以lnx2-*+l<0，

令g(Z)=lnzY+1,求導(dǎo)可得ga)=J__2%=匕過<0，

x2x2

所以8(%)=111丁君+1在(字內(nèi))上為減函數(shù)，

又g⑴=lnl—F+1=0，所以工2>1時，g(x2)<0?

由"2=2*+1,可得4=2%+，，

x2

令人(%2)=2%2+,，可得〃'(%2)=2—-y>0,

*^2

所以〃(%)=2%+工在(1'+°°)上單調(diào)遞增，心2)>如)=3,所以"3,

x2

所以a的取值范圍為(3,+oo).

故答案案為：(2夜,+oo)；(3,+⑹?

【點睛】思路點睛：函數(shù)有極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)為0的方程的根的問題，進而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)

的零點問題.

15.(1)分布列見解析，期望為4；

3

答案第131頁，共22頁

【分析】（1）分別求出從甲袋中摸出兩球，兩紅，一紅一白，兩白的概率，從乙袋中摸出

兩球，兩紅，一紅一白，兩白的概率，再計算出從甲摸球和從乙摸的概率，利用獨立事件

的概率公式求得分布列，然后由期望公式求得期望；

（2）由（1）得兩球是一紅一白的概率，及從乙袋中摸得一白一紅兩球的概率，再由條件

概率公式計算.

【詳解】（1）由題意X的可能值是0,1,2，

甲袋2個紅球、2個白球，分別編號為紅1,紅2,白1,白2,

任意抽取2球的可能情形是：紅1紅2,紅1白1,紅1白2,紅2白1,紅2白2,白1白2

共6種，

因此抽取的兩球均紅的概率為一紅一白的概率為3=2,兩球均白的概率是工，

6636

乙袋1個紅球、3個白球，3個白球編號為1,2,3，

抽取2球的可能情形有：紅1,紅2,紅3,12,13,23共6種，

311

抽取的兩球均紅的概率為0,一紅一白的概率為士=上，兩球均白的概率是上，

622

又抽取的球從甲袋抽取的概率為47=上1，從乙袋抽取的概率是4々=74,

6363

117171?2151

所以P(X=0)=—x—+—x—=’,+—x—=p(x=2.)=-x-=

3632183293618

X的分布列為:

答案第141頁，共22頁

751?

MBH>3￡1（X）=0x—+lx-+2x—=-；

189183

（2）由（1）知兩球一紅一白的概率是耳=*,一紅一白兩球是從乙袋中抽取的概率是

19

?211

P?——x—=一,

323

]_

P33

所以在摸出的2個球是1紅1白，這2個球來自乙袋的概率D尸=工2=號=三.

9

16.（1）證明見解析.

11

【分析】（1）證明PM1BM,從而證得BAf_L平面/p/0，再由面面垂直的

判定定理得證面面垂直；

（2）以河為原點，過河平行于C8的直線為x軸，吹為V軸，過w平行于2Vp的直線為

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面P4W和平面尸8c的一個法向量，則法向量夾角的余

弦值得二面角的余弦值.

【詳解】（1）連接因為M是CD中點，所以〃/*/2,2。萬，

AM=BM=yjZ9+2?=272

AM2+BM2AB2,所以

又PB=2也，所以PA/2+3河2=尸臺2,所以尸河_L8”,

AM^PM=M，平面/PM，

答案第151頁，共22頁

所以平面/PM，又因為BMu平面N8CW

所以平面APM，平面ABCM；

（2）取NM的中點N，連接PN，則尸N_LNAT又平面4PM_L平面48cA/，平面

APMn平面ABCM=AM，

所以PN?平面48cM）

PN^-AM=42,

2

以初為原點，過M平行于C3的直線為X軸，MC為y軸，過“平行于NP的直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(2,-2,0)，8(2,2,0)，N(l,T,0)，P(1,T,/)，C(0,2,0),

M4=(2,-2,0),CB=(2,0,0),Aff=(1,-1,V2),CP=(1,-3,A/2);

設(shè)平面尸4M的一個法向量是J=（X］，M，Z），

玉=1H=(1,1,0)

n?MA=2xx-2yl=0

則,取得

n-MP=xl-yi+近Z[=0

設(shè)平面MC的一個法向量是五=（%,%,z2），

答案第161頁，共22頁

y2-V2m=(0,V2,3)

mCB=2X2=0

,

則m-CP=x2-3y2+42z2=0取,得

__m-nV2Vil

cosm,n=,,,,=——T=='

|m||w|V2xVfT11

所以平面和平面尸'C夾角的余弦值為1.

11

17.⑴”。

(2)[3-e,+8)

【分析】(1)求導(dǎo)，令/(力=0,可得％或%=1，分類討論計算可得結(jié)論；

(2)=,分心。，0<a<1,a=1,1<a<2,“22五種情況討論可

得結(jié)論.

【詳解】(1)因為切線為歹=士，所以切線斜率為0,

e

2-

由「()2x+(1—Q)—/(1Q)1-]—%+^6Z+1^X^7

令/，(x)=0,角軍得％=〃或x=l,

若了=；是函數(shù)在“一"的切線，則有了⑷/2+(—”+1=3,

所以=?=1即3e"=e(a+l),

令g(a)=3e"-e(a+l)，求導(dǎo)得g<a)=3e"-e，令g[a)=。，解得a=l-ln3,

答案第171頁，共22頁

當(dāng)Q<1-ln3時，gr(6z)<0，函數(shù)g(q)在(-oo,l-ln3)上單調(diào)遞減，

當(dāng)?！?-ln3時,g，(a)>0,函數(shù)g(q)在(1-In3,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(l-如3尸3「i3一一次3+1)=34一e+e(ln3-1)=e(ln3-1)>0,

所以3e"=e(a+1)無解；

若y=m是函數(shù)在x=l的切線，/⑴」+(之)43,解得4=0；

eee

(2)因為/⑼少竺.=1，

因為/'(x)==(xq)(xl),

令r(x)=0，解得x=?；騲=l，

當(dāng)a40時，若0<x<l，(口)>0，函數(shù)/(x)在［01］單調(diào)遞增，

所以/(I)>/(0)=1不符合題意，

當(dāng)0<a<1時，

若0<x<a時，/(x)<0>函數(shù)/(尤)在(-8,a］單調(diào)遞減，

若a<x<l，尸3>0,函數(shù)/(x)在［。，1］單調(diào)遞增，

若x>l，/(尤)<0，函數(shù)［(x)在口,2］單調(diào)遞減，

所以。時，函數(shù)在丫_1時取得極大值，

所以/⑴」+(1丁)+-1，解得"'"e,又。<1,所以3-皿<1

答案第181頁，共22頁

當(dāng)a=l,可得xe［0,2］時，/<x)<0，函數(shù)/(x)在2］單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)1<。<2時,若0〈尤<1，((x)<0，函數(shù)〃x)在QI］單調(diào)遞減，

若l<x<a，f'(x)>0,函數(shù)/(x)在［1,單調(diào)遞增，

若a<x<2，/(力<0，函數(shù)在3，2］單調(diào)遞減，

所以"一“時函數(shù)/(X)取得極大值，又/⑷=/+0少「+1二號,

令=e"-(a+1)，求導(dǎo)/(a)=ea-l>0f所以=/z(l)=e-2>0J

即e">("+D,所以空所以1<°<2時，/(x)在［0,2］上的最大值為i,

ea

當(dāng)“22時，在［0,1］單調(diào)遞減，/(%)在［1,2］單調(diào)遞增，

/⑵=22+(1：卜2+1=,<］,符合題意，

綜上所述：a的取值范圍為［3-e,+8).

18.(l)/=4x

⑵①證明見解析；②色1

2

【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程以及三角形面積公式來求解拋物線方程.

(2)①先聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標(biāo)，再根據(jù)交點坐標(biāo)求出直線方程，進而證明

交點在定直線上.

②，先求出方的值，再根據(jù)三角形面積公式求出AFC。的面積.

【詳解】⑴拋物線y=2830)的焦點/坐標(biāo)為或⑼，準(zhǔn)線方程為》=一勺

答案第191頁，共22頁

已知嗯M）,N（~gp）,則網(wǎng)=。，可明"

根據(jù)三角形面積公式的面積S=^-x|FAf|x|AfiV|=^-xpxp=2,

即#=2,解得1或I（因為。>。，舍去I）.

所以拋物線￡的方程為/=4獷

（2）①設(shè)/（再必）,3（/必）,“工3皿）,。小,小4）?

聯(lián)立]歹2=4%，得「_4歹_4=0,則必+8=4,必%=-4.

[x-yT=o

聯(lián)立卜2=4x,得）2—4y-46=0,則％+乂=4,8乂=-46.

\x-y-b=0

金：了一切二21^—%）,代入玉=里花=正，

%]一%344

化簡得%：（必+%）y=4x+M%，

同理得做：（%+%）y=4x+W

聯(lián)立兩直線方程，得到k乂％一%乂=必%-（4f）（4f）=4（必+乃）-16=2.

必+>3->2-^4必+>3一（4一必）一（4一P3）2（必+y3）-8

所以“在定直線y=2上.

②因為H（4,2）在直線ZC與5。的交點上，把H（4,2）代入直線/C,方程得到

必=2注一16,%=2區(qū)一16,由于乃％=-4

%—2%—2

答案第201頁，共22頁

2%T6*2%-16=_4,,4%乂-32（%+乂）+256=

%-2匕-2%”-2（%+%）+4

代入%+乂=4,為州=-46,,可得二1世土世=_4,可求出6=1.

-4b-4-2

所以?、说拿娣e為31_1卜乂_%|=,⑴+%）-”4=竽.

【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去

x（或y）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的

等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等

特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)

之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

19.⑴."一2"（答案不唯一）

（2）證明見解析

⑶存在；a，"””.；%=2〃-1或4=-2〃+1

【分析】（1）直接驗證滿足條件即可；

（2）使用數(shù)學(xué)歸納法即可證明結(jié)論；

=（27）”兇,再利用不等式方法確定

（3）先分類討論確定所有可能的數(shù)列為為

（p_iy+（q_l）2取得最小值的情況對應(yīng)的1的取值，即可確定相應(yīng)的通項公式.

答案第211頁，共22頁

【詳解】（1）當(dāng)""二一2"時，有$=_2.竺」-2(2"-1)=-22+2=2%+2,故

"2-1

應(yīng)=(2%+2戶

所以2"是一個"2-2-2數(shù)列”.

是數(shù)列"，故（）2。，；.

（2）由于“""IS,=W"=

而%>0，故S〃〉0，從而由P2個=s〃〉0知夕

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：s>(?+1)3.

4/

Sa

當(dāng)〃=1時，由"=P'"知H=P~a；=p-s；,所以q_]422_(1+1)2(1+1)2.

=---------------2----------------

S'下4p24p24P2_4P2

這表明結(jié)論在〃二1時成立;

假設(shè)當(dāng)"二人時結(jié)論成立,即

4夕

Sz=p2a3,_,(

則由知內(nèi)+i=加4+1=歷同+1/)4加|Sy

所以以即

>0'

402402

2,也

1I小1)一+1

這就得到

2\p\—4P2

假設(shè)西-<-工，矛盾?

-2〃23

答案第221頁，共22頁

2(匯+咪+

1>&k+D+l1+J11+(左+1)左+2

所以6+i-

,故卮2=

而一2》2H21^|l\p\

所以g>(小2『,這表明結(jié)論在”=后+1時成立.

/i\2n

由數(shù)學(xué)歸納法知s工(〃+：)對任意正整數(shù)成立.

2

=s>("+(知(〃+l)t.r(〃+1

所以由p2“；42故%-

4P24P42P

(3)若存在公差為"的等差數(shù)列8?J是“Pff數(shù)列"，則由S=w+"("T)d，

〃12

%=4+5-1"S；=(M+q)2<力(〃-1)

=(p(4+("+

,以及，可知?1?+—；—d

若“=。，則(〃aj=(p%+q)2,從而(〃％),與，無關(guān)，由于rwN*，故％=0?

從而〃“=0，這就得到o=g2,所以g=o.

dwO((_八y

若，則由\"=(p(%+(〃_i)d)+q)~可知

n(n-l]

a^n-\——--d=|夕(。1+(〃-i)d)+g|,

假設(shè)’2