重慶市某中學2024-2025學年高三年級上冊期中模擬考試數(shù)學試題（含解析）

重慶市楊家坪中學高2025屆高三上期中模擬考試數(shù)學試題

注意事項：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填

寫在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條

形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應的

答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={Hx<l}，3={M0g2X<l},則（）

A.Ac5={x|x<l}B.=

C.AnB=1x|0<x<ljD.AnB=1x|x<0}

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性以及定義域求出集合8,再根據(jù)兩個集的交、并運算即可求解.

【詳解】根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)可得log2X<log22,

所以可得0<x<2,即5={x[0<x<2},

對于A,AC3={M無<l}c{尤|0<無<2}={可0(尤<1},故A錯誤；

對于B,AoJB=|x|x<l}o|x|0<x<2}=1%|%<21,故B錯誤；

對于C,由A選項知道Ac3={x|尤<“c{x[0<x<2}={司0<%<1},故C正確;

對于D,由A選項知道Ac3={x|尤<l}c{x[0<x<2}={x[0<x<l},故D錯誤.

故選：C

4

2.復數(shù)z=(l+9i)2+——，則彳=()

1-i

A.l+3iB.l-3iC.2+4iD.2-4i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法與除法運算化簡得z,再根據(jù)共輾復數(shù)的概念即可得結(jié)論.

.、24_..24(1+i)_.4+4i_.__....

【詳解】因為z=(l+i)+-~~r=l+2i+i'+―————=21+-―—=21+2+21=2+41,

1-1(l-i)(l+i)1-1

所以彳=2—4i

故選：D.

“x+4y

3.已知蒼丁為正實數(shù)，且x+y=l,則——-的最小值為()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的巧用即可得最值.

【詳解】因為正實數(shù)x,y滿足x+y=l,

4yx21

當且僅當上=—即x=—,y=—時，等號成立.

xy3"3

故選：B.

4.已矢口數(shù)歹！滿足勾+2/+3%+…+"&="(〃+2),則與=()

313335

A.2B.—C.—D.—

161616

【答案】C

【解析】

。I1

【分析】利用“22時，4=S“—S“_i，推得代入”=16,求出答案.

【詳解】由題意可得+2。2+3%+…="(〃+2)①,

FHHH

所以〃22時，勾+2出+34-----(—l)tzw,=(—1)(+1)②,

rs[QQ

①一②得"%=2〃+l,所以%,=/一(n>2),所以

故選：c.

jr

5.在VABC中，“C=—”是“sin2A+sin25='而（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關系、誘導公式，分別從充分性、必要性兩方面來說明即可.

【詳解】一方面：

C=—=>A+B=—=>sinA=sin[—-6|=cosB=>sin2A+sin2fi=cos2B+sin2B=1,

22U）

另一方面：A=,B=C=—=>sin2A+sin2B=-+f—=1,但。?；?，

3612J①2

jr

所以“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要條件.

2

故選：A.

6.某高校派出5名學生去三家公司實習，每位同學只能前往一家公司實習，并且每個公司至少有一名同學

前來實習，已知甲乙兩名同學同時去同一家公司實習，則不同的安排方案有（）

A.48種B.36種C.24種D.18種

【答案】B

【解析】

【分析】先安排甲乙，共有3種安排，剩下3人分兩類：第一類三個人去三個公司，第二類是三個人去除

甲乙去的公司的另外兩個公司，然后用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理即可得解.

【詳解】因為甲乙兩名同學要求同時去同一家公司實習，先安排甲乙，從三家公司中選一家公司共有3種

選法；

剩下的3人分兩類：第一類三個人去三個公司，一家公司一個人，共有A；種安排方法；第二類三個人去

除甲乙去的公司的另外兩個公司，必有兩個人去一家公司，所以共有C；A；種安排方法；

所以共有不同的安排方案有3x（A；+C；A；）=36種，

故選：B.

7.如圖，在平面直角坐標系中，以。4為始邊，角a與￡的終邊分別與單位圓相交于兩點，且

々^^^^,,?兀)若直線所的斜率為；，則sin(tz+/7)=()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可設E(cosa,sina),廠(cos民sin，)，結(jié)合直線的斜率公式及和差角公式先

求出tan"2,然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關系可求.

2

【詳解】由題意可設E(cosa,sina),尸(cos，,sin/?),

c.a-B

2cos----sin...-

則直線所的斜率人sina-si叱221_1

c.a+B.a-Ba+B3'

COSdf-COSp-2sin----sin...-tan——I

222

所以tan儀+[=-3，

2

c.a+Ba+B

2sin...-cos...-2tan.a.+.-B

3

所以sin(o+0=_______222二

2a+￡1,a+/35

s.m-)a+-B+cos—1+tan2...-

222

故選：A.

k

8.若曲線y=—(左<0)與y=e)恰有2條公切線，貝|左=()

X

111

B.——C---D.-1

一正ee2

【答案】B

【解析】

【分析】設在曲線y=e工上的切點為(m,em),求出切線方程，設該切線方程與曲線y=-(k<0)相交于點

X

(?,-),由此可得-4左=(1)2曖，再利用導數(shù)研究函數(shù)應附=(1-根/"'的性質(zhì)，結(jié)合題意即可得出答

n

案.

【詳解】設在曲線y=e，上的切點為(私e,H),

由(e*)'=ex,可得過點(m,em)的切線斜率為e'"，

此時切線方程為y—e"'=em(x-m),即y=emx+em(l-m),

kkkk

設切線y=eZc+曖(1—m)與曲線y=—(左<0)相交于點(〃,一)，(一)'=——,

xnxx

k

a

e=--r

則n,

-=em-/7+em(l-rn)

消去〃，可得—4人=(1—〃力21，

依題意，直線y=與函數(shù)丸(7〃)=(1—根)20”的圖象有兩個不同的交點，

令=—2(1—Me'"+(1—根)2em=em(m-1)(/M+1)>0,

解得7〃<一1或7〃>1，

令li(m)<0,解得

則函數(shù)㈤在1),(l,+8)上單調(diào)遞增，在(-M)上單調(diào)遞減，

4

故以㈤極小值="(1)=°，以㈤極大值=，(—1)=—，且飄加)之。恒成立，當且僅當X=1時等號成立，當

e

W+oo時，h(jn)+oo,

要使直線y=與函數(shù)丸?！?=(1一7〃)2e"，的圖象有兩個不同的交點，

41

則需—4左=—,解得k=——.

ee

故選：B.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到

方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其性質(zhì)，即可得結(jié)

論.

二、選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的有()

A.若經(jīng)驗回歸方程為f=0.55x—0.6,則變量％與丁呈正相關

B.在殘差的散點圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

c.響應變量y是由解釋變量x唯一確定的

D.在獨立性檢驗中，隨機變量K?的觀測值越小，“認為兩個變量有關”這種判斷犯錯誤的概率越大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)回歸直線和殘差的意義、隨機誤差的產(chǎn)生和獨立性檢驗的思想，依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,在經(jīng)驗回歸方程中，g=o,55>O，二變量了與丁正相關，A正確；

對于B,回歸分析中，殘差分布水平帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，B正確；

對于C,響應變量V除了受解釋變量X影響外，可能還會收到其他因素的影響，從而導致隨機誤差e的產(chǎn)

生，C錯誤；

對于D,在獨立性檢驗中，隨機變量K?的觀測值越小，說明兩個變量有關系的可能性越小，則”認為兩個

變量有關”這種判斷犯錯誤的概率越大，D正確.

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/(x)=sin|犬+口+sinlx-當l+cosx+a的最大值為1,則有()

A.a——1

JI4兀

B.單調(diào)減區(qū)間為2kn+—,2^71+—,k邑Z

C.最小正周期為兀

2兀

D./(%)20的解集為<x2kn<x<2kn+—>

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換將/(%)轉(zhuǎn)化為正弦型三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、三角不等式

即可得逐項判斷得結(jié)論.

【詳解】/■(%)=sinfx+—>l+sinfx-—^l+cosx+fi!=^-sinx+—cosx+^-sinx-—cosx+cosx+a

I6；I6；2222

=A/3sinx+cosx+^z=2sin|x+—71\+a

6

所以函數(shù)/(x)max=2+a=l，則a=—1,故A正確；

則/(x)=2sin[x+E]—l,所以其最小正周期為T=彳=2兀，故C正確；

所以單減區(qū)間滿足：

ITTT3冗714冗

—+2kii<x+—<----F2lai,左￡Z,解得一+2kli<x<-----F2左兀,keZ,

26233

jr4兀

即函數(shù)/(九)單調(diào)減區(qū)間為2k7i+-,2k7i+—，左eZ,故B正確；

[7T11TTJTS1E

不等式/(x)2°，即sinX+—2—,則一+2EW%+—V—+2左兀,左wZ,

<6J2666

解得0+2bl<%<—2+2E,左eZ,解集為\x2kn<x<2knH--2--兀-,k&Z>.

3[3

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/'(x)=]"一C+1'*40,下列關于函數(shù)y=/[/(x)]+2的零點個數(shù)的說法中，正確的是()

log2龍,x>0

A.當。(左<1時，有3個零點B.當左>1時，有1個零點

C.當左<0時，有8個零點D.當左=一4時，有8個零點

【答案】BD

【解析】

【分析】設f(x)=r,即有/?)=—2,選項A和B,當0〈左<1和左>1,丁=必—履+1在(-8,0]上單

調(diào)遞減，且作出函數(shù)/(%)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解；選項C,取左=—2,作出函數(shù)/(%)圖

象，數(shù)形結(jié)合，可得y=/[/(%)]+2只有3個零點，即可求解；選項D,當左=T時，作出函數(shù)/(%)圖

象，數(shù)形結(jié)合即可判斷得解.

【詳解】令y=0,得力J(x)]=—2,則函數(shù)y=/U(x)]+2的零點個數(shù)即為了"(%)]=—2解的個數(shù),

設/Xx)=r,則/?)=—2,二次函數(shù)丁=必—履+1,其圖象開口向上，過點(0,1),對稱軸為x=：,

對于選項A,當0v左vl時，V=-丘+1在(-8,0]上單調(diào)遞減，且如圖,

由/⑺=-2,得log?”",解得t=L由y(x)=/,得iog2x=；,解得力,

444一乙

因此函數(shù)y=/[/(%)]+2的零點個數(shù)是1,所以選項A錯誤，

對于選項B,當左>1時，y=42一日+1在(-QO,0]上單調(diào)遞減，且如圖，

由了⑺=-2,得log?”—2,解得/=工，由y(x)=r,得岷工=；,解得￡,

_44A—Zz

因此函數(shù)y=/"(%)]+2的零點個數(shù)是1,所以選項B正確；

“、x2+2x+l,x<0°

對于選項C,當上二—2時，=\，作出函數(shù)/(%)的圖象如圖，

log2x,%>0

由圖象知/?)=—2只有1個根，由log/=-2,解得t=L

4

當r=1時，/(%)=；若1。82'=~79貝|JY_)：，

444A—Zz

若X2+2X+1=；,則x=或X=—g,此時y=/[/(x)]+2有且只有3個解，所以選項C錯誤,

%2+4%+1x^0

對于選項D,當k=T■時，/(%)=<'—，作出函數(shù)/（X）圖象如圖,

log2x,x>0

MT

由圖象知/⑺=—2有3個根，當/〉0時，log2”",解得/=工；

4

當/W0時，/+期+1=_2，解得/=—3或/=—1

當/=一時，f(x)=—,若log?1=—,貝!1丫_胃，若爐+4%+1=—,貝！lx=—2土——,此時共有3個

444X-242

解；

當/=—3時，/(x)=-3,此時log2——3有1個解，

必+4%+1=-3,即(x+2)2=0,得到》=一2,有1個解，

當r=一1時，f(x)=-1,止匕時log2X=-l,得到x=g,有1個解，

X2+4X+1=-1＞解得X=—2±J5,因此當k=T時，函數(shù)丁=7"(尤)]+2的零點個數(shù)是8,所以選

項D正確，

故選：AD

【點睛】方法點睛：關于復合函數(shù)的零點的判斷問題，首先將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題；解答時要

采用換元的方法，利用數(shù)形結(jié)合法，先判斷外層函數(shù)對應方程的解的個數(shù)問題，繼而求解內(nèi)層函數(shù)對應方

程的解.

二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.南宋數(shù)學家楊輝為我國古代數(shù)學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著

作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為

例，其特點是從數(shù)列的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為

1,3,7,13,則該數(shù)列的第10項為.

【答案】91

【解析】

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及累加法即可求解.

【詳解】設該二階等差數(shù)列為｛%』，則4=1,%=3,織=7,%=13,

由二階等差數(shù)列的定義可知，4―4=2,。3一。2=4,a4-a3-6,■■■,

所以數(shù)列｛。用-4｝是以。2—%=2為首項，公差d=2的等差數(shù)列，

即氏+1-4=2%

所以。2-。1=2,%_%=4,a4-a3=6,■■-,a/l+1-an=2n,

將所有上式累加可得an+i=4+"(27)=1+〃+1,

所以=92+9+1=91.

故答案為：91.

13.已知平面向量4=(2,1),5為單位向量，且5+B)_L5-25),則向量B在向量日上的投影向量的坐標

為.

【答案】日|]

【解析】

【分析】由①+方)，(萬-25)得a6,計算B在方方向上的投影，進而得B在巨方向上的投影向量.

【詳解】因為萬=(2,1),所以?初=收互于=6,5為單位向量，出1=1,

又因為(M+6)-L(G-2b),所以(iJ+6)?(7—2b)=3~—3-b—2b?=5—/”一2=0,

a-b3

即彳小=3，5在萬方向上的投影為^=7，

|?|V5

3a63

所以辦在1方向上的投影向量為右x同=(不z二)X.

故答案為：(不二)?

14.己知函數(shù)/(x)的定義域為R,函數(shù)g(x)=/(x)+f為奇函數(shù)，且g(x+4)=g(x),則/(10)的值為

【答案】TOO

【解析】

【分析】由條件求得g(—2)=g⑵=0,g(6)=g(2)=0,g(10)=g⑹=0,從而求得了(10)的值.

【詳解】因為函數(shù)g(x)=/(x)+*為奇函數(shù)，

所以有g(-2)=-g⑵，

因為g(x+4)=g(x),所以g(2)=g(—2),

得g(2)=-g(2)=0,

又g6=g(2)=。,

g(10)=g⑹=。,

即g(10)=/(10)+102=0,所以/(10)=—100.

故答案為：-too.

三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在VABC中，角A5c的對邊分別為a,b,c.已知s沅A+J1cosA=0，Z?2-?2+c2+10Z?=0;

S.ABC=15G

(1)求角A的值；

(2)NB4C的角平分線交BC于點。，求AD的長.

2兀

【答案】(1)—

3

⑵”

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)s沅A+6COSA=0,可得tanA=—百，結(jié)合角度范圍即可得角A的值；

(2)根據(jù)余弦定理與三角形面積關系求解b,c得長度，再由，鈿。=5..?+5?“計算可得">的長.

【小問1詳解】

因為sinA+用cosA=0>所以tanA=—A/3;

27r

因為0<4<兀，所以A=胃；

【小問2詳解】

由(1)知A=@,

3

由余弦定理得+/—〃2_2bccosA=—be，

則b1+c2—a1+10/?=0可得。=1。，

由S^ABC=-bcsinA=,可得Z?c=60,所以Z?=6,

即!605山空=工(>74￡)5出4+!).74￡)5111烏,

因為S&ABC=SAABD+/ACD,

232323

be60_15

所以AD=

b+c16-T

16.己知函數(shù)/(x)=；工3—g/2x2+2奴.

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的極值;

(2)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性.

25

【答案】(1)極小值為一，極大值為一

36

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)對/(%)求導，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；

(2)/'(x)=(x—a)(x—2),對a分a=2,a>2和a<2討論單調(diào)性即可.

【小問1詳解】

13

/⑴=/一萬/+2x"'(x)=(x-l)(x-2).

所以尤<1或x〉2時，/(%)>0,1<%<2時，/(x)<0,

則f(x)在(1,2)上遞減,在(3,1),(2,大功遞增,

25

所以f(x)的極小值為/(2)=-,極大值為/(1)=

36

小問2詳解】

f'(x)=(x-a)(x-2),

當a=2時，/(x)>0,所以/(%)在(一夕+⑹上遞增，

當a>2時，x<2或x>a時，/(%)>0；2<x<a時，/(%)<0,

所以/(x)在(-8,2),(a,+s)上遞增，在(2,a)上遞減，

當a<2時，x<a或x>2時，/(%)>0；。<尤<2時，/(x)<0,

所以/(幻在(-8,a),(2,+8)上遞增；在(a,2)上遞減.

17.設｛4｝是等比數(shù)列，也｝是遞增的等差數(shù)列，也｝的前〃項和為S,,(“WN*)9=2,仇=1,

邑=%+4，〃2=4+4.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；

(2)將數(shù)列｛4｝與數(shù)列｛〃｝的所有項按照從小到大的順序排列成一個新的數(shù)列，求此新數(shù)列的前40項

和.

【答案】(1)an=X,b“=n

(2)692

【解析】

【分析】(1)由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程求得公差、公比，可得所求；

(2)由數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列｛4,,｝的前5項和、數(shù)列｛2｝的前35項和，可得所求和；

【小問1詳解】

設等比數(shù)列的公比為4,等差數(shù)列的公差為d(d〉0),

4b.+6d=a,+a,q~\l+6d=2q2

由己知條件得11,：i”，即1,

axq-2b\+2d\2q=2+2d

q—\「4=2

解得77(舍去)或7「

d=0[a=1

所以a.=qq"T=2",bn=bx+(ra-l)<7=?；

【小問2詳解】

數(shù)列｛%｝與數(shù)列｛g｝都是遞增數(shù)列，

〃=5,。5=32<40,〃=6,4=64>40,

2-2635x(1+35)

Q]+a?+%+%+=-----=62,4+4+???+45=------------630,

1—22

新數(shù)列的前50項和為：1+2+2+3+4+4+5+6+…+35=62+630=692.

18.某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)X，如下

表：

性能指標X6677808896

產(chǎn)品件數(shù)102048193

（I）求該項性能指標的樣本平均數(shù)元的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,其中

〃近似為樣本平均數(shù)%的值，=36，試求尸（74<XW92）的值.

（2）若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，

甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；

③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次

品，且該項性能指標恰好在（74,92］內(nèi)的零件個數(shù)為丫，求隨機變量Y的數(shù)學期望（精確到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量自服從正態(tài)分布N（〃,）,則W6W〃+。）a0.6827,

P（A—2bWJ4A+2b）a0.9545,—3bWJW〃+3b）a0.997.

【答案】（1）80,0.8186

14

（2）①——；②一；③4

605

【解析】

【分析】（1）計算出平均數(shù)后可得X~N（80,36）,結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得解；

（2）①借助全概率公式計算即可得；②按照條件概率公式計算即可；③借助二項分布期望公式計算即可得.

【小問1詳解】

x=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80-

因為X?N（80,36）,所以cr=6,

則P（74<X〈92）=gp（〃—2crKX++（〃—crKX+

0.9545+0.6827

?---------------------=0.8186；

2

【小問2詳解】

①設”抽取的零件為甲機床生產(chǎn)”記為事件A,

“抽取的零件為乙機床生產(chǎn)”記為事件4,

“抽取的零件為次品”記為事件8,

21

則P（A）=§,P（A2）=~,尸（5|A）=Q02,尸（514）=0.01,

則p(3)=p(4)p(研A)+P(4)P(研4)=〉0.02+；><0。1=竽=3；

333OU

2

②PN0-P(”)P(A)P(冏4)/(s_4

°(卻P(B)-P(B)—J__5；

60

③由⑴及(2)①可知，這批零件是次品且性能指標在(86,92］內(nèi)的概率2=^x0.8186,

且隨機變量F?6(300,p),

所以石(V)=300/?=300x^x0.8186=4.093?