中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：分式（13大考點(diǎn)）（解析版）

專題05分式

考點(diǎn)類型

分式

考點(diǎn)13：分式方程應(yīng)用—方案問題

考點(diǎn)1：分式及最簡分式

典例1:（2023春?福建泉州?八年級校考期末）在式子V2忌常,分式有（）

5

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的定義即可得出答案.

【詳解】解：分式有：忌，?共2個(gè)，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義，掌握分式的分母中含有字母是解題的關(guān)鍵，注意"是數(shù)字.

【變式1］（2023春?福建漳州?八年級校考階段練習(xí)）下列各式中：等，T擊，手，學(xué)，分式的個(gè)數(shù)

為（）

A.5B.4.C.3D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的定義即可答題.

【詳解】解：由分式的定義判斷，僅有-辿，W屬于分式，其余各項(xiàng)均不滿足分式的定義,

ci人丁y

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義：形如《（4、B表示整式，B不為0且含有字母）的式子叫做分式，判斷分式

的關(guān)鍵是分母中必須含有字母；易錯(cuò)點(diǎn)是兀是作為具體數(shù)值的數(shù)字而不作字母，如?是整式.

【變式2］（2023春?福建福州?八年級?？奸_學(xué)考試）下列分式中，最簡分式是（）

42%x—1x—1

A?五B.運(yùn)五C.RD.—

【答案】B

【分析】一個(gè)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡分式.根據(jù)最簡分式的定義逐項(xiàng)分析判

斷即可.

【詳解】解：A.2的分子和分母有公因式2,故不是最簡分式，該選項(xiàng)不符合題意；

B.器的分子和分母沒有公因式，是最簡分式，該選項(xiàng)符合題意；

C含的分子和分母有公因式0—1），故不是最簡分式，該選項(xiàng)不符合題意；

D.蕓的分子和分母有公因式（x-1）,故不是最簡分式，該選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡分式的知識，理解并掌握最簡分式的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3］（2023春?福建泉州?八年級?？计谥校┫铝懈鞣质街惺亲詈喎质降氖牵ǎ?/p>

久2+y2/一y2-y2

A?15（%+y）-2y+盯2L-（%+y）2x+y

【答案】B

【分析】最簡分式是分子，分母中不含有公因式，不能再約分的分式.判斷的方法是把分子、分母分解因

式，并且觀察有無公因式.如果有互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而

進(jìn)行約分.

12(x-y)4(x-y)

【詳解】解：A、不是最簡分式，不符合題意;

15(x+y)5(%+y)'

B、高祿是最簡分式，符合題意；

C、高焉=白?鋁=急，不是最簡分式，不符合題意;

%2-y2_O+y)(%—y)

、不是最簡分式，不符合題意;

Dx+yx+y

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡分式，分式的化簡過程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較

易忽視的問題.在解題中一定要引起注意.

考點(diǎn)2:分式有意義的條件

典例2：（2023春?福建福州?八年級校考開學(xué)考試）分式誓有意義的條件是（）

A.x=1B.C.x=—1D.%H—1

【答案】D

【分析】分式有意義的條件是分母不等于零，據(jù)此即可獲得答案.

【詳解】解：若分式詈有意義，

則有；C+1K0,解得刀大一1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義的條件，理解并掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

【變式1］（2023春?福建泉州?八年級校聯(lián)考期末）要使分式若有意義，貝似應(yīng)滿足的條件是（）

A.%W2B.C.xW—1D.1W—2

【答案】A

【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于零進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：依題意得：x-2^0,

解得x*2.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件.從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義=分母為零；

（2）分式有意義=分母不為零；

（3）分式值為零=分子為零且分母不為零.

【變式2］（2022秋?福建福州?八年級福建省福州屏東中學(xué)校考期末）下列分式中，無論x取何值，分式總

有意義的是（）

x+3111

A--B.五不C.哀D.有

【答案】B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、當(dāng)門0時(shí)，*有意義，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、???2/+1>0,

???無論x取何值，，總有意義，故選項(xiàng)B符合題意；

2xz+l

C、當(dāng)XHO時(shí)，*有意義，故選項(xiàng)C不符合題意；

1

D、當(dāng)巾一1時(shí)，/+1H0,有意義，故選項(xiàng)D不符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為。是解答的關(guān)鍵.

【變式3】（2022秋,八年級課時(shí)練習(xí)）要使分式品匕有意義，則x應(yīng)滿足（）

A.XH-1B.xw2C.x^±lD.XH-1且XH2

【答案】D

【詳解】試題分析：當(dāng)（x+1）（x-2）豐0時(shí)分式（久+工；_2）有意義，所以XA1且XX2,故選D.

考點(diǎn)：分式有意義的條件.

考點(diǎn)3：分式值為0的條件

典例3：（2023春?福建泉州?八年級校考期中）若分式言的值為零，貝漢的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【分析】根據(jù)分式值為。的條件是分母不為0,分子為。進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?分式。的值為零，

（x2—1=0

.".X——1

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分母不為0,分子為0是解題的關(guān)

鍵.

【變式1］（2023春?福建福州?八年級福建省福州延安中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是

（）

A.當(dāng)x=2時(shí)，=的值為零B.當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，與的值總為正數(shù)

C.無論x為何值，京不可能得整數(shù)值D.當(dāng)久H3時(shí)，辭有意義

【答案】B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0;分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值

是0的條件是分子等于0,分母不為0即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、當(dāng)x=2時(shí)，嘗無意義,故本選項(xiàng)不合題意；

B、當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，忌的值總為正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

C、當(dāng)x=0或2時(shí)，言能得整數(shù)值，故本選項(xiàng)不合題意；

D、當(dāng)xRO時(shí)，號有意義，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件.分式有意義的條件是分母不等于0.分式值

是。的條件是分子是0,分母不是0.

【變式2］（2011春?福建漳州?八年級統(tǒng)考期中）若分式分的值為零，則久等于（）

A.2B.-2C.±2D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)分式的值是。的條件是：分子為0,分母不為0.

【詳解】W：vx2—4=0,

x=±2,

當(dāng)％=2時(shí)，2x—4=0,?,.%=2不滿足條件.

當(dāng)久=一2時(shí)，2%—4。0,.,?當(dāng)?shù)?—2時(shí)分式的值是0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為零的條件，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不

等于零.

【變式3］（2022春?福建泉州?八年級?？计谥校┤舴质皆５闹禐檎龜?shù)，則久的取值范圍是（）

1

A.x>］B.x<5C.x~2D.乂取任意實(shí)數(shù)

【答案】A

【分析】由偶次方的性質(zhì)可知x220,故此N+5>0,由分式的值為正數(shù)可知2x—1>0,最后解不等式即

可.

【詳解】???/+5>0,的值為正數(shù)

/.2x—1>0

解得x>T

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)偶次方的性質(zhì)得到/+5>0.

考點(diǎn)4：分式的基本性質(zhì)

典例4：（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）不改變分式的值，將分式募得中的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)化為

整數(shù)，且第一項(xiàng)系數(shù)都是正整數(shù)，正確的是()

2x+lc2x-102久+10e2x4-10

AC.

-E3x+53x+5D。3X-5

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，即可求解.

-0.2x-l一(0.2%+1)0.2x+l10(0.2%+1)2x+10

【詳解】解:

-Q.3%+0.5--(0.3X-0.5)—0.3%—0.5—10(0.3x-0.5)-3x-5,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用分式的分子、分母同乘以一個(gè)不等于0的數(shù)，分式

的值不變來解決問題.

【變式1］（2023春?江蘇泰州?八年級?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃握_的是（)

a2—0.2aa2-2ax+lx-1-l-7a6—3acb2—a2i

A.BcD-B=a―

—0.3。3Q2—3a3-百-

【答案】C

【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式,分式的值不變.根據(jù)

分式的基本性質(zhì)再逐一分析判斷即可.

22

【詳解】解:a—0.2a10a—2a，故A不符合題意;

a2-0.3a^10。2_3a3

x+12,故B不符合題意;

x-y人y

,變形正確，故C符合題意;

b2-a2_(b+d)(b-a)

=b-a,故D不符合題意;

a+ba+b

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，分式的約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023春?江蘇蘇州?八年級?？茧A段練習(xí)）如果把分式黨中的x,y的值都擴(kuò)大為原來的3倍，那

么分式的值（）

A.擴(kuò)大為原來的3倍B.縮小為原來的!C.擴(kuò)大為原來的9倍D.保持不變

【答案】D

【分析】把分式喏中的％,y的值都擴(kuò)大為原來的3倍，可得琮竽，根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡即可求

得答案.

【詳解】把分式弩中的％,y的值都擴(kuò)大為原來的3倍，可得

3x3x+2x3y3（3x+2y）3x+2y

3%+3y-3（x+y）-x+y*

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，牢記分式的基本性質(zhì)（分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不

等于0的整式，分式的值不變）是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）不改變分式不若為的值，使分式的分子、分母中x的

最高次項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，應(yīng)該是（）

3x4-13x4-1

△--------R--------

,%2—7x4-2?x2+7x+2

3x—13%—1

C--------D--------

x2-7x+2x2-7x-2

【答案】C

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意可知將分式的分子分母同時(shí)乘-1得：

-3x+l_（-3x+l）x（-l）_3x-l

22,

-x+7x-2~（-x+7x-2）x（-l）-%2-7%+2

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，分式的

基本性質(zhì)是分手的分子分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變.

考點(diǎn)5：利用分式基本性質(zhì)求值

典例5：（2022秋?浙江?七年級?？计谥校┮阎?—3久一4=0,則分式占胃的值是（）

11

A.2B.5C.-D.-

【答案】C

X1

【分析】先對分式w二進(jìn)行變形得：三尸，然后由題意可進(jìn)行求解.

【詳解】解：—3%—4=0,

—-=3,

X

X_:_1

"x2-x-4-x-^-1-3^1-29

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式1】(2023春?山西太原?八年級山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))己知:—"=5,則式子『的值是

CLoZ.UD-a十。

()

723

A.l1B.—7C.-D.—

【答案】A

【分析】由：?5得到?！?-5曲再整體代入嗡*即可得到答案.

【詳解】解Y—R等=—黑=5,

：.a—b=Sab,

3a+8ab-3b_3(a—b)+8ab_—15ab+8ab_—lab_1

2ab-a+b~2ab-(a-b)-2ab+5ab~7ab~~'

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和整體代入是解題法關(guān)鍵.

【變式2］(2022春?四川內(nèi)江,八年級威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥?已知［一：=］，則=的值是()

UDZD-CL

A.1B.C.2D.-2

【答案】C

【分析】將條件變形為b—a=3b,再代入求值即可得解.

【詳解】解：W，

1?b—a—

abab

------=1-7=Z

b-a2ab

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，將條件變形為b—a是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3]（2022秋?湖北荊州?八年級期末）已知久+；=2,則底篇的值是（）

11

A-4B.4C,-D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)完全平方公式可得/+5+2=4,然后由京島=卓還可進(jìn)行求解.

【詳解】解：“+5=2,

兩邊同時(shí)平方得：/+專+2=4,

x2=-\—=].

，，%4+2%2+1—/+1+2-4；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的性質(zhì)及完全平方公式，熟練掌握分式的性質(zhì)及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6：分式的化簡求值

典例6：（2022秋?福建廈門?九年級校考期中）先化簡：（1—展）+號叁再從一3,1,2中選取一個(gè)合適

的數(shù)作為％的值代入求值.

【答案】占1

【分析】先對括號內(nèi)進(jìn)行通分運(yùn)算，同時(shí)對分子、分母進(jìn)行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進(jìn)行約分，結(jié)果

化為最簡分式或整式，排除使得分式無意義的值，然后代值計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：原式?湍I

1

-X-19

x+3W0,%—1H0,

xH—3,久W1,

?,?％取2,

當(dāng)汽=2時(shí)，

原式=-T=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，掌握分式化簡的步驟，排除分式無意義的數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023春,浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡（言—a—2）羅，再從°、2、3中選

擇一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值.

【答案】—答，1

【分析】先對括號內(nèi)進(jìn)行通分運(yùn)算，同時(shí)對分子、分母進(jìn)行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進(jìn)行約分，結(jié)果

化為最簡分式或整式，排除使得分式無意義的值，然后代值計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：原式=言?溫施

9—a*2

a2—6a+9

(3+a)(3—a)

=~(a-3)2-

3+a

=----------?

a-3'

因?yàn)閍T3,aW2,

二取a=0,貝I]

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，掌握分式化簡的步驟，排除分式無意義的數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2023春?河南開封,八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）先化簡，再求值：（1+蕓一言左，其中x

【答案】窘，3

【分析】先計(jì)算分式的混合運(yùn)算，再將字母的值代入求值.

【詳解】解：原式=上卡一翌胄

2(%+I)2

%+12(%—1)

x+l

當(dāng)％=2時(shí)，原式=丁?=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，正確掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3】Q023春?河南新鄉(xiāng)?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）課堂上，劉老師給同學(xué)們出了這樣一道題當(dāng)％=2023

時(shí)，求受答+若的值.小明把X=2023抄成了久=2013,得出的結(jié)果與正確答案是一致的，你能說明這

xz—1x+1

是為什么嗎？

【答案】見解析

【分析】根據(jù)分式的除法法則，對式子進(jìn)行化簡求值，即可.

【詳解】???普+丹

(%—I)2X+1

(x—1)(%—1)3(%—1)

1

~39

??.這個(gè)代數(shù)式的值與％的取值無關(guān)，

???小明把％=2023抄寫成了久=2013,得出的結(jié)果與正確答案是一致的.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的乘除運(yùn)算，平方差和完全平方公式的運(yùn)用.

考點(diǎn)7：解分式方程

典例7：(2023春?河北秦皇島?八年級校考開學(xué)考試)解方程：展+1=±.

【答案】0

【分析】將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：去分母，得：2x—2+(%—2)(x—1)=—2),

去括號，得：2x—2+/—3%+2=/—2x,

移項(xiàng)，合并，得：x=。；

經(jīng)檢驗(yàn)，％=0是原方程的解.

方程的解為：x=0.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

【變式1](2023秋?河北石家莊?八年級?？奸_學(xué)考試)解分式方程：

【答案】⑴x=6

(2)無解

【分析】(1)根據(jù)解分式方程的步驟去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)，進(jìn)行計(jì)算

即可得到答案；

(2)根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、檢驗(yàn)，進(jìn)行計(jì)算即可得

到答案.

【詳解】(1)解：去分母得：X2-3(X-2)=X(X-2),

去括號得：/—3x+6=d—2x,

移項(xiàng)得：x2—x2—3x+2x——6,

合并同類項(xiàng)得：一%=—6,

系數(shù)化為1得：%=6,

檢驗(yàn)，當(dāng)x=6時(shí)，—2)=6X(6—2)=6X4=24力0,

二原分式方程的解為：久=6

(2)解：去分母得：3—x=—1—2(*—4),

去括號得：3—x=-1—2%+8,

移項(xiàng)得：—％+2%=—1+8—3,

合并同類項(xiàng)得：x=4,

檢驗(yàn)，當(dāng)％=4時(shí)，%—4=4—4=0,

原分式方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意檢驗(yàn).

【變式2](2022春?福建寧德?九年級?？茧A段練習(xí))解分式方程：蕓=￡-2.

【答案】無解

【分析】將分式方程化為整式方程，然后求整式方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：2,

兩邊同時(shí)乘以x—2得，1—x=—1—2(%—2),

去括號得，1—x=-1—2x+4,

移項(xiàng)合并得，%=2,

檢驗(yàn)，將久=2代入x—2=0,不是原分式方程的根，

二方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程.解題的關(guān)鍵在于正確運(yùn)算.

【變式3](2023秋?河南周口?八年級校聯(lián)考期末)解分式方程：

⑵島-土=0.

【答案】(1)%=1

3

(2)x=-

【分析】(1)先去分母，再解一元一次方程，檢驗(yàn)是否是增根即可得到答案；

(2)先去分母，再解一元一次方程，檢驗(yàn)是否是增根即可得到答案；

【詳解】(1)解：方程兩邊乘x—2,得

l-x=-2-2(x-2),

解得x=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，x—20,

二原分式方程的解為x=l;

(2)解：方程兩邊乘x(x+l)。—1),得

5(%—1)—(%+1)=0,

解得X=|,

檢驗(yàn)：當(dāng)久=5時(shí)，%(%+1)(%—1)0,

??.原分式方程的解為X=*

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是注意檢驗(yàn)是否為增根.

考點(diǎn)8：分式方程解的應(yīng)用

典例8：(2022春?上海?六年級?？茧A段練習(xí))關(guān)于x的方程久-?=受的解為非負(fù)數(shù)，求自然數(shù)a.

【答案】0；1；2

【分析】根據(jù)分式方程求解步驟得到關(guān)于方程的解，再根據(jù)題意進(jìn)行判斷即可求解；

【詳解】兩邊同時(shí)乘以4得：4x—5+x=2x—2a,

移項(xiàng)得：4%+%—2%=5—2a,

化簡得：3%=5—2a,

.?號20,

兩邊x3,得：5—2a20,

解之得：a＜|.

.?.a的值為0,1,2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查知道分式方程的解情況求參數(shù)，掌握分式方程的求解步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023春?山西晉城?八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的分式方程三+2=怨.

⑴若分式方程的解為％=2,求人的值.

（2）若分式方程有正數(shù)解，求左的取值范圍.

【答案】⑴k=—2

（2快＜2且上羊0

【分析】（1）將x=2代入方程，即可求出左的值;

（2）先解分式方程，得乂=節(jié)，再根據(jù)方程有正數(shù)解以及分母不為0,即可求出后的取值范圍.

【詳解】⑴解：將x=2代入々+2=

x—l1-X

得云+2=￡

即l+2=—(k—1),

解得k——2；

（2）解：將士+2=蕓去分母,

得l+2(x—l)=_(k_1),

解得％=二

因?yàn)榉质椒匠逃姓龜?shù)解,

則x>0,

即著＞0,

所以上＜2,

又因?yàn)榉帜覆粸?,

即％H1,

那么等Hl,

所以kKO,

故k<2且k*0.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022秋?安徽蕪湖,八年級蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谀┤魯?shù)a使關(guān)于x的不等式組

X—11+汽

有且只有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于夕的方程詈+含=2的解為非負(fù)數(shù),求符合條件的所有整

數(shù)。之和.

【答案】1

【分析】解不等式組，得到不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)判斷a的取值范圍，解分式方程，用含有a

的式子表示乃根據(jù)解的非負(fù)性求出。的取值范圍，確定符合條件的整數(shù)4,相加即可.

【詳解】解:

5x—2>x+a@

解①得，x<5；

解②得,%?彳,

??,不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解,

??.不等式組的解集為彳W尤<5,整數(shù)解為：1,2,3,4；

??.0<竽41,

4

解得，-2VaW2；

解分式方程得，y=2-a；

???方程的解為非負(fù)數(shù)，且2-awl

?t*2—aN0；即aw2；

綜上：—2VaW2且QW1

???〃是整數(shù),

=—1,0,2；

-1+0+2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程，根據(jù)題目條件確定a的取值范圍，是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2022秋?八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程三|+盤=1有正整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組

(2y-5

八至少有兩個(gè)奇數(shù)解，求滿足條件的整數(shù)。的值.

[a-y-1<0

【答案】1,3,6

(2y—5?

【分析】由不等式組工一：：八有兩個(gè)奇數(shù)解，可求得6,由當(dāng)+兄=1得出％=，再根據(jù)分式方

程有正整數(shù)解即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意解不等式組

(2y-5

-5-<2

a—y—1<0

得a-lWy〈號.

,??關(guān)于y的不等式組至少有兩個(gè)奇數(shù)解，

.-.a—1<5,解得aS6.

'.'X—3W0,

..%H3.

：.aW2.

??,方程有正整數(shù)解，且。為整數(shù)，

?1,3f6.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)

鍵.

考點(diǎn)9：分式方程解的增根

典例9：(2023春?河南駐馬店?八年級?？茧A段練習(xí))若關(guān)于x的分式方程含-三=捻有增根，求加的

值.

【答案】6=一8或爪=一12

【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出使最簡公分母的值為0的未知數(shù)的值，代入整式方程進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：分式方程去分母，得：m+2(%+2)=3(%—2),

整理，得：x—10-m,

???分式方程有增根，

???(%+2)(%—2)=0,

.,.%=2或%=—2,

當(dāng)?shù)?2時(shí)，m=x—10=—8；

當(dāng)％=—2時(shí)，m=-2-10=-12；

.,.m=—8或m=—12.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程有增根的問題.熟練掌握增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的未知數(shù)

的值，是解題的關(guān)鍵.

【變式1](2023秋,陜西西安,九年級西安市曲江第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)關(guān)于x的分式方程含一三|=5.

⑴若此方程有增根，求a的值

(2)若此方程解為正數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】⑴a=2；

(2)a>—2且a豐0.

【分析】(1)方程兩邊都乘以最簡公分母。一1),把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根就是

使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出的x的值，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可求出a的值；

(2)解分式方程得x=竽，根據(jù)方程的解為正數(shù)得出等>0,且等71，解不等式即可得出答案.

【詳解】(1)解：方程兩邊都乘以(無—1)得，

a+(%—3)=5(%—1),

???分式方程有增根，

%—1=0,

解得％=1,

ci+(1—3)=0,

解得a=2；

(2)解：方程兩邊都乘以(％—1)得，

a+(%—3)=5(%—1),

解得“竽，

方程的根為正數(shù),

2+a八I-,2+a.

—>0,且亍

.-.a>—2且aH0.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解的情況，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2】(2023春?浙江嘉興,七年級統(tǒng)考期末)已知關(guān)于x的方程答=b,其中a,6均為整數(shù)且a力。.

x—1

⑴若方程有增根，則a,b滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(2)若x=a是方程的解，求6的值.

【答案】(l)a+b=0

(2)—1或8或9

【分析】(1)由分式方程有增根，得到%—1=0,求出％的值即為增根;

(2)將久=a代入箸5求得b=a+2+言，根據(jù)題意可得a-2=±1或-2或±4,分別帶入求得b的值

即可.

【詳解】([)解：由分式方程有增根，得到X—1=0,

解得：x=l,

將分式方程化為整式方程：ax+b^b(x-l),

整理得：(a-b)x+2b=0,

將x=1代入(a—b)x+2b=0得：a+b=0,

即若方程有增根，貝Ua+b=0.

(2)解：?.%=￡!是方程的解,

將久=。代入絲?=匕得：心中=匕,

X—1CL—1

整理得:a2-ah+26=0,

??力=號

a—2

“=哼J+2+當(dāng)且叱2

■■-a,b均為整數(shù)且a#0,

.■.a—2=±1.或-2或土4,

當(dāng)時(shí)，即b

a—2=—1a=l,a—z=-—71=—1;

當(dāng)a—2=1時(shí)，即a=3,b=-^=I=9；

a—21

當(dāng)。一2=2時(shí)，即a=4,b=~^=/=8；

a—22

當(dāng)a—2=—4時(shí)，即a=—2,匕=冬=守=一1；

CL—L—4

當(dāng)a—2=4時(shí)，即a=6,b-———9；

a—24

綜上，6的值為一1或8或9.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程②

把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

【變式3](2023春,江蘇連云港,八年級統(tǒng)考期末)已知關(guān)于x的分式方程三|—：=1.

⑴若分式方程有增根，求。的值；

(2)若分式方程無解，求。的值.

【答案】⑴a=2；

⑵a的值為一3或2.

【分析】(1)先將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根，可得到Q+3)(x—3)=0,然后代入整式方程,

即可求解；

(2)根據(jù)方程無解，可分兩種情況：原分式方程有增根和整式方程無解，即可求解.

【詳解】⑴解：；=1

方程兩邊同乘％(%—2)得久(％—a)—5(%—2)=x(x—2)

整理可得：(a+3)%=10

?.?原方程有增根

.,.%(%—2)=0,即久=0或％=2,

當(dāng)％=0時(shí)，(a+3)%^10,故％=0應(yīng)舍去，

當(dāng)％=2時(shí)，(a+3)x2=10,解得a=2,

??.a=2時(shí),方程有增根；

(2)解：由(1)知：a=2時(shí)，原方程無解

當(dāng)a+3=0,方程(a+3)%=10無解

.??◎=—3時(shí),原方程無解

綜上所述，°的值為一3或2.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，理解增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)10:分式方程應(yīng)用一一行程問題

典例10：（2023春?河北秦皇島?八年級?？奸_學(xué)考試）列方程解應(yīng)用題

八年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā),

結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度.

【答案】騎車學(xué)生的速度為15km/h

【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,根據(jù)汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，以及他們同時(shí)到達(dá)，列出方

程進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則汽車的速度為2比km/h,由題意，得：

1010_20

~~2x~60）

解的：x=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=15是原方程的解.

答：騎車學(xué)生的速度為15km/h.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出分式方程.

【變式1］（2023春?山東威海?九年級統(tǒng)考期中）A、B兩地的距離是80千米，一輛公共汽車從A地駛出3

小時(shí)后，一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達(dá)B

地，求兩車的速度.

【答案】公共汽車的速度是20km/h,小汽車的速度是60km/h.

【詳解】解：設(shè)公共汽車的速度為x公里/小時(shí)，則小汽車的速度是3x公里/小時(shí).

依題意，得

80801

~~3x+一§，

解，得x=20.

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的根，且符合題意.

.?-3x=60.

答：公共汽車和小汽車的速度分別是20公里/時(shí)，60公里/時(shí).

考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用.

【變式2］（2022?江蘇鹽城?校考一模）某中學(xué)九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行

車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的3

倍，求騎車學(xué)生的速度.

【答案】20km"

【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm",則汽車的速度為3xkm",根據(jù)題意，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm",則汽車的速度為3xkm",根據(jù)題意得：

1010_20

x3x60'

解得：x-20,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=20是原方程的解，且符合題意，

答：騎車學(xué)生的速度為20km".

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2022秋?河北邢臺?八年級統(tǒng)考期末）周末學(xué)校組織七、八年級學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，去相距12km的

革命傳統(tǒng)教育基地研學(xué)，兩個(gè)年級同時(shí)出發(fā)，八年級全程騎自行車，七年級先步行1km,剩余11km乘公交

車，結(jié)果兩個(gè)年級同時(shí)到達(dá)，已知七年級步行的速度比八年級騎自行車的速度每小時(shí)慢10km,而七年級乘

公交車的速度比八年級騎自行車的速度每小時(shí)快10km,求八年級同學(xué)騎自行車的速度.

【答案】12km

【分析】設(shè)八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時(shí)xkm,則七年級步行的速度為每小時(shí)（x—10）km,七年級

乘公交車的速度為每小時(shí)（x+10）km,根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時(shí)xkm,則七年級步行的速度為每小時(shí)（x-10）km,七

年級乘公交車的速度為每小時(shí)（x+10）km,

由題意得：?=』+』，

解得：x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原方程的解，

答：八年級同學(xué)騎自行車的速度為每小時(shí)12km.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是正確分析出題目中的等量關(guān)系，最后不要忘了檢驗(yàn).

考點(diǎn)11:分式方程應(yīng)用一一工程問題

典例11:（2023秋?浙江杭州?八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）為改善生態(tài)環(huán)境，促進(jìn)國土綠化，某市甲、乙兩支志愿

者隊(duì)伍分別參加了兩地的植樹活動(dòng).

(1)甲隊(duì)在/地植樹，如果每人種4棵，還剩下66棵樹苗；如果每人種5棵，則缺少30棵樹苗.求甲隊(duì)志

愿者的人數(shù)和A地需種植的樹苗數(shù).

(2)乙隊(duì)在3地植樹，原計(jì)劃植樹1200棵，由于另有新加入的志愿者共同參與植樹，每日比原計(jì)劃多種;，

結(jié)果提前3天完成任務(wù).問原計(jì)劃每天植樹多少棵？

【答案】⑴甲隊(duì)志愿者有96人，/地需種植的樹苗數(shù)為450棵

⑵原計(jì)劃每天植樹80棵

【分析】(1)根據(jù)“X人，每人種4棵的樹苗數(shù)=總數(shù)量+66；x人,每人種5棵的樹苗數(shù)=總數(shù)量一30"

列方程組，解出可得答案；

(2)根據(jù)原計(jì)劃植樹的天數(shù)一現(xiàn)在植樹的天數(shù)=3列分式方程，解出可得答案.

【詳解】(1)解：設(shè)甲隊(duì)志愿者有x人，/地需種植的樹苗數(shù)為y棵；

由題意得:像:/器

解得:(y=450

答：甲隊(duì)志愿者有96人，/地需種植的樹苗數(shù)為450棵；

(2)設(shè)原計(jì)劃每天植樹棵；

12001200

由題意得：甯-丹=3

解得：m-80

經(jīng)檢驗(yàn)，爪=80是原方程的解，且符合題意，

答：原計(jì)劃每天植樹80棵.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組和分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未

知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程或方程組.

【變式1](2023?福建漳州?統(tǒng)考一模)某村要修建一條長為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊(duì)前來

應(yīng)聘，村委會派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊(duì)的情況，獲得如下信息.

信息一：甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天；

信息二：乙隊(duì)每天施工的數(shù)量是甲隊(duì)每天施工的數(shù)量的1.5倍.

(1)根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別修多少米道路？

(2)村委會將工程交給乙隊(duì)，要求25天內(nèi)完成.幾天后因乙隊(duì)接到搶險(xiǎn)任務(wù)，經(jīng)村委會同意，就將余下工程

交給甲隊(duì).那么在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工多少天，才能按照村委會要求按時(shí)完成？

【答案】⑴甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；

⑵在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會要求按時(shí)完成.

【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修1.5x米道路，利用工作時(shí)間=工作總量+工

作效率，結(jié)合甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程，解之

經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出甲施工隊(duì)每天修路的長度，再將其代入1.5%中，即可求出乙施工隊(duì)每天修路的長度；

（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，根據(jù)要求25天內(nèi)完成修路任務(wù)，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，

解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修1.5%米道路，

根據(jù)題意得：

12001200」八

丁-W=l。,

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的解，且符合題意，

1.5x——1.5x40=60.

答：甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；

（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，

根據(jù)題意得：40（25-y）+60y>1200,

解得：y>10,

■■-y的最小值為10.

答：在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會要求按時(shí)完成.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

【變式2］（2022春?上海浦東新?八年級?？计谥校┠呈幸粋€(gè)公園要改造維修，若由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作,

12天可以完成；若甲工程隊(duì)先單獨(dú)做5天后，乙隊(duì)也來參加，兩隊(duì)再合作9天可以完工，問若兩隊(duì)單獨(dú)完

成這項(xiàng)工程各需幾天？

【答案】甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要20天，乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天

【分析】可以設(shè)甲、乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各自需要x,y天，根據(jù)甲、乙兩人合作，12天可以完成；甲獨(dú)做

5天后，乙隊(duì)也來參加，兩隊(duì)再合作9天可以完工，即可列方程組求得x,y的值：

【詳解】解：設(shè)甲、乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各自需要x,夕天，

根據(jù)題意得：5；9：；12解得：｛JZOA

------1—=1—DU

xy

經(jīng)檢驗(yàn)軍是方程組的解.

答：甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要20天，乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題目中的相等關(guān)系，理解工作時(shí)間、工作量、工作效

率之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3］（2023春?湖南衡陽?八年級校考期中）某服裝加工廠計(jì)劃加工400套運(yùn)動(dòng)服，在加工完160套后,

采用了新技術(shù)，工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果共用了18天完成全部任務(wù).求原計(jì)劃每天加工多少套

運(yùn)動(dòng)服.

【答案】原計(jì)劃每天加工20套運(yùn)動(dòng)服

【分析】根據(jù)題意：“共用了18天完成全部任務(wù)"；等量關(guān)系為：采用新技術(shù)前用的時(shí)間+采用新技術(shù)后所用

的時(shí)間=18.

【詳解】設(shè)原計(jì)劃每天加工x套運(yùn)動(dòng)服.

根據(jù)題意，得拶+爵黑=18.

X/0JA

解得：x=20.

經(jīng)檢驗(yàn)，％=20是原方程的解，且符合題意.

答：原計(jì)劃每天加工20套運(yùn)動(dòng)服.

【點(diǎn)睛】此題考查分式方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意分式方程需要驗(yàn)根.

考點(diǎn)12：分式方程應(yīng)用一一銷售問題

典例12：（2023春?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期末）某服裝店老板到廠家選購甲、乙兩種品牌的童裝準(zhǔn)備進(jìn)行

銷售.每套甲品牌的童裝比乙品牌的童裝進(jìn)價(jià)多25元，用2000元購進(jìn)甲種品牌的童裝數(shù)量是用750元購

進(jìn)的乙種品牌的童裝數(shù)量的2倍.

（1）求甲、乙兩種品牌的童裝每套進(jìn)價(jià)分別是多少元？

⑵若甲品牌童裝每套的售價(jià)為130元，乙品牌童裝每套售價(jià)為95元，服裝店老板去進(jìn)貨時(shí)決定購進(jìn)甲品牌

的童裝數(shù)量是乙品牌童裝數(shù)量的2倍還多4套，兩種童裝全部售出后要使總利潤不少于1230元，至少購進(jìn)

甲品牌的童裝多少套？

【答案】（1）甲品牌每套進(jìn)價(jià)是:L00元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)75元

（2）至少購進(jìn)甲品牌的童裝32套

【分析】（1）設(shè)甲品牌每套進(jìn)價(jià)是x元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)（%—25）元，根據(jù)"用2000元購進(jìn)甲種品牌的童

裝數(shù)量是用750元購進(jìn)的乙種品牌的童裝數(shù)量的2倍”列出方程，解方程即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲品牌童裝a套，則購進(jìn)乙品牌童裝?套，根據(jù)"兩種童裝全部售出后要使總利潤不少于1230

元”可列出不等式，再解不等式即可.

【詳解】（1）解：設(shè)甲品牌每套進(jìn)價(jià)是x元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)（x-25）元，根據(jù)題意得，

2000750c

丁==x2,

解得久=100,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原方程的解，

100-25=75（元），

答：甲品牌每套進(jìn)價(jià)是100元，乙品牌每套進(jìn)價(jià)75元；

（2）設(shè)購進(jìn)甲品牌童裝。套，則購進(jìn)乙品牌童裝”套，根據(jù)題意得，

a—4

（130-100）a+（95-75）x—>1230,

解得a231.75,

答：至少購進(jìn)甲品牌的童裝32套.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

【變式1］（2023春?吉林長春?八年級?？茧A段練習(xí)）今年，某市舉辦了一屆主題為，強(qiáng)國復(fù)興有我”的中小學(xué)

課本劇比賽.某隊(duì)伍為參賽需租用一批服裝，經(jīng)了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，

用600元在甲商店租用服裝的數(shù)量與用500元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等.求在甲、乙兩個(gè)商店租用的

服裝每套各多少元？

【答案】甲商店租用的服裝每套為60元，乙商店租用的服裝每套為50元

【分析】設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元，根據(jù)用600元在甲商店租用服裝

的數(shù)量與用500元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等，列出分式方程，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套10）元，

由題意，得倦=岑，